对数与对数函数(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(解析版)

考向11 对数与对数函数
【2022·全国·高考真题（文）】已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >>
【答案】A 【解析】 【分析】
根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】
由910m
=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()22
2lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=．
又()22
2lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >， 所以8log 989890m b =-<-=．综上，0a b >>． 故选：A.
【2022·全国·高考真题】设0.1
10.1e ,ln 0.99
a b c ===-，，则（ ）
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．c a b <<
D ．a c b <<
【答案】C 【解析】 【分析】
构造函数()ln(1)f x x x =+-， 导数判断其单调性，由此确定,,a b c 的大小. 【详解】
设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x
'
=
-=-++，
当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，
所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增， 所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110
ln ln 0.999
>=-，即b c >，
所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故110
9e 10-<，所以1
1011e 109
<，
故a b <，
设()e ln(1)(01)x
g x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11
x x
x g x x x x -+'=+=
--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，
当021x <<-时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减， 当211x -<<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增， 又(0)0h =，
所以当021x <<-时，()0h x <，
所以当021x <<-时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增， 所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c > 故选：C.
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、 商、幂再运算.|
3.log (0b a a N b N a =⇔=>，且1)a ≠是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
4.识别对数函数图象时，要注意底数a 以1为分界：当1a >时，是增函数；当01a <<时，是减函数.注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以y 轴为渐近线.
5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
6.比较对数值的大小
(1)若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较 (2)若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较 (3)若底数、真数均不同，引入中间量进行比较 7.解决对数函数的综合应用有以下三个步骤: (1)求出函数的定义域；
(2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；
(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性
1.换底公式的两个重要结论 (1)1log ;log a b b a =
(2)log log n a a n
mb b m
=.其中0a >，且1,0a b ≠>，且1,,R b m n ≠∈. 2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大
3.对数函数log (0a y x a =>，且1)a ≠的图象过定点(1,0)，且过点1(,1),,1a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，函数图象只在第一、四象限.
1.对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log N
a ，读作以a 为底N 的对数；
②常用对数：以10为底，记为lg N ； ③自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则：
①1log 0a =；log 1a
a =；其中0a >且1a ≠；
②log N
a a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)； ③对数换底公式：log log log c a c b
b a
=
； ④log ()log log a a a MN M N =+； ⑤log log log a
a a M
M N N
=-； ⑥log log (m n
a a n
b b m m
=
，)n R ∈； ⑦log a b a b =和log b a a b =； ⑧1
log log a b b a
=
； 2.对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数． 对数函数的图象
1a >
01a <<
图象 x
y
x =1
(1,0)
x
a log O
x y
x =1(1,0)x
a log O
性质
定义域：(0)+∞，
值域：R
过定点(10)，
，即1x =时，0y = 在(0)+∞，
上增函数 在(0)+∞，
上是减函数 当01x <<时，0y <，当1x ≥时，0y ≥
当01x <<时，0y >，当1x ≥时，0y ≤
1．（2022·全国·模拟预测）已知23
a
=，21
log 102
b =， 1.012
c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．b c a >>
B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
【答案】C 【解析】 【分析】
利用指对互化以及指对函数的性质进行比较即可. 【详解】
由2log 3log 10log 162a b =<=<，122c >=，可得c b a >>. 故选：C.
2．（2022·河南·模拟预测（文））已知0.30.2a -=，0.2log 0.3b =，2log 0.3c =，则（ ） A ．b a c >> B ．a c b >>
C ．c a b >>
D ．a b c >>
【答案】D 【解析】 【分析】
分别判断出每个数的范围，然后比较即可. 【详解】
因为0.30.21->，0.20log 0.31<<，2log 0.30<，所以a b c >>. 故选：D.
