周期性非正弦稳态电路分析t实用教案

例 2 求 图 示 正 弦(z hèngxi án)周期 函数的 傅里叶 级数 。
f (t)
1
0
-1
解：
f (t) 为奇函数，
f (t ) 的表达式为：
f (t) t
t
t
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第二十三页，共80页。
Bkm
1
t
sin
ktd(t )
1
2
[1 k2
sin
kt
t
c os kt ]
0
Um2 T3
t3 T
3
0
Um2 Um 33
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第三十一页，共80页。
(2) 电压(diànyā)和电流的平均值 1、平均值
定义(dìng y ì)
2、绝对值平均值
问题
定义(dìngyì) 与平均值的关系 例 正弦波经全波和半波整流后的平均 值 全波 Uav=0.9U
U0= u(t)dt
周期性非正弦(zhèngxián)稳态电路分析t
会计学
1
第一页，共80页。
本章(běn zhānɡ)目录
6.1 引言 6.2 非正弦周期函数分解傅里叶级数 6.3 非正弦周期性电量的有效值与平均值，
平均功率 6.4 非正弦周期性稳态电路分析(fēnxī) 6.5 对称三相非正弦周期电流电路
A0 Bkmsinkωt Ckmcoskωt
k 1
k 1
Akm= B2km+C2km
k=tg –1
C km B km
A0= f(t)dt Bkm= f(t)sinkt dt
1
T
T
0
2
T
T
0
Ckm= f(t)coskt dt
2
T
T
0
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名 词 (míng cí)介 绍 ：
f (t) f (t)
f (t) A0 Ckmcoskωt k 1
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第7章 非正弦周期电路
2 ． 奇 函 数( o dd f u nctio n ) —原 点对称 (duìc hèn) 奇函数时
傅氏级数(jíshù)中只含正弦项。
f (t ) f (t ) ，波形(bōxínɡ)对称于原点，则A0=0Ckm=0
f (t) Bkmsinkωt k 1 f (t) Fm
0
t
- Fm
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3． 偶 谐 波 (xié bō)函 数 ( odd harmonic function) 镜像对称(duìchèn)
两个相差半个周期(zhōuqī)的函数值大小相等，符号 相同，
f (t) f (t T ) 2
k 1
3）锯齿(jùchǐ)波电压
u k 1
t
O
u
Um
(
1 2
1 π
sinω
t
1 2π
sin2ω
t
1 3π
sin3ω
t
......)
4）全波整流(zhěngliú)电压u
t
O
u 2Um (1 2 cos2ω t 2 cos4ω t ......)
π
3
15
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kq
第25页/共80页
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对于(duìyú)①
1
T
T 0
I02dt
I 02
1
T
T 0
I
2 km
sin2 (kt
k
)dt
I
2 k
对于(duìyú)②
1
T
T 0
2I 0 I km
sin(kt
k
)dt
0
对于(duìyú)③
1 T
2I I sin(k km
T0
（由三角函数的正交性可得）
π
3
5
2）三角(sānjiǎo)
u
波电压
O
t
u
8Um π2
(sinω
t
1 9
sin3ω t
1 25
sin5ω
t
......)
