人教B版高中数学必修四高三一轮基础巩固(新)第4章第6节正弦定理和余弦定理(含解析).doc

高中数学学习材料
唐玲出品
【走向高考】2016届 高三数学一轮基础巩固 第4章 第6节 正弦定
理和余弦定理 新人教B 版
一、选择题
1．(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，则角A 的取值范围是( )
A.⎝
⎛⎭
⎫0，π4 B ．⎝
⎛⎭
⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 D ．⎝⎛⎭
⎫π4，π3 [答案] A
[解析] 由条件知bsinA<a ，即22sinA<2，∴sinA<22， ∵a<b ，∴A<B ，∴A 为锐角，∴0<A<π
4.
(理)在△ABC 中，已知A ＝60°，b ＝43，为使此三角形只有一解，a 满足的条件是( ) A ．0<a<43 B ．a ＝6
C ．a≥43或a ＝6
D ．0<a≤43或a ＝6 [答案] C
[解析] ∵b·sinA ＝43·sin60°＝6，
∴要使△ABC 只有一解，应满足a ＝6或a≥4 3. 如图
顶点B 可以是B1、B2或B3. 2．(2014·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( ) A ．(2，3) B ．(1，3) C ．(2，2) D ．(0,2) [答案] A
[解析] 由a sinA ＝b sinB ＝b sin2A ，则b ＝2cosA.π2<A ＋B ＝3A<π，从而π6<A<π3，又B ＝2A<π
2， 所以A<π4，所以有π6<A<π4，22<cosA<3
2，所以2<b< 3.
3．(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c.若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a ＞b B ．a ＜b
C ．a ＝b
D ．a 与b 的大小关系不能确定 [答案] A
[解析] ∵∠C ＝120°，c ＝2a ，c2＝a2＋b2－2abcosC ∴a2－b2＝ab ，
又∵a>0，b>0，∴a －b ＝ab
a ＋b
>0，所以a>b.
(理)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c.若a2－b2＝3bc ，sinC ＝23sinB ，则A ＝( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150° [答案] A
[解析] 由sinC ＝23sinB 可得c ＝23b ，
由余弦定理得cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝－3bc ＋c22bc ＝－3b ＋c 2b ＝3
2，于是A ＝30°.
4．(2014·东北三省三校二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sinA sinC ＋sinB ，
则B ＝( ) A.π6 B ．π4 C.π3 D ．3π4 [答案] C
[解析] ∵c －b c －a ＝sinA sinC ＋sinB ＝a
c ＋b ，∴c2－b2＝ac －a2，∴a2＋c2－b2＝ac ，∴2accosB ＝ac ，
∴cosB ＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π
3.
5．(2014·大城一中月考)在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →
|＝3，则△ABC 面积的最大值为( ) A.21 B ．3214 C.212
D ．321
[答案] B
[解析] 设角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，∵AC →·AB →＝|AC →－AB →
|＝3，∴bccosA ＝a ＝3.又cosA ＝
b2＋c2－a22bc ≥1－92bc ＝1－3cosA 2，∴cosA≥25，∴0<sin A≤215，∴△ABC 的面积S ＝1
2bcsinA
＝32tanA≤32×212＝3214，故△ABC 面积的最大值为321
4.
6．(文)(2013·青岛模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( ) A. 2 B ． 3 C.32
D ．2
[答案] C
[解析] 由角A ，B ，C 依次成等差数列，得A ＋C ＝2B ，解得B ＝π
3.由余弦定理得(3)2＝1＋c2－2ccos π3，解得c ＝2或c ＝－1(舍去)．于是，S △ABC ＝12acsinB ＝12×1×2sin π3＝3
2.
(理)(2013·浙江宁波十校联考)在△ABC 中，a2tanB ＝b2tanA ，则角A 与角B 的关系是( ) A ．A ＝B B ．A ＋B ＝90°
C ．A ＝B 或A ＋B ＝90°
D ．A ＝B 且A ＋B ＝90° [答案] C
[解析] 由已知条件a2tanB ＝b2tanA ⇒sin2A ＝sin2B ，因为A ，B 为三角形内角，所以有2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°，即A ＝B 或A ＋B ＝90°. 二、填空题 7．(2014·弋阳一中月考)在直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A(－1,0)，C(1,0)，顶点B 在椭圆x24＋y2
3＝1上，则sinA ＋sinC sinB 的值为________． [答案] 2
[解析] 由题意知△ABC 中，AC ＝2，BA ＋BC ＝4， 由正弦定理得sinA ＋sinC sinB ＝BC ＋BA
AC ＝2.
8．(2014·江西四校联考)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知c ＝3，C ＝π
3，a ＝2b ，则b 的值为________． [答案]
3
[解析] 依题意及余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC ，即9＝(2b)2＋b2－2×2b×bcos π
3，解得b2＝3，∴b ＝ 3.
9．(文)在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值范围是________． [答案] 3<c< 5
[解析] 边c 最长时(c≥2)， cosC ＝a2＋b2－c22ab ＝1＋4－c22×1×2>0， ∴c2<5.∴2≤c< 5.
