泾县八中八年级数学上册第1章分式1.4分式的加法和减法练习新版湘教版

1.4 分式的加法和减法
基础导练
1．化简x 2x －1＋x
1－x
的结果是
( )
A ．x ＋1
B ．x －1
C ．－x
D ．x 2．化简a 2
a －
b －
b 2
a －b
的结果是
( )
A ．a ＋b
B ．a －b
C ．a 2
－b 2
D ．1 3．对分式y 2x ，x 3y 2，1
4xy
通分时，最简公分母是
( )
A ．24x 2y 3
B ．12x 2y 2
C ．24xy
D ．12xy 2 4．分式1x 2
－4，x 4－2x
的最简公分母为
( )
A ．(x ＋2)(x －2)
B ．2(x ＋2)(x －2)
C ．2(x ＋2)(x －2)2
D ．－(x ＋2)(x －2)
5．化简⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2
a －3＋93－a ÷a ＋3a 的结果为
( ) A ．a
B ．－a
C ．(a ＋3)2
D ．1
6．化简⎝
⎛⎭⎪⎫1＋4a －2÷a
a －2
的结果是
( ) A.a ＋2
a
B.
a
a ＋2
C.
a －2
a
D.
a
a －2
能力提升
7．已知数x 满足x ＋1x ＝3，则x 2
＋1x
2的值为________．
8．化简：
⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2－1÷⎝ ⎛⎭
⎪⎫2＋1x －1－1x ＋1.
9．先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪
⎫3x ＋4x 2－1－2x －1÷x ＋2x 2－2x ＋1
，其中x ＝－3.
参考答案
1.D
2.A
3.D
4.B
5.A
6.A 7．7
8．解：原式＝x 3－x ＋x （x ＋1）（x －1）÷2x 2
－2＋x ＋1－x ＋1
（x ＋1）（x －1）
＝
x 3
（x ＋1）（x －1）·（x ＋1）（x －1）2x 2
＝x 2. 9．解：⎝
⎛⎭⎪
⎫3x ＋4x 2－1－2x －1÷x ＋2x 2－2x ＋1
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋4（x ＋1）（x －1）－2（x ＋1）（x ＋1）（x －1）·（x －1）2
x ＋2 ＝3x ＋4－2x －2（x ＋1）（x －1）×（x －1）
2
x ＋2
＝x ＋2（x ＋1）（x －1）×（x －1）
2
x ＋2
＝
x －1
x ＋1
. 当x ＝－3时，原式＝－3－1
－3＋1＝2.
3．1～3.3阶段测试
(时间：120分钟满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列现象是数学中的平移的是(D)
A．骑自行车时的轮胎滚动
B．碟片在光驱中运行
C．“神舟”十一号宇宙飞船绕地球运动
D．生产中传送带上的电视机的移动过程
2．(台州中考)在下列四个新能源汽车车标的设计图中，属于中心对称图形的是(D)
3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小为(A)
A．42°B．48°C．52°D．58°
,第3题图) ,第4题图) 4．(海南中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第一象限，点A的坐标是(4，3)，把△ABC向左平移6个单位长度，得到△A1B1C1，则点B1的坐标是(C)
A．(－2，3) B．(3，－1) C．(－3，1) D．(－5，2)
5．下列四张扑克牌图案，属于中心对称图形的是(B)
6．如图，有a，b，c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线(D)
A．a户最长B．b户最长C．c户最长D．一样长
,第6题图) ,第7题图) ,第8题图) 7．如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为(C)
A．30°B．60°C．90°D．120°
8．如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，对于A，B的位置，下列说法错误的是(B)
A ．
B 向左平移2个单位长度再向下移2个单位长度与A 重合 B ．A 向左平移2个单位长度再向下移2个单位长度与B 重合
C ．B 在A 的东北方向且相距22个单位长度
D ．若点B 的坐标为(0，0)，则点A 的坐标为(－2，－2)
9．(宜宾中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，将△ABC 绕点A 逆时针旋转，使点C 落在线段AB 上的点E 处，点B 落在点D 处，则B ，D 两点间的距离为(A )
A .10
B ．2 2
C ．3
D ．2 5
,第9题图) ,第10题图) ,第
12题图)
10．(淄博中考)如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则△ABC 的面积为(A )
A ．9＋
2534 B ．9＋2532 C ．18＋25 3 D ．18＋253
2
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．(宿迁中考)在平面直角坐标系中，将点(3，－2)先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得点的坐标是(5，1)．
