高中数学3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式学案新人教A版必修4

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
[A 级 基础巩固]
一、选择题
1．已知α，β为锐角，sin α＝35，tan(β－α)＝13
，则tan β＝( ) A.139 B.913 C ．3 D.13
解析：因为sin α＝35，α为锐角，
所以cos α＝1－sin 2α＝45.
所以tan α＝sin αcos α＝34，
所以tan β＝tan [(β－α)＋α]＝
tan （β－α）＋tan α
1－tan （β－α）·tan α＝139，故选A.
答案：A 2.3sin 5π12－cos 5π12的值是( ) A. 2 B.2
2 C ．－ 2 D ．sin 7π
12
解析：3sin 5π12－cos 5π
12
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π12 cos π6－cos 5π12sin π
6
＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π
12－π
6＝2sin π4＝ 2.
答案：A
3．在△ABC 中，若sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，则△ABC 是(
)
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
解析：因为sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，
所以sin B cos C ＋cos B cos C ＝2sin B cos C ，
即sin B cos C －cos B sin C ＝0，所以sin(B －C )＝0，
所以B ＝C ，所以△ABC 是等腰三角形．
答案：D
4．化简cos 15°cos 45°－sin 15°·sin 45°的值为( )
A ．－12 B.32 C.12 D ．－32
解析：根据两角和的余弦公式可得，cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°＝cos(15°
＋45°)＝cos 60°＝12
，故选C. 答案：C
5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3－cos α＝13，则cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( ) A.13 B ．－13 C.23 D ．－23
解析：由题意可得
cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π3－cos α ＝cos αcos π3＋sin αsin π3
－cos α ＝－cos αcos π3＋sin αsin π3
＝－⎝
⎛⎭⎪⎫cos αcos π3－sin αsin π3 ＝－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3， 据此有－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3＝13， 所以cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－13. 答案：B
二、填空题
6．(2015·江苏卷)已知tan α＝－2，tan(α＋ β )＝17
，则tan β的值为________． 解析：tan β＝tan[(α＋ β)－α]＝tan （α＋ β ）－tan α1＋tan （α＋ β ）tan α＝17－（－2）1＋17×（－2）＝3.
答案：3
7．计算1－tan 15°
3＋tan 60°tan 15°＝________．
解析：原式＝
tan 45°－tan 15°3（1＋tan 45°·tan 15°）＝ 13
tan(45°－15°)＝13. 答案：13
8．已知cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝1213⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜π2，则cos α＝________． 解析：由于0＜α－π6＜()π3，且cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝1213， 所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＝513. 所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝ 1213×32－513×12＝123－526
. 答案：123－526
三、解答题
9．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋ β＝32
，其中π4＜α＜π2，π4＜ β＜π2，求角α＋ β的值．
解：因为π4＜α＜π2，所以－π4＜π4－α＜0. 因为π4＜ β ＜π2，所以π2＜π4＋ β＜3π4
. 由已知可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝32，cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋ β＝－12， 则cos(α＋ β )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
＋ β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋ β·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋ β·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×32＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32
.
因为π2
＜α＋ β ＜π. 所以α＋ β＝5π6
. 10．设方程12x 2
－πx －12π＝0的两根分别为α， β，求cos αcos β－3sin αcos β－3cos αsin β－sin αsin β的值．
解：由题意知α＋ β＝π12，
故原式＝cos(α＋ β )－3sin(α＋ β )＝
2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－（α＋ β ）＝2sin π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4－π6＝
2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos π6－cos π4sin π6＝
2⎝ ⎛⎭⎪⎫22×32－22×12＝6
－2
2.
B 级 能力提升
1．已知3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ的值是(
) A ．－π6 B.π6 C ．－5π6 D.5π
6
解析：因为3sin x －3cos x
＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫
sin x ·3
2－cos x ·12
＝23sin( x ＋φ)，
所以cos φ＝3
2，sin φ＝－1
2.
又因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－π
6.
答案：A 2．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝3
5，则tan αtan β＝________．
解析：cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1
5，①
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝3
5.②
由①＋②，得2cos αcos β＝4
5，
即cos αcos β＝25
. 由②－①，得2sin αsin β＝25
， 即sin αsin β＝15
. 所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝12
. 答案：12
3．在△ABC 中，三个内角分别为A ，B ，C .已知sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A . (1)求角A 的值；
(2)若B ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π3，且cos(A －B )＝45，求sin B . 解：(1)由sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A ，得32sin A ＋12cos A ＝2cos A ，即sin A ＝3cos A ，因为A ∈(0，π)，且cos A ≠0，
所以tan A ＝3，所以A ＝π3
. (2)因为B ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π3，cos(A －B )＝45， 所以A －B ＝π3－B ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π3. 因为sin 2(A －B )＋cos 2
(A －B )＝1，
所以sin(A －B )＝35
， 所以sin B ＝sin [A －(A －B )]＝sin A cos (A －B )－cos A ·sin (A －B )＝43－310.。