立足新课程 探讨不等式的证明规律

方法 ① 比较法 ； 综合法 ； 构造函数法 ； ② ③ ④ 排序不等式 ； 柯西不等式． ⑤ 证明 ① 比较法（ 见教科书 １ ） ② 用综合法证明如下 ： 因为 ０ 一ａ ｂ＋ｂ ＞ａ ， 因为 ａ＋ｂ＞０ ｂ又 ，
所以０ ＋ｂ 。＞ａ （ ｂ ０＋ｂ ， 以 ａ ）所 ＋ｂ ２ ＞ ｂ＋
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中学数学杂志 ２ １ 年第 ７ ００ 期
立足 新 课 程 探 讨 不等 式 的证 明规 律
（ 对教材选修４— 不等式的证明一章的研究） ５
长 沙市一 中 赵 意扬
证明不等式没有 固定 的程序 ， 证法因题 而异 ， 灵活多样． 一个不等式的证法 ， 往往不止一种 ， 一个
键是善于正确灵 活地掌握基本不 等式 ａ＋ｂ≥ ２
６ ｎ ｂ＞０ ， （， ） 它促 使 和与积 的转化 ， 这样 很 容易 得到所 要证 的不等式 ．
侈 ａ ｂ ｃ∈ Ｒ ， ａ＋ｂ＋ｃ＝１ ９ ， ， １ 且 ．
同理可知 ｃ ａ ａ＋ ｂ≥２ ， ＋ａ ｂ ｃ ｂ≥２ ６ √．
因为 ａ ｂＣ不全 相 等 ， 以上述 三 个 不 等式 中 ，， 所 的“＝”号不 能 同时成立．
所以 ２ ６ ＋ｃ （ｃ ａ＋０ ）＞２ √ ＋√ √ ） ６ （ｌ ０＋ ６ ， ｃ ｂ ＋ｃ ｃ ｎ＋ａ ｂ＞０ ０ ０ ８＋ ｂ＋ ｃ
因此 ＋丁 ＋ １ ＞ ＋ ＋
＝
于是有— ＋ 一 一 Ｌ ≥一 一 １＋ １
口 一 Ｄ Ｄ — Ｃ ｎ — Ｃ 戈 ’ ，
一
戈 ＋ Ｖ
孵
＋
≥
．
ｂ ， 口 ＜ ｂ 厂（ ） ＜０ 当 ０＞ ｂ 厂（ ） ＞０， ）当 时 口 ， 时 口
模 型 ３ 口 ｂ ｃｄ∈ Ｒ ， ，， ，
求 证 ：１＋口 （ （ ） １＋ｂ （ ） １＋ｃ ）≥ ８ １一ｂ （ （ ） １一
Ｃ（ ） １—０ ． ） 证 明 １＋ａ ：１＋ｌ—ｂ—Ｃ＝ （ １一ｂ ）＋（ １一
Ｃ ）≥ ２ ￣（ ／ １一ｂ （ ／ ） １一Ｃ ， ）
１＋ｂ＝１＋１一ａ—ｃ＝ （ １一ａ ）＋（ １一ｃ ）≥ ２ （ １—０ （ ） １一ｃ ， ） １＋Ｃ＝ ｌ＋１一ａ—ｂ＝ （ Ｉ—ａ ）＋（ １一ｂ ）≥ ２ （ １一口 （ ） １—６ ， ）
圆半 径为 １ 三边 长 为 ａ ｂ ｃ ， ， ，．
３ ０
后者显然成立 ， 于是不等式获证．
模 型 ａ 。＋ｂ 。＞ａ ｂ＋０ ａ ＞０ ｂ＞０， ２ ６（ ， ｎ≠
中学数学杂志 ２ １ ００年第 ７ 期
ｂ（ ） 教科 书 Ｐ １例 １ ２ ）
方法 分母 为 两个 字 母 相加 减 的不 等式 可 用
题型 ３ 根 式加减 型
模 型
＋ ＜
