(新人教A版)2019高中数学第三章数系的扩充与复数的引入单元测试(二)选修1-2

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a 为实数，且2i
3i 1i a +=++，则a ＝（ ）
A ．－4
B ．－3
C ．3
D ．4
2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）
A ．A
B ．B
C ．C
D ．D
3．已知i 是虚数单位，,a b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋bi)2＝2i”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．复数z ＝m －2i
1＋2i (m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上的对应点不可能位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．已知z 1＝2－5i ，z 2＝－3＋i ，z 1，z 2的对应点分别为P 1，P 2，则向量21P P 对应的复数为（
） A ．－5＋6i B ．5－6i C ．5＋6i D ．－1－4i
6．若复数z 满足z(2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为（ ）
A ．3＋5i
B ．3－5i
C ．－3＋5i
D ．－3－5i
7．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋bi 互为共轭复数，则(a ＋bi)2＝（ ）
A ．5－4i
B ．5＋4i
C ．3－4i
D ．3＋4i
8．设z ＝1
1＋i ＋i ，则|z|＝（ ）
A ．12
B ．2
2 C ．3
2 D ．2
9．已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1
z 2
为实数，则实数m 的值为（ ）
A ．8
3 B ．32 C ．－8
3 D ．－3
2
10．复数z 满足|3z ＋1|＝|z －i|，则复数z 对应点的轨迹是（ ）
A ．直线
B ．正方形
C ．圆
D ．椭圆
11．设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝（ ）
A ．2＋3i
B ．2－3i
C ．3＋2i
D ．3－2i
12．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则（ ）
A ．b ＝2，c ＝3
B ．b ＝－2，c ＝3
C ．b ＝－2，c ＝－1
D ．b ＝2，c ＝－1
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．复数2－2i 1＋i
＝________． 14．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z·z ＋z ＝________．
15．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面上对应的两点，O 为原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 为________．
16．已知复数z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，且|z －2|＝3，则y x
的最大值为________． 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（10分）已知z ＝1＋i ，若221i 1
z az b z z ++=--+，求实数a ，b 的值．
18．（12分）已知复数z ＝(2＋i)m 2－6m 1－i
－2(1－i)．求实数m 取什么值时，复数z 是（1）零；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数．
19．（12分）在复数范围内解方程|z 2|＋(z ＋z )i ＝3－i 2＋i
(i 为虚数单位)．
20．（12分）已知复数z 1，z 2满足条件|z 1|＝2，|z 2|＝3，且3z 1＋2z 2＝6，求复数z 1和z 2．
21．（12分）复数z ＝()()
31i i 1i a b ++-且|z|＝4，z 对应的点在第一象限内，若复数0，z ，z 对应的点是正
三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．
22．（12分）设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1
是实数，且－1≤z 2≤1． （1）求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围；
（2）若ω＝1－z 11＋z 1
，求证：ω为纯虚数．
答 案
1．【答案】D 【解析】∵2i 3i 1i
a +=++，∴2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，∴a ＝4，故选D ． 2．【答案】B
【解析】设(i ),0z a b a b =-+>，则z 的共轭复数i z a b =--，
它对应点的坐标为(),a b --，是第三象限的点．故选B ．
3．【答案】A
【解析】当a ＝b ＝1时，(a ＋bi)2＝(1＋i)2＝2i ，
反之，若(a ＋bi)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1，故选A ．
4．【答案】A
【解析】m －2i 1＋2i ＝()()()()()()2i 12i 421i =12i 12i 5
m m m ----++-，对于m 的值，不存在m 使m －4>0且m ＋1<0，故对应的点不可能在第一象限．故选A ．
5．【答案】B
【解析】∵2112P P OP OP =-，
∴21P P 对应的复数为z 1－z 2＝(2－5i)－(－3＋i)＝5－6i ．故选B ．
6．【答案】A
【解析】由题意知z ＝11＋7i 2－i ＝＋＋－＋＝15＋25i 5＝3＋5i ，故选A ． 7．【答案】D
【解析】根据已知得a ＝2，b ＝1，∴(a ＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i ．故选D ．
8．【答案】B
【解析】11＋i ＋i ＝()()1i 1i 1i -+-＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z|＝22，故选B ． 9．【答案】D
【解析】∵z 1z 2＝m ＋2i 3－4i ＝()()2i 34i 25
