湖北省鄂州市2019-2020学年数学高二下期末学业水平测试试题含解析

湖北省鄂州市2019-2020学年数学高二下期末学业水平测试试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知离散型随机变量X 的概率分布列如下：
则实数c 等于( ) A ．0.5 B ．0.24 C ．0.1 D ．0.76
【答案】C 【解析】 【分析】
根据随机变量概率的性质可得0.20.30.41c +++=，从而解出c 。

【详解】
解：据题意得0.20.30.41c +++=， 所以0.1c = ， 故选C. 【点睛】
本题考查了概率性质的运用，解题的关键是正确运用概率的性质。

2．已知2513a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 25
23b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
1
31log 5c = 则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．c ＞b ＞a
【答案】D 【解析】 【分析】
对于,a b 看成幂函数，对于c 与,a b 的大小和1比较即可 【详解】
因为2
5
y x =在()0,∞+上为增函数，所以b a >，由因为25
13113a ⎛⎫<⎛⎫= ⎪⎝= ⎪⎝⎭⎭，25
23213b ⎛⎫<⎛⎫= ⎪⎝= ⎪⎝⎭
⎭，
1
13
3
11
log log 153c =>=，所以c b a >>，所以选择D 【点睛】
本题主要考查了指数、对数之间大小的比较，常用的方法：1、通常看成指数、对数、幂函数比较．2、和0、1比较．
3．若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≤⎩
，则z x y =+的最大值为（ ）
A ．9
B ．5
C ．11
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
先作出不等式组所表示的可行域，然后平移直线z x y =+，观察直线z x y =+在x 轴上的截距取最大值时对应的最优解，将最优解代入函数即可得出答案。

【详解】
作出不等式组所表示的可行域如下图所示：
联立5230x x y =⎧⎨
-+=⎩，得5
4
x y =⎧⎨=⎩，点A 的坐标为()5,4，
平移直线z x y =+，当该直线经过点A ，它在x 轴上的截距取最大值，此时，z 取最大值，即
max 549z =+=，故选：A.
【点睛】
本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，解题思路就是作出可行域，平移直线观察在坐标轴上的截距变化寻找最优解，是常考题型，属于中等题。