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第十五页，共80页。
几种(jǐ zhǒnɡ)波形的展开式
f (t ) A0 Akmsin(kωt k ) k 1
A0 Bkmsinkωt Ckmcoskωt
对称三相非正弦周期zhuq电量的分解奇谐波函数的富里叶级数的特点不含常数项和偶次谐波项第61xin非正弦周期电量的分解uatu1msiu3msin3t3u5msiu1msint1201u5msin5t2405ctu1msint2401u5msin5t1205xin非正弦周期电量的分解基波电源dinyun作用于电路ua1tu1msint1ub1tu1msint1201uc1tu1msint2401正序对称duchn三相电源k3q1对称三相非正弦周期电量dinling的分解2三次谐波xi电源作用于电路ua3tu3msin3t3ub3tu3msin3t3uc3tu3msin3t3零序对称duchn三相电源第64五次谐波电源dinyun作用于电路对称三相非正弦周期电量dinling的分解ua5tu5msiub5tu5msin5t2405uc5tu5msin5t1205负序对称duchn三相电源ua5ub5uc50对称三相非正弦zhngxin周期电流电路中的零序谐波1线电压中不含零序谐波xiuaubuabuaub零序分量全部抵消
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第二页，共80页。
6.1 引言(yǐnyán)
周期性非正弦稳态电路
• 正弦(zh èngxiá n)稳态 分析
(diànlù)分析
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第三页，共80页。
半波整流电路(diànlù)的输出 信号：
非正弦周 期交流( jiāoliú )信号
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例：周期性方波的分解
u
O
u
直 流分量( fèn li àng)+ 基波
t
直 流分量(fèn liàng) 基 波 (jī bō)
直 流分量+ 基波+ 三次谐波+五次谐 波
五 次谐波
t
O 三 次谐波
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函 数 (hánshù)的对称性与系数A0、 Bkm、Ckm的关系
f (t ) A0 Akmsin(kωt k ) k 1
A0 Bkmsinkωt Ckmcoskωt
1 ． 偶 函数( even function )—纵 轴 对称
k 1
k 1
偶函数时 傅氏级数(jí shù)中只含直流分量和余弦项。
，即波形(bō xínɡ)对称于纵轴，则Bkm=0
1
T
T
0
0 0.5T
Uav= u(t) dt
1
T
T
0
T 1.5 T
2T
半波 Uav=0.45U
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第三十二页，共80页。
(3) 平均功率 u(t)=U0+ Uksin(kt+uk) i(t)=I0+ Iksin(kt+ik) u(t)i(t)
P= u(t)i(t)dt
1 T
2 k=1
qm
t
k ) sin(q t
q )dt 0
kq
结论：
I
I
2 0
I12
I
2 2
结论：周期函数的有效值为直流分量及各次谐
波分量有效值平方和的方根 第26页/共80页
第二十七页，共80页。
例 ： 已知非正弦周期电流i=［1+0.707sin（ωt-20°
）+0.42sin（2ωt+50°）］A， 试求其有效值。源自1、有效值若i I0
2 Iksinkωω ψk 则有效值为
k 1
I
1 T i 2dt T0
1 T
T 0
I0
k 1
2
I
k
s
inkωω
ψk
2
d(
t
)
利用(lìyòng)三角函数的正交性得I
I
2 0
I
2 k
k 1
同理，非正弦周期电压
I02
I12
I
2 2
U
U
2 0
U12
U
2 2
第24页/共80页
解 ： 给定(ɡěi dìnɡ)电流中包括恒定分量和不同频率
的正弦量，并且已知各正弦量的振幅， 所以周期电流
的有效值应为
I 12 1 (0.707)2 1 (0.42)2 12 0.52 0.32 1.16A
2
2
第27页/共80页
第二十八页，共80页。
例题(lìtí): 求图示波形的有效值和平均值
T 0
2 k=1
同次谐波电压与电流(diànliú)的乘积 uk(t)ik(t)
第13页/共80页
第十四页，共80页。
几种波形的展开式
矩形波、三角(sānjiǎo)波、锯齿波
…
f (t ) A0 Akmsin( kωt k )
k 1
A0 k1 Bkmsinkωt k1 Ckmucoskωt
1）矩形(jǔxíng)波
t
O
电压
u 4Um (sinω t 1 sin3ω t 1 sin5ω t ......)
