扬中市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

扬中市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（）
A．11 B．11.5 C．12 D．12.5
2．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为（）
A．1 B．C．D．
3．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a=（）
A ．2
B ．
C ．﹣1
D ．以上都不正确
4． 函数y=f （x ）在[1，3]上单调递减，且函数f （x+3）是偶函数，则下列结论成立的是（ ） A ．f （2）＜f （π）＜f （5） B ．f （π）＜f （2）＜f （5）
C ．f （2）＜f （5）＜f （π）
D ．f （5）＜
f （π）＜f （2）
5． 双曲线的焦点与椭圆
的焦点重合，则m 的值等于（ ）
A ．12
B ．20
C ．
D ．
6． 已知函数f （x ）=xe x ﹣mx+m ，若f （x ）＜0的解集为（a ，b ），其中b ＜0；不等式在（a ，b ）中有且只有一个整数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
7． 设0＜a ＜b 且a+b=1，则下列四数中最大的是（ ）
A ．a 2+b 2
B ．2ab
C ．a
D ．
8． 圆01222
2
=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ． B ．12+ C ．
12
2
+ D ．122+
9． 如图，函数f （x ）=Asin （2x+φ）（A ＞0，|φ|＜）的图象过点（0，
），则f （x ）的图象的一个对
称中心是（ ）
A ．（﹣，0）
B ．（﹣，0）
C ．（，0）
D ．（，0）
10．某校新校区建设在市二环路主干道旁，因安全需要，挖掘建设了一条人行地下通道，地下通道设计三视图中的主（正）视力（其中上部分曲线近似为抛物）和侧（左）视图如图（单位：m），则该工程需挖掘的总土方数为（）
A．560m3B．540m3C．520m3D．500m3
11．抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）
A．B．C．D．3
12．若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相切，则此双曲线的离心率等于（）
A．B．C．D．2
二、填空题
13．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P（单位：毫克/升）与时间t（单
位：小时）间的关系为
0e kt
P P-
=（
P，k均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了
消除27.1%的污染物，则需要___________小时.
【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用.
14．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值．
15．若复数
34
sin(cos)i
55
zαα
=-+-是纯虚数，则tanα的值为.
【命题意图】本题考查复数的相关概念，同角三角函数间的关系，意在考查基本运算能力．
16．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN=m．
17．设R
m∈，实数x，y满足
2360
3260
y m
x y
x y
≥
⎧
⎪
-+
≥
⎨
⎪--≤
⎩
，若18
2≤
+y
x，则实数m的取值范围是___________．
【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力．
18．如图，在棱长为的正方体
1111
D
ABC A B C D
-中，点,E F分别是棱
1
,
BC CC的中点,P是侧
面
11
BCC B内一点，若
1
AP平行于平面AEF,则线段
1
A P长度的取值范围是_________.
三、解答题
19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．
20．已知函数f（x）=x3+2bx2+cx﹣2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x﹣10．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=f（x）+mx，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g（x）取得极值时对应的自变量x的值．
21．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
（Ⅰ）当0≤x ≤200时，求函数v （x ）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f （x ）=x •v （x ）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．
22．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】设函数()1
ln 1f x a x x
=+
-． （1）当2a =时，求函数()f x 在点()()
11f ，
处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；
（3）当102a <<时，求证：对任意1+2x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，，都有1e x a
a x +⎛⎫
+< ⎪
⎝⎭
．
23．（本小题满分12分）
设函数()()2741201x x f x a a a --=->≠且.
（1）当a=时，求不等式()0
f x<的解集；
（2）当[]
f x<恒成立，求实数的取值范围．
x∈，时，()0
01
24．为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名
55
95%的把握认为“歌迷”与性别有关？
“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌
3.841 6.635
附：K2=．
扬中市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：由题意，0.06×5+x×0.1=0.5，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数是12．故选：C．
2．【答案】C
【解析】解：第一次循环第二次循环得到的结果第三次循环得到的结果
第四次循环得到的结果
…
所以S是以4为周期的，而由框图知当k=2011时输出S
∵2011=502×4+3
所以输出的S是
故选C
3．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序，可得
a=2，n=1
执行循环体，a=，n=3
满足条件n≤2016，执行循环体，a=﹣1，n=5
满足条件n≤2016，执行循环体，a=2，n=7
满足条件n≤2016，执行循环体，a=，n=9
…
由于2015=3×671+2，可得：
n=2015，满足条件n≤2016，执行循环体，a=，n=2017
不满足条件n≤2016，退出循环，输出a的值为．
故选：B．
4．【答案】B
【解析】解：∵函数y=f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，
∴f（π）=f（6﹣π），f（5）=f（1），
∵f（6﹣π）＜f（2）＜f（1），
∴f（π）＜f（2）＜f（5）
故选：B
【点评】本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数的单调性和函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
5．【答案】A
【解析】解：椭圆的焦点为（±4，0），
由双曲线的焦点与椭圆的重合，可得=4，解得m=12．
故选：A．
6．【答案】C
【解析】解：设g（x）=xe x，y=mx﹣m，
由题设原不等式有唯一整数解，
即g（x）=xe x在直线y=mx﹣m下方，
g′（x）=（x+1）e x，
g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，
故g（x）min=g（﹣1）=﹣，y=mx﹣m恒过定点P（1，0），
结合函数图象得K PA≤m＜K PB，
即≤m＜，
，
故选：C．
【点评】本题考查了求函数的最值问题，考查数形结合思想，是一道中档题．
7． 【答案】A
【解析】解：∵0＜a ＜b 且a+b=1
∴
∴2b ＞1
∴2ab ﹣a=a （2b ﹣1）＞0，即2ab ＞a
又a 2+b 2﹣2ab=（a ﹣b ）2
＞0 ∴a 2+b 2
＞2ab
∴最大的一个数为a 2+b 2
故选A
8． 【答案】B 【解析】
试题分析：化简为标准形式()()1112
2
=-+-y x ，圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半
径，22
2
11=--=
d ，半径为1，所以距离的最大值是12+，故选B.
