不等式的证明(3)

即( x yห้องสมุดไป่ตู้2 4xy
即x 2 2xy y 2 4xy
因此，只要证 ( x y) 2 0
而( x y)2 0成立
1 1 4 成立 x y x y 1 1 4 x y x y
例4 已知a, b, c R , 且ab bc ca 1, 求证： abc 3
1
上式是成立的，所以
这就证明了，如果周长相等，那么 圆的面积比正方形的面积大。
1 1 4 例3、 设x 0, y 0, 求 证 ： x y x y
1 1 4 证明：要证 x y x y x y 4 则需证 xy x y
x 0, y 0, x y 0, xy 0
[点评] ①用分析法证明不等 式的逻辑关系是：
B B1 B2 Bn A
（步步寻找不等式成立的充 分条件） . 分析法是“执果 索因”它与综合法的证明过 程（由因导果）恰恰相反．
练习
• P17 1
例2.证明：当周长相等时，圆的面积比正方形的 面积大。 2 L 证明：设周长为 L, 依题意，圆的面积为 , 2
复习：综合法
利用已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数 的定理)和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种 证明方法叫做综合法. 综合法的思路是“由因导果“，即从已知出发，不断地 用必要条件来代替前面的不等式，直到推导出要证明的不 等式。 综合法是证明不等式的基本方法，用综合法证明不等式 的逻辑关系是： A B1 B2 B ( A 为证明过的 不等式， B 要证的不等式）。
6.3 不等式的证明（3)—分析法
证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析 使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题 转化为判定这些条件是否具备的问题。如果能够肯定这些 条件都已具备，那么就可以断定所求证的不等式成立。这 种证明方法通常叫做分析法。
例1. 求证：. 3 7 2 5
证明：要证 a b c 3 , a, b, c R ,
只需证 : (a b c ) 3 即a 2 b2 c 2 2(ab bc ca) 3
2
即a 2 b2 c 2 1
2 2
又1 ab bc ca
2
因此，只要证： a b c ab bc ca
L 正方形的面积为 4 2 2 L L 所以本题只需证明 2 4 L2 L2 为了证明上式成立，只需证明 2 16 4
2
1 即证 , 因此只需证明 4 4 2 2

L L 2 4
a 2 b2 b2 c 2 c 2 a 2 而ab bc ca a 2 b 2 c 2成 立 2 2 2
a b c 3
作业
• P18习题6.3 8
证明：因为 3 7 和2 5 都是正数，
所以为了证明 3 7 2 5
只需证明 ( 3 7)2 (2 5)2 展开得 10 2 21 20
即2 21 10,
21 5, 21 25
因为21 25 成立，
2 所以（ 3 7） (2 5)2 成立，
即证明了 3 7 2 5
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 书 山 路 勤勤 为 奋，努 径，学 崖 苦成 作 功！ 舟 天 少 成功 小 才 =有 艰苦的劳动 不 在 学 于 习，老 +正确的方法 来海 徒无 力 伤 才 + 少谈空话 悲 能
复习：
• 比较法是证明不等式的一种最基本、最重 要的方法，用比较法证明不等式的步骤是： 作差—变形—判断符号 • 要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒 等变形。