广东省揭阳一中2012-2013学年高二上学期期中数学理试题

92届高二第一学期期中考数学（理）试卷
一、 选择题（每小题5分，共8小题，共40分）
1.ΔABC 中，a =1，b =3, A =30°，则B 等于（ ） A ．60° B ．60°或120°
C ．30°或150°
D ．120°
2.已知数列{}n a 的前n 项和()21n S n n =+，则5a 的值为（ ）
A ．80
B ．40
C ．20
D ．10
3
．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h = ( )
A
C.
4. 已知点A （-2，0），B （3，0），动点P （x,y ）满足2
x =⋅，则P 点的轨迹方程（ ） A ．62+=x y B ．622+=x y C ．832+=x y D ．62+=x y
5.若实数a 、b 满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是（ ）
A ．18
B ．6
C ．23
D ．243
6. 在一椭圆中以焦点F 1、F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e
等于（ ）
A ．
2
2
B ．
2
1 C ．
2
3 D ．
5
2
7. 下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（ ）
A ．p ：a ＞1, q ： ()log (01)a f x x a a =>≠，且在(0,)+∞上为增函数
B ．p ：a ＞1,b>1 q ：()(01)x f x a b a a =->≠，且的图像不过第二象限
C ．p ： x=1, q ：2x x =
D ．p ：a c +＞b+d , q ：a ＞b 且c ＞d 8. 已知
a b c d
= ad －bc ，则
3579+
11131517
+……+
2003200520072009
= (
)
(A) －2007 (B) 2008 (C) －2008
(D) 2009
二．填空题（共6小题，每小题5分）
9.
若命题p ：b a b a 1
1,<>则，q ：)(12R x x ∈->．则下述判断正确的是__ ___
（填上所有正确的序号）．
①p ∨q 为真；②p ∨q 为假；③p ∧q 为真； ④p ∧q 为假；⑤﹁p 为真；⑥﹁q 为假．
10．已知实数x , y 满足不等式组 ⎩⎨⎧ y ≤x
x +y ≤2 y ≥0
，那么目标函数z =x +3y 的最大值是 ．
11.已知椭圆的长轴长是8，离心率是4
3，则此椭圆的标准方程是 .
12．已知0,0a b >>
，则11
a b
++的最小值是 13．程序框图如图所示：如果输入5x =, 则输出结果为_______.
14.
1233,
10,
21,
,
S S S =++==++++==++++++=
那么n S = 。

三．解答题（共6小题）
15.（本小题满分12分）设函数)3
sin(5)(π
ω+
=x x f ，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以π为
最小正周期．
（1）求()0f ；（2）求()f x 的解析式；（3）已知3)12
2
(
=+
π
α
f ，求sin α的值．
16．（本小题满分12分）设命题p ：（4x-3）2
≤1;命题q :x 2
-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若⌝p
是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.
17．（本小题满分14分）如图，某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地（图中ABCD ）的围墙，且要求中间用围墙EF 隔开，使得ABEF 为矩形，EFDC 为正方形，设AB x =米，已知围墙（包括EF ）的修建费用均为800元每米，设围墙（包括EF
）的的修
建总费用为y 元。

（1）求出y 关于x 的函数解析式；
（2）当x 为何值时，设围墙（包括EF ）的的修建总费用y 最小？并求出y 的最小值。

18.（本小题满分14分）设函数f (x )满足f (0) =1，且对任意R y x ∈,
f (xy +1) = f (x ) f (y )－f (y )－x +2．
(I) 求f (x ) 的解析式；
(II) 若数列{a n }满足：a n +1=3f (a n )－1(n ∈ N *)，且a 1=1，求数列{a n }的通项公式； (Ⅲ)求数列{a n }的前n 项和S n ．
19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点3
(1,)2
P ，且椭圆上的任
一点到两个焦点的距离之和为4。

（1）求椭圆C 的方程;
（2）设F 是椭圆C 的左焦点，判断以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由。

