(优选)2019年高中数学第四章导数及其应用4.4生活中的优化问题举例当堂检测湘教版选修2-2

4.4 生活中的优化问题举例
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单
位：℃)为f (x )＝13
x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是 ( )
A ．8 B.203
C ．－1
D ．－8 答案 C
解析 原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以
当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时底面边长为
( ) A.3V B.32V C.34V D ．23V
答案 C
解析 设底面边长为x ，则表面积S ＝
32x 2＋43x V (x >0)． ∴S ′＝3x 2(x 3－4V )．令S ′＝0，得x ＝34V .
3. 在边长为60 cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把
它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多
少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
解 设箱底边长为x cm ，则箱高h ＝60－x 2
cm ，箱子容积V (x )＝x 2h ＝60x 2－x 3
2(0＜x ＜60)． V ′(x )＝60x －32x 2令V ′(x )＝60x －32x 2＝0，
解得x ＝0(舍去)或x ＝40，并求得V (40)＝16 000.
由题意知，当x 过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值． 答 当x ＝40 cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm 3.
4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的
函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380
x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解 当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x
小时，设耗油量为h (x )升， 依题意得h (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)， h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)． 令h ′(x )＝0，得x ＝80.
因为x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数，
所以当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25(升)．
因为h (x )在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．
答 汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
1．解有关函数最大值、最小值的实际问题，在分析问题中的各个变量之间的关系的基础上，列出合乎题意的函数关系式，并确定函数的定义域．注意所求得的结果一定符合问题的实际意义．
2．利用导数解决生活中的优化问题时，有时会遇到在定义域内只有一个点使f ′(x )＝0，如果函数在该点取得极大(小)值，极值就是函数的最大(小)值，因此在求有关实际问题的最值时，一般不考虑端点．。