3．（2022·全国·模拟预测（文））已知lg 20.301≈，302用科学记数法表示为302 1.0710m =⨯，则m 的值约为（ ） A ．8 B ．9
C ．10
D ．11
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意得30lg 2lg1.07m =+，再分析求解即可. 【详解】
因为lg 20.301≈，302 1.0710m =⨯，所以30lg 2lg1.0710m =⨯， 所以30lg 2lg1.07lg10m =+，所以30lg 2lg1.07m =+， 又lg1.07无限接近于0，所以30lg 2300.3019.039m ≈=⨯=≈. 故选：B.
4．（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个
函数为“同形”函数，给出下列三个函数：()13=x f x ，()243x f x =⨯，()385log 53log 2x
f x =⋅⋅，则（ ）
A ．()1f x ，()2f x ，()3f x 为“同形”函数
B ．()1f x ，()2f x 为“同形”函数，且它们与()3f x 不为“同形”函数
C ．()1f x ，()3f x 为“同形”函数，且它们与()2f x 不为“同形”函数
D ．()2f x ，()3f x 为“同形”函数，且它们与()1f x 不为“同形”函数 【答案】A 【解析】 【分析】
根据题中“同形”函数的定义和2()f x 、3()f x 均可化简成以3为底的指数形式，可得答案． 【详解】
解：()33log 4log 4243333x x x
f x +=⨯=⨯=，
()51838581
3log 5g lo l log 23lo 233g 53og 23
x x x x x f x -=⋅⋅=⋅⋅==⋅⋅=，
故2()f x ，3()f x 的图象可分别由1()3x f x =的图象向左平移3log 4个单位、向右平移1个单位得到， 故()1f x ，()2f x ，()3f x 为“同形”函数． 故选：A ．
5．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知对数函数()f x 的图像经过点1,38A ⎛⎫
- ⎪⎝⎭与点(16,)B t ，
0.1log a t =，0.2t b =，0.1c t =，则（ ）
A ．c a b <<
B ．b a c <<
C ．a b c <<
D ．c b a <<
【答案】C 【解析】
【分析】
根据对数函数可以解得2a =，4t =，再结合中间值法比较大小． 【详解】
设()()log 0,1a f x x a a =>≠，由题意可得：1log 38
a =-，则2a = ∴log 164a t ==
0.1log 40a =<，()40.20,1b =∈，0.141c =>
∴a b c << 故选：C ．
6．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知函数22()ln(1)2f x x x x =++，若()9f a =，则()f a -=（ ） A ．5- B ．9- C ．13- D ．15-
【答案】A 【解析】 【分析】
构建()()2g x f x =-，根据奇偶性定义可证()g x 是定义在R 上的奇函数，利用奇函数理解运算． 【详解】
令22()()21)g x f x x x x =-=+， 222222()()ln(()1)ln(
ln(1)()1g x x x x x x x x g x x x
-=--+==-+=-++，()g x ∴是R 上的奇函数，
()()0g a g a ∴-+=，即()2()20f a f a --+-=， 又()9f a =，所以()5f a -=-． 故选：A ．
7．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()24log 1f x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
，若()1f x +是奇函数，则实数a =______． 【答案】1 【解析】 【分析】
利用奇函数的性质(1)(1)f x f x -+=-+列方程求参数. 【详解】
由题意，(1)(1)f x f x -+=-+，即2244log log 22a a x x ⎛⎫⎛
⎫-=-- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝
⎭， 所以242224a ax x x a ax --+=--+，化简得()2
2
21
1
a a ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得1a =． 故答案为：1
8．（2022·福建·三明一中模拟预测）写出一个满足对定义域内的任意x ，y ，都有()()()f xy f x f y =+的函数
()f x ：___________．
【答案】()ln f x x =（答案不唯一） 【解析】 【分析】
利用对数的运算性质可知函数()ln f x x =符合题意. 【详解】
若函数()ln f x x =，则()()ln ln ln ()()f xy xy x y f x f y ==+=+满足题意， 故答案为：()ln f x x =（答案不唯一）
1．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知0.3
211log 0.3,,25a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）
A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c b a <<
D ．a c b <<
【答案】D 【解析】 【分析】
根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性，借助“媒介”数比较作答. 【详解】
函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，00.31<<，则22log 0.3log 10a =<=，
函数1()2x y =在R 上单调递减，0.31<，0.311()22b =>，而5 2.51
052
c <=<=，
所以a c b <<.
