八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题测试题试卷

八年级初二数学下学期平行四边形单元易错题测试题试卷
一、解答题
1．已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD所在平面内一动点（不与点D重合），AB＝AE，过点B作DE的垂线交DE所在直线于F，连接CF．
提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？
探究问题：
（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重合．用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：；
（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：
情况1：当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；
情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时．
在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；
拓展问题：
（3）连接AF，用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：．
的平分线交BC于点E，交DC的延长线于2．如图，在平行四边形ABCD中，BAD
F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．
（1）求证：四边形ECFG 是菱形；
（2）连结BD 、CG ，若120ABC ∠=︒，则BDG ∆是等边三角形吗？为什么？ （3）若90ABC ∠=︒，10AB =，24AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长．
3．如图，在长方形ABCD 中，8,6AB AD ==． 动点P Q 、分别从点、D A 同时出发向点C B 、运动，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位，当点P 运动到点C 时，两个点都停止运动，设运动的时间为()t s ．
（1）请用含t 的式子表示线段PC BQ 、的长，则PC ________，BQ =________． （2）在运动过程中，若存在某时刻使得BPQ ∆是等腰三角形，求相应t 的值．
4．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连BE ，取BE 中点O ．
（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；
（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；
（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且135PCQ ︒∠=，则PC ．（直接写出结果）
5．直线1234,,,,l l l l 是同一平面内的一组平行线．
(1)如图1．正方形ABCD 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A ，点C 分别在直线1l 和4l 上，求正方形的面积；
(2)如图2，正方形ABCD 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为123h h h ，，．
①求证：13h h =；
②设正方形ABCD 的面积为S ，求证222211 2 2 S h h h h =++．
6．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，连接AC ，点P 、E 分别在AB 、CD 上，连接PE ，PE 与AC 交于点F ，连接PC ，D ∠=BAC ∠，DAE AEP ∠=∠． （1）判断四边形PBCE 的形状，并说明理由；
（2）求证：CP AE =；
（3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么特殊四边形？请说明理由．
7．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。

（1）如图1，损矩形ABCD ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，则该损矩形的直径是线段AC ，同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点，在公共边的同侧的两个角是相等的。

如图1中：△ABC 和△ABD 有公共边AB ，在AB 同侧有∠ADB 和∠ACB ，此时∠ADB ＝∠ACB ；再比如△ABC 和△BCD 有公共边BC ，在CB 同侧有∠BAC 和∠BDC ，此时∠BAC ＝∠BDC 。

请再找一对这样的角来 ＝
（2）如图2，△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AC 为一边向形外作菱形ACEF ，D 为菱形ACEF 的中心，连结BD ，当BD 平分∠ABC 时，判断四边形ACEF 为何种特殊的四边形？请说明理由。

（3）在第（2）题的条件下，若此时AB ＝3，BD ＝2，求BC 的长。

8．已知E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 上的点，AF ，DE 相交于点G ，当E ，F 分别为边BC ，CD 的中点时，有：①AF=DE ；②AF ⊥DE 成立．
试探究下列问题：
（1）如图1，若点E 不是边BC 的中点，F 不是边CD 的中点，且CE=DF ，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）
