2021-2022学年广东省潮州市高二上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年广东省潮州市高二上学期期末数学试题
一、单选题
1．函数()ln f x x =在x e =处的导数等于（ ） A ．0 B ．1e
C ．1
D ．e
【答案】B
【分析】利用导数公式求解. 【详解】因为函数()ln f x x =， 所以1()f x x
'=， 所以1()f e e
'=， 故选；B
2．直线2310x y ++=在y 轴上的截距为（ ） A ．12
B ．12-
C ．13
D ．13
-
【答案】D
【分析】将0x =代入直线方程求y 值即可. 【详解】令0x =，则20310y ⨯++=，得1
3
y =-.
所以直线在y 轴上的截距为1
3-.
故选：D
3．现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重（ ）斤 A ．6 B ．7 C ．9 D ．15
【答案】D
【分析】设该等差数列为{}n a ，其公差为d ，根据题意和等差数列的性质可得1
2
d =-，
进而求出结果.
【详解】设该等差数列为{}n a ，其公差为d ， 由题意知，1542a a ==，， 由514a a d =+，解得1
2
d =-，
所以1234511
5105410()152a a a a a a d ++++=+=⨯+⨯-=.
故选：D
4．已知函数()y f x =的定义域为(),a b ，导函数()y f x ='在(),a b 内的图象如图所示，则函数()y f x =在(),a b 内的极小值有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】A
【分析】由导函数图象，结合极值点两侧导函数值符号的变化规律，判断极小值个数. 【详解】因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正， 由图得：导函数值先负后正的点有1个．
所以函数()f x 在区间(,)a b 内极小值点的个数是1． 故选：A ．
5．已知数列{}n a 是等比数列，且353a a +=，则2244462a a a a a ++的值为（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．36
【答案】C
【分析】应用等比中项的性质有2244422
3355622a a a a a a a a a =++++，结合已知求值即可.
【详解】由等比数列的性质知：2243a a a =，2
435a a a =，2465a a a =，
所以2222
335532445462()2a a a a a a a a a a a =++=+++，又353a a +=，
所以2
2444692a a a a a ++=.
故选：C
6．圆22(1)(2)9x y ++-=关于直线0x y -=对称的圆的标准方程是（ ） A ．22(2)(1)9x y ++-= B ．22(2)(1)3x y -++= C ．22(2)(1)3x y ++-= D ．22(2)(1)9x y -++=
【答案】D
【分析】先根据圆的标准方程得到圆的圆心和半径，求出圆心关于直线0x y -=的对称点，进而写出圆的标准方程.
【详解】因为圆22(1)(2)9x y ++-=的圆心为(1,2)-，半径为3，
且(1,2)-关于直线0x y -=对称的点为(2,1)-， 所以所求圆的圆心为(2,1)-、半径为3， 即所求圆的标准方程为22(2)(1)9x y -++=. 故选：D. 7．函数y=lnx
x
的最大值为 A ．e -1 B ．e C ．e 2 D ．
103
【答案】A
【详解】221
1y x lnx
lnx x
x x --==
',所以函数在()0e ，上递增，在(),e ∞+上递减，所以函数的最大值为x e =时，y=1
e
=1e -
故选A
点睛：研究函数最值主要根据导数研究函数的单调性，找到最值，分式求导公式要记熟
8．已知点F 是双曲线22
221x y a b -=的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于
x 轴的直线与双曲线交于G ､H 两点，若GHE △是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．(1,2) C
．(2,1 D ．(1,12)
【答案】B
【分析】根据GHE △是等腰三角形且为锐角三角形，得到GF EF <，即2
b a
c a
<+，
解得离心率范围.
【详解】(),0F c -，当x c =-时，22221c y
a b -=，2b y a =±，不妨取2,b G c a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，2,b H c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， GHE △是等腰三角形且为锐角三角形，则π
4
GEF ∠<
，即GF EF <， 2
b a
c a
<+，即222c a ac <+，220e e --<，解得12e -<<，故12e <<. 故选：B. 二、多选题
9．已知向量()1,1,0a =，则与a 共线的单位向量e =（ ） A
．22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
B ．()0,1,0
C
．22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
D ．()1,1,0--
【答案】AC
【分析】根据共线向量的坐标表示逐一代入验证即可.
