数学建模论文商品价格与包装大小之间的关系

商品价格与商品包装大小关系
摘要：
本文主要研究商品大小包装的成本与价格的最优化问题。

在超市购物时我们经常会发现同种商品大包装单位货物量价格往往比小包装单位货物量价格低的现象。

由此可见，大包装的商品每单位重量的价格比小包装的同类商品的价格要低。

显然这是由于节省包装成本的缘故。

我们用比例方法构造模型，通过定性的分析，观察货物的包装成本的规律。

最后得出结论:
（1）当包装增大时每件产品的单位货物量的成本将下降，
（2）总的成本降低的速度是随着所包装的货物总量的增加而减少。

因此当我们购买货物时并不一定是越大的包装越合算。

一、问题引入
我们都知道许多商品都是以包装的形式出售的，并且同一种商品的包装经常有大小不同的包装规格(例如我们经常吃的大白兔奶糖，通常会有250g和500g两种包装形式)。

我们可以发现很多时候尽管大包装的产品的净重是小包装产品净重的n倍时，大包装产品的价格往往低于小包装产品价格的n倍。

二、问题分析
大包装商品与同类小包装的商品，当两者的净重相同时，大包装商品往往比小包装商品其便宜，这与生产成本、包装成本和其它成本因素有关，比如销售一样重量的大小两种包装商品，包装小的商品使用的包装成本较包装大的商品高。

即小包装产品的单位质量的价格大于大包装产品的单位质量的价格。

（其中单位重量价格等于总价格除以总质量）
三、模型假设
根据以上分析作如下假设：
1）大包装产品和小包装产品的生产效率和包装效率相同。

2）大包装产品和小包装产品的包装材料、形状没有较大区别。

3）大包装产品和小包装产品的成分和产品的品质相同。

四、符号说明
1）商品价格：P；
2）商品质量：m ；
3）单位重量价格：c；
4）商品包装面积：S；
5）商品总成本：C；
6）生产成本：C1；
7）包装成本：C2；
8）其它成本：C3
五、模型建立
1）商品包装面积与重量的关系：
因为形状一定时，一般有S=L2 ，m=p*L3（p为物体密度），推出S m2/3，所以设S =a*m2/3 2）生产成本与重量的关系：
生产成本主要与质量成正比，所以设C1=b*m
3）包装成本与重量的关系：
包装成本与包装表面积成正比，所以设C2= c* S=a*c*m2/3
4）其他成本与重量，商品包装面积无关，为固定常数。

（参数a, b, c为大于0的常数）
因此总成本：
C=C1 + C2+ C3= b*m +a*c*m2/3 + C3=x *m+ y*m2/3+z（x, y, z为大于0的常数）所以单位商品价格：
c =C/m=x +y*m-1/3+z*m-1
六、模型求解
单位商品价格:P= x + y * m-1/3 +z * m-1,(x，y，z为大于0的常数)
上式P的函数对m进行求导可得，P′= -1/3 * y * m-4/3 - z * m-2 ,容易知道P′< 0,所以P 在m（m>0）的定义域上是单调减函数，P随着m的增加而减小，对P′再求导我们可得P"=4/9*y*m-7/3+2*z*m-3,容易知道P">0,所以得出结论：P在m（m>0）的定义域上面是上
凹函数，即P随着m的增加而减小的幅度越来越小，P-M的关系图像如图所示：
六、模型解释
1）c是m的减函数，c是随着m的增大而减小，说明大包装商品比小包装商品便宜，2）单价的减小值随包装的变大是逐渐降低的，当m很大时，c的到函数趋近于0，即c 不再减小，所以不要追求太大的包装的商品，不能盲目的认为包装越大的商品价格越便宜。

七、实际意义分析
尽管上述结论也来源于模型的精确形式，但这个结论是定性的。

模型的形式稍有变化一般也不会影响到结论。

因此这种定性的预测往往是很可靠的。

另外从建模的过程我们看到，这个模型组建得是比较粗糙的。

模型的合理性是需要检验的。

这就需要更多的数据来参与分析。

但这是难以做到的，因为可用于某种产品的包装规格一般只有有限的几种。

因此不能过于认真地看待这个模型的预报能力。

可用这个模型去预测其他规格包装的商品的价格，模型中包含有三个参数，要将它应用于预报工作就需要给出这三个参数的数值估计。

这时我们需要至少三组不同的成本和重量的数据才能得到这个估计值。