故选：D
2．（2022·青海·模拟预测（理））设log 2020a =2020
ln 2021
b =，120212020
c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．a b c >> D ．c b a >>
【答案】A 【解析】 【分析】
利用指数函数、对数函数的性质，再借助“媒介”数比较大小作答. 【详解】
函数2021log ,ln y x y x ==在(0,)+∞上都是增函数，120202021，即01a <<，2020012021
，则0b <，
函数2020x y =在R 上单调递增，而1
02021
>，则1202102012c =>， 所以c a b >>. 故选：A
3．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知1333,e ,(93ln 3)e a b c --===-，则a ，b ，c 的大小为（ ） A ．a b c << B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
【答案】C 【解析】 【分析】
根据给定条件，构造函数ln ()(e)x
f x x x
=≥，利用函数的单调性比较大小作答. 【详解】 令函数ln ()(e)x f x x x
=
≥，当e x >时，求导得：()2
1ln 0x
f x x '-=<， 则函数()f x 在[e,)+∞上单调递减，又ln 3(3)3a f =
=，ln e (e)e
b f ==，3
333e ln
3(3ln 3)e 3()e e 33c f -===， 显然3
e e 33<<，则有3e ()(3)(e)3
f f f <<，所以c a b <<.
故选：C 【点睛】
思路点睛：某些数或式大小比较问题，探讨给定数或式的内在联系，构造函数，分析并运用函数的单调性求解.
4．（2022·全国·模拟预测）“熵”是用来形容系统混乱程度的统计量，其计算公式为1ln i B n
i i p p S k ==-∑，其中i
表示所有可能的微观态，i p 表示微观态i 出现的概率，B k 为大于0的常数．则在以下四个系统中，混乱程度最高的是（ ） A ．121
2
p p ==
B ．113
p =，223p =
C ．12331
p p p ===
D ．116
p =
，213p =，312p =
【答案】C 【解析】 【分析】
对选项逐一验证，分别计算系统的混乱程度，借助对数函数比较大小，计算得解. 【详解】
对选项逐一验证（不考虑负号和玻尔兹曼常数）． A 选项：系统的混乱程度11111
ln ln ln 2ln 22222
A S +=-=；
B 选项：系统的混乱程度311222ln ln ln 2ln 3333334
B S +=-=
C 选项：系统的混乱程度1111111ln ln ln ln 3ln 3333333c S ++=-=；
D 选项：系统的混乱程度3331111111ln ln ln ln 2ln 3433466332232234
D
S ++=--=--，所以A C S S >，B C S S >，C D S S >，所以C S 最小，从而C 选项对应的系统混乱程度最高． 故选：C.
5．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知实数a ，b 满足()2log 1,01a a b a +=<<，则2
1log 4
b a a -的最小值为
（ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．不存在
【答案】A 【解析】 【分析】
由题设条件可得2
log 1a b a =-，从而利用换底公式的推论可得2
1
log 1b a a =
-，代入要求最小值的代数式中，
消元，利用均值不等式求最值 【详解】
2log 1a a b +=2log 1a b a ⇒=-2
1
log 1b a a ⇒=
- 又01a <<，则2011a <-<
()()22211log 11441b a a a a -=+---()
()22111041a a ≥⨯-=- 当且仅当()221141a a =--即2a = 故选：A
6．（2022·全国·模拟预测（理））已知1
0a b a
>>
>，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b
b a -⎛⎫
> ⎪
⎝⎭
B ．log log a a b