【详解】对A ，存在实数λ=()1,1,0⎫=⎪⎪⎭
，且
1⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，正确； 对B ，不存在实数λ，使()()1,1,00,1,0λ=，错误；
对C ，存在实数λ=()1,1,0⎫=⎪⎪⎭
，且1⎫⎪⎪⎝⎭，正确；
对D ，()1,1,0--=. 故选：AC.
【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，考查模的坐标表示，是基础题.
10．数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，其第k 项满足59k a <<，则k 的值可以为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6
【答案】AB
【分析】利用,n n a S 的关系求通项公式，结合题设不等式求k 值. 【详解】当1n =时，118a S ==-；
当2n ≥时，212
9[(1)9(1)]210n n n a S n n n n n S -==----=---；
18a =-也满足210n a n =-，
所以{}n a 的通项公式为210n a n =-， 由59k a <<，则52109k <-<，得1519
22
k <<，又*N k ∈，故8k 或9. 故选：AB
11．方程22
141
x y k k +=--表示的曲线为C ，下列正确的命题是（ ）
A ．曲线C 可以是圆
B ．若14k <<，则曲线
C 为椭圆 C ．若曲线C 为双曲线，则1k <或4k >
D ．若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，
则5
12
k <<
【答案】ACD
【分析】根据方程的特点，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程判断.
【详解】A. 若曲线C 是圆，则410k k -=->，解得5
2
k =
，故正确； B.若曲线C 为椭圆，则401041
k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩ ，解得14k <<且 5
2k ≠，故错误；
C. 若曲线C 为双曲线，则()()410k k --<，解得1k <或4k >，故正确；
D.若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则40
1041
k k k k ->⎧⎪
->⎨⎪->-⎩
，解得512k <<，故正确；
故选：ACD
12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A ．()
()
2
2
12AA AB AD
AC ++=
B ．()
10AC AB AD ⋅-=
C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60°
D ．1BD 与AC 6
【答案】AB
【解析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断. 【详解】以顶点A 为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°， 可设棱长为1,则111
11cos602
AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=
(
)
2222
1111=+2+2+2AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ++++⋅⋅⋅
1
1113262
=+++⨯⨯=
而()
()
(
)
2
2
22
2222AC
AB AD AB AD AB AD =+=++⋅
121122362⎛
⎫=++⨯=⨯= ⎪⎝
⎭， 所以A 正确.
(
)()()
11AC AB AD AA AB AD AB AD ⋅-⋅=++-
22
11AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅- =0,所以B 正确. 向量11B C A D =,
显然1AA D △ 为等边三角形，则160AA D ∠=︒.
所以向量1A D 与1AA 的夹角是120︒ ,向量1B C 与1AA 的夹角是120︒,则C 不正确 又11=AD AA BD AB +-，AC AB AD =+ 则()
2
11||=2AD AA A B B D =
+-(
)
2
||=3AC AB AD =
+(
)()
111AD AA AB BD AC AB AD ⋅=+-=
+⋅
所以111cos ==||||2BD AC BD AC BD AC ⋅⋅，D 不正确.
故选：AB
【点睛】本题考查空间向量的运算，用向量求夹角等，属于中档题. 三、填空题
13．已知空间向量(4,2,6),(2,1,)a b x =-=-，则使a b ⊥成立的x 的值为___________． 【答案】532
13
【分析】利用空间向量垂直的坐标表示列方程求参数x 的值.
【详解】由题设，4(2)(2)166100a b x x ⋅=⨯-+-⨯+=-=，可得5
3x =.
故答案为：5
3
.
