高三数学数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(及解析

高三数学数学导数及其应用多选题的专项培优练习题(及解析
一、导数及其应用多选题
1．关于函数()e cos x
f x a x =-，()π,πx ∈-下列说法正确的是（ ）
A ．当1a =时，()f x 在0x =处的切线方程为y x =
B ．若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =
C ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立
D ．当1a =时，()f x 在()π,π-上恰有2个零点 【答案】ABD 【分析】
直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A 选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC 选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D 选项. 【详解】
解：对于A ，当1a =时，()e cos x
f x x =-，()π,πx ∈-，
所以()0
0e cos00f =-=，故切点为（0，0），
则()e sin x
f x x '=+，所以()0
0e sin01f '=+=，故切线斜率为1，
所以()f x 在0x =处的切线方程为：()010y x -=⨯-，即y x =，故A 正确； 对于B ，()e cos x
f x a x =-，()π,πx ∈-，则()e sin x
f x a x '=+，
若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，即()0f x '=在()π,π-上恰有一个解， 令()0f x '=，即e sin 0x a x +=在()π,π-上恰有一个解， 则sin x
x
a e -=
在()π,π-上恰有一个解， 即y a =与()sin x
x
g x e -=
的图象在()π,π-上恰有一个交点， ()sin cos x
x x
g x e -'=
，()π,πx ∈-，
令()0g x '=，解得：134x π
=-，24
x π=， 当3,,44x ππππ⎛
⎫⎛⎫∈--
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭时，()0g x '>，当3,44x ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，()0g x '<， ()g x ∴在3,4ππ⎛
⎫--
⎪⎝
⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，
所以极大值为3423204
g e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，极小值为4
2
204g e π
π-
⎛⎫=
< ⎪⎝⎭， 而()()()0,0,00g g g ππ-===， 作出()sin
x
g x e -=
，()π,πx ∈-的大致图象，如下：
由图可知，当0a =时，y a =与()sin
x g x e
-=
的图象在()π,π-上恰有一个交点， 即函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =，故B 正确； 对于C ，要使得()0f x ≥恒成立，
即在()π,πx ∈-上，()e cos 0x
f x a x =-≥恒成立，
即在()π,πx ∈-上，cos x x
a e ≥恒成立，即max
cos x x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，
设()cos x x h x e =
，()π,πx ∈-，则()sin cos x
x x
h x e
--'=，()π,πx ∈-， 令()0h x '=，解得：14
x π
=-，234
x π
=
， 当3,,44x ππ
ππ⎛⎫⎛⎫∈--
⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭时，()0h x '>，当3,44x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时，()0h x '<，
()h x ∴在,4ππ⎛⎫
--
⎪⎝
⎭
上单调递增，在3,44ππ
⎛⎫-
⎪⎝⎭
上单调递减，在3,4ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增， 所以极大值为4
2
204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，()()11
,h h e e ππππ--==，
所以()cos x x
h x e =在()π,πx ∈-上的最大值为42
204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭
， 所以42
2a e π-≥时，在()π,πx ∈-上，()e cos 0x
f x a x =-≥恒成立，
即当4
2
2a e π-≥时，()0f x ≥才恒成立，
所以对任意0a >，()0f x ≥不恒成立，故C 不正确； 对于D ，当1a =时，()e cos x
f x x =-，()π,πx ∈-，
令()0f x =，则()e cos 0x
f x x =-=，即e cos x x =，
作出函数x
y e =和cos y x =的图象，可知在()π,πx ∈-内，两个图象恰有两个交点，
则()f x 在()π,π-上恰有2个零点，故D 正确.
故选：ABD. 【点睛】
本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.