12．(贺州中考)如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A ′B ′C ，连接BB ′，若∠A ′B ′B ＝20°，则∠A 的度数是65°.
13．如图所示，在正方形网格中，图①经过平移变换可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点 A ．(填“A ”“B ”或“C ”)
,第13题图) ,第14题图)
14．如图1，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，BC 与地面的夹角为50°，∠C ＝25°，小贤同学将它扶起平放在地面上(如图2)，则灰斗柄AB 绕点C 转动的角度为105° .
15．已知：如图，在长方形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，平移长方形ABCD 到长方形A 1B 1C 1D 1，使得与原长方形A 1B 1C 1D 1重合部分的面积是12，请你写出一种可行的平移方案将长方形ABCD 沿着AB 边向右平移6个单位长度，得到长方形A 1B 1C 1D 1(答案不唯一)．(一种即可)
,第15题图) ,第16题图)
16．如图是两张全等的图案，它们完全重合地叠放在一起，按住下面的图案不动，将上面图案绕点O 顺时针旋转，至少旋转60度角后，两张图案构成的图形是中心对称图形．
三、解答题(共72分)
17．(8分)如图，△ABC 沿直线l 向右平移了 3 cm ，得△FDE ，且BC ＝6 cm ，∠B ＝
40°.
(1)求BE；
(2)求∠FDB的度数；
(3)找出图中相等的线段(不另外添加线段)；
(4)找出图中互相平行的线段(不另外添加线段)．
解：(1)∵△ABC沿直线l向右平移了3 cm，∴CE＝BD＝3 cm，∴BE＝BC＋CE＝6＋3＝9(cm)
(2)∵∠FDE＝∠B＝40°，∴∠FDB＝140°
(3)相等的线段有AB＝FD，AC＝FE，BC＝DE，BD＝CE＝CD
(4)平行的线段有AB∥FD，AC∥FE
18．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，P是BC边上一点，将△ABP绕点A逆时针旋转50°，点P旋转后的对应点为P′.
(1)画出旋转后的三角形；
(2)连接PP′，若∠BAP＝20°，求∠PP′C的度数．
解：(1)旋转后的三角形ACP′如答图①
(2)如答图②，由旋转可得，∠PAP′＝∠BAC＝50°，AP＝AP′，△ABP≌△ACP′，∴∠APP′＝∠AP′P＝65°，∠AP′C＝∠APB，∵∠BAC＝50°，AB＝AC，∴∠B＝65°，又∵∠BAP＝20°，∴∠APB＝95°＝∠AP′C，∴∠PP′C＝∠AP′C－∠AP′P＝95°－65°＝30°
,答图①) ,答图②) 19．(8分)(达州期中)如图所示，三角形ABC三个顶点A，B，C的坐标分别为A(1，2)，B(4，3)，C(3，1)．
(1)三角形A1B1C1向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标；
(2)求△ABC的面积．
解：(1)△A1B1C1如图所示，
A1(－3，5)，B1(0，6)，C1(－1，4)
(2)△A1B1C1的面积＝3×2－1
2
×1×2－
1
2
×1×2－
1
2
×1×3＝6－1－1－1.5＝6－3.5＝
2.5
20．(8分)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2)．
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，平移△ABC，使点A的对应点A2的坐标为(0，－4)，画出平移后对应的△A2B2C2；
(2)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
解：(1)如图所示：
(2)旋转中心P点的坐标为(3
2
，－1)
21．(9分)如图，已知直线AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，E，F在CD上，且满足∠DBF ＝∠ABD，BE平分∠CBF.
(1)求证：AD∥BC；
(2)求∠DBE的度数；
(3)若平行移动AD，在平行移动AD的过程中，是否存在某种情况，使∠BEC＝∠ADB？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．
证明：(1)∵AB ∥CD ，∴∠A ＋∠ADC ＝180°，又∵∠A ＝∠C ，∴∠ADC ＋∠C ＝180°，∴AD ∥BC
(2)∵AB ∥CD ，∴∠ABC ＝180°－∠C ＝80°，∵∠DBF ＝∠ABD ，BE 平分∠CBF ，∴∠DBE ＝12∠ABF ＋12∠CBF ＝1
2
∠ABC ＝40°
(3)存在．设∠ABD ＝∠DBF ＝∠BDC ＝x °.∵AB ∥CD ，∴∠BEC ＝∠ABE ＝x °＋40°；∵AB ∥CD ，∴∠ADC ＝180°－∠A ＝80°，∴∠ADB ＝80°－x °.若∠BEC ＝∠ADB ，则x °＋40°＝80°－x °，得x °＝20°，∴存在∠BEC ＝∠ADB ＝60°
