2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：函数与导数 函数的图象(含答案)

第二章 函数与导数第5课时
函数的图象
1. 函数f(x)＝2x ＋1
x －1
图象的对称中心的坐标是________。

答案：(1、2)
解析：f(x)＝2＋3
x －1
.
2. 函数f(x)＝(2－a 2)x ＋a 的图象在区间[0、1]上恒在x 轴上方、则实数a 的取值范围是________。

答案：(0、2)
解析：由题意、只需⎩
⎪⎨⎪
⎧f （0）>0，f （1）>0，即可。

3. 设函数y ＝f(x)是定义在R 上、则函数y ＝f(x －1)与y ＝f(1－x)的图象关于直线________对称。

答案：x ＝1
解析：由y ＝f(1－x)＝f[－(x －1)]、知y ＝f(1－x)的图象是由y ＝f(－x)的图象向右平移1个单位而得、而函数y ＝f(x －1)的图象是由y ＝f(x)的图象向右平移1个单位而得、函数y ＝f(－x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝0对称、所以函数y ＝f(x －1)与y ＝f(1－x)的图象关于直线x ＝1对称。

4. 函数f(x)＝|x 2－ax ＋a|(a>0)的单调递增区间是________。

答案：⎣⎡⎦⎤－a 2，0和⎣⎡⎭
⎫a
2，＋∞ 5. 不等式lg(－x)<x ＋1的解集是________。

答案：(－1、0)
6. 任取x 1、x 2∈(a 、b)、且x 1≠x 2、若f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>1
2[f(x 1)＋f(x 2)]、则称f(x)是(a 、b)上的凸函数。

在下列图象中、是凸函数图象的是________。

(填序号)
答案：④
7. 已知函数y ＝f(x)的周期为2、当x ∈[－1、1]时 f(x)＝x 2、那么函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝|lgx|的图象的交点共有________个。

答案：10
解析：根据f(x)的性质及f(x)在[－1、1]上的解析式可作图如下：
可验证当x ＝10时、y ＝|lg10|＝1；当0<x<10时、|lgx|<1；x>10时、|lgx|>1. 因此结合图象及数据特点y ＝f(x)与y ＝|lgx|的图象交点共有10个。

8. 已知a ＞0、且a ≠1、f(x)＝x 2－a x 、当x ∈(－1、1)时、均有f(x)＜1
2
、则实数a 的取
值范围是________。

答案：⎣⎡⎭⎫
12，1∪(1、2]
解析：由题知、当x ∈(－1、1)时、f(x)＝x 2－a x ＜12、即x 2－1
2
＜a x .在同一坐标系中分别
作出二次函数y ＝x 2－1
2
、指数函数y ＝a x 的图象、如图、当x ∈(－1、1)时、要使指数函数
的图象均在二次函数图象的上方、只需12≤a ≤2且a ≠1.故实数a 的取值范围是1
2
≤a ＜1或1
＜a ≤2.
9. 作出下列函数的图象、并根据图象说出函数的单调区间。

(1) y ＝|3x －1|；
(2) y ＝|x －2|(x ＋1)。

解：(1) y ＝|3x －1|＝⎩⎪⎨⎪
⎧3x －1，x ≥0，1－3x
，x<0，
图象如下、其单调增区间是(0、＋∞)、单调减区间是(－∞、0)。

(2) 由y ＝|x －2|(x ＋1)＝
⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122
＋94，x<2，
⎝⎛⎭⎫x －122
－9
4，x ≥2，
图象如下、其单调增区间是⎝
⎛⎭⎫－∞，12和(2、＋∞)、单调减区间是⎝⎛⎭⎫
12，2.
10. 已知定理：“若a 、b 为常数、g(x)满足g(a ＋x)＋g(a －x)＝2b 、则函数y ＝g(x)的图
象关于点(a 、b)中心对称”。

已知函数f(x)＝－1＋1
a －x
.
(1) 试证明函数f(x)的图象关于点(a 、－1)中心对称；
(2) 当x ∈[a －2、a －1]时、求证：f(x)∈⎣⎡⎦
⎤－1
2，0. 证明：(1) ∵ f(a ＋x)＋f(a －x)＝⎣⎡⎦⎤－1＋1a －（a ＋x ）＋⎣⎡⎦
⎤－1＋1
a －（a －x ）＝－2、
∴ 函数f(x)的图象关于点(a 、－1)中心对称。

(2) 由f(x)＝－1＋1a －x ＝－1－1
x －a
、知f(x)在(－∞、a)和(a 、＋∞)上均为增函数、∴ f(x)
在[a －2、a －1]上单调递增、从而f(x)∈[f(a －2)、f(a －1)]、即f(x)∈⎣⎡⎦
⎤－1
2，0. 11. 已知a 、b 是实数、函数f(x)＝ax ＋b|x －1|(x ∈R )。

(1) 若a 、b ∈(－2、2)、且函数f(x)在(0、＋∞)内存在最大值、试在平面直角坐标系xOy 内、求出动点(a 、b)运动区域的面积；
(2) 若b>0、且关于x 的不等式f(x)<0的解集中的整数恰有2个、试求a
b
的取值范围。

解：(1) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －b ）x ＋b ，x ≤1，
（a ＋b ）x －b ，x>1，结合f(x)的图象知、f(x)在(0、＋∞)内存在最大值
的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a －b ≥0，
a ＋
b ≤0，
且两个等号不同时成立。

当a 、b ∈(－2、2)时、点(a 、b)运动区域
的面积为4.
(2) f(x)<0b|x －1|<－ax 、即|x －1|<－a
b
x.在同一坐标系内作出函数p(x)＝|x －1|和q(x)
＝－a b x 的图象、由图可知、－23≤a b <－12
.。