m ++＝3m －825＋4m ＋625i ， 又z 1z 2为实数，∴4m ＋625＝0，即m ＝－32
．故选D ． 10．【答案】C
【解析】设z ＝x ＋yi ，则|3x ＋3yi ＋1|＝|x ＋yi －i|．∴(3x ＋1)2＋9y 2＝x 2＋(y －1)2，即4x 2＋4y 2＋3x ＋y ＝0．∴复数z 对应点Z 的轨迹为圆．故选C ．
11．【答案】A
【解析】z ＝52－i ＋2i ＝＋－＋＋2i ＝2＋i ＋2i ＝2＋3i ．故选A ．
【解析】∵1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2
＋bx ＋c ＝0的一个复数根，
则(1＋2i)2＋b(1＋2i)＋c ＝0，整理得(b ＋c －1)＋(22＋2b)i ＝0， 则⎩⎨⎧ 22＋2b ＝0，b ＋c －1＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－2，c ＝3，故选B ．
二、填空题
13．【答案】－2i 【解析】2－2i 1＋i ＝()()()
221i 1i 1i -+-＝(1－i)2＝－2i ． 14．【答案】6－2i
【解析】∵z ＝1－2i ，∴z·z ＝|z|2＝12＋(－2)2＝5，∴z·z ＋z ＝5＋1－2i ＝6－2i ．
15．【答案】直角三角形
16．【答案】 3
【解析】|z －2|＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3．由图可知max
y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
三、解答题
17．【答案】1a =-，2b =．
【解析】∵2z az b ++＝(1＋i)2
＋a (1＋i)＋b ＝a ＋b ＋(2＋a )i ， z 2－z ＋1＝(1＋i)2
－(1＋i)＋1＝i ，∴221z az b z z ++-+＝(2＋a )－(a ＋b)i ＝1－i ， 由复数相等的充要条件得211a a b +=⎧⎨+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩
． 18．【答案】（1）m ＝2；（2）m≠2且m≠1；（3）m ＝－12
；（4）m ＝0或m ＝2． 【解析】由于m ∈R ，
∴复数z ＝(2＋i)m 2－3m(1＋i)－2(1－i)＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ．
（1）当⎩
⎪⎨⎪⎧
2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2＝0，即m ＝2时，z 为零． （2）当m 2－3m ＋2≠0，即m≠2且m≠1时，z 为虚数． （3）当⎩⎪⎨⎪⎧
2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，即m ＝－12时，z 为纯虚数． （4）当2m 2－3m －2＝－(m 2－3m ＋2)，
即m ＝0或m ＝2时，z 是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数．
19．【答案】z ＝－12±32
i ． 【解析】原方程化简为|z|2＋(z ＋z )i ＝1－i ，
设z ＝x ＋yi(x 、y ∈R)，代入上述方程；得x 2＋y 2＋2xi ＝1－i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝1，2x ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－12，y ＝±32.∴原方程的解是z ＝－12±32
i ． 20．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧ z 1＝1＋3i ，
z 2＝32－323i ，或⎩⎪⎨⎪⎧ z 1＝1－3i ，z 2＝32＋323i.．
【解析】设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R )，则a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2
＝9，
由3z 1＋2z 2＝6，得(3a ＋2c)＋(3b ＋2d)i ＝6，由复数相等得326320a c b d +=⎧⎨+=⎩， 解方程组222249326320a b c d a c b d ⎧+=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=
⎩
，得132a b c d =⎧⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=⎩
或132a b c d =⎧⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=⎩；
∴⎩⎪⎨⎪⎧
z 1＝1＋3i ，z 2＝32－323i ，或⎩⎪⎨⎪⎧ z 1＝1－3i ，z 2＝32＋323i.． 21．【答案】a ＝－3，b ＝－1． 【解析】z ＝()()()()21i 1i i 2i i i 1i a b a b +++=⋅+=-－2a －2bi ， 由|z|＝4，得a 2＋b 2＝4．① ∵由复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，∴|z|＝|z －z |， 把z ＝－2a －2bi 代入化简，得|b|＝1．②
又∵Z 点在第一象限内，∴a <0，b<0．
由①②，得1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩
a ＝－3，
b ＝－1． 22．【答案】（1）1，11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
；（2）见解析． 【解析】（1）设z 1＝a ＋bi(a ，b ∈R 且b≠0)，
则z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋bi ＋1i a b +＝2222i a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝
⎭⎝⎭． ∵z 2是实数，b≠0，于是有a 2＋b 2
＝1，即|z 1|＝1，还可得z 2＝2a ．
由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
． （2）ω＝1－z 11＋z 1＝()
22221i 12i i 1i 11a b a b b b a b a a b -----==-+++++． ∵11,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，b≠0，∴ω为纯虚数．。