2．已知函数1
(),()122
x x f x e g x n ==+的图象与直线y =m 分别交于A ､B 两点，则（ ）
A ．f (x )图像上任一点与曲线g (x )上任一点连线线段的最小值为2+ln 2
B ．∃m 使得曲线g (x )在B 处的切线平行于曲线f (x )在A 处的切线
C ．函数f (x )-g (x )+m 不存在零点
D ．∃m 使得曲线g (x )在点B 处的切线也是曲线f (x )的切线 【答案】BCD 【分析】
利用特值法，在f (x )与g (x )取两点求距离，即可判断出A 选项的正误；解方程12
()(2)m f lnm g e
-''=，可判断出B 选项的正误；利用导数判断函数()()y f x g x m =-+的单
调性，结合极值的符号可判断出C 选项的正误；设切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D 选项
的正误．进而得出结论． 【详解】
在函数1(),()122x
x f x e g x n ==+上分别取点1(0,1),(2,)2P Q
，则||PQ =
2ln 22
<+（注ln 20.7≈），故A 选项不正确； ()x f x e =，1
()22x g x ln =+，则()x f x e '=，1()g x x
'=，
曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为()f lnm m '=， 曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为1
2
12
1(2)2m m g e
e
--'=
，
令12
()(2)
m f lnm g e
-
''=，即12
12m m e
-=
，即1
221m me -=，则1
2
m =满足方程1
221m me -=，
m ∴∃使得曲线()y f x =在A 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；
构造函数1()()()22x
x F x f x g x m e ln m =-+=-+-，可得1()x F x e x
'=-，
函数1()x
F x e x
'
=-
在(0,)+∞
上为增函数，由于1
()20F e '<，F '（1）10e =->，
则存在1(,1)2t ∈，使得1()0t
F t e t
'=-=，可得t lnt =-，
当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>．
∴11
()()2222
t t min t F x F t e ln m e lnt m ln ==-+-=-++-
1113
2220222
t m ln m ln ln m t =+++->+-=++>，
∴函数()()()F x f x g x m =-+没有零点，C 选项正确；
设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点(C n ，())g n ，
则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()lnm y m e x lnm -=-，即(1)y mx m lnm =+-， 同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为1122
n y x ln n =
+-， ∴11
(1)22
m n n m lnm ln ⎧
=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得1(1)202m m lnm ln --++=，
令1()(1)22G x x x lnx ln =--++
，则11
()1x G x lnx lnx x x
-'=-
-=-， 函数()y G x '=在(0,)+∞上为减函数，G '（1）10=>，1
(2)202
G ln '=
-<， 则存在(1,2)s ∈，使得1
()0G s lns s
'=-=，且1s s e =．
当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<．
∴函数()y G x =在(2,)+∞上为减函数，
5(2)02G =
>，17
(8)20202
G ln =-<， 由零点存 定理知，函数()y G x =在(2,)+∞上有零点， 即方程1
(1)202
m m lnm ln --++
=有解． m ∴∃使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线．
故选：BCD ． 【点睛】
本题考查导数的综合应用，涉及函数的最值、零点以及切线问题，计算量较大，考查了转化思想和数形结合思想，属难题．
3．函数ln ()x
f x x
=
，则下列说法正确的是（ ） A ．(2)(3)f f >
B ．ln π>
C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则2
12x x e <
D ．若25,x y x y =、均为正
数，则25x y < 【答案】BD 【分析】
求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．
由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ，由函数()f x 性质判断BC ，设
25x y k ==，且,x y 均为正数，求得252ln ,5ln ln 2ln 5
x k y k =
=，再由函数()f x 性质判断D ． 【详解】
由ln (),0x f x x x
=
>得：2
1ln ()x
f x x -'= 令()0f x '=得，x e =
当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：
故，()f x x
=
在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，()f e e =是极大值也是最大值，
x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e >时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，
A ．11
3
2ln 2(2)ln
2,(3)ln
32
f f ===
66
111133
22
323
2(3)(2)f f ⎛⎫⎛⎫>∴>∴> ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，故A 错
B ．
e e π<，且()
f x 在(0,)e 单调递增
ln f f e ππ
∴<<<∴>，故：B 正确 C ．
()f x m =有两个不相等的零点()()1212,x x f x f x m ∴==