（2）如图2，若点E ，F 分别在CB 的延长线和DC 的延长线上，且CE=DF ，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE 和BF ，若点M ，N ，P ，Q 分别为AE ，EF ，FD ，AD 的中点，请判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．
9．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC 的外部作等腰Rt CED ，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．
()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；
()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；
②若25AB =，2CE =，在图②的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．
10．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC CF 、为邻边作平行四边形ECFG 。

（1）证明平行四边形ECFG 是菱形；
（2）若ABC 120︒∠=，连结BG CG DG 、、，①求证：DGC BGE ≌；②求BDG ∠的度数；
（3）若ABC 90︒∠=，8AB =，14AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长。

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）DE 2CF ；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AF ＋CF ＝2DF 或|AF －CF |2
【分析】
（1）易证△BCD 是等腰直角三角形，得出2CB ，即可得出结果；
（2）情况1：过点C 作CG ⊥CF ，交DF 于G ，设BC 交DF 于P ，由ASA 证得
△CDG ≌△CBF ，得出DG=FB ，CG=CF ，则△GCF 是等腰直角三角形，2CF ，连接BE ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠DEA=∠ADE=90°-α，求出∠DAE=2α，则∠EAB=90°-2α，
∠BEA=∠ABE=12
（180°-∠EAB ）=45°+α，∠CBE=45°-α，推出∠FBE=45°，得出△BEF 是等腰直角三角形，则EF=BF ，推出EF=DG ，DE=FG ，得出2CF ；
情况2：过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ，连接BE ，设CD 交BF 于P ，由ASA 证得△CDG ≌△CBF ，得出DG=FB ，CG=CF ，则△GCF 是等腰直角三角形，得2CF ，设
∠CDG=α，则∠CBF=α，证明△BEF 是等腰直角三角形，得出EF=BF ，推出DE=FG ，得出
CF ；
（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，由（2）得△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得出∠EFA=∠BFA=12
∠BFE=45°，则△HDF 是等腰
直角三角形，得DF ，DH=DF ，∵∠HDF=∠ADC=90°，由SAS 证得△HDA ≌△FDC ，得
CF=HA ，即可得出；
②当F 在AB 的下方时，作DH ⊥DE ，交FC 延长线于H ，在DF 上取点N ，使CN=CD ，连接BN ，证明△BFN 是等腰直角三角形，得BF=NF ，由SSS 证得△CNF ≌△CBF ，得
∠NFC=∠BFC=12
∠BFD=45°，则△DFH 是等腰直角三角形，得，DF=DH ，由SAS
证得△ADF ≌△CDH ，得出CH=AF ，即可得出DF ；
③当F 在DC 的上方时，连接BE ，作HD ⊥DF ，交AF 于H ，由（2）得△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得∠EFA=∠BFA=12
∠BFE=45°，则△HDF 是等腰直
角三角形，得出DF ，DH=DF ，由SAS 证得△ADC ≌△HDF ，得出AH=CF ，即可得出
；
④当F 在AD 左侧时，作HD ⊥DF 交AF 的延长线于H ，连接BE ，设AD 交BF 于P ，证明△BFE 是等腰直角三角形，得EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得
∠EFA=∠BFA=12
∠BFE=45°，则∠DFH=∠EFA=45°，△HDF 是等腰直角三角形，得DH=DF ，
，由SAS 证得△HDA ≌△FDC ，得出AF=CF ，即可得出DF ．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴CD=CB ，∠BCD=90°，
∴△BCD 是等腰直角三角形，
∴CB ，
当点E 、F 与点B 重合时，则CF ，
故答案为：CF ；
（2）在情况1或情况2下，线段CF 与线段DE 之间的数量关系与（1）中结论相同；理由如下：
情况1：∵四边形ABCD 是正方形，
∴CD=CB=AD=AB=AE ，∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°，
过点C 作CG ⊥CF ，交DF 于G ，如图②所示：
则∠BCD=∠GCF=90°，
∴∠DCG=∠BCF ，
设BC 交DF 于P ，
∵BF ⊥DE ，
∴∠BFD=∠BCD=90°，
∵∠DPC=∠FPB ，
∴∠CDP=∠FBP ，
在△CDG 和△CBF 中，
DCG BCF CD CB
CDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△CDG ≌△CBF （ASA ），