22．(9分)如图，固定一块三角板，另一块三角板按图示开始平移至两条较大直角边重合时停止．(两个同学为一组，利用30°角的三角板作图形的平移运动)
(1)观察平移过程中的重叠部分是什么图形？你能把它画出来吗？ (2)分别求出平移距离为4 cm 或10 cm 时，重叠部分的面积；
(3)若平移的距离为x cm ，当x__________时，重叠部分为三角形；当x__________时，重叠部分为五边形．
解：(1)平移过程中的重叠部分是三角形或五边形，如图①②
(2)当平移距离为4 cm 时，重叠部分是三角形OAA ′，如图③，此时AA ′＝4 cm .∵∠OAA ′＝∠OA ′A ＝60°，∴△OAA ′是等边三角形．∴S △OAA ′＝43(cm 2
)．当平移距离为10 cm 时，重叠部分是五边形ODC ′CE ，如图④，此时AA ′＝10 cm .∵AC ＝A ′C ′＝7 cm ，∴A ′C ＝AC ′＝3 cm .∵∠A ＝∠A ′＝60°，∠AC ′D ＝∠A ′CE ＝90°，∴C ′D ＝CE ＝3 3
cm ，∴S 五边形ODC ′CE ＝S △OAA ′－S △AC ′D －S △A ′CE ＝
34×102－12
×3×33×2＝163(cm 2) (3)当x ≤7时，重叠部分为三角形，当7<x<14时，重叠部分为五边形
23．(10分)如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB ＝105°，∠BOC 等于α，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD.
(1)求证：△COD 是等边三角形；(3分) (2)求∠OAD 的度数；(3分)
(3)探究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？(4分)
解：(1)∵△BOC 旋转60°得到△ADC ，∴△BCO ≌△ACD ，∴OC ＝CD ，且∠OCD ＝60°，则△OCD 是等边三角形
(2)∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAO ＋∠OAC ＝60°，∠ABO ＋∠OBC ＝60°，∵∠AOB ＝105°，∴∠BAO ＋∠ABO ＝75°，∴∠OAC ＋∠OBC ＝120°－75°＝45°.∵△BOC 旋转60°得到△ADC ，∴△BCO ≌△ACD ，∴∠DAC ＝∠OBC ，∴∠OAD ＝∠OAC ＋∠DAC ＝∠OAC ＋∠OBC ＝45°
(3)若△AOD 是等腰三角形．∵由(1)知△OCD 是等边三角形，∴∠COD ＝60°，由(2)知∠OAD ＝45°
当OA ＝OD 时，∠AOD ＝90°，∠α＝360°－105°－60°－90°＝105°；当OA ＝AD 时，∠AOD ＝67.5°，∠α＝360°－105°－60°－67.5°＝127.5°；当AD ＝OD 时，∠AOD ＝45°，∠α＝360°－105°－60°－45°＝150°，综上所述：当α＝105°，127.5°或150°时，△AOD 是等腰三角形
24．(12分)(北京中考)在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝α(0°＜α＜60°)，将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD.
(1)如图①，直接写出∠ABD 的大小(用含α的式子表示)；
(2)如图②，∠BCE ＝150°，∠ABE ＝60°，判断△ABE 的形状并加以证明； (3)在(2)的条件下，连接DE ，若∠DEC ＝45°，求α的值．
解：(1)∵AB ＝AC ，∠A ＝α，∴∠ABC ＝∠ACB ，∠ABC ＋∠ACB ＝180°－∠A ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－∠A)＝90°－1
2α，∵∠ABD ＝∠ABC －∠DBC ，∠DBC ＝60°，即∠ABD
＝30°－1
2
α
(2)△ABE 是等边三角形．证明：连接AD ，CD ，ED ，BE.∵线段BC 绕B 逆时针旋转60°得到线段BD ，则BC ＝BD ，∠DBC ＝60°，∵∠ABE ＝60°，∴∠ABD ＝60°－∠DBE ＝∠EBC ＝30°－1
2
α，且△BCD 为等边三角形，在△ABD 与△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，BD ＝CD ，∴△ABD ≌△
ACD(SSS )，∴∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝12α，∵∠BCE ＝150°，∴∠BEC ＝180°－(30°－
1
2α)－150°＝1
2
α＝∠BAD ，在△ABD 和△EBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC ＝∠BAD ，∠EBC ＝∠ABD ，BC ＝BD ，
∴△ABD ≌△
EBC(AAS )，∴AB ＝BE ，∴△ABE 是等边三角形
(3)∵∠BCD ＝60°，∠BCE ＝150°，∴∠DCE ＝150°－60°＝90°，∵∠DEC ＝45°，∴△DEC 为等腰直角三角形，∴DC ＝CE ＝BC ，∵∠BCE ＝150°，∴∠EBC ＝1
2(180°－150°)
＝15°，∵∠EBC＝30°－1
2α＝15°，∴α＝30°
正方形典型题解析
正方形因其性质独特，而颇受命题者青睐。