考点：直线与圆的位置关系 1 9． 【答案】 B
【解析】解：由函数图象可知：A=2，由于图象过点（0，），
可得：2sin φ=，即sin φ=
，由于|φ|＜
，
解得：φ=
，
即有：f （x ）=2sin （2x+）．
由2x+
=k π，k ∈Z 可解得：x=
，k ∈Z ，
故f （x ）的图象的对称中心是：（，0），k ∈Z
当k=0时，f （x ）的图象的对称中心是：（，0），
故选：B ．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．
10．【答案】A
【解析】解：以顶部抛物线顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，易得抛物线过点（3，
﹣1），其方程为y=﹣，那么正（主）视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积
S1==2=4，
下部分矩形面积S2=24，
故挖掘的总土方数为V=（S1+S2）h=28×20=560m3．
故选：A．
【点评】本题是对抛物线方程在实际生活中应用的考查，考查学生的计算能力，属于中档题．
11．【答案】A
【解析】解：由，得3x2﹣4x+8=0．
△=（﹣4）2﹣4×3×8=﹣80＜0．
所以直线4x+3y﹣8=0与抛物线y=﹣x2无交点．
设与直线4x+3y﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0
联立，得3x2﹣4x﹣m=0．
由△=（﹣4）2﹣4×3（﹣m）=16+12m=0，
得m=﹣．
所以与直线4x+3y﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x2相切的直线方程为4x+3y﹣=0．
所以抛物线y=﹣x2上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是=．
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是中档题．
12．【答案】B
【解析】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，
圆（x﹣2）2
+y2=2的圆心（2，0），半径为，
双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相切，
可得：
， 可得a 2
=b 2
，c=
a ，
e==．
故选：B ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．
二、填空题
13．【答案】15
【解析】由条件知5000.9e k
P P -=，所以5e 0.9k
-=.消除了27.1%的污染物后，废气中的污染物数量为00.729P ，
于是000.729e
kt P P -=，∴315e 0.7290.9e kt
k --===，所以15t =小时.
14．【答案】 5﹣4 ．
【解析】解：如图，圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A （2，﹣3），半径为1，圆C 2的圆心坐标（3，4），半径为3，
|PM|+|PN|的最小值为圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，
即：﹣4=5
﹣4．
故答案为：5
﹣4．
【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，考查两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．
15．【答案】34
-
【解析】由题意知3sin 05α-=，且4cos 05α-≠，所以4cos 5α=-，则3tan 4
α=-. 16．【答案】 150
【解析】解：在RT△ABC中，∠CAB=45°，BC=100m，所以AC=100m．
在△AMC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，从而∠AMC=45°，
由正弦定理得，，因此AM=100m．
在RT△MNA中，AM=100m，∠MAN=60°，由
得MN=100×=150m．
故答案为：150．
-.
17．【答案】[3,6]
【解析】
18．【答案】
⎣⎦
【解析】
考点：点、线、面的距离问题.