14．银行一年定期的存款的利率为p ，如果将a 元存入银行一年定期，到期后将本利再存一年定期，到期后再存一年定期……，则10年后到期本利共________元． 【答案】()10
1a p +
【分析】根据题意求出每年底的本利和，归纳即可. 【详解】由题意知，
第一年本利和为：(1)a p +元，
第二年本利和为：2(1)(1)(1)a p p a p ++=+元， 第三年本利和为：23(1)(1)(1)a p p a p ++=+元， 以此类推，
第十年本利和为：10(1)a p +元， 故答案为：10(1)a p +
15．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一条
直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中ABC 各顶点的坐标分别为()0,0A ，()8,0B ，()0,6C ，则其“欧拉线”的方程为___________. 【答案】340x y -=
【分析】由题意知ABC 是直角三角形，即可写出垂心、外心的坐标，进而可得“欧拉线”的方程.
【详解】由题设知：ABC 是直角三角形，则垂心为直角顶点(0,0)A ，外心为斜边BC 的中点(4,3)M ，
∴“欧拉线”的方程为340x y -=. 故答案为：340x y -=.
16．抛物线22(0)y ax a =>上一点3,4A m ⎛⎫
⎪⎝⎭
到其焦点F 的距离为1，则a 的值为______．
【答案】1
2
【分析】将抛物线方程化为标准方程，利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再利用点到直线的距离公式进行求解.
【详解】将抛物线22(0)y ax a =>化为2
1
(0)2x y a a
=
>， 由抛物线定义得点3,4A m ⎛⎫
⎪⎝⎭
到准线1:8l y a =-的距离为1，
即31
148a
+
=，解得12a =． 故答案为：1
2. 四、解答题
17．设函数3()3f x x x =-． (1)求(0)f '的值； (2)求()f x 的极大值． 【答案】(1)-3 (2)2
【分析】（1）利用导数公式和法则求解；
（2）令2()330f x x '=-=，利用极大值的定义求解. 【详解】(1)解：因为函数3()3f x x x =-， 所以2()33f x x '=-， 所以2(0)3033f '=⨯-=-；
(2)令2()330f x x '=-=，得1x =±， 当1x <-或1x >时，()0f x '>， 当11x -<<时，()0f x '<，
所以当1x =-时，()f x 取得极大值2.
18．己知圆22:(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=． (1)求证：对R m ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点； (2)当2m =时，求直线l 被圆C 截得的弦长． 【答案】(1)证明见解析；
. 【分析】（1）由直线过定点(1,1)A ，只需判断定点在圆内部，即可证结论.
（2）由点线距离公式求弦心距，再利用半径、弦心距、弦长的几何关系求弦长即可. 【详解】(1)直线:10l mx y m -+-=恒过定点(1,1)A ，又()2
211115+-=<， 所以点(1,1)A 在圆22:(1)5C x y +-=的内部， 所以直线l 与圆C 总有两个不同的交点，得证.
(2)由题设，:210l x y --=，又22:(1)5C x y +-=的圆心为(0,1)，半径为r = 所以(0,1)到直线l 的距离
d ==，
所以所求弦长为=
19．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且4120,2S a ==． (1)求通项公式n a ； (2)记1
n n
b S =
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】(1)2n a n =； (2)1
n n T n =
+. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件求d ，利用等差数列的通项公式可求得数列{}n a 的通项公式. （2）求得11
1
n b n n =
-+，利用裂项相消法即可求得n T . 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由14468620S a d d =+=+=，解得2d =，
所以()112n a a n d n =+-=，故数列{}n a 的通项公式2n a n =； (2)由（1）得：()1n S n n =+， 所以()111111
n n b S n n n n =
==-++， 所以111111
111122334111n n n n n n T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=-+-+-+
+-=-
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 20．如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，//BC AD ，1AB BC ==，
2AD =，3AP =.
(1)证明：平面PCD ⊥平面P AC ； (2)求平面PCD 与平面P AB 夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 322
【分析】（1）过点C 作CH AD ⊥于点H ，由平面几何知识证明AC CD ⊥，然后由线面垂直的性质得线线垂直，从而得线面垂直，然后可得面面垂直； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角． 【详解】(1)在梯形ABCD 中，过点C 作CH AD ⊥于点H .