∴DG=FB ，CG=CF ，
∴△GCF 是等腰直角三角形，
∴2，
连接BE ，
设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠ADE=90°-α，
∵AD=AE ，
∴∠DEA=∠ADE=90°-α，
∴∠DAE=180°-2（90°-α）=2α，
∴∠EAB=90°-2α，
∵AB=AE ，
∴∠BEA=∠ABE=12（180°-∠EAB ）=12
（180°-90°+2α）=45°+α， ∴∠CBE=90°-（45°+α）=45°-α，
∴∠FBE=∠CBE+∠CBF=45°-α+α=45°，
∵BF ⊥DE ，
∴△BEF 是等腰直角三角形，
∴EF=BF ，
∴EF=DG ，
∴EF+EG=DG+EG ，即DE=FG ，
∴2CF ；
情况2：过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ，连接BE ，设CD 交BF 于P ，如图③所示：
∵∠GCF=∠BCD=90°，
∴∠DCG=∠BCF ，
∵∠FPD=∠BPC ，
∴∠FDP=∠PBC ，
在△CDG 和△CBF 中，
DCG BCF CD CB
CDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△CDG ≌△CBF （ASA ），
∴DG=FB ，CG=CF ，
∴△GCF 是等腰直角三角形，
∴2，
设∠CDG=α，则∠CBF=α，
同理可知：∠DEA=∠ADE=90°-α，∠DAE=2α，
∴∠EAB=90°+2α，
∵AB=AE ，
∴∠BEA=∠ABE=45°-α，
∴∠FEB=∠DEA-∠AEB=90°-α-（45°-α）=45°，
∵BF ⊥DE ，
∴△BEF 是等腰直角三角形，
∴EF=BF ，
∴EF=DG ，
∴DE=FG ，
∴2CF ；
（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，如图④所示：
由（2）得：△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，
在△ABF 和△AEF 中，
AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABF ≌△AEF （SSS ），
∴∠EFA=∠BFA=12
∠BFE=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形，
∴2，DH=DF ，
∵∠HDF=∠ADC=90°，
∴∠HDA=∠FDC ，
在△HDA 和△FDC 中，
DH DF HDA FDC DA DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△HDA ≌△FDC （SAS ），
∴CF=HA ， 2，即2DF ；
②当F 在AB 的下方时，作DH ⊥DE ，交FC 延长线于H ，在DF 上取点N ，使CN=CD ，连接BN ，如图⑤所示：
设∠DAE=α，则∠CDN=∠CND=90°-α，
∴∠DCN=2α，
∴∠NCB=90°-2α，
∵CN=CD=CB ，
∴∠CNB=∠CBN=12（180°-∠NCB ）=12
（180°-90°+2α）=45°+α， ∵∠CNE=180°-∠CND=180°-（90°-α）=90°+α，
∴∠FNB=90°+α-（45°+α）=45°，
∴△BFN 是等腰直角三角形，
∴BF=NF ，
在△CNF 和△CBF 中，
CN CB CF CF NF BF ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△CNF ≌△CBF （SSS ），
∴∠NFC=∠BFC=12
∠BFD=45°， ∴△DFH 是等腰直角三角形，
∴2，DF=DH ，
∵∠ADC=∠HDE=90°，
∴∠ADF=∠CDH ，
在△ADF 和△CDH 中，
AD CD ADF CDH DF DH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ADF ≌△CDH （SAS ），
∴CH=AF ，
∴FH=CH+CF=AF+CF ，
∴
AF+CF=2DF ；
③当F 在DC 的上方时，连接BE ，作HD ⊥DF ，交AF 于H ，如图⑥所示：
由（2）得：△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，
在△ABF 和△AEF 中，
AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABF ≌△AEF （SSS ）， ∴∠EFA=∠BFA=12
∠BFE=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形，
∴2，DH=DF ，
∵∠ADC=∠HDF=90°，
∴∠ADH=∠CDF ，
在△ADC 和△HDF 中，
AD CD ADH CDF DH DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ADC ≌△HDF （SAS ），
∴AH=CF ，
∴HF=AF-AH=AF-CF ，
∴2DF ；
④当F 在AD 左侧时，作HD ⊥DF 交AF 的延长线于H ，连接BE ，设AD 交BF 于P ，如图⑦所示：
∵AB=AE=AD ，
∴∠AED=∠ADE ，
∵∠PFD=∠PAB=90°，∠FPD=∠BPA ，
∴∠ABP=∠FDP ，
∴∠FEA=∠FBA ，
∵AB=AE ，
∴∠AEB=∠ABE ，
∴∠FEB=∠FBE ，
∴△BFE 是等腰直角三角形，
∴EF=BF ，
在△ABF 和△AEF 中，
AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABF ≌△AEF （SSS ），
∴∠EFA=∠BFA=12
∠BFE=45°， ∴∠DFH=∠EFA=45°，
∴△HDF 是等腰直角三角形，
∴DH=DF ，2DF ，
∵∠HDF=∠CDA=90°，