4．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.在一次考古挖掘中，考古学家发现一批鱼化石，经检测其碳14含量约为原始含量的3.1%，则该生物生存的年代距今约（） A ．1.7万年 B ．2.3万年 C ．2.9万年 D ．3.5万年
【答案】C 【解析】 【分析】
根据实际问题，可抽象出()150% 3.1%n
-=，按对数运算求解.
设该生物生存的年代距今是第n 个5730年， 到今天需满足()150% 3.1%n
-=， 解得：0.5log 3.1%5n =≈，
5573028650⨯= 2.9≈万年.
故选C. 【点睛】
本题考查了指数和对数运算的实际问题，考查了转化与化归和计算能力. 5．己知变量x ，y 的取值如下表： x 3 4 5 6 y
2.5
3
4
4.5
由散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归方程为$ˆ0.7y x a =+，据此预测：当9x =时，y 的值约为 A ．5.95 B ．6.65
C ．7.35
D ．7
【答案】B 【解析】 【分析】
先计算数据的中心点，代入回归方程得到ˆa
，再代入9x =计算对应值. 【详解】
3456
4.54
x +++=
=
2.534 4.5
3.54
y +++==
数据中心点为(4.5,3.5)代入回归方程ˆˆ3.50.7 4.50.35a a =⨯+⇒= $0.70.35y x =+
当9x =时，y 的值为6.65 故答案选B 【点睛】
本题考查了数据的回归方程，计算数据中心点代入方程是解题的关键，意在考查学生的计算能力. 6．若
在
可导，且
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解析】 【分析】
根据导数的定义进行求解即可． 【详解】 ∵
，
∴，
即，
则．
故选D ． 【点睛】
本题主要考查导数的计算，根据导数的极限定义进行转化是解决本题的关键．
7．已知随机变量ξ服从正态分布2
(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ）
A ．0.16
B ．0.32
C ．0.68
D ．0.84
【答案】A 【解析】
由正态分布的特征得(0)P ξ≤＝1(4)10.840.16P ξ-≤=-=，选A. 8．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．2ln3- B ．4ln3+
C ．4ln3-
D ．
329
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
由1xy y x =⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，13xy y =⎧⎨=⎩解得133x y ⎧
=⎪⎨⎪=⎩，3y y x =⎧⎨
=⎩解得33x x =⎧⎨=⎩，所围成的平面图形的面积为S ，则()()1
1113
31131(31)323ln |2S dx x x x ⎛
⎫=⨯--+-=+- ⎪⎝⎭⎰，4ln3S =-，故选C.
9．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】A 【解析】 【分析】
根据框图，模拟计算即可得出结果. 【详解】
程序执行第一次，0021s =+=，1k =，第二次，1
=1+23,2S k ==，第三次，3
3211,3S k =+==，第四次，11
112100,4S k =+>=，跳出循环，输出4k =，故选A. 【点睛】
本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.
10．等差数列{}n a 中，2583a a a ++=，n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则9S =( ) A ．9 B ．18
C ．27
D ．54
【答案】A 【解析】 【分析】
由已知结合等差数列的性质求得a 5，再由考查等差数列的前n 项和公式求S 2． 【详解】
在等差数列{a n }中，由a 2+a 5+a 8＝3，得3a 5＝3，即a 5＝2． ∴S 2()1955
929992
2
a a a a
+⨯⨯=
===．
故选：A ． 【点睛】
本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n 项和，是基础题． 11．下列函数中，既是偶函数，又在区间[]0,1上单调递增的是（ ） A ．cos y x = B ．2
y x =-
C ．12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
D ．sin y x =
【答案】D 【解析】
分析：根据函数奇偶性和单调性的定义和性质，对选项中的函数逐一验证判断即可. 详解：四个选项中的函数都是偶函数，
在[]0,1上,,A B C 三个函数在[]0,1上都递减，不符合题意， 在[]0,1上递增的只有D ，而故选D ．
点睛：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力. 12．在等比数列中，
，公比为，前项和为
，若数列
也是等比数列，则等于
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】由题意，得，因为数列也是等比数
列，所以
，即
，解得
；故选C.
点睛：本题若直接套用等比数列的求和公式进行求解，一是计算量较大，二是往往忽视“
”的特殊情况，而采用数列的前三项进行求解，大大降低了计算量，也节省的时间，这是处理选择题或填空题常用的方法.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．在ABC V 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且()2cos cos 0a b C c B ++=，则sin sin A B ⋅的最大值为_________． 【答案】1
4
【解析】 【分析】
()2cos cos 0a b C c B ++=利用正弦定理边化角化简可求得23C π=
,则有3
A B π+=,则
11sin sin sin sin sin 23264A B A A A ππ⎛⎫⎛
⎫⋅=⋅-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭借助正弦函数图象和性质即可求出.
【详解】
因为()()2cos cos 2sin cos sin 20a b C c B A C B C R ++=++⋅=⎡⎤⎣⎦， 所以1cos 2C =-
，所以23
C π
=． 所以11sin sin sin sin sin 23264A B A A A ππ⎛⎫⎛
⎫⋅=⋅-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
因为03
A π
<<，所以当6
A π
=
时，sin sin A B ⋅取得最小值
1
4
． 故答案为: 14
. 【点睛】
本题考查正弦定理,三角函数的图象和性质,属于常考题.
14．某地球仪上北纬60︒纬线长度为6cm π，则该地球仪的体积为_______3cm . 【答案】288π 【解析】 【分析】
地球仪上北纬60︒纬线的周长为6cm π，可求纬线圈的半径，然后求出地球仪的半径，再求体积． 【详解】
作地球仪的轴截面，如图所示：
因为地球仪上北纬60︒纬线的周长为6cm π， 所以263r r ππ=⇒=，
因为60AOB ∠=o ，所以AOC 30∠=o ， 所以地球仪的半径26R r ==， 所以地球仪的体积334
62883
V cm π=⨯=， 故答案为：288π． 【点睛】
本题地球仪为背景本质考查线面位置关系和球的体积，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题．
15．已知1a b ==v
v ，向量c v 满足()