b
a b <
C ．log log a b b
a
a b <
D ．11b a a b
-
<- 【答案】D 【解析】 【分析】
根据不等式的性质，结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】 因为1
0a b a
>>
>，所以1a >， 对于A ：01b a <<，0a b ->，所以0
1a b
b b a a -<⎛⎫
⎛⎫
⎪
⎪⎝⎝⎭
=⎭，故A 错误； 对于B ：
1a
b
>，所以log a b y x =在(0,)+∞上为增函数，
又a b >，所以log log a a b
b
a b
>，故B 错误；
对于C ：log log log log log a b a a a b
a
b
b
b
b a b a ab
-=+=，
因为
1a
b
>，1ab >，所以log log 10a a b b ab =>，
所以
log log a b b
a
a b
>，故C 错误；
对于D ：11111()ab b a b a a b a b b a ab -⎛⎫⎛⎫-
--=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 因为0a b ->，1ab >， 所以111()0ab b a a b a b ab -⎛⎫⎛⎫-
--=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即11b a a b -<-，故D 正确. 故选：D
7．（2022·北京·北大附中三模）已知函数()2log 1f x x x =-+，则不等式()0f x <的解集是（ ） A ．()1,2 B ．()
(),12,-∞+∞
C ．()0,2
D ．()()0,12,⋃+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
由()0f x <可得2log 1x x <-，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可得答案. 【详解】
解：依题意，()0f x <等价于2log 1x x <-，
在同一坐标系中作出2log y x =，1y x =-的图象，如图所示：
如图可得2log 1x x <-的解集为：()()0,12,⋃+∞. 故选：D.
8．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）已知(),()y f x x R =∈是奇函数，当0x <时，
3
12
()8log ()f x x x =+-，则2(|log |)0f x <的解集为（ ）
A ．2
[(1,2] B ．2
(
2) C ．2
(
(1,2) D ．2
(2,)+∞ 【答案】C 【解析】 【分析】
先求出函数的解析式，令2log t x =，把原不等式转化为()0
f t t <⎧⎨≥⎩，利用单调性法解不等式即可得到答案.
【详解】
因为(),()y f x x R =∈是奇函数，当0x <时，3
12
()8log ()f x x x =+-；
所以当0x =时，()0f x =；
当0x >时，则0x -<，所以()3
12
()8log f x x x -=-+.
因为()y f x =是奇函数，所以()()3
12
()8log f x f x x x -=-=-+，所以()3
12
8log f x x x =-.即当0x >时，
()312
8log f x x x =-.
综上所述：()()3123128log ,00,
08log ,0
x x x f x x x x x ⎧+-<⎪⎪
==⎨⎪->⎪
⎩
. 令2log t x =，则2log 0t x =≥，所以不等式2(|log |)0f x <可化为：()0
0f t t <⎧⎨
≥⎩
. 当0=t 时，()0f t =不合题意舍去.
当0t >时，对于()3
12
8log f x x x =-.
因为3
y x =在()0,+∞上递增，
12
log y x
=-在()0,+∞上递增，所以()3
12
8log f x x x =-在()0,+∞上递增.
又3
121118log 0222
f ⎛⎫⎛⎫
=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
所以由()00
f t t <⎧⎨≥⎩可解得：102t <<，即210lo
g 2x <<，解得：2
((1,2)x ∈.
