《一元二次方程根的判别式》课件 湘教版PPT
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第二章 一元二次方程
第二章
一元二次方程
2.3 一元二次方程根 的判别式
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
掌握一元二次方程根的判别式 掌握一元二次方程根的判别式的
应用.
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
复习提问
引出问题
老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否
复有习提解问，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说 引出出问每题个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗?
2a
x2＝b
b2 4ac .
2a
x1＝x2＝
b 2a
.
感悟新知
知2－练
例1
不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
(1) 3x2＋4x －3 = 0； (2) 4x2 = 12x －9；
(3) 7y = 5 ( y2＋1 ).
感悟新知
知2－练
感悟新知
归纳
知2－讲
感悟新知
知2－练
1 ． 一 元 二 次 方 程 (x ＋ 1)(x － 1) ＝ 2x ＋ 3 的 根 的 情 况 是 ( A) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
∴Δ ≥0，即4－4(m－2)≥0. ∴ m≤3且 m≠2.
∴m≤3，
感悟新知
归纳
知3－讲
应用Δ 的前提是二次项系数不为0.
方程有两个不等的实数根 Δ＞0；方程有两个
相等的实数根 Δ=0； 方程没有实数根 Δ＜0， 这
样，就可以根据根的情况构建方程或不等式，从而求
出字母的值或取值范围. 当待求的字母出现在二次项系数中，
感悟新知
知2－练
2．一元二次方程x2－2x＋3＝0根的情况是( C ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
感悟新知
知2－练
3．关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况 是( A ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定
感悟新知
知1－练
2．方程6x－8＝5x2化为一般形式ax2＋bx＋c＝0后，a， b，c的值为( C ) A．a＝5，b＝6，c＝－8 B．a＝5，b＝－6，c＝－8 C．a＝5，b＝－6，c＝8 D．a＝6二次方程根的类别
知2－讲
x1＝b
b2 4ac ,
感悟新知
知识点 3 一元二次方程根的判别式的应用
一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况： 1.不解方程，由根的判别式的正负性及是否为0可 直接判定根的情况. 2. 根据方程根的情况， 结合根的判别式来确定方程 中待定字母的取值范围，若二次项系数中含有字 母，则应注意检验二次项系数是否为零. 3. 应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、 有两个不等的实根、有两个相等的实根）.
感悟新知
(1)当b2－4ac＞0时，
b2
4ac
4a2
＞0.
由于正数有两个平方根，所以原方程的根为：
x1＝b
b2 4ac ,
2a
x2＝b
b2 4ac .
2a
此时，原方程有两个不相等的实数根.
知1－导
(2)当b2－4ac＝0时，
b2 4ac 4a2 0,
由于0的平方根为0，所以原方程的根为
而无法判定方程为一元二次方程时，解题时要分类讨论.
课堂小结
根的判 别式
公 式 法 根的判
别式的 应用
一元二次方程
x＝b b2 4ac 2a
知3－导
感悟新知
例2 【中考·凉山】关于 x 的一元二次方程 ( m－2 )x2＋
2x＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是( D )
A．m ≤3
B．m ＜3
C．m ＜3且m≠2
D．m ≤3且m≠2
知3－练
解题秘方：紧扣根的判别式与根的情况的关系进行解答. 解：∵方程为一元二次方程，
∴ m－2 ≠ 0，即m ≠ 2. ∵一元二次方程有实数根，
感悟新知
知识点 1 一元二次方程根的判别式
知1－导
议一议
我们运用公式法求解一元二次方程ax2＋bx＋c = 0
(a≠0)时，总是要求b2－4ac≥0. 这是为什么?
将方程ax2＋bx＋c = 0 ( a≠0 ) 配方后得到
x
b 2a
2
＝b2
4ac
a2
.
由于a≠0，所以4a2 ＞0，因此我们不难发现：
x1＝x2＝
b 2a
.
此时，原方程有两个相等的实数根.
感悟新知
知1－导
(3)
当b2－4ac＜0时，b2
4ac
4a2
＜0.
由于负数在实数范围内没有平方根，所以原方
程没有实数根.
感悟新知
归纳
知1－讲
感悟新知
知1－练
1．方程7x＝2x2－4化为一般形式ax2＋bx＋c＝0后，a ＝ ___2___ ， b ＝ __－__7__ ， c ＝ __－__4__ ， b2 － 4ac ＝ ___8_1__．
第二章
一元二次方程
2.3 一元二次方程根 的判别式
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
掌握一元二次方程根的判别式 掌握一元二次方程根的判别式的
应用.