∴∠HDA=∠FDC ，
在△HDA 和△FDC 中，
DH DF HDA FDC AD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△HDA ≌△FDC （SAS ），
∴AF=CF ，
∴AH-AF=CF-AF=HF ，
∴DF，
综上所述，线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：DF或DF，
故答案为：DF或DF．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
2．（1）详见解析；（2）是，详见解析；（3）
【分析】
（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；
（2）先判断出∠BEG=120°=∠DCG，再判断出AB=BE，进而得出BE=CD，即可判断出
△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE=60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；
（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM=BM，
∠DMC=∠BME，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）证明：
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，AD∥BC，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，∠BCF=120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE=GE，∠BCG=1
2
∠BCF=60°，
∴CG=GE=CE，∠DCG=120°，∵EG∥DF，
∴∠BEG=120°=∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG=DG，∠BGE=∠DGC，
∴∠BGD=∠CGE，
∵CG=GE=CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE=60°，
∴∠BGD=60°，
∵BG=DG，
∴△BDG是等边三角形；
（3）如图2中，连接BM，MC，
∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG为菱形，
∠ECF=90°，
∴四边形ECFG为正方形．
∵∠BAF=∠DAF，
∴BE=AB=DC，
∵M为EF中点，
∴∠CEM=∠ECM=45°，
∴∠BEM=∠DCM=135°，
在△BME和△DMC中，
∵
BE CD
BEM DCM EM CM
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BME≌△DMC（SAS），
∴MB=MD ，
∠DMC=∠BME ．
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，
∴△BMD 是等腰直角三角形．
∵AB=10，AD=24，
∴=26，
∴2DM BD =
= 【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
3．（1）8-2t ，8-t ；（2）
83或74 【分析】
（1）根据P 、Q 的运动速度以及AB 和CD 的长即可表示；
（2）分PQ=PB 、BP=BQ 和QP=QB 三种情况进行分析即可．
【详解】
解：（1）由题意可得：
DP=2t ，AQ=t ，
∴PC=8-2t ，BQ=8-t ，
故答案为：8-2t ，8-t ；
（2）当PQ=PB 时，
如图①，QH=BH ，
则t+2t=8，
解得，t=83
， 当PQ=BQ 时，
（2t-t ）2+62=（8-t ）2，
解得，t=74
， 当BP=BQ 时，
（8-2t ）2+62=（8-t ）2，
方程无解；
∴当t=83或74
时，△BPQ 为等腰三角形． 【点睛】
本题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定，掌握性质并灵活运用性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
4．（1）见解析；（2）222MN BN DM =+，理由见解析；（3
）【分析】
（1）由直角三角形的性质得AO=MO=12
BE=BO=EO ，得∠ABO=∠BAO ，∠OBM=∠OMB ，证出∠AOM=∠AOE+∠MOE=2∠ABO+2∠MBO=2∠ABD=90°即可；
（2）在AD 上方作AF ⊥AN ，使AF=AN ，连接DF 、MF ，证△ABN ≌△ADF （SAS ），得BN=DF ，∠DAF=∠ABN=45°，则∠FDM=90°，证△NAM ≌△FAM （SAS ），得MN=MF ，在Rt △FDM 中，由勾股定理得FM 2=DM 2+FD 2，进而得出结论；
（3）作P 关于直线CQ 的对称点E ，连接PE 、BE 、CE 、QE ，则△PCQ ≌△ECQ ，
∠ECQ=∠PCQ=135°，EQ=PQ=9，得∠PCE=90°，则∠BCE=∠DCP ，△PCE 是等腰直角三角形，得
PE ，证△BCE ≌△DCP （SAS ），得∠CBE=∠CDB=∠CBD=45°，则∠EBQ=∠PBE=90°，由勾股定理求出
BE=PE=6，即可得出PC 的长．
【详解】
解：（1）证明：四边形ABCD 是正方形，
90ABC BAD ∴∠=∠=︒，45ABD ADB ∠=∠=︒，
ME BD ⊥，
90BME ∴∠=︒， O 是BE 的中点，
12
AO MO BE BO EO ∴====， ABO BAO ∴∠=∠，OBM OMB ∠=∠，
22290AOM AOE MOE ABO MBO ABD ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；
