黑龙江省哈尔滨市2017届高三上学期期中考试数学理试题

哈尔滨市第六中学2016-2017学年度上学期期中考试
高三理科数学试题
满分150分 时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合},,|{},3,2,1{A b a b a x x B A ∈-===，则B A 中元素的个数为（ ） A. 1 B.2 C.3 D.4 2．若i z 21-=，则
=-i
z z 41
（ ） A. 1 B. 1- C. i - D. i
3．过点)3,1(且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为( )
A.052=-+y x
B. 012=+-y x
C. 052=-+y x
D.
052=+-y x
)2(-
⊥，则|2|b a +为（ ）
5. 已知数列}{n a 是等比数列，其前n 项和为n S 公比0q >，43222,22a S a S =+=+，则=6a （ ）
A. 16
B. 32
C. 64
D. 128
6. 已知实数y x ,表示的平面区域C ：⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥-+≥+-20103x y x y x ，则52-+=y x z 的最小值为（ ）
A.1-
B.0
C.2-
D.5- 7.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，a e x f x
-=2)(，若)(x f 是R 上的增函数，则实数a 的最大值( )
A. 1
B. 2
C. 0
D. 1- 8.已知函数)0(ln )(>+=a ax x x f 在1=x 处的切线与两坐标轴围成的面积为
4
1
，则实数a 的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 21
D.4
1 9.已知函数)2
||,0)(sin()(π
ϕωϕω<
≠+=x x f ,ω
π
4-
=x 是函数的零点，)(x f 在]2
,2[π
π-
上单调递减，则ω的取值范围为（ ）
αθC
B
A
C 1
B 1
A 1
A. 210≤
<ω B. 021<≤-ω C. 02
3
<≤-ω D. 2
30≤
<ω
10.已知四棱锥ABCD P -的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是边长为2的正方形，且侧棱长都相等，若四棱锥的体积为3
16
，则该球的表面积为（ ） A.
332π B. 481π C. π9 D. 16243π
11.已知在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠120BAC ，2,11===AA AC AB ，若棱1AA 在正视图的投影面α内，且AB 与投影面α所成角为θ()︒≤≤︒6030θ，设正视图的面积为m ，侧视图的面积为n ，当θ变化时，mn 的最大值是（ ）
A.32
B.4
C.33
D.24
12.已知以4=T 为周期的函数⎪⎩⎪⎨⎧∈---∈-=]
3,1(|),2|1(]
1,1(,1)(2x x m x x x f ，其中0>m ，
若函数x x f x g -=)(3)(恰有5个不同零点，则实数m 的取值范围为（ ） A.)38
,2( B. )2,32( C. )3
10
,
2( D. )38,34(
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若9,100510==a S ，则
_______100994321=-++-+-S S S S S S .
14.在△ABC 中，角C B A ,,的对边为,,a b c ，若32,2,cos 1)cos(==-=-b c a B C A ，则△ABC 的面积为
15．已知0>a ，0>b ，1=+b a ，则ab
a b 2
4+的最小值___________.
16．平面⊥ABCD 平面DCS ，平面ABCD 是边长为2的正方形，CDS ∆为边长为2的等边三角形，过CD 的平面与棱SB SA ,分别交于F E ,两点，G 为AB 中点，下列结论正确的是_____________.
（1）AB //EF ； （2）EF SG ⊥； （3）SA 与平面ABCD 所
F
E
G A
B
D
C
S
D
A
P B
E
C
成的角正切值为
3
15；（4）BC 与SA 所成的角为 45；（5）三棱锥ADE F -体积的最大值为
6
3. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）
已知ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，)3
sin(23π
+=B a c
（I ）求角A 的大小； （II ）若3,2==a bc ，求C B sin sin +的值.
18．（本小题满分12分）
四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是边长为1的菱形，︒=∠60BCD ，E 是CD 中点，⊥PA 底面ABCD ，2=PA
（I ）证明：平面⊥PBE 平面PAB ；
（II ）求直线PC 与平面PBE 所成的角的正弦值.
19.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足
*∈=++++++-N n n a a a n n ,33
131
11121 . （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）设1
1
++=
n n n n a a a b ，求数列{}n b 的n 项和数列n S .
20．（本小题满分12分）
如图，侧棱和底面垂直的三棱柱111C B A ABC -中，2==BC AC ，221=AA ，点D 是
AB 的中点.