故选：C
9．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））函数()ln f x x =，其中()()2f x f y +=，记(
)
(
)()1
1
*
ln ln ln ln n
n n n
n S x x
y xy
y n N --=++
++∈，则2022
1
1
i i
S
==∑（ ）
A ．2022
2023
B ．2023
2022
C ．
2023
4044 D ．
4044
2023
【答案】A 【解析】 【分析】
由条件结合对数运算性质可求xy ，再结合倒序相加法求n S ，利用裂项相消法求2022
11i i
S =∑
. 【详解】
()()ln ln ln()2f x f y x y xy +=+==，∴2e xy =
()
()
11ln ln ln ln n n n n n S x x y xy y --=++
++，()
()
11ln ln ln ln n n n n n S y xy x y x --=++
++
()
2(1)ln (1)ln()2(1)n n n S n x y n n xy n n =+=+=+，∴(1)n S n n =+
2022
20222022
1111111120221(1)120232023i i i i
S i i i i ===⎛⎫==-=-= ⎪++⎝⎭∑∑∑， 故选：A ．
10．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知函数()ln f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2+a b 的取值范围是______． 【答案】()3,+∞ 【解析】 【分析】
由()()f a f b =，0a b <<可得01,1a b <<>，ln ln a b -=，得1
b a =
，所以22a b a a
+=+，然后构造函数
2
()(01)g x x x x
=+<<，利用可求出其单调区间，从而可求出其范围
【详解】
()ln f x x =的图象如图，
因为()()f a f b =， 所以ln ln a b =， 因为0a b <<， 所以ln 0a <，ln 0b >， 所以01,1a b <<>， 所以ln ln ,ln ln a a b b =-=，
所以ln ln a b -=，所以ln ln ln()0a b ab +==， 所以1ab =，则1b a
=， 所以22a b a a
+=+
， 令2()(01)g x x x x =+<<，则22()1x g x x x '
-=-=，
当01x <<时，()0g x '<， 所以()g x 在(0,1)上递减， 所以()(1)123g x g >=+=， 所以23+>a b ，
所以2+a b 的取值范围为()3,+∞， 故答案为：()3,+∞
11．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））若0a >，0b >，()lg lg lg 2a b a b +=+，则
2
2a b b
+的最小值为___________. 【答案】222+ 【解析】 【分析】
由()lg lg lg 2a b a b +=+可得2ab a b =+，变为2
11b
a
+=，则可利用
22222122a b a a a b
b b b b b b a b a
+⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】
∵()lg lg lg 2a b a b +=+，∴2ab a b =+，0a >，0b >，∴211b
a
+=，
∴22222122222222a b a a a b
a b b b b b b b a b a
b a +⎛⎫=+=++=++≥⋅=+ ⎪⎝⎭ 2a b =，即21a =，22b = ∴2
2a b b
+的最小值为222+故答案为：222+
12．（2022·云南师大附中模拟预测（理））给出下列命题：①3eln 242<15
15<；③ln e
π
π<
ln 332<，其中真命题的序号是______.
【答案】①②④ 【解析】 【分析】 构造函数ln ()(0)x
f x x x
=>，借助函数的单调性分别比较大小即可. 【详解】 构造函数ln ()(0)x f x x x =
>，所以21ln ()x
f x x -'=，得，当0e x <<时，()0f x '>；当e x >时，()0f x '<，于是()f x 在(0e)，上单调递增，在(e )+∞，上单调递减. 对于①，
112ln e 22ln e
3eln 2423e e e e 42424222
<<⇒<<⇒<，即(22)(e)f f <，又e 22<据()
f x 的单调性知(22)(e)f f <成立，故①正确；
对于②，15
2ln 15ln 2ln 15
2
15152ln15ln 2ln 22151515
<<⇒<
⇒<ln 22ln 2ln 42224==⨯，所以
ln 4ln 15
415
<(4)(15)f f <，又415e >，据()f x 的单调性知(4)(15)f f <成立，故②正确； 对于③，π2ln πln πe πe πe
<
<<⇒ ln πln πln e
π2e πe ，即(π)(e)f f <e πe ，据()f x 的单调性知(π(e)f f >成立，故③错误；
对于④，2ln 3
ln 332ln 2ln 233
<< ln 3ln 2
23
<，即(3)(2)f f <32e <<，据()f x 的单调性可知(3)(2)f f <成立，故④正确. 故答案为：①②④．
13．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数()()
2
()log 9,()log x a a f x a g x x ax =-=-，若对任意1[1,2]x ∈，存
在2[3,4]x ∈使得()()12f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为____________． 【答案】()()0,11,3
【解析】 【分析】
恒成立存在性共存的不等式问题，需要根据题意确定最值比大小解不等式即可. 【详解】
根据题意可得只需()()12min min f x g x ≥即可，由题可知a 为对数底数且29001a a ->⇒<<或13a <<.当01a <<时，此时(),()f x g x 在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知()f x 在[]1,2上单调递减，()g x 在[]
3,4上单调递减，所以()2
1min (2)log (9)a f x f a ==-，()2min (4)log (164)a g x g a ==-，所以
22log (9)log (164)9164a a a a a a -≥-⇒-≤-，即2470a a -+≥，可得01a <<；当13a <<时，由复合函数单调性
可知()f x 在[]1,2上单调递减，()g x 在[]3,4上单调递增，所以()2
1min (2)log (9)a f x f a ==-，
()2min (3)log (93)a g x g a ==-，所以22log (9)log (93)993a a a a a a -≥-⇒-≥-，即230a a -≤，可得13a <<.综上：
()()0,11,3a ∈⋃.