（2）222MN BN DM =+，理由如下：
在AD 上方作AF AN ⊥，使AF AN =，连接DF 、MF ，如图2所示：
则90NAF ∠=︒，
四边形ABCD 是正方形，
AB AD ∴=，90BAD NAF ∠=∠=︒，
BAN DAF ∴∠=∠，
45NAM ∠=︒，
45FAM NAM ∴∠=︒=∠，
在ABN ∆和ADF ∆中，AB AD BAN DAF AN AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABN ADF SAS ∴∆≅∆，
BN DF ∴=，45DAF ABN ∠=∠=︒，
90FDM ADB ADF ∴∠=∠+∠=︒，
45NAM ∠=︒，
45FAM NAM ∴∠=︒=∠，
在NAM ∆和FAM ∆中，AN AF NAM FAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()NAM FAM SAS ∴∆≅∆，
MN MF ∴=，
在Rt FDM ∆中，222FM DM FD =+，
即222MN BN DM =+；
（3）作P 关于直线CQ 的对称点E ，连接PE 、BE 、CE 、QE ，如图3所示： 则PCQ ECQ ∆≅∆，135ECQ PCQ ∠=∠=︒，9EQ PQ ==，
36090PCE PCQ ECQ ∴∠=︒-∠-∠=︒，
BCE DCP ∴∠=∠，PCE ∆是等腰直角三角形，
2CE CP ∴==， 在BCE ∆和DCP ∆中，BC DC BCE DCP CE CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()BCE DCP SAS ∴∆≅∆，
45CBE CDB CBD ∴∠=∠=∠=︒，
90EBQ ∴∠=︒，
90PBE ∴∠=︒，
2PB =，9PQ =，
7BQ PQ PB ∴=-=，
22229742BE EQ BQ ∴=--=
22222(42)6PE PB BE ∴++，
232PC ∴==； 故答案为：32
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理、轴对称的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
5．（1）9或5；（2）①见解析，②见解析
【分析】
（1）分两种情况：①如图1-1，得出正方形ABCD 的边长为3，求出正方形ABCD 的面积为9；
②如图1-2，过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，则EF ⊥l 4，证明△ABE ≌△BCF （AAS ），得出AE=BF=2由勾股定理求出AB=225AE BE +=，即可得出答案；
（2）①过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，作DM ⊥l 4于M ，证明△ABE ≌△BCF （AAS ），得出AE=BF ，同理△CDM ≌△BCF （AAS ），得出△ABE ≌△CDM （AAS ），得出BE=DM 即可； ②由①得出AE=BF=h 2+h 3=h 2+h 1，得出正方形ABCD 的面积S=AB 2=AE 2+BE 2，即可得到答案.
【详解】
解：（1）①如图，当点B D ，分别在14,l l 上时，面积为：339⨯=；
②如图，当点B D ，分别在23,l l 上时，过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，则EF ⊥l 4，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC ，∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，
∵∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠ABE=∠BCF ，
在△ABE 和△BCF 中
90ABE BCF AEB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△BCF （AAS ），
∴AE=BF=2，
∴AB=22
22215AE BE +=+=，
∴正方形ABCD 的面积=AB 2=5；
综上所述，正方形ABCD 的面积为9或5；
（2）①证明：过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，作DM ⊥l 4于M ，如图所示：则EF ⊥l 4，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC ，∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，
∵∠CBF+∠BCF=90°，
∴∠ABE=∠BCF ，
在△ABE 和△BCF 中，
90ABE BCF AEB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△BCF （AAS ），
∴AE=BF ，
同理△CDM ≌△BCF （AAS ），
∴△ABE ≌△CDM （AAS ），
∴BE=DM ，
即h 1=h 3．
②解：由①得：AE=BF=h 2+h 3=h 2+h 1，
∵正方形ABCD 的面积：S=AB 2=AE 2+BE 2，
∴S=（h 2+h 1）2+h 12=2h 12+2h 1h 2+h 22．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
6．（1）四边形PBCE 为平行四边形，证明过程见解析；（2）见解析；（3）四边形APCE 为矩形，证明过程见解析.
【分析】
（1）证明四边形ABCD 为平行四边形，从而得BP//CE ，根据内错角相等证明AD//PE,从而可证PE//BC ，得四边形PBCE 为平行四边形；（2）证明△CBP≌△ACE 即可证明CP=AE ；
（3）证明四边形APCE 为平行四边形，然后根据三线合一证明∠APC=90°，可证四边形APCE 为矩形.