边b 最长时(c<2)，cosB ＝a2＋c2－b22ac ＝1＋c2－4
2c >0， ∴c2>3.∴3<c<2. 综上，3<c< 5.
(理)在△ABC 中，C ＝60°，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，则a b ＋c ＋b
c ＋a ＝________.
[答案] 1
[解析] ∵C ＝60°，∴a2＋b2－c2＝ab ， ∴(a2＋ac)＋(b2＋bc)＝(b ＋c)(a ＋c)，
∴a b ＋c ＋b a ＋c
＝1. 三、解答题 10．(文)(2014·安徽理)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c 且b ＝3，c ＝1，A ＝2B.
(1)求a 的值； (2)求sin(A ＋π
4)的值． [解析] (1)因为A ＝2B ，
所以sinA ＝sin2B ＝2sinBcosB ， 由正、余弦定理得a ＝2b·a2＋c2－b2
2ac ， 因为b ＝3，c ＝1， 所以a2＝12，a ＝2 3.
(2)由余弦定理得cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝9＋1－126＝－13， 由于0<A<π，所以sinA ＝1－cos2A ＝1－19＝223，
故sin(A ＋π4)＝sinAcos π4＋cosAsin π4 ＝223×22＋(－13)×22＝4－26.
(理)(2014·陕西理)△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c. (1)若a 、b 、c 成等差数列，证明：sinA ＋sinC ＝2sin(A ＋C)； (2)若a 、b 、c 成等比数列，求cosB 的最小值. [解析] (1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ， 由正弦定理得sinA ＋sinC ＝2sinB. ∵sinB ＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C)， ∴sinA ＋sinC ＝2sin(A ＋C)．
(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b2＝ac ，
由余弦定理得cosB ＝a2＋c2－b22ac ＝a2＋c2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝1
2，当且仅当a ＝c 时，等号成立． ∴cosB 的最小值为12.
一、选择题
11．(文)(2013·呼和浩特第一次统考)在△ABC 中，如果sinA ＝3sinC ，B ＝30°，角B 所对的边长b ＝2，则△ABC 的面积为( ) A ．4 B ．1 C.3 D ．2
[答案] C
[解析] 据正弦定理将角化边得a ＝3c ，再由余弦定理得c2＋(3c)2－23c2cos30°＝4，解得
c ＝2，故S △ABC ＝1
2×2×23×sin30°＝ 3.
(理)(2013·浙江金丽衢十二校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 所对的边，且b2＋c2＝a2＋3bc ，则2sinBcosC －sin(B －C)的值为( ) A.33 B ．32 C.22
D ．12
[答案] D
[解析] 利用余弦定理，得cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝3bc 2bc ＝32，又A ∈(0，π)，所以A ＝π
6，B ＋C ＝5π6，
所以2sinBcosC －sin(B －C)＝sinBcosC ＋cosBsinC ＝sin(B ＋C)＝1
2.
12．(2013·浙江五校第二次联考)若△ABC 的内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，∠B ＝45°，S △ABC ＝2，则b ＝( ) A ．5 B ．25 C.41 D ．5 2 [答案] A
[解析] 解法1：由S △ABC ＝1
2acsin45°＝2⇒c ＝42， 再由余弦定理可得b ＝5.
解法2：作三角形ABC 中AB 边上的高CD ， 在Rt △BDC 中求得高CD ＝2
2，结合面积求得 AB ＝42，AD ＝72
2，从而b ＝AD2＋CD2＝5.
13．(2014·长春市调研)△ABC 各角的对应边分别为a ，b ，c ，满足b a ＋c ＋c
a ＋
b ≥1，则角A 的取
值范围是( ) A ．(0，π
3] B ．(0，π
6] C ．[π
3，π) D ．[π
6，π)
[答案] A
[解析] 由b a ＋c ＋c
a ＋
b ≥1得：b(a ＋b)＋c(a ＋c)≥(a ＋c)(a ＋b)，化简得：b2＋c2－a2≥b
c ，同除
以2bc 得，b2＋c2－a22bc ≥12，即cosA≥12，因为0<A<π，所以0<A ≤π
3，故选A. 14．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值为( ) A ．2 2 B ．32 C.23
D ．3 2
[答案] A
[解析] 设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式得S △ABC ＝1
2×AB×BCsinB ＝x 1－cos2B ①，根据余弦定理得cosB ＝AB2＋BC2－AC22AB·BC ＝4＋x2－2x24x ＝4－x2
4x ②，将②代入①得，S △ABC ＝x
1－4－x2
4x
2＝
128－x2－122
16，由三角形的三边关系得⎩⎨⎧
2x ＋x>2x ＋2>2x
，解得22－2<x<22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值22，故选A.
二、填空题 15．(文)(2014·河南名校联考)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b)2－c2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为________． [答案] 4
3
[解析] ∵(a ＋b)2－c2＝4，∴a2＋b2－c2＝4－2ab ＝2abcos60°，∴ab ＝4
3.