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
复习提问
引出问题
老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否
复有习提解问，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说 引出出问每题个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗?
2a
x2＝b
b2 4ac .
2a
x1＝x2＝
b 2a
.
感悟新知
知2－练
例1
不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
(1) 3x2＋4x －3 = 0； (2) 4x2 = 12x －9；
(3) 7y = 5 ( y2＋1 ).
感悟新知
知2－练
感悟新知
归纳
知2－讲
感悟新知
知2－练
1 ． 一 元 二 次 方 程 (x ＋ 1)(x － 1) ＝ 2x ＋ 3 的 根 的 情 况 是 ( A) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
∴Δ ≥0，即4－4(m－2)≥0. ∴ m≤3且 m≠2.
∴m≤3，
感悟新知
归纳
知3－讲
应用Δ 的前提是二次项系数不为0.
方程有两个不等的实数根 Δ＞0；方程有两个
相等的实数根 Δ=0； 方程没有实数根 Δ＜0， 这
样，就可以根据根的情况构建方程或不等式，从而求
出字母的值或取值范围. 当待求的字母出现在二次项系数中，
感悟新知
知2－练
2．一元二次方程x2－2x＋3＝0根的情况是( C ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
感悟新知
知2－练
3．关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况 是( A ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定
感悟新知
知1－练
2．方程6x－8＝5x2化为一般形式ax2＋bx＋c＝0后，a， b，c的值为( C ) A．a＝5，b＝6，c＝－8 B．a＝5，b＝－6，c＝－8 C．a＝5，b＝－6，c＝8 D．a＝6二次方程根的类别
知2－讲
x1＝b
b2 4ac ,
感悟新知
知识点 3 一元二次方程根的判别式的应用
一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况： 1.不解方程，由根的判别式的正负性及是否为0可 直接判定根的情况. 2. 根据方程根的情况， 结合根的判别式来确定方程 中待定字母的取值范围，若二次项系数中含有字 母，则应注意检验二次项系数是否为零. 3. 应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、 有两个不等的实根、有两个相等的实根）.
感悟新知
(1)当b2－4ac＞0时，
b2
4ac
4a2
＞0.
由于正数有两个平方根，所以原方程的根为：
x1＝b
b2 4ac ,
2a
x2＝b
b2 4ac .
2a
此时，原方程有两个不相等的实数根.
知1－导
(2)当b2－4ac＝0时，
b2 4ac 4a2 0,
由于0的平方根为0，所以原方程的根为
而无法判定方程为一元二次方程时，解题时要分类讨论.
课堂小结
根的判 别式
公 式 法 根的判
别式的 应用
一元二次方程
x＝b b2 4ac 2a
知3－导
感悟新知
例2 【中考·凉山】关于 x 的一元二次方程 ( m－2 )x2＋
2x＋1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是( D )
A．m ≤3
B．m ＜3
C．m ＜3且m≠2
D．m ≤3且m≠2
知3－练
解题秘方：紧扣根的判别式与根的情况的关系进行解答. 解：∵方程为一元二次方程，
∴ m－2 ≠ 0，即m ≠ 2. ∵一元二次方程有实数根，
感悟新知
知识点 1 一元二次方程根的判别式
知1－导
议一议
我们运用公式法求解一元二次方程ax2＋bx＋c = 0
(a≠0)时，总是要求b2－4ac≥0. 这是为什么?
将方程ax2＋bx＋c = 0 ( a≠0 ) 配方后得到
x
b 2a
2
＝b2
4ac
a2
.
由于a≠0，所以4a2 ＞0，因此我们不难发现：
x1＝x2＝
b 2a
.
此时，原方程有两个相等的实数根.
感悟新知
知1－导
(3)
当b2－4ac＜0时，b2
4ac
4a2
＜0.
由于负数在实数范围内没有平方根，所以原方
程没有实数根.
感悟新知
归纳
知1－讲
感悟新知
知1－练
1．方程7x＝2x2－4化为一般形式ax2＋bx＋c＝0后，a ＝ ___2___ ， b ＝ __－__7__ ， c ＝ __－__4__ ， b2 － 4ac ＝ ___8_1__．