Im
O t
TT 4
练习： 图示是一半波整流电压u 的波形，求其有效值和 O π 2π t 平均值
第29页/共80页
第三十页，共80页。
u
U
m
0
T
U 1 T u2dt
T0
t
2 T
u3T
t T
Um
(0
~
T
)
1
T
T 0
t2 T2
U m 2 dt
U0
1 2
U
mT
T
Um 2
Um2 T3
T t 2dt
示波器内的水平(shuǐpíng) 扫描电压：
周期性锯齿(jùchǐ)波
第4页/共80页
第五页，共80页。
交直流共存 (gòngcún)电
+UCC
uC uc
UC
路：
C
t
uO=Umsinωt
es
uO
u0 uc
t
第5页/共80页
第六页，共80页。
计算机内的脉冲(màichōng) 信号:
t
T
第6页/共80页
解 有效值为
i(A) Im
：
T Im/2
I
1 T
T
4 0
I m2 dt
I
2 m
t
4
T
0
O
T
t
T
4
I
2 m
Im
5A
42
I
2 m
RT 4
Im 2
2
RT
平均值为
i(A) Im
I0
I
m
T 4
T
Im 4
2.5A
Im/4
O
T
第28页/共80页
4
t
T
第二十九页，共80页。
练习(liànxí): 求图示波形的有效值和平均值 i(A)
(2) 线性电路 — 叠加定理适用
电源中不 同频率 成分的 正弦波 分别作 用于电 路
第10页/共80页
第十一页，共80页。
6.2 非正弦周期函数分解(fēnjiě)傅里叶级数 f (t)= f (t+T)
2 T
= = 2 f
— 角频率
f (t ) A0 Akmsin(kωt k ) k 1
5)周期性方波
u
u U0 Akmsin (k ω t ψk )
k 1
t
Um 2Um (sinω t 1 sin3 ω t 1 sin5ω t )
2π
3
5
u
直流分量
u
三 波 谐 波 (xié bō)
O
t
O
t
u
五次谐波
u
基 波 (jī bō)
t
t
O
O
第16页/共80页
第十七页，共80页。
+
uS(t)
输入
-
Rb1 C1
+EC
Rc
C2
Rb2
Re
输出 C3
+ +
R
-
-
第8页/共80页
第九页，共80页。
(3) 电路(diànlù)中含有非线性元件
+
-
+ R
-
第9页/共80页
第十页，共80页。
• 本章的讨论对象(duìxiàng)及处理问题的思路
非正弦周期 变化的电源
线性电路
（稳态分析(fēnxī)）
k2
：高次谐波(xié bō)
Akm sin(kt k )
谐 波 分 析 ：把一个周期函数展开或分解为具有一系列谐波的傅里 叶级数 称为谐 波分析 。
第12页/共80页
第十三页，共80页。
U1=12V,U2=4V,U3=3V,U=?
谐波分析 非正弦(zhèngxián)变化的周期性交流量，包含一系列不 同频率的正弦(zhèngxián)波。----（谐波）
第二十五页，共80页。
I 1 T i2dt
T0
i2 [I0 (Ikm sin(kt k )]2 [I0 i1 i2 ]2 k 1
分析(f ēnxī)：i2 结果分三部分：
①
I
2 0
i12
i22
ik2
②
2I0i1 2I0i2 2I0ik
③ 2i1i2 2i2i3 2ikiq
2
(k )2
[sin
k
k
cosk ]
2
k
（其中(qízhōng)k 为奇数时为+，偶数时为－）
f (t) 2 (sint 1 sin 2t 1 sin 3t 1 sin 4t )
2
3
4
第23页/共80页
第二十四页，共80页。
6.3 非正弦(zhèngxián)周期性电量的有效值 与平均 值，平 均功率
(1) 傅 立叶级数(jíshù)：对周期性函数 f(t)
f (t) A0 Bkmsinkωt Ckmcoskωt
k 1
k 1
f (t)= f (t+T)
2 T
A0 Akmsin(kωt k )
= = 2 f
—角频率
k 1
Bkmsinkωt Ckmcoskωt Akmsin(kωt k )
偶谐波函数的傅里叶级数中只含直流分量和各偶次谐波分量，故称偶谐波函数。
f (t) A0 Bkmsinkωt Ckmcoskωt
k 2,4
k 2,4
第20页/共80页
第二十一页，共80页。
4． 奇 谐 波 (xié bō)函 数 ( even harmonic function)
f (t) f (t π ) 2
第七页，共80页。
6.1 引言(yǐnyán) • 正弦(zh èngxiá n)稳态 分析