2020届高考数学一轮复习第五篇数列第4节数列求和及综合应用课时作业理(含解析)新人教A版

第4节 数列求和及综合应用
课时作业
基础对点练(时间：30分钟)
1．数列{1＋2n －1
}的前n 项和为( )
(A)1＋2n
(B)2＋2n
(C)n ＋2n －1
(D)n ＋2＋2n C 解析：由题意令a n ＝1＋2
n －1
，
所以S n ＝n ＋1－2n
1－2
＝n ＋2n
－1，故选C.
2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，a 1＝2，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则S 10－S 4＝( )
(A)1 008 (B)2 016 (C)2 032
(D)4 032
B 解析：由题意知2(a 4＋2)＝a 2＋a 5，即2(2q 3
＋2)＝2q ＋2q 4
＝q (2q 3
＋2)，得q ＝2，所以a n ＝2n
，S 10＝－210
1－2
＝211
－2＝2 046，S 4＝
－24
1－2
＝25
－2＝30，所以S 10－S 4＝
2 016，故选B.
3．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋4
5，…，那么数列{b n }＝⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为( )
(A)4⎝
⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 (B)4⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2－1n ＋1
(C)1－
1
n ＋1
(D)12－1n ＋1
A 解析：由题意知a n ＝
1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋n n ＋1＝1＋2＋3…＋n n ＋1＝n 2，b n ＝1a n a n ＋1
＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1n ＋1.故选A. 4．(2019江西临川一中)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2
(n ∈N *
)，且对任意n ∈N *
都有1
a 1＋1a 2
＋…＋1
a n
＜t ，则实数t 的取值范围是( )
(A)(1
3，＋∞)
(B)[1
3，＋∞)
(C)(2
3
，＋∞)
(D)[2
3
，＋∞)
D 解析：a 1＝2，n ≥2时，
a 1a 2a 3…a n －1＝2(n －1)2，
∴a n ＝22n －1
(n ≥2)．∵当n ＝1时，也满足a n ＝22n －1
.
∴a n ＝2
2n －1
(n ∈N *
)．
1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝12⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
1－14n
1－1
4
＝23⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤1－
14n
＜23 ∴t ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞，故选D. 5．已知等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，其前n 项和为S n ，则S n 的最大值为( )
(A)3
4 (B)23 (C)43
(D)32
D 解析：因为等比数列{a n }的首项为32，公比为－1
2，
所以S n ＝321－－12n
1－－
12＝1－－12n
，
当n 取偶数时，S n ＝1－12n
<1；
当n 取奇数时，S n ＝1＋12n ≤1＋12＝3
2.
所以S n 的最大值为3
2
.故选D.
6．(2018江西师大附中检测)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 1，S 3，S 4成等差数列，则数列{a n }的公比为________．
解析：设{a n }的公比为q ，由题意易知q ＞0且q ≠1，因为S 1，S 3，S 4成等差数列，所以2S 3＝S 1＋S 4，即
2a 1
－q 3
1－q
＝a 1＋
a 1
－q 4
1－q
，解得q ＝1＋5
2
.
答案：1＋52
7．现有一根n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm ，最下面的三节长度之和为114 cm ，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n
＝________.
解析：设自上而下每节竹竿的长度构成的等差数列为{a n }， 由题意知，a 1＝10，a n ＋a n －1＋a n －2＝114，a 2
6＝a 1·a n . 所以3a n －1＝114，即a n －1＝38. (a 1＋5d )2
＝a 1·(a n －1＋d )，
所以(10＋5d )2
＝10×(38＋d )，即5d 2
＋18d －56＝0， 解得d ＝2或d ＝－28
5
(舍去)．
所以a n －1＝10＋(n －2)×2＝2n ＋6＝38，所以n ＝16. 答案：16
8．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝
2a n －1
2＋a n －1
，则{a n }的通项公式a n ＝________.
解析：1a n ＝1a n －1＋12，则1a n ＝1a 1＋n －12＝n ＋12，{a n }的通项公式a n ＝2
n ＋1.
答案：
2
n ＋1
9．已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，
b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.
(1)求a n 与b n ；
(2)求和：1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1
S n
.
解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，∵等差数列{a n }的各项均为正数，
即a n ＞0，∴d ＞0，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q
n －1
，
依题意得⎩
⎪⎨
⎪⎧
S 3b 3＝
＋3d q 2
＝960S 2b 2＝＋d
q ＝64
，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
d ＝2
q ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧
d ＝－6
5q ＝40
3
(舍去)，
故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8
n －1
，
(2)∵S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)． ∴1
S n ＝
1n
n ＋
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋2， ∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋...＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋ (1)
n ＋
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－1
5＋…＋1n －1n ＋2
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1
2－1n ＋1－1n ＋2＝34
－
2n ＋3
n ＋n ＋
.
10．已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2. (1)求数列{x n }的通项公式；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1,1)，P 2(x 2,2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T ′
n .
解析：(1)设数列{x n }的公比为q ，由已知q ＞0. 由题意得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2
－x 1q ＝2.
所以3q 2
－5q －2＝0. 因为q ＞0， 所以q ＝2，x 1＝1，
因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2
n －1
.