纵观正方形习题，类型繁多，解题方法灵活多变。

同学们在平时若能多加练习，对提高解题能力将大有益处。

下面分类介绍几例。

一、证明两条线段相等
例1. 如图1，已知正方形ABCD中，E.H、F、G分别是边AB.BC.CD.DA上的点，EF⊥GH。

求证：EF＝GH
解析：过点G、E分别作GM⊥BC.EN⊥CD，垂足分别是M、N，然后证△ENF≌△GMH即可。

二、证明一条线段等于另外两条线段的和
例2. 如图2，已知E.F分别是正方形ABCD的边BC.CD上的点，∠EAF＝45°，AH⊥EF于H。

求证：（1）BE＋FD＝EF
（2）AB＝AH
证明：（1）延长EB到M，使得BM＝DF
则△ADF≌△ABM
∴∠FAD＝∠MAB，AM＝AF
∵∠FAD＋∠EAB＝45°
∴∠MAE＝∠MAB＋∠BAE＝45°＝∠EAF
∴△MAE≌△FAE
∴ME＝EF
∴BE＋FD＝EF
（2）因为△MAE≌△FAE，根据全等三角形对应边上的高相等即可证明AB＝AH。

点评：此题的证法为截长补短中的补短法（也可以看作是旋转法，即将△ADF旋转到
△ABM），关于它的变式很多，同学们只要熟练掌握了此题的解法，就可以以不变应万变。

三、求角的度数
例3. 如图3，P为正方形ABCD内一点，PA∶PB∶PC＝1∶2∶3，求∠APB的度数。

解析：把△BPA绕点B旋转到△BP”C的位置，易证∠PBP”＝90°，则PP”＝，根据勾股定理的逆定理可得△PP”C为直角三角形，∠PP”C＝90°，因此∠APB＝∠CP”B＝90°＋45°＝135°
四、求不规则图形的面积
例4. 如图4，正方形ABCD的边长为a，E.F分别是BC.CD的中点，DE.BF交于点G，求四边形ABGD的面积。

解析：联结CG，不难得出，从而，由E.F分别是BC 和CD的中点，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等。

因为，所以
通过上述列举可知，正方形题种类颇多，而且比较灵活，但只要在学习中善于探索，认真总结，正方形问题是不难解决的。