不妨设120x e x <<<
要证：2
12x x e <，即要证：2
2
1222
,()e e x x e e
f x x x
<
>∴<在(0,)e 单调递增，∴只
需证：()212e f x f x ⎛⎫
< ⎪⎝⎭即：()222e f x f x ⎛⎫
<
⎪⎝⎭只需证：()2220e f x f x ⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
……① 令2()(),()e g x f x f x e x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭
，则2211()(ln 1)g x x e x '
⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
当x e >时，2211ln 1,
()0()x g x g x e x
'
>>∴>∴在(,)e +∞单调递增
()22()0x e g x g e >∴>=，即：()2220e f x f x ⎛⎫
-> ⎪⎝⎭
这与①矛盾，故C 错
D ．设25x y k ==，且,x y 均为正数，则25ln ln log ,log ln 2ln 5
k k
x k y k ==
== 25
2ln ,5ln ln 2ln 5
x k y k ∴=
= 11
5
2
ln 2ln 5
ln 2,ln 525==且1010111
15
32
22525⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
ln 2ln 525
02525ln 2ln 5x y ∴
>>∴<∴<，故D 正确． 故选：BD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数()f x 的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量12,x x ，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．
4．关于函数()2
ln f x x x
=
+，下列判断正确的是（ ） A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数y
f x
x 有且只有1个零点
C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立
D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】BD 【分析】
对于A ，利用导数研究函数()f x 的极值点即可； 对于B ，利用导数判断函数y f x
x 的单调性，再利用零点存在性定理即得结论；
对于C ，参变分离得到22ln x k x x <
+，构造函数()22ln x g x x x
=+，利用导数判断函数()g x 的最小值的情况；
对于D ，利用()f x 的单调性，由()()12f x f x =得到1202x x <<<，令()2
1
1x t t x =
>，由()()12f x f x =得21222
ln t x x t t
-+=，所以要证124x x +>，即证2224ln 0t t t -->，构
造函数即得． 【详解】
A ：函数()f x 的定义域为0,，()22212
x f x x x x
-'=-
+=，当()0,2x ∈时，0f x
，()f x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，0f
x
，()f x 单调递增，所以
2x =是()f x 的极小值点，故A 错误．
B ：()2ln y f x x x x x
=-=+-，222
212
10x x y x x x -+'=-+-=-<，所以函数在
0,上单调递减．又()112ln1110f -=+-=>，()221ln 22ln 210f -=+-=-<，所以函数y
f x
x 有且只有1个零点，故B 正确．
C ：若()f x kx >，即
2
ln x kx x +>，则22ln x k x x <+．令()22ln x g x x x
=+，则()3
4ln x x x
g x x
-+-'=
．令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，当()0,1∈x 时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,∈+∞x 时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()130h x h ≤=-<，所以0g x
，所以()22ln x g x x x
=
+在0,上单调递减，
函数无最小值，所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错误． D ：因为()f x 在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，
∴2x =是()f x 的极小值点．
∵对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<． 令()211x t t x =>，则21x tx =，由()()12f x f x =，得1212
22
ln ln x x x x +=+， ∴
211222ln ln x x x x -=-，即()2121212ln x x x x x x -=，即()111
21ln t x t x tx -=⋅，解得()121ln t x t t -=，()2121ln t t x tx t t
-==
，所以21222
ln t x x t t
-+=．
故要证124x x +>，需证1240x x +->，需证
22240ln t t t -->，需证2224ln 0ln t t t
t t
-->． ∵2
1
1x t x =
>，则ln 0t t >， ∴证2224ln 0t t t -->．令()()2
224ln 1H t t t t t =-->，()()44ln 41H t t t t '=-->，
()()()414401t H t t t t
-''=-
=>>，所以()H t '在1,上是增函数．
因为1t →时，()0H t '→，则()0H t '>，所以()H t 在1,
上是增函数．
因为1t →时，()0H t →，则()0H t >，所以
2224ln 0ln t t t
t t
-->，
∴124x x +>，故D 正确． 故选：BD ． 【点睛】
关键点点睛：利用导数研究函数的单调性、极值点，结合零点存在性定理判断A 、B 的正误；应用参变分离，构造函数，并结合导数判断函数的最值；由函数单调性，应用换元法并构造函数，结合分析法、导数证明D 选项结论.