c a b a b -+=-v v v v v ，则c v 的最大值为________．
【答案】22 【解析】
试题分析：由题意得，由若c r
满足()
c a b a b r r r r r -+=-知，()
a b c a b c a b -=
-+≥-+r r r r r r r r ，当且仅当
c r 与a b r
r +同向且c a b ≥+r r r 时，取等号，所以c a b a b ≤-++r r r r r ，而有基本不等式知，
(
)
()()
2
2222
22222?2?8a b a b
a b a b a a b b a a b b -++≤-++=-++++=r r r r r r r r r r r r r r r r ，所以
22a b a b -++≤r r r r ，当且当a b a b -=+r r r r 即a b
⊥r r 时取等号，故c r 的最大值为22． 考点：1.向量加法的平行四边形法则；2.基本不等式.
【方法点睛】本题主要考查的是向量模的运算性质，向量的平行四边形法则及其向量垂直的性质，属于难题，向量的模的最值运算，一般要化为已知量的关系式，常用的工具，在平行四
边形中
，再结合基本不等式可得当
时，
,
,即
取最大值.
16．已知x y 、满足约束条件1
{1,22
x y x y x y +≥-≥--≤若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34
a b
+的
最小值为_______． 【答案】7 【解析】
试题分析：作出不等式表示的平面区域，得到及其内部，其中
把目标函数转化为，表示的斜率为
，截距为
，由于
当截距最大时，最大，由图知，当过
时，截距最大，最大，因此
，
，
由于，
当且仅当时取等号，.
考点：1、线性规划的应用；2、利用基本不等式求最值.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．设函数()3
3f x x ax b =-+.
（1）若曲线()y f x =在点()()
2,f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （2）在（1）的条件下求函数()f x 的单调区间与极值点. 【答案】（1）4,24a b ==；（2）详见解析 【解析】
【试题分析】（1）先对函数()3
3f x x ax b =-+求导，再借助导数的几何意义建立方程组
()()()2034028
868f a f a b ⎧=⎧-=⎪⇒⎨
⎨=-+=⎩'⎪⎩进行求解；（2）先对函数()3
1224f x x x =-+求导，再依据导数与函数单调性之间的关系进行分类求求出其单调区间和极值点：
解：(1）()2
33f x x a '=-，
∵曲线()y f x =在点()()
2,f x 处与直线8y =相切，
∴()()
()204340
2824868f a a f b a b ⎧=⎧=-=⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨==-+='⎪⎩⎩⎩；
（2）∵()2
312f x x -'=，
由()2
31202f x x x =-=⇒=±'，
当(),2x ∈-∞-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当()2,2x ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，
当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，
∴此时2x =-是()f x 的极大值点，2x =是()f x 的极小值点. 18．已知点O （0，0），A （2，一1），B （一4，8）．
（1）若点C 满足30AB BC +=u u u v u u u v v
，求点C 的坐标；
（2）若OA kOB -u u u v u u u v 与2OA OB +u u u v u u u v
垂直，求k ． 【答案】（1）()2,5-；（2）1
8
k =-. 【解析】 【分析】
（1）设出C 点的坐标，利用终点减起点坐标求得AB u u u r 和BC uuu r
的坐标，利用向量运算坐标公式，得到,x y 满足的条件求得结果；
（2）利用向量坐标运算公式求得(24,18)OA kOB k k -=+--u u u r u u u r ，2(0,6)OA OB +=u u u r u u u r
，利用向量垂直的条
件，得到等量关系式，求得结果. 【详解】
（1）因为()2,1A -，()4,8B -，所以(6,9)AB =-u u u r
．
设点C 的坐标为(),x y ，则()4,8BC x y =+-u u u r
．
由3(36,315)0AB BC x y +=+-=u u u r u u u r r
，得360,
3150,
x y +=⎧⎨-=⎩
解得2x =-，5y =， 所以点C 的坐标为()2,5-．
（2）(24,18)OA kOB k k -=+--u u u r u u u r ，2(0,6)OA OB +=u u u r u u u r
， 因为OA kOB -u u u r u u u r 与2OA OB +u u u r u u u r
垂直，
所以(24)0(18)60k k +⨯+--⨯=，解得1
8
k =-. 【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量坐标运算公式及法则，向量垂直的条件，数量积坐标公式，属于简单题目.
19．已知函数()21f x x a x =+--. （1）当1a =时，解不等式()2f x >；
（2）当0a =时，不等式2
()7f x t t >--对任意x ∈R 恒成立，求实数t 的取值范围.
【答案】（1）2{|4}3
x x x <->或；（2）(2,3)-
【解析】
分析：（1）利用零点分类讨论法解不等式2112x x +-->.(2)先利用分段函数求得()()min 01f x f ==-，再解不等式217t t ->--得到实数t 的取值范围.
详解：（1）当1a =时，由()2f x >得2112x x +-->， 故有122112x x x ⎧<-⎪⎨⎪--+->⎩或1122112
x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++->⎩或()12112x x x >⎧⎨+-->⎩ ∴4x <-或
213
x <≤或1x >， ∴4x <-或23x >， ∴()2f x >的解集为{|4x x <-或2
}3
x >. （2）当0a =时()1,02131,011,1x x f x x x x x x x --<⎧⎪=--=-≤≤⎨⎪+>⎩
∴()()min 01f x f ==-
由217t t ->--得260t t --<
∴23t -<<
∴t 的取值范围为()2,3-.
点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的最值的求法，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分类讨论的思想方法.(2)解题的关键是求()21f x x x =--的最小值，这里要利用分段函数的图像求解.
20．2019年高考前夕某地天空出现了一朵点赞云，为了将这朵祥云送给马上升高三的各位学子，现以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，在直角坐标
系xOy 中，曲线2C
的参数方程为cos 27sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（θ为参数），曲线3C
的参数方程为1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩t
为参数）.
（1）求曲线123,,C C C 的直角坐标方程：
（2）点P 为曲线2C 上任意一点，点Q 为曲线3C 上任意一点，求||PQ 的最小值。