故答案为：()
()0,11,3.
14．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知函数()21
log 22x x
f x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，数列{}n a 是公差为2的等差数列，若()()()()112233440a f a a f a a f a a f a +++=，则数列{}n a 的前n 项和n S =___________. 【答案】24n n - 【解析】 【分析】
利用定义判断()f x 的奇偶性，并确定值域范围，根据已知条件易得14230a a a a +=+=，进而求出首项，根据等差数列前n 项和公式求n S . 【详解】
由2211()log (2)log (2)()22x
x
x x
f x f x ---=+
=+=且定义域为R ， 所以()f x 为偶函数，而11
22222
x x x x +≥⋅=，当0x =时等号成立，
所以在R 上()1f x ≥恒成立，
故要使()()()()112233440a f a a f a a f a a f a +++=，又{}n a 是公差为2的等差数列，
所以14230a a a a +=+=，则13a =-，故2
3(1)4n n n n n S n =-+-=-.
故答案为：24n n -. 【点睛】
关键点点睛：判断函数的奇偶性，根据其对称性确定1234,,,a a a a 的数量关系. 15．（2022·山西运城·模拟预测（文））若22
1e
e
,ln 12x x y y
-=-=，则xy =__________. 【答案】e
2##1e 2
【解析】 【分析】 将22
1
e
2
x x -=
变形为2ln22x x +=，e ln 1y y -=换元整理为ln 2t t +=，
构造函数()ln f x x x =+，由()f x 单增得到2x t =即可求解. 【详解】
由22
1e
2x x -=
，两边取以e 为底的对数，得1
22ln ln 2
x x -+=，即2ln22x x +=. 由e ln 1y y -=，令e t y =，则e
y t =，所以e ln 1t t
-=，即ln 2t t +=.
设()ln f x x x =+，则()1
10f x x
=+
>'，所以()ln f x x x =+在()0,∞+上单调递增. 由2ln22x x +=以及ln 2t t +=，则2x t =，又e t y =，所以e 2
xy =. 故答案为：e
2
.
1．（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >>
【答案】A 【解析】 【分析】
根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】
由910m
=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()22
2lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=．
又()22
2lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >， 所以8log 989890m b =-<-=．综上，0a b >>． 故选：A.
2．（2022·全国·高考真题）设0.1
10.1e ,ln 0.99
a b c ===-，，则（ ）
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．c a b <<
D ．a c b <<
【答案】C 【解析】 【分析】
构造函数()ln(1)f x x x =+-， 导数判断其单调性，由此确定,,a b c 的大小. 【详解】
设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x
'
=
-=-++， 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，
所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增， 所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110
ln ln 0.999
>=-，即b c >，
所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故110
9e 10-<，所以1
1011e 109
<，
故a b <，
设()e ln(1)(01)x
g x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11
x
x x g x x x x -+'=+=
--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，
当021x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减， 211x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增， 又(0)0h =，
所以当021x <<时，()0h x <，
所以当021x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增， 所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c > 故选：C.
3．（2022·浙江·高考真题）已知825,log 3a
b ==，则34a b -=（ ）
A ．25
B ．5
C ．
25
9 D ．53
【答案】C 【解析】 【分析】
根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】
因为25a =，821log 3log 33b ==，即323b =，所以()()
2
2323232452544392a a a b b b -====． 故选：C.
