湖南省部分学校第一次联考

湖南省部分学校2004届第一次联考数学试题
总分150分
时量：120分钟
第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一、选择题：（本小题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合要求的）
1、设全集∪＝{1、
2、
3、
4、5}，集合A ＝{1、3、4}，B ＝{2、3、5}，则下列集合中，表示空集的是（ ）
A （C U A ）∩（C U
B ） B （
C U A ）∩B
C
（C U B ）∩A
D
A ∩B
2、函数y ＝f （x ）,x ∈[－2，4]的图象与直线x ＝2的交点个数为（ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 无数个
3、曲线2
x y =在1=x 处的切线与圆5
1
)1(22=
+-y x 的位置关系是（ ）
A 相离 B
相切 C 相交
D 无法确定 4、函数3
)(2
21m x e y --
⋅=π
（m ＞0）的部分图象大致是（
）
5、（理）
=+---+i
i i i 1)2(1)21(2
2（ ）
A
―3＋4i
B
―3―4 i
C
3＋4 i
D
3―4 i
（文）抛物线的焦点坐标是（ ）
A
（2，0）
B
（1，0）
C
（1，1）
D
（0，0）
6、在等差数列{}n a 中，1554=+a a ，则=2a （ ）
A –3
B 0
C 1
D 2
7、将4张不同的彩色图片与3张互不相同的黑白照片排成一排，任何两张黑白照片都不相邻的不同排法的种数是（ ）
A 3
44
4A A
B
3344A A
C
3544C A
D
3544A A
8、如图：E 、F 分别是三棱锥P －ABC 的棱AP 、BC 的中点PC ＝10，AB ＝6，EF ＝7，则异面直线AB 和PC 所成的角是（ ）
A 600
B 450
C 900
D 1200
9、)2,(+=y x a ，)2,(-=y x b
2=-，则点M(x,y)的轨迹是（ ）
A
双曲线
B
椭圆
C
抛物线
D
双曲线一支
10、10个小球中有3个红球，随机地分配给10个小朋友，每人1个球，则最后三个分到球的小朋友恰有一个得到红球的概率为（ ）
A
10
34
4
C B
3
10
2
713C C C
C
61
3
)10
7
(103⨯C D
2)10
7(103⨯ 11、如图，正三棱锥A －BCD 中，E 在棱AB 上，F 棱CD 上并且
)0(∞== λλFD
CF
EB AE 设α为异面直线EF 与AC 所成的角，β为异面直线EF 与BD 所成的角，则α＋β的值是（ ）.
A
6π B 4
π
C
2
π
D
与λ有关的变量
12、（理）参数方程⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=θθθsin 1212
sin 2cos y x （θ为参数，且0＜θ＜π)，表示（ ）
A 过点A （1，
2
1
）的双曲线 B 过点A （1，
2
1
）的抛物线的一部分 C 过点A （1，
21）的椭圆的一部分 D 过点A （1，2
1
）的圆弧. （文）以过抛物线的焦点F 的弦为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（ ） A
相离
B
相交
C 相切
与P 有关
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题，（本题共4个小题，每小题4分，共16分）
13、（理）定义符号函数⎪⎩
⎪⎨⎧-==)0(1)0(0)
0(1sgn x x x x 则不等式：x
x x sgn )12(2-+ 的解集是
_______________.
（文）不等式11
x
的解集是___________________. 14
、
设
)
(x f 是
定
义
在
R
上
的
奇
函
数
，
且
.______________)4()10(),6()1(,2)1(=++=+=f f x f x f f 则
15、二项式n
ax )1(+展开式中各项的二项式系数和为1024，且二项式系数最大的项系数
为252，则._________113
1
lim =--→x ax x 16、若对n 个向量n a a a 21,存在n 个不全为零的实数n k k k 21，使得2211=+++n n a k a k a k 成立，则称向量n a a a 21,为“线性相关”
，依此规定能说明)2,2(),1,1(),0,1(321===a a a “线性相关”的实数321,,k k k 依次可以取__________(写出一组即可). 三 解答题：
17、（12分）已知)sin ,(cos ),sin 3,sin )3
sin(2(x x x x x -=++
=π
，
设x f ⋅=)(
（1） 求)(x f 的最小正周期； （2） 求)(x f 的单调递增区间.
18、（文）设人的某一特征是由他的一对基因决定的，以d 表示显性基因，r 表示隐性基因。

则具有dd 基因的人为纯显性，具有rr 基因的人是纯隐性，具有rd 基因的人为混合性。

纯显性与混合性的人都显露显性基因的某一特征。

孩子从父母身上各得到1个基因。

假定父母都是混合性的，问：
（1） 1个孩子有显性基因决定的特征的概率为多少？
（2） 2个孩子中至少有一个有显性基因决定的特征的概率为多少？
（理）（12分）某超市为扩大销售调查进入该超市顾客的人数，经观察，在一段时间内，进入超市为n 个人的概率为p (n)满足关系
⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤=)
6(0)
51)(0()2
1()(n n p n p n
（1） 求一个顾客也没有的概率p （0） （2） 求一段时间进入该超市顾客的期望值。

19、（12分）如图：直三棱柱 ABC －111C B A 中，已知∠ABC ＝900，AB ＝BC ＝BB 1
＝1.
（1） 求异面直线AB 1与BC 1所成的角； （2） 求二面角A －11C B －A 1的大小.
B 1
C 1
A 1
B C
A
20、（12分）已知椭圆)0(12222 b a b
y a x =+的离心率36=e ，过点A （0，－b ），和
B （a ，0）的直线与原点的距离为2
3
. （1） 求椭圆的方程；
（2） 已知定点E （－1，0），若直线)0(2≠+=k kx y 与椭圆交于C 、D 两点问：是否
存在k 的值，使得CD 为直径的圆过E 点？请说明理由。

21、（12分）（文）在数列{}n a 中，*
-∈≥+++==N n ）n a a a a a n n 且2(,41211 ），
.l
o g l
o g 212
2
+⋅=n n n a a b
（1） 求{}{
}n n b a 、的通项公式； （2） 设,32
11121m
S ，b b b S n n n 求使+++=
对一切n ∈N *恒成立的最小正整数m 的值。

（理）（12分）设函数)(x f y =，定义域为R ，当0 x 时，1)( x f ，且对于任意的
R
y x ∈,，有
)()()(y f x f y x f ⋅=+成立，数列
{}
n a 满足
)()
2(1
)(),0(11*+∈--=
=N n a f a f f a n n 且
（1） 求1a ；
（2） 判断)(x f 的单调性； （3） 求{}n a 的通项公式。

22、（14分）设函数)(x f 在定义域D 内，存在D x ∈0，使00)(x x f =成立，则称点
))(,(00x f x 为函数)(x f 图象上的不动点。

（1） 若函数b
x x
x f +=
3)(的图象上有且仅有一个不动点，求)(x f 的解析式； （2） 对（1）中的b 值，设b
x x x g ++=
8
3)(图象上有两个不动点A ，B ，P 为)(x g 图象
上的另一个不同与A 、B 的点，且3 P y ，求点P 到直线AB 距离的最小值及取得最小值时的P 的坐标。