【详解】
解：（1）四边形PBCE 为平行四边形.
证明：∵AD BC =，AD BC ∥，
∴四边形ABCD 为平行四边形，
∴PB//EC,
∵DAE AEP ∠=∠,
∴AD//PE,
∴PE//BC,
∴四边形PBCE 为平行四边形.
（2）∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴∠B=∠D，AB//CD,
∴BAC ACE =∠∠
又∵D ∠=BAC ∠，
∴∠B=BAC ∠，
∴BC=AC ，B ACE ∠=∠
∵四边形PBCE 为平行四边形，
∴PB=CE，
在△CBP 和△ACE 中
BP CE B ACE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△CBP≌△ACE.
∴CP AE =.
（3）四边形APCE 为矩形，
证明：∵P 为AB 的中点
∴BP=AP ,
∵四边形PBCE 为平行四边形，
∴BP=CE,
∴AP=CE,
又∵AB//CD
∴四边形APCE为平行四边形，
∵CB=CA，AP=BP，
∴CP⊥AB，
∴∠APC=90°，
∴ABCD为矩形.
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形“三线合一”.熟记平行四边形的判定和矩形的判定定理，能根据题意分析得出线段与线段、角与角之间的关系，选择合适的定理是解决本题的关键.
7．（1）∠ABD=∠ACD；（2）四边形ACEF为正方形，理由见解析；（3）5.
【解析】
【分析】
（1）以AD为公共边，有∠ABD=∠ACD；
（2）证明△ADC是等腰直角三角形，得AD=CD，则AE=CF，根据对角线相等的菱形是正方形可得结论；
（3）如图2，作辅助线构建直角三角形，证明△ABC≌△CHE，得CH=AB=3，根据平行线等分线段定理可得BG=GH=4，从而得结论.
【详解】
解：（1）由图1得：△ABD和△ADC有公共边AD，在AD同侧有∠ABD和∠ACD，此时∠ABD=∠ACD；
（2）四边形ACEF为正方形，理由是：
∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°
∴∠DAC=∠CBD=45°
∵四边形ACEF是菱形，
∴AELCF，
∴∠ADC=90°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD=CD，.AE=CF，
∴菱形ACEF是正方形；
（3）如图2，过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC，交BC的延长线于H，
∵∠DBG=45°，
∴△BDG是等腰直角三角形，2，
∵BG=4，四边形ACEF是正方形，
∴AC=CE，∠ACE=90°，AD=DE，
易得△ABC≌△CHE，
∴CH=AB=3，AB//DG//EH，AD=DE，
∴BG=GH=4，
∴CG=4-3=1，
∴BC=BG+CG=4+1=5.
【点睛】
本题是四边形的综合题，也是新定义问题，考查了损矩形和损矩形的直径的概念，平行线等分线段定理，菱形的性质，正方形的判定等知识，认真阅读理解新定义，第3问有难度，作辅助线构建全等三角形是关键.
8．（1）成立；（2）成立，理由见试题解析；（3）正方形，证明见试题解析．
【解析】
试题分析：（1）因为四边形ABCD为正方形，CE=DF，可证△ADF≌△DCE（SAS），即可得到AF=DE，∠DAF=∠CDE，又因为∠ADG+∠EDC=90°，即有AF⊥DE；
（2）∵四边形ABCD为正方形，CE=DF，可证△ADF≌△DCE（SAS），即可得到AF=DE，∠E=∠F，又因为∠ADG+∠EDC=90°，即有AF⊥DE；
（3）设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，因为点M，N，P，Q分别为
AE，EF，FD，AD的中点，可得MQ=PN=1
2
DE，PQ=MN=
1
2
AF，MQ∥DE，PQ∥AF，然后
根据AF=DE，可得四边形MNPQ是菱形，又因为AF⊥DE即可证得四边形MNPQ是正方形．
试题解析：（1）上述结论①，②仍然成立，理由是：
∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，
∵DF=CE，∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，
∠DAF=∠CDE，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（2）上述结论①，②仍然成立，理由是：
∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，
∵DF=CE，∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠E=∠F，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；
（3）四边形MNPQ是正方形．理由是：
如图，设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，∵点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，
∴MQ=PN=1
2DE，PQ=MN=
1
2
AF，MQ∥DE，PQ∥AF，∴四边形OHQG是平行四边形，
∵AF=DE，∴MQ=PQ=PN=MN，∴四边形MNPQ是菱形，∵AF⊥DE，∴∠AOD=90°，∴∠HQG=∠AOD=90°，∴四边形MNPQ是正方形．
考点：1．四边形综合题；2．综合题．
9．（1）证明见解析；（2）①AF2AE
=②42或22.