(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1. 由(1)得x n ＋1－x n ＝2n
－2
n －1
＝2
n －1
，
记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ， 由题意得b n ＝
n ＋n ＋
2
×2
n －1
＝(2n ＋1)×2
n －2
，
所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝3×2－1
＋5×20
＋7×21
＋…＋(2n －1)×2
n －3
＋(2n ＋1)×2
n －2
.①
又2T n ＝3×20
＋5×21
＋7×22
＋…＋(2n －1)×2n －2
＋(2n ＋1)×2n －1
.②
①－②得
－T n ＝3×2－1
＋(2＋22
＋…＋2n －1
)－(2n ＋1)×2
n －1
＝3
2
＋－2n －11－2
－(2n ＋1)×2n －1
.
所以T n ＝
n －
n
＋12
.
能力提升练(时间：15分钟)
11．已知函数y ＝log a (x －1)＋3(a ＞0，a ≠1)的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第二项与第三项，若b n ＝
1
a n a n ＋1
，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10＝( )
(A)911 (B)1011 (C)1
(D)1211
B 解析：对数函数y ＝log a x 的图像过定点(1,0)，
∴函数y ＝log a (x －1)＋3的图像过定点(2,3)，则a 2＝2，a 3＝3 ， 故a n ＝n ，∴b n ＝1
a n a n ＋1＝1n －1n ＋1，∴T 10＝1－12＋12－13＋…＋110－111＝1－111＝10
11
，故选B.
12．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n
(n ∈N ＋)，则S 100＝________.
解析：由a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n
知a 2k ＋2－a 2k ＝2，a 2k ＋1－a 2k －1＝0，∴a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2n －1
＝1，数列{a 2k }是等差数列，a 2k ＝2k .∴S 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100)＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋
＋
2
＝2 600.
答案：2 600
13．(2019蚌埠二中)已知等比数列{a n }的各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3
＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，则S 4＝________.
解析：设等比数列{a n }的公比为q ＞0. ∵2S 3＝8a 1＋3a 2，
∴2(a 1＋a 2＋a 3)＝8a 1＋3a 2， 化为2a 3＝6a 1＋a 2，可得
2a 1q 2
＝6a 1＋a 1q ，即为2q 2
－q －6＝0，解得q ＝2，又a 4＝16，可得a 1×23
＝16，解得a 1
＝2，则S 4＝
－24
1－2
＝30.
答案：30
14．已知数列{b n }是首项为b 1＝1，公差d ＝3的等差数列，b n ＝1－3log 2(2a n )(n ∈N *
)． (1)求证：{a n }是等比数列；
(2)若数列{c n }满足c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和S n . 解：(1)由题意，得b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.
由b n ＝1－3log 2(2a n )，得3n －2＝1－3log 2(2a n )，则a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n
，
∴a n a n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1＝12
(n ≥2，n ∈N *)， ∴数列{a n }是首项为12，公比为1
2的等比数列．
(2)由(1)知，c n ＝(3n －2)·(12
)n (n ∈N *
)，
∴S n ＝1×12＋4×(12)2＋7×(12)3＋…＋(3n －5)×(12)n －1＋(3n －2)×(12)n
，
∴12S n ＝1×(12)2＋4×(12)3＋7×(12)4＋…＋(3n －5)×(12)n ＋(3n －2)×(12)n ＋1
. 两式相减，得12S n ＝12＋3×[(12)2＋(12)3＋(12)4＋…＋(12)n ]－(3n －2)×(12)n ＋1.
化简，得12S n ＝2－(3n ＋4)×(12)n ＋1
，
∴S n ＝4－(3n ＋4)(12
)n (n ∈N *
)
15．(2019益阳4月)已知等差数列{a n }的公差为d ，且方程a 1x 2
－dx －3＝0的两个根分别为－1,3.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝2a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
解：(1)由题知，⎩⎪⎨⎪⎧
d a 1
＝－1＋3，
－3
a 1
＝－1×3，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
d ＝2，a 1＝1.
故数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)由(1)知，b n ＝2a n ＋2a n ＝2
2n －1
＋2(2n －1)＝4
n
2
＋4n －2，
则S n ＝12×(4＋42＋43k ＋ (4)
)＋(2＋6＋10＋…＋4n －2)
＝12
×－4n
1－4
＋
n 2＋4n －
2
＝
4
n ＋1
6＋2n 2
－23
. 16．(2019烟台二模)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝λ·2n
－2(λ≠0)． (1)求数列{a n }的通项； (2)令b n ＝2log 2a n ，c n ＝
1
b 2
n －1
，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)由已知得：a 1＝S 1＝2λ－2，
a 2＝S 2－S 1＝4λ－2λ＝2λ， a 3＝S 3－S 2＝8λ－4λ＝4λ.
因为{a n }为等比数列，所以a 2
2＝a 1a 3. 即4λ2
＝(2λ－2)·4λ，解得λ＝2. 于是a 1＝2，公比q ＝a 2a 1
＝2，a n ＝2n (n ∈N *
)． (2)由(1)有b n ＝2log 2a n ＝2log 22n
＝2n ，
c n ＝1b 2n －1
＝
1
n ＋n －
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1
所以T n ＝
12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
13－15＋…⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n
2n ＋1.。