＋ （ 教科 书 Ｐ ４例 ３ ． ２ ）
证 明方 法一 般 采 用分 析 法． 明过 程 可两 边乘 证 方或变 成根式 相减 后用分 子有理 化． 例 ３ 自然 数 ｎ ≥ ３ 求 证 ： ，
＜３
＋
４１＋ －
所 以（ １＋口 （ ） １＋６ （ ） １＋ｃ ）≥ ８ １—６ （ （ ） １一 ｃ（ ） １一口 ． ） 题 型 ２ 三项相 加型 模 型 ： ＋ｂ ａ ＋Ｃ ≥ ａ ｂ＋６ ｃ＋ｃ ． ａ
不等式 的证 明也往往 是 几 种 方法 的综 合使 用． 等 不
求证： ＋ ＋ ＞
＋ ＋
分 析 先 由题设 找 出 ａ ｂＣ ， ， 间的联 系 ａ ｃ＝１ ｂ ，，
式证明方法有其特殊技巧 ， 但不论技巧性有多高， 还
是 离不 开课本 中 的有 关 性 质 与结 论． 如果 我们 能立 足新 课 程 ， 通过 分析 例 题 与 习题 中不 等式 的结 构特 征， 一定 可 以从 中发现 某些 常见题 型 的证 明规律 ． １ 几种 典型题 型 的不等 式的证 明方 法 题型 ｌ 括 号相乘 型
否则 ａ ＝１与 ａ ＝２ ｓ ０ 矛 盾． Ｒ ｉ ６ 。： ｎ
所以 ＋＿ ＋ １
又６ ｃ＋ｃ ａ≥ ２
： ｂ ｃ ｃ４ ａ 。 ． ｂ
、
－
０（ ） 教科 书 Ｐ Ｏ第 ６ １ Ｉ （ ）题 ） ． 课本 中这种题 型非 常多 ， 比较分 散． 题 的关 也 解
・ ＝２ ，
’
代数换元法． 例 ５ 已知 。 ＞ｂ＞ｃ 求证— ＋＿Ｌ ≥ ，
ｎ 一 ０ Ｄ — Ｃ
证 明 令
ｏ—ｃ ＝ ＋ ｙ．
口一ｂ ，
ｂ—ｃ贝 ＞０， ，０ Ｙ＞０，
０。 ６
．
③ 用构 造 函数 法证 明如 下 ：
令 口 ＝ｎ ） 一ａ ｂ—ａ ＋ｂ（ ＞０ ， ２ ｂ ０ ） 所 以厂（ ＝３ 一２ ｂ—ｂ ） ａ ａ ＝ （ ｎ—ｂ Ｉ ａ＋ ）： ３
所 以 ０ 在 ｏ＝６ ） 时取得最小值．
所 以 口 ＞ ｂ ：ｂ ） ） 。一ｂ 。一６ ＋ｂ ＝０， 所以 口 。一ａｂ—ａ ＋ｂ ＞０ ２ ｂ ，．
模型 ： ａ＋ｂ （ （ ） ｂ＋ｃ （ ） ｃ＋口 ）≥ ８ ｂ （ ， ， ａ ｃ ａ ｂ ｃ＞
然 后可得 左式 ＝ｂ ｃ＋ｃ ａ＋ｎ ， 而可 由均值不 等式 ６进
完成 证 明．
证 为 ＝ １ ｝所 ＝ 明 因 ｓ者， ， ， ＝Ｓ 以
１且 ａ ｂＣ 全相 等． ， ，，不 ．
证 明
＋
＋
＜３
＿ 『
丽 丽
甘 —
＜２而 （丽
一
一丽
１
像这种题型 的方 法很多 ： 用基 本不等式 证 ① 明； 用比较法证明； 用排序不等式证明． ② ③
ｄ ２ ＋ ＜ ｎ ＋√ ＋ 而 １
例在 ｃ ， ｃ面为 ， ２由一道典型例题研究对称型不等式的证明方法 ｌ 中 知 的积 寺 接 已 外