4．（2021·天津·高考真题）设0.3
212
log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a b c <<
B ．c a b <<
C ．b c a <<
D ．a c b <<
【答案】D 【解析】 【分析】
根据指数函数和对数函数的性质求出,,a b c 的范围即可求解. 【详解】
22log 0.3log 10<=，0a ∴<， 122
22
5
log 0.4log 0.4log log 212
=-=>=，1b ∴>， 0.3000.40.41<<=，01c ∴<<，
a c
b ∴<<.
故选：D.
5．（2020·全国·高考真题（理））若2233x y x y ---<-，则（ ） A ．ln(1)0y x -+> B ．ln(1)0y x -+< C ．ln ||0x y -> D ．ln ||0x y -<
【答案】A 【解析】 【分析】
将不等式变为2323x x y y ---<-，根据()23t t
f t -=-的单调性知x y <，以此去判断各个选项中真数与1的大
小关系，进而得到结果. 【详解】
由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，
令()23t t
f t -=-，
2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，
x y ∴<，
0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；
x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.
故选：A. 【点睛】
本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
6．（2020·全国·高考真题（文））设3log 42a =，则4a -=（ ） A ．
1
16
B ．19
C ．18
D ．16
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解 【详解】
由3log 42a =可得3log 42a
=，所以49a =，
所以有14
9
a
-=
， 故选：B. 【点睛】
本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.
7．（2019·天津·高考真题（理））已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<
【答案】A 【解析】
利用1
0,,12
等中间值区分各个数值的大小．
【详解】
551log 2log 52
a =<， 0.50.5log 0.2log 0.252
b =>=， 10.200.50.50.5<<，故
1
12
c <<， 所以a c b <<． 故选A ． 【点睛】
本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．
8．（2019·全国·高考真题（文））已知0.20.3
2log 0.2,2,0.2a b c ===，则
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
【答案】B 【解析】 【分析】
运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】
22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．
【点睛】
本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．
9．（2019·全国·高考真题（理））若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │
【答案】C 【解析】 【分析】
本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3x y =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3
y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，
12a b =<=，知D 错．
【详解】
取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，
满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ． 【点睛】
本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
10．（2016·全国·高考真题（理））已知4
32a =，254b =，1
325c =，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<
【答案】A 【解析】 【详解】
因为4133216a ==，2155416b ==，1
325c =， 因为幂函数1
3
y x =在R 上单调递增，所以a c <， 因为指数函数16x y =在R 上单调递增，所以b a <， 即b <a <c . 故选：A.
11．（2018·天津·高考真题（文））已知13313711
log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
【答案】D 【解析】 【详解】
分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.
详解：由题意可知：3337392log log log <<，即12a <<，1
3111044⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=，即01b <<， 1
333
17
552
log log log =>，即c a >，综上可得：c a b >>.本题选择D 选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数
不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 12．（2016·全国·高考真题（文））已知421
3332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<
【答案】A 【解析】 【详解】
因为4
2223
3
3
3
2=4,3,5a b c ===，且幂函数23
y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.
点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小. 13．（2016·全国·高考真题（文））若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c b C ．a c ＜b c D ．c a ＞c b
【答案】B 【解析】 【详解】
试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc
log c ,log c lg a lg b
=
=，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、
的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b
a b c c
==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数
1
lg c
改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用x y c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.
【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
14．（2016·浙江·高考真题（理））已知a ＞b ＞1.若log a b+log b a=5
2
，a b =b a ，则a=___，b=____.
【答案】 4 2 【解析】 【详解】
试题分析：设log ,1b a t t =>则，因为21522
t t a b t +=⇒=⇒=， 因此2
2222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒== 指数运算，对数运算． 在解方程5log log 2a b b a +=时，要注意log 1b a >，若没注意到log 1b a >，方程5
log log 2
a b b a +=的根有两个，由于增根导致错误
15．（2015·北京·高考真题（文））32-，1
23，2log 5三个数中最大数的是 ． 【答案】2log 5 【解析】 【详解】 31
218
-=
<，12331=>，22log 5log 423>>>2log 5最大.。