5．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4a =-时，()f x 在11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦上的平均变化率为
194
B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线4
27
y =
有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称
D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】
运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，
先得出1x ，2x 为方程()2
3210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选
项． 【详解】
对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，
则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()
119
123
192221412
⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；
对于B ，当1a =时，()()2
3212f x x x x x x =-=-+，
()()()2341311f x x x x x '=-+=--，
可得下表：
因为14327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()42227
f =>，结合()f x 的单调性可知， 方程()427f x =
有两个实数解，一个解为1
3
，另一个解在()1,2上，故B 正确； 对于C ，当2a =时，()()()()()()()2
3
1211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦
，
则有()()()()()()33
211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确； 对于D ，()()()1f x x x x a =--，
()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，
令()0f x '=，可得方程()2
3210x a x a -++=，
因为()
()2
2
412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，
所以1x ，2x 为方程()2
3210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧
+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--
()()()()33
221212121x x a x x a x x =+-++++
()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦
()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦ ()()()()()2124221
2113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦
因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.
6．关于函数()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+，下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．()f x 存在唯一极小值点0x C ．()f x 在(,)π-+∞上有一个零点
D ．()f x 在(,)π-+∞上有两个零点
【答案】ABD
【分析】
根据函数()f x 求得()'f x 与()f x ''，再根据()0f x ''>在(,)π-+∞恒成立，确定()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，及(0,)x ∈+∞()0f x '>，且存在唯一实数03(,)42x ππ∈--，使0()=0f x '，从而判断A ，B 选项正确；再据此判断函数()f x 的单调性，从而判断零点个数.
【详解】
由已知()sin ,(,)x f e x x x π∈-=+∞+得()cos x f x e x '=+，()sin x f x e x ''=-，
(,)x π∈-+∞，()0f x ''>恒成立，
()'f x 在(,)π-+∞上单调递增，
又3423()0,()0,(0)20422
f e f e f ππππ--'''-=-<-=>=> (0,)x ∴∈+∞时()(0)0f x f ''>>，且存在唯一实数03(,)42
x ππ∈-
-，使0()=0f x '，即00cos x e x =-， 所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()f x 存在唯一极小值点0x ，故A,B 选项正确. 且()f x 在0(,)x π-单调递减，0(,)x +∞单调递增，
又()00f e ππ--=+>，000000()sin sin cos )04
x f x e x x x x π=+=-=-<，(0)10=>f ，所以()f x 在(,)π-+∞上有两个零点，故D 选项正确，C 选项错误. 故选：ABD.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
7．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ）
A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值
B ．若0a >，则函数()f x 有极值
C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫
-∞⋃⎨⎬⎩⎭
【答案】ABD
【分析】
先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断.
【详解】
解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x
'-=-=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点，
当0a >时，在10,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减， 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1x a
=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+
⎪⎝⎭
， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞， 当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞，
当1ln 0a +=，即1a e
=时，()f x 有且只有一个零点； 当1ln 0a +<，即10a e
<<
时，()f x 有且仅有两个零点， 综上可知ABD 正确，C 错误．
故选：ABD ．
【点睛】
方法点睛：函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令()0f x ＝
，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
8．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线
y kx b =+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，
()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln x f x x =
，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（ ）
A ．y x =
B ．12y x =-
C ．3e x y =
D ．1122
y x =- 【答案】AB
【分析】 根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解.
【详解】
根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，
由函数()ln x f x x =，可得()21ln x f x x
-'=， 所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，
因为()10f =，()11f '=，此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-， 且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方；
又由函数()1x g x e -=，可得()1e 0x g x -'=>，()g x 单调递增，
因为()()111g g '==，所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-，即y x =， 此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方，
根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象，如图所示，
直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A ，B 都符合；
设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y ， 根据导数的几何意义，可得切线的斜率为0201ln x k x -=
， 又由斜002000ln 0y x k x x -==-，可得002100
ln 1ln x x x x -=
，解得0x =，
所以12k e ==，可得切线方程为2x y e =， 又由直线3x y e =
与曲()y f x =相交，故C 不符合； 由直线1122
y x =-过点()1,0，斜率为12，曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1，
明显不满足，排除D.
故选：AB.
【点睛】
对于函数的新定义试题：
（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；
（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方.。