20．（本小题满分14分）数列{}n a 满足12a =，1121()2
2
n n
n n
n a a n a ++=++（n N +∈）.
（1）求3a
（2）设2n
n n
b a =，求数列{}n b 的通项公式n b ；
（3）设11(1)n n c n n a +=+，数列{}n c 的前n 项和为n S ，求出n S 并由此证明：
5
16
n S ≤＜1
2
.
高二第一学期期中考数学科（理）试卷答案
一、选择题
A B D C E F
BCBAB ADC 二、填空题
9. ①④⑤⑥ 10. 4; 11.
71622y x +=1或16
72
2y x +
=1 12. 4 ; 13. 325; 14. n S =)12(+n n 三、解答题
15.解：解：（1）2
3
53
sin 5)0(=
=π
f -----------------------------------------------------------4分 （2）因为πω
π
==2T ，所以2=ω，故)3
2sin(5)(π
+
=x x f --------8分
（3）3cos 5)2
sin(5]3
)12
2
(
2sin[5)12
2
(
==+
=+
+
=+
απ
απ
π
α
π
α
f ，-10分
所以53cos =
α，所以5
4cos 1sin 2
±=-±=αα----------12分 16解： 设A={x|(4x-3)2≤1},B={x|x 2
-(2a+1)x+a(a+1)≤0},
易知A={x|2
1≤x ≤1},---3分B={x|a ≤x ≤a+1}.----3分
由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件即A B ，8分
∴,1
121⎪⎩
⎪⎨
⎧≥+≤
a a 且不同时取等号，10分，故所求实数a 的取值范围是［0，21］12分 17解：解：（1）设AD t =米，则由题意得600xt =，且t x > ……………………2分
故600
t x x
=
>
，可得0x <<……………………4分 （
说明：若缺少“0x <<2分）
则600400
800(32)800(32)2400()y x t x x x x
=+=+⨯=+，……………………6分 所以y 关于x 的函数解析式为400
2400()y x x
=
+(0x <<.…………………7分
（2
）4002400()240096000y x x =+
⨯=≥， ………………10分 当且仅当400
x x
=
，即20x =时等号成立. ………………12分 故当x 为20米时，y 最小. y 的最小值为96000元.…………14分 18解：(I) ∵ f (0) =1．
令x =y =0得 f (1) = f (0) f (0)－f (0)－0+2=2
再令y =0得2)0()0()(2)1(+--==x f f x f f ， 所以R x x x f ∈+=,1)(
5分
(II) ∵1)(+=x x f ，∴a n +1=3f (a n )－1= 3a n +2, ∴a n +1+1=3(a n +1），
又a 1+1=2，∴数列{a n +1} 是公比为3的等比数列 ∴a n +1= 2×3n －
1 ，即a n = 2×3n －
1－1
10分
(III) S n = a 1 + a 2 + … + a n
=2×(30+31+32+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 3n －
1)－n
=3n －n －1
14分
19解：（1）依题意知：椭圆22221x y a b
+=(0)a b >>的半长轴2a =，…… 2分
又椭圆经过点P 31
2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，， ∴
219
144b
+=, 解得：23b = , …………5分 ∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=． ……6分
（2）∵2
4a =，2
3b =，∴1c ==．
∴椭圆C 的左焦点坐标为()1 0-，. …………8分
以椭圆C 的长轴为直径的圆的方程为2
2
4x y +＝，圆心坐标是()0 0，，半径为2.
以PF 为直径的圆的方程为2
2325416x y ⎛⎫+-= ⎪⎝
⎭，圆心坐标是30 4⎛⎫ ⎪⎝⎭，，半径为54 12分
3
5= 24
4-，
故以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切. ……………14分
20解：解：（1）583=a （没过程不给分）2分
（2）由已知可得1112()22
n n n n n a a n a ++=++ 即11221
2n n n n n a a ++=++………………4分
即112212
n n n n n a a ++-=+ 即112n n b b n +-=+…………………………………6分
∴2132111
1
1,2,,(1)22
2
n n b b b b b b n --=+
-=+-=-+
累加得211(1)11
123(1)2222
n n n n n n b b n -----=+++
+-+=+=
又1122
12b a === ∴2211122n n n b -+=+= ……………9分
（3） 由（Ⅰ）知1
2221
n n n n a b n +==+，
∴ 2122(1)1n n a n ++=++， 2221
(1)1122
(1)22(1)2n n n n n n c n n n n ++++++==⋅++⋅………10分
211122(1)2(1)2n n n n n n n n n ++⎡⎤++=+⎢⎥++⋅⎣⎦111111
222(1)2n n n n n ++⎡⎤=+-⎢⎥⋅+⎣⎦
…11分 ∴
2122311111111111
()()()(
)22
2212222232
2(1)2n n n n S n n ++⎡⎤=+
+
+-+-++-⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⎣⎦
2111
(1)1111221222(1)212
n n n +-⎡⎤=⋅+-⎢⎥+⋅⎣⎦- 11121()221n n n ++⎡⎤=
-⋅⎢⎥+⎣⎦
…………………………………12分 易知111211
()()(1)2121n n n n n +++⋅
=+++递减 ∴0＜1111
21123
()()2
12118
n n n ++++⋅
≤⋅=++ ∴ 151121()16221n n n ++⎡⎤
≤-⋅⎢⎥+⎣
⎦
＜12，即516n S ≤ ＜12 ……14分。