Ch5-4广义积分

曲线
曲边梯形的面积可记作
2
1
x y =A
1
b
+∞
定义 1 设函数)(x f 在区间),[+∞a 上连续，取
a b >，如果极限⎰+∞→b
a
b dx x f )(lim
存在，则称此极限为函数
)(x f
在无穷区间
),[+∞a 上的广义积分，记作⎰∞
+a
dx x f )(.
⎰∞
+a
dx x f )(⎰+∞
→=b
a b dx
x f )(lim 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，
称广义积分发散.
一、无穷限的广义积分
类似地，设函数)(x f 在区间],(b -∞上连续，取
b a <，如果极限⎰-∞→b
a
a dx x f )(lim
存在，则称此极限为函数)(x f 在无穷区间],(b -∞上的广义积分，记作⎰∞-b
dx x f )(.
⎰∞-b
dx
x f )(⎰-∞→=b
a
a dx x f )(lim
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，
称广义积分发散.
设函数)(x f 在区间),(+∞-∞上连续,如果广义积分0()f x dx -∞
⎰
和0
()f x dx +∞⎰
都收敛，则称
上述两广义积分之和为函数)(x f 在无穷区间
),(+∞-∞上的广义积分，记作⎰∞
+∞-dx x f )(.
⎰∞
+∞-dx x f )(⎰∞-=0
)(dx x f ⎰∞
++0
)(dx
x f ⎰-∞→=0
)(lim
a
a dx x f ⎰+∞→+b
b dx
x f 0)(lim 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.
注意:
⎰∞
+∞
-dx x f )(0
()f x dx -∞=⎰0
()f x dx
+∞
+⎰
lim ()a
a f x dx →-∞=⎰0lim ()b
b f x dx
→+∞
+⎰0lim ()a
a f x dx →-∞⎰0
lim ()b
b f x dx
→+∞⎰与只要有一个极限不存在, 就称发散.
()f x dx +∞
-∞⎰
引入记号
()lim ();
x F F x →+∞
+∞=()lim ()
x F F x →-∞
-∞=则有类似牛顿–莱布尼茨公式的计算表达式:
()()
F F a =+∞-()()
F b F =--∞()()
F F =+∞--∞⎰∞
+∞
-dx x f )([]()F x +∞
-∞=[]()b
F x -∞=[]()a F x +∞
=()a
f x dx +∞
⎰
()b
f x dx -∞
⎰
x
o y
2
1
1y x
=+lim arctan x →+∞
=
与开口曲边梯形的面积x
y 1=
0A 1
x
y
ε
1A =⎰
定义2 设函数)(x f 在区间],(b a 上连续，而
lim ()x a
f x +→=∞．取0>ε，如果极限0
lim ()b
a f x dx
ε
ε++→⎰
存在，则称此极限为函数)(x f 在区间],(b a 上的广义积分，记作⎰b
a dx x f )(.
⎰b
a
dx x f )(⎰+→+=b
a dx
x f εε)(lim 0
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.
定义中a 称为瑕点．
类似地，设函数)(x f 在区间),[b a 上连续，而
lim ()x b
f x -→=∞.取0>ε，如果极限0
lim ()b a
f x dx
ε
ε+-→⎰
存在，则称此极限为函数)(x f 在区间),[b a 上的广义积分，记作
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.
⎰b
a dx x f )(⎰-→+
=ε
εb a
dx
x f )(lim 0定义中b 称为瑕点．
设函数)(x f 在区间],[b a 上除点)(b c a c <<外连续，而lim ()x c
f x →=∞.如果两个广义积分⎰c
a dx
x f )(和⎰b
c dx x f )(都收敛，则定义广义积分
⎰b a dx x f )(⎰=c a dx x f )(⎰+b
c
dx
x f )(否则，就称广义积分⎰b
a dx x f )(发散.
定义中c 称为瑕点.
110
lim ()c a
f x dx εε+-→=⎰
2
20
lim ()b
c f x dx
εε++→+⎰
公式的的计算表达式:
无界函数的广义积分（瑕积分）无穷限的广义积分（无穷积分）
⎰∞
+∞-dx
x f )(⎰∞-b
dx x f )(⎰∞
+a
dx
x f )(⎰⎰⎰+=c a b
c
b a dx
x f dx x f dx x f )()()(（注意：不能忽略内部的瑕点）
⎰b
a dx x f )(小结
11
=⎰
当一题同时含两类广义积分时,应划分积分区间分别讨论每一区间上的广义积分.
若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类
(3)
例如,
间断点,而不是广义积分.则本质上是常义积分,
1
⎤下述解法是否正确:
讨论广义积分的收敛性所以广义积分。