【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：
sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•（sinA﹣cosA﹣1）=0，
又，sinC≠0，
所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，
所以A=；
（2）S
△ABC=bcsinA=，所以bc=4，
a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，
即有，
解得b=c=2．
20．【答案】
【解析】解：（1）由已知，切点为（2，0），故有f（2）=0，
即4b+c+3=0．①
f′（x）=3x2+4bx+c，由已知，f′（2）=12+8b+c=5．
得8b+c+7=0．②
联立①、②，解得c=1，b=﹣1，
于是函数解析式为f（x）=x3﹣2x2+x﹣2．
（2）g（x）=x3﹣2x2+x﹣2+mx，
g′（x）=3x2﹣4x+1+，令g′（x）=0．
当函数有极值时，△≥0，方程3x2﹣4x+1+=0有实根，
由△=4（1﹣m）≥0，得m≤1．
①当m=1时，g′（x）=0有实根x=，在x=左右两侧均有g′（x）＞0，故函数g（x）无极值．
②当m＜1时，g′（x）=0有两个实根，
x1=（2﹣），x2=（2+），
x g′x g x
极大值
当x=（2﹣）时g （x ）有极大值；
当x=（2+
）时g （x ）有极小值．
【点评】本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ） 由题意：当0≤x ≤20时，v （x ）=60；当20＜x ≤200时，设v （x ）=ax+b
再由已知得
，解得
故函数v （x ）的表达式为．
（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得
当0≤x ＜20时，f （x ）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200
当20≤x ≤200时，
当且仅当x=200﹣x ，即x=100时，等号成立．
所以，当x=100时，f （x ）在区间（20，200]上取得最大值．
综上所述，当x=100时，f （x ）在区间[0，200]上取得最大值为
， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
答：（Ⅰ） 函数v （x ）的表达式
（Ⅱ） 当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
22．【答案】（1）10x y --=；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】试题分析：（1）当2a =时，求出导数易得()'11f =，即1k =，利用点斜式可得其切线方程；（2）
求得可得()21'ax f x x -=，分为0a ≤和0a >两种情形判断其单调性；（3）当1
02
a <<时，根据（2）可
得函数()f x 在()12，上单调递减，故()11a f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即ln 1a a a x x a
⎛⎫
+<
⎪+⎝⎭，化简可得所证结论. 试题解析：（1）当2a =时，
()12ln 1f x x x =+-，()112ln1101f =+-=，()221'f x x x =-，()221
'1111
f =-=，所以函数()f x 在点
()10，
处的切线方程为()011y x -=⨯-，即10x y --=． （2）()1ln 1f x a x x =+
-，定义域为()0+∞，，()2211
'a ax f x x x x
-=-=． ①当0a ≤时，()'0f x <，故函数()f x 在()0+∞，上单调递减； ②当0a >时，令()'0f x =，得1
x
= 综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0+∞，上单调递减；当0a >时，函数()f x 在10a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，上单调递减，在
1a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，上单调递增． （3）当102a <<时，由（2）可知，函数()f x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，显然，12a >，故()1120a ⎛⎫
⊆ ⎪⎝⎭
，，，
所以函数()f x 在()12，上单调递减，对任意1+2x ⎛⎫
∈∞ ⎪⎝⎭
，，都有01a x <<，所以112a x <+<．所以
()11a f f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即1ln 1101a a a x x ⎛⎫++
-< ⎪⎝⎭+，所以ln 1a
a a x x a ⎛⎫+< ⎪+⎝⎭，即1ln 1a x x a ⎛⎫+< ⎪+⎝⎭，所以()ln 11a x a x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，即ln 11x a
a x +⎛⎫
+<
⎪⎝⎭
，所以1e x a
a x +⎛⎫
+< ⎪
⎝⎭
．
23．【答案】（1）158⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭，；（2）()11128a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，，
． 【解析】
试题分析：（1）由于12
2a -==⇒()14127222x x ---<⇒()127412x x -<--⇒158
x <⇒原不等式的解集为158⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭，；（2）由()()27
41442
27lg241lg lg lg 0128x x a a x x a x a --<⇒-<-⇒+<．设()44lg lg 128a g x x a =+，
原命题转化为()()10
12800g a g <⎧⎪<<⎨<⎪⎩
⇒又0a >且1a ≠⇒()11128a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，，
．
考
点：1、函数与不等式；2、对数与指数运算.
【方法点晴】本题考查函数与不等式、对数与指数运算，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化高新，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力与能力，综合性较强，属于较难题型. 第一小题利用函数与
不等式思想和转化化归思想将原不等式转化为()127412x x -<--，解得15
8
x <；第二小题利用数学结合思想
和转化思想，将原命题转化为()()10
12800g a g <⎧⎪<⎨<⎪⎩ ，进而求得：()11128a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，，． 24．【答案】
100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：
…
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：
K2==≈3.030
因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关．…
（Ⅱ）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}其中a i表示男性，i=1，2，3，b i表示女性，i=1，2．
Ω由10个等可能的基本事件组成．…
用A表示“任选2人中，至少有1个是女性”这一事件，则A={（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，事件A由7个基本事件组成．
∴P（A）= (12)
【点评】本题考查独立性检验的运用及频率分布直方图的性质，列举法计算事件发生的概率，涉及到的知识点较多，有一定的综合性，难度不大，是高考中的易考题型．。