（I ）求证：//1BC 平面D CA 1；
（II ）若C A 1与AB 所成角为︒60，在棱AB 上是否存在异于端点B A ,的
C 1
B 1
A 1
C
点P ，使得二面角P C A A --1的余弦值为11
22
，若存在，指出点P 位置，若不存在说明理由.
21.（本小题满分12分） 已知函数1
)2()(--=x e
x x f .
（I ）求函数ex ex x f x F +-=2
21)()(的单调区间和极值； （II ）若1≥x 时，a x x a x x x f +--≥++-))(ln 1(2
3
21)(2恒成立，求实数a 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22. （本小题满分10分）选修4－4：极坐标与参数方程
极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知曲线1C 的极坐标方程为)4
sin(22π
θρ+=，
直线2C 的极坐标方程为1sin =θρ，射线ϕθ=，]),0[(4
πϕϕπ
θ∈+=
与曲线1C 分别交异于极点O 的两点B A ,.
（I ）把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程，并求直线2C 被曲线1C 截得的弦长； （II ）求2
2
||||OB OA +的最小值.
23.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 已知函数|1||12|)(-+-=x a x x f
（I ）当1=a 时，解关于x 的不等式4)(≥x f ；
（II ）若|2|)(-≥x x f 的解集包含]2,2
1
[，求实数a 的取值范围.
高三理科数学答案 一、选择题：
1、B
2、C
3、A
4、D
5、C
6、D
7、A
8、A
9、B 10、B 11、C 12、C 二、填空题：
13、5050- 14、32 15、5 16、（1）（2）（4）（5）
三、解答题：
17：（1）)3
sin(sin 2)sin(3π
+
=+B A B A
B A A B A B A cos sin 3sin sin cos 3cos sin 3+=+∴ B A B A sin sin sin cos 3=∴ 0sin ≠B 3tan =∴A ),0(π∈A 3
π
=
∴A ——————————————————————4分
（2）bc c b A bc c b a 3)(cos 22
2
2
2
-+=-+= 3=+∴c b ——————————7分
又2sin 2==
A
a
R ————————————————————————9分 2
3
2sin sin =+=+∴R c b C B ——————————————————————12分
18：（1）证明略——————————————————————————————4分 （2）35
35
——————————————————————————————12分 19：（1）
)2(33
1
1≥=-+n a n n )2(13≥-=n a n n 21=a 符合上式 13-=∴n
n a ———6分 （2）)131131(21)13)(13(311---=--=++n n n n n n b )
13(21
411--=+n n
S ———12分 20：（1）证明略——————————————————————————————4分
（2）P 为AB 中点———————————————————————————12分
21（I ）ex ex x f x F +-
=2
2
1)()( ))(1()('1e e x x F x --=-，0))(1()('1=--=-e e x x F x
得2,1==x x
),2(),1,(+∞-∞是单调递增的，)2,1(是单调递减的——————————5分
当1=x 取得极小值
12-e
，当2=x 时，得极大值0 （II ）a x x a x x x f x g ----++-=])[ln 1(2
3
21)()(2
)1()
1()('1-+--=-a x xe x
x x g x ，1)(1-+-=-a x xe x u x ————————7分
01)1()('1>-+=-x e x x u ，1)1(1)(1-=≥-+-=-a u a x xe x u x
（1）101≥⇒≥-a a 时，0)('≥x g ，)(x g 单增，0)1()(=≥g x g ———————9分 （2）101<⇒<-a a 时，存在0)(',000==x g x ，则),1(0x x ∈，)(x g 单减，
0)1()(=<g x g 与0)(≥x g 矛盾，——————————————11分
所以1≥a ————————————12分
22.极坐标与参数方程
（1）2)1()1(:2
2
1=-+-y x C 1:2=y C —————————————————4分 （2）)4sin(22π
ϕ+
=OA ϕπ
ϕπcos 22)4
4sin(22=++=OB ——6分 8
)42sin(24)2cos 1(4)]22cos(1[4cos 8)4(sin 8222
2
++=+++-=++=+π
ϕϕπ
ϕϕπϕOB OA ———8分 ]4
9,4[42],0[πππ
ϕπϕ∈+
∴∈ 2
2OB OA +∴的最小值为248-——————10分
不等式选讲
（1）),2[]3
2,(+∞⋃--∞——————————————————————————4分 （2） x x a 331-≥-∴对]2,2
1[∈x 恒成立
12
1
<≤x 时，x x a 33)1(-≥- 3≥∴a 21≤≤x 时，x x a 33)1(-≥- 3-≥∴a
综上：3≥a ————————————————————————————————10分。