【答案】 (1) 1C ：22(2)4x y +-=；2C ：2
233712x y ⎛⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭；3C ：310,3x y x +=≥；71
【解析】
【分析】
（1）根据222
,sin x y y ρρθ=+=得1C 的直角坐标方程，根据平方关系消参数得2C 的直角坐标方程，根据加减消元得3C 的直角坐标方程（2）结合图像确定||PQ 的最小值取法，再计算得结果.
【详解】
解：（1）曲线1C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=
直线2C 的直角坐标方程为2233712x y ⎛⎛⎫+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 直线3C 的直角坐标方程为310,3x y x +=≥（2）由2C 与3C 的方程可知，||PQ 的距离的最小值为2C 的圆心3372⎫⎪⎪⎝⎭与点(3,1)的距离减去2C 的半径。

2
2min 3373117122PQ ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】
本题考查极坐标方程化直角坐标方程、参数方程化普通方程以及直线与圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.
21．已知函数()32
f x ax bx cx d =+++在R 上是奇函数，且在1x =处取得极小值2-. （1）求()f x 的解析式；
（2）求过点()0,16A 且与曲线()y f x =相切的切线方程.
【答案】（1）3
()3f x x x =-；（2）9160x y -+=.
【解析】
【分析】 （1）根据奇函数性质可知0b d ==；利用极值点和极值可得到方程组()()1012f f ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩
，解方程组求得解析式；（2）设切点坐标()
3000,3M x x x -，利用切线斜率等于在切点处的导数值，又等于两点连线斜率来构造方程求得0x ，进而得到切线斜率，从而得到切线方程.
【详解】
（1）()f x Q 是定义在R 上的奇函数 0b d ∴== ()3f x ax cx ∴=+ 则()2
3f x ax c '=+ ()()13012f a c f a c ⎧=+=⎪∴⎨=+=-'⎪⎩，解得：13a c =⎧⎨=-⎩ ()33f x x x ∴=-
（2）设切点坐标为：()3000,3M x x x -，则在M 处切线斜率：()2
0033k f x x '==- 又30003160x x k x --=- 320000316330
x x x x --∴=--，解得：02x =- 3439k ∴=⨯-=
∴过()0,16A 的切线方程为：169y x -=，即：9160x y -+=
【点睛】
本题考查利用函数性质和极值求解函数解析式、求过某一点处切线方程的求解问题；考查学生对于导数与极值的关系、导数几何意义的掌握情况，属于导数的基础应用问题.
22． “中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[
)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[]70,80后得到如图所示的频率分布直方图.问：
（1）估计在40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数；
（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；
（3）若从年龄在[)20,40的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[)30,40的人数X 的分布列及数
学期望
.
【答案】 (1)30;(2)54,55;(3) X 的分布列如下： X 0 1 2 P
115 815 615 数学期望3EX =
【解析】 试题分析：（1）由频率分布直方图知年龄在[40，70）的频率为（0.020+0.030+0.025）×
10，进而得出40 名读书者中年龄分布在[40，70）的人数．（2）40 名读书者年龄的平均数为
25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1．计算频率为12
处所对应的数据即可得出中位数．（3）年龄在[20，30）的读书者有2人，年龄在[30，40）的读书者有4人，所以X 的所有可能取值是0，1，2．利用超几何分布列计算公式即可得出．
试题解析：
（1）由频率分布直方图知年龄在[)40,70的频率为()0.0200.0300.025100.75++⨯=，
所以40名读书者中年龄分布在[
)40,70的人数为400.7530⨯=.
（2）40名读书者年龄的平均数为 250.05350.1450.2550.3⨯+⨯+⨯+⨯ 650.25750.154+⨯+⨯=.
设中位数为x ，则()0.005100.01100.02100.03500.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=
解得55x =，即40名读书者年龄的中位数为55.
（3）年龄在[)20,30的读书者有0.00510402⨯⨯=人，
年龄在[
)30,40的读书者有0.0110404⨯⨯=人，
所以X 的所有可能取值是0,1,2，
()2024241015C C P X C ===，
()1124248115
C C P X C ===， ()022*******
C C P X C ===， X 的分布列如下：
数学期望0121515153EX =⨯+⨯+⨯=.。