(理)(2014·衡水中学5月模拟)在△ABC 中，P 是BC 边中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cAC →＋aPA →＋bPB →
＝0，则△ABC 的形状为________． [答案] 等边三角形
[解析] ∵cAC →＋aPA →＋bPB →＝0，∴(a －c)PA →＋bPB →＋cPC →＝0，∵P 为BC 的中点，∴PB →＝－PC →
，∴(a －c)PA →＋(b －c)PB →＝0，∵PA →与PB →
不共线，∴a －c ＝0，b －c ＝0， ∴a ＝b ＝c.
16．(2014·吉林九校联合体联考)在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，AB 边上的高为4
3，则AC ＋BC ＝________. [答案]
11
[解析] 由条件12×3×43＝12AC·BC·sin60°， ∴AC·BC ＝83，
由余弦定理知AC2＋BC2－3＝2AC·BC·cos60°， ∴AC2＋BC2＝3＋AC·BC ，
∴(AC ＋BC)2＝AC2＋BC2＋2AC·BC ＝3＋3AC·BC ＝11，∴AC ＋BC ＝11. 三、解答题
17．(文)(2014·浙江理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a≠b ，c ＝3，cos2A －cos2B ＝3sinAcosA －3sinBcosB. (1)求角C 的大小；
(2)若sinA ＝4
5，求△ABC 的面积．
[解析] (1)由已知cos2A －cos2B ＝3sinAcosA －3sinBcosB 得． 12(1＋cos2A)－12(1＋cos2B)＝32sin2A －32sin2B ， ∴12cos2A －32sin2A ＝12cos2B －3
2sin2B ， 即sin(－π6＋2A)＝sin(－π
6＋2B)，
∴－π6＋2A ＝－π6＋2B 或－π6＋2A －π
6＋2B ＝π， 即A ＝B 或A ＋B ＝2π
3， ∵a≠b ，∴A ＋B ＝2π3，∴∠C ＝π
3. (2)由(1)知sinC ＝32，cosC ＝1
2，
∴sinB ＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ＝33＋4
10 由正弦定理得：a sinA ＝c
sinC ， 又∵c ＝3，sinA ＝45.∴a ＝8
5. ∴S △ABC ＝1
2acsinB ＝18＋8325.
(理)(2015·沈阳市东北育才学校一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝3π4，sinA ＝55. (1)求sinB 的值；
(2)若c －a ＝5－10，求△ABC 的面积． [解析] (1)因为C ＝3π4，sinA ＝5
5， 所以cosA ＝1－sin2A ＝25
5， 由已知得B ＝π
4－A.
所以sinB ＝sin(π4－A)＝sin π4cosA －cos π
4sinA
＝22·255－22·55＝1010.
(2)由(1)知C ＝3π4，所以sinC ＝22且sinB ＝10
10. 由正弦定理得a c ＝sinA sinC ＝10
5.
又因为c －a ＝5－10，所以c ＝5，a ＝10. 所以S △ABC ＝12acsinB ＝12×10×5×1010＝5
2.
18．(文)(2014·广东五校协作体第二次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 是△ABC 的面积．
若a ＝(2cosB,1)，b ＝(－1,1)，且a ∥b. (1)求tanB ＋sinB 的值；
(2)若a ＝8，S ＝83，求tanA 的值．
[解析] (1)∵a ∥b ，∴2cosB ＝－1，cosB ＝－1
2. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝2π
3， ∴tanB ＋sinB ＝－3＋32＝－3
2. (2)S ＝1
2acsinB ＝23c ＝83，∴c ＝4.
方法一：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB ＝112， ∴b ＝47.
再由余弦定理得cosA ＝27
7. ∵A 为锐角，∴tanA ＝3
2.
方法二：由正弦定理得sinA ＝2sinC. ∵B ＝2π3，∴A ＋C ＝π3，∴C ＝π
3－A.
∴sinA ＝2sin(π
3－A)，即sinA ＝3cosA －sinA. ∴3cosA ＝2sinA ，∴tanA ＝3
2.
(理)(2014·福建莆田一中月考)已知a ＝(2cosx ＋23sinx,1)，b ＝(y ，cosx)，且a ∥b. (1)将y 表示成x 的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期；
(2)记f(x)的最大值为M ，a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若f(A
2)＝M ，且a ＝2，求bc 的最大值．
[解析] (1)由a ∥b 得2cos2x ＋23sinxcosx －y ＝0， 即y ＝2cos2x ＋23sinxcosx ＝cos2x ＋3sin2x ＋1
＝2sin(2x ＋π
6)＋1，
所以f(x)＝2sin(2x ＋π
6)＋1.
又T ＝2πω＝2π
2＝π，所以函数f(x)的最小正周期为π. (2)由(1)易得M ＝3，
于是由f(A 2)＝M ＝3，即2sin(A ＋π6)＋1＝3，得sin(A ＋π
6)＝1， 因为A 为三角形的内角，故A ＝π
3.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA 得4＝b2＋c2－bc≥2bc －bc ＝bc ，解得bc≤4，当且仅当b ＝c ＝2时，bc 取最大值4.。