【分析】
()1如图①中，结论：AF2AE
=，只要证明AEF是等腰直角三角形即可；
()2①如图②中，结论：AF2AE
=，连接EF，DF交BC于K，先证明
EKF≌EDA再证明AEF是等腰直角三角形即可；
②分两种情形a、如图③中，当AD AC
=时，四边形ABFD是菱形.b、如图④中当AD AC
=时，四边形ABFD是菱形.分别求解即可.
【详解】
()1如图①中，结论：AF2AE
=．
理由：四边形ABFD是平行四边形，
AB DF
∴=，
AB AC =，
AC DF ∴=，
DE EC =，
AE EF ∴=，
DEC AEF 90∠∠==， AEF
∴是等腰直角三角形，
AF 2AE ∴=．
故答案为AF 2AE =．
()2①如图②中，结论：AF 2AE =
．
理由：连接EF ，DF 交BC 于K ．
四边形ABFD 是平行四边形，
AB//DF ∴，
DKE ABC 45∠∠∴==，
EKF 180DKE 135∠∠∴=-=，EK ED =， ADE 180EDC 18045135∠∠=-=-=，
EKF ADE ∠∠∴=，
DKC C ∠∠=，
DK DC ∴=，
DF AB AC ==，
KF AD ∴=，
在EKF 和EDA 中，
EK ED EKF ADE KF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， EKF ∴≌EDA ，
EF EA ∴=，KEF AED ∠∠=，
FEA BED 90∠∠∴==，
AEF ∴是等腰直角三角形，
AF 2AE ∴=．
=时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，易知
②如图③中，当AD AC
=+=，EH DH CH2
===，22
=-=，AE AH EH42
AH(25)(2)32
=时，四边形ABFD是菱形，易知
如图④中当AD AC
=-=-=，
AE AH EH32222
综上所述，满足条件的AE的长为4222
【点睛】
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型．
10．（1）见解析；（2）①见解析；②∠BDG=60°；（3130
【分析】
（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质和角平分线的性质证明∠CEF=∠CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再根据四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形；
（2）①根据已知和菱形的性质得出∠BEG=120°=∠DCG，再判断出AB=BE，进而得出BE=CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS）
②先得出∠CGE=60°再由①得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；
（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可
DM=BM,∠DMC=∠BME，再根据∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°可得到△BDM是等腰直角三角形,等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴四边形ECFG为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，AD∥BC，
∵∠ABC=120°，
∴∠BCD=60°，∠BCF=120°
由（1）知，四边形CEGF是菱形，
∴CE=GE，∠BCG=1
2
∠BCF=60°，
∴CG=GE=CE，∠DCG=120°，∵EG∥DF，
∴∠BEG=120°=∠DCG，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=CD，
∴△BEG≌△DCG（SAS），②∵△BEG≌△DCG
∴BG=DG，∠BGE=∠DGC，
∴∠BGD=∠CGE，
∵CG=GE=CE，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE=60°，
∴∠BGD=60°，
∵BG=DG ，
∴△BDG 是等边三角形，
∴∠BDG=60°；
（3）连接BM ，MC ，
∵∠ABC=90°，四边形ABCD 是平行四边形，
∴四边形ABCD 是矩形，
又由（1）可知四边形ECFG 为菱形，
∠ECF=90°，
∴四边形ECFG 为正方形．
∵∠BAF=∠DAF ，
∴BE=AB=DC ，
∵M 为EF 中点，
∴∠CEM=∠ECM=45°，
∴∠BEM=∠DCM=135°，
在△BME 和△DMC 中，
BE CD BEM DCM EM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BME ≌△DMC （SAS ），
∴MB=MD ，
∠DMC=∠BME ．
∴∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°，
∴△BMD 是等腰直角三角形．
∵AB=8，AD=14，
∴65
1302DM BD ∴=
=【点睛】 此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．。