由AB BC ⊥，BC AD ∥，1AB BC ==，2AD =，可知1CH AB ==，1AH HD ==，
222AC AB BC =+，222CD CH HD +=所以2224AC CD AD +=+，即AC CD ⊥，①
因为AP ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD AP ⊥，② 由①②及AC
AP A =，,AC CP ⊂平面P AC ，得CD ⊥平面P AC .
又由CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面P AC .
(2)因为AB ，AD ，AP 两两垂直，所以以A 为原点，以AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，可得A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，1，
0），D （0，2，0），P （0，0，3），()1,1,3PC =-，()0,2,3PD -. 设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，
则30230n PC x y z n PD y z ⎧⋅=+-=⎨⋅=-=⎩，取3y =，则2z =，3x =，则()3,3,2n =. 平面P AB 的一个法向量为()0,2,0AD =， 所以6322
cos ,22222
AD n AD n AD n
⋅<>=
=
=⋅， 所以平面PCD 与平面P AB 所成的锐二面角的余弦值为
322
22
.
21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点为()0,2，且2
e =（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线y kx m =+与椭圆C 相切于点M ，与直线0x x =相交于点N .已知点()2,0P -，且PM PN ⊥，求此时0x 的值. 【答案】（1）
2
2
18
4
x y +
=；（2）04x =-.
【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合代入法进行求解即可；
（2）根据直线与椭圆的位置关系求出M 点的坐标，结合平面向量垂直的性质进行求解即可.
【详解】（1）由已知得，222222
42
c a c e a b b ⎧⎧===⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩
，而222a c b -=，解得2
284a b ⎧=⎨=⎩， 椭圆E 的方程为
2
2
18
4
x y +
=；
（2）设直线方程为y kx m =+ 代入2
2
184x y +=得()2
228x kx m ++=， 化简得()222214280k x kmx m +++-=
由()()()
2224421280km k m ∆=-+-=， 得22840k m +-=，2284m k =+，
22821km k x k m
--==+ 设()00,M x y ，则08k x m -=，2200884k m k y kx m k m m m m
--=+=⋅+==， 则84,k M m m -⎛⎫ ⎪⎝
⎭ 设()00,N x y ，则00y kx m =+，则()00,N x kx m +，
所以在x 轴存在()2,0P -使MP NP ⊥.
()002,PN x kx m =++，842,k PM m
m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()()0084220k PM PN x kx m m m -⎛⎫⋅=++++= ⎪⎝⎭
00416280kx k x m m ∴--++=
()0816424m k x m k
--∴=
=--，所以在04x =-. 22．已知函数1()ln (R)a h x x a x a x +=-+∈． (1)求函数()h x 的单调区间；
(2)函数()h x 在区间[1,e]上的最小值小于零，求a 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析； (2)2e 1(,2)(,)e 1
+-∞-⋃+∞-. 【分析】（1）对()h x 求导并求定义域，讨论10a +≤、10a +>分别判断()h x '的符号，进而确定单调区间.
（2）由题设，结合（1）所得的单调性，讨论11a +≤、
11e a <+<、1e a +≥分别确定()h x 在给定区间上的最小值，根据最小值小于零求参数a 的范围.
【详解】(1)由题设，2222
1(1)[(1)](1)()1a a x ax a x a x h x x x x x +--+-++'=--==且定义域为(0,)+∞，
当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>，即()h x 在(0,)+∞上递增；
当10a +>，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>，所以()h x 在(0,1)a +上递减，在(1,)a ++∞上递增；
(2)由（1）知：
若11a +≤，即0a ≤时，则()h x 在[1,e]上递增，故min ()(1)20h x h a ==+<，可得2a <-；
若11e a <+<，即0e 1a <<-时，则()h x 在(1,1)a +上递减，在(1,e)a +上递增，故min ()(1)2[1ln(1)]2h x h a a a =+=+-+>，不合题设；
若1e a +≥，即e 1a ≥-时，则()h x 在[1,e]上递减，故min 1()(e)e 0e
a h x h a +==-+
<，得2e 1e 1e 1
a +>>--； 综上，a 的取值范围2e 1(,2)(,)e 1+-∞-⋃+∞-.。