关于集合可数的若干证明方法 毕业论文

关于集合可数的若干证明方法
[摘 要] 本文主要介绍了有关集合可数的五种证明方法,这些方法是:一.依据定义构造无穷序列证明集合可数;二.依据伯恩斯坦定理通过建立映射证明集合可数;三.通过集合之间取并集来证明有些集合可数;四.用数学归纳法证明集合可数;五.运用转化的思想.通过以上方法的讨论,本文对有关集合可数的证明做了一个比较全面的介绍.
[关键词] 可数集;1-1映射;无穷序列
１ 引言
集合是整个数学理论的基础,可数集是实变函数中的一个最基本的概念,对后续的测度论以及Lebesgue 积分的学习起着很重要的作用而且作为一类最简单的集合在数学的各个分支中也有广泛的应用.基于此判断并证明集合可数便显得尤为重要,虽然可数集合数目众多,种类繁杂,但集合可数的证明方法无分就几类.本文将主要介绍其中常用的五种方法.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些证明方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍解题方法,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明.
２ 预备知识
定义 2.1[1]
设,A B 是两个集合,如果存在二者元素之间的一个对应关系φ,使A 中任意元素x ,通过φ都恰与B 中某一个元素y 对应,而B 中任意的元素y 也一定是A 中某一x 通过φ在B 中的对应元素,则我们就说A 和B 是对等的.记为A B .
定义2.2[2] 凡与自然数集对等的集合称为可列集.可列集与有限集统称可数集.
定理2.1[3](Cantor —Bernstein) 若**,X Y Y Y X X ⊂⊂ ,则X Y .
定理2.2[4] 任何无穷集合必有可数子集.
基于以上两个定理,我们给出集合可数的如下两个充分条件.
定理2.3 设A 为任意无穷集,X 为一可数集,且存在满射:f X A →,则A 可数.
证明 由已知必存在集合M X ⊂,使得f 在M 上的限制是一个双射,即存在集合M X ⊂,使得:f M A →为一个双射,也就是说A M X ⊂ .又由定理 2.2,A 必有可数子集,即存在B A ⊂,且B X ,也就是说X B A ⊂ .从而由定理2.1知A X ,又X N ,故A N 即A 可数. 定理2.4 设A 为任意无穷集,X 为一可数集,且存在单射:f A X →,则A 可数.
证明 由已知()f A X ⊂,而:()f A f A →显然为一双射,故()A f A X ⊂ .由定理2.2知A 必有可数子集,即存在B ,使得X B A ⊂ ,因此由定理2.1知A X ,即A 可数.
定理2.5[5] 若,A B 都是可数集合,则A B 是可数的.
用数学归纳法不难把定理2.7的结论推广到n 个集合的情形,即
推论2.1[1] 若对于每一个,(1)i i i n A ≤≤是可数集合,则1n
i
i A = 是可数集合. 下面的定理2.6我们再将结论进一步推广到可数个集合的情形.
定理2.6[6] 如果()1,2,3,i A i = 的每一个都是可数集合,则1i
i A ∞
= 也是可数集合. 3 关于集合可数的一些证明方法
以下文中例题选自参考文献[7,8,9,10].
3.1 依据定义构造无穷序列证明集合可数
依据上面的定义无穷集合可数与可列等价,那么要证明一个无穷集合可数只要找到其元素的一个无穷序列便可.
例3.1 全体有理数构成的集合Q 可数.
证明 由于任意有理数都可以用分数表示, 我们构造集合集合序列如下,
{}{}{}
1
1112
22212123123123,,,,,,,,,,,,,,,,,,i
i i i i j j j A A A === , 则这些所有集合的全体元素可做排列312121112123,,,,,,,,i j
,其排列规则为11排第一位,当2i j +>时,i
j 排在第n 位,2
1
i j k n j k +-==+∑, 将上述排列中的重复元素只取其一个最简形式,便可得到一个全体
有理数的无穷序列为,3121111213,,,,,,,i j
,故而由定义可知全体有理数构成一可数集. 例3.2 证明直线上以有理数为端点的区间全体所组成的集合可数.
证明 设直线上的全体有理点为12,,,,n a a a ,令(,)(,)ij i j i j A a a i j a a =≠<,则{}ij A 中的元素可排列如下：
1213141,,,,,n A A A A ,
23242,,,,
n A A A , 343,,,n A A ,
将以上排列重排成无穷序列如下：
1213232434123,,,,,,,,n n n A A A A A A A A .
故{}ij A 可数.
例3.3 证明整数集可数.
证明 整数集中的元素可做如下无穷序列:
0,1,1,2,2,3,3,--- ,
故整数集可数.
根据定义构造无穷序列来证明集合可数的方法关键在于构造无穷序列,而这其中是有很多技巧的,还要通过多做练习,细加揣摩,还有多注意总结前人的经验才能掌握.
3.2 依据伯恩斯坦定理通过建立映射证明集合可数
例3.4 直线上互不相交的开区间构成的集合可数.
证明 记直线上互不相交的开区间构成的集合为F ,建立有理数集Q 到M 的映射如下,
(),(,)Y f x x Y Q Y =∈∈ 其中F ,对于任意的Y ∈F ,由有理数的稠密性知,存在x Y Q ∈ ,即存在x ,使得()f x Y =,故:f Q →F 是一个满射,从而根据定理2.3,F 可数.
例3.5 若直线上的集合E 的任意两点间的距离大于１,则集合E 可数.
证明 用点0,1,2,3,±±± 将直线分成可数个闭区间.易知每一个闭区间至多含有已知集合E 的一个点,因而在集合E 中的点到闭区间之间存在一个单射,故集合E 可数.
例3.6 直线上的集合A 称为离散集是指,对任意给定的x A ∈,存在0δ>使得(;)U x δ 与A 不
相交,即x 不是A 的聚点.求证直线上的离散集为可数集.
证明 依据题意,,,,x x x A a b Q ∀∈∃∈使得(,){}x x a b A x = .于是我们可以建立如下这般映射 :(,)x x f x a b →,其中,x x a b 满足(,){}x x a b A x = .易见f 是一单射,而{}(,)|,x x x x a b a b Q ∈是可数集.从而根据定理2.4知集合A 是可数集.
例3.7 函数()f x 的真正极值是指,对于定义域内一点0x ,如果存在0δ>,使0()()f x f x <对 于任意(;)x U x δ∈ 均成立,则称0()f x 为函数()f x 的真正极大值,相应的称0x 为()f x 的真正极大值点.设:f R R →为实函数,令{}()|M f x x R f =∈为的真正极大值点,则M 为一可数集.
证明 设x 为f 的真正极大值点,选区间(,)x x αβ,使得(,),,x x x x x αβαβ∈为有理数且对于任意的(,),x x u u x αβ∈≠,有()()f u f x <,.由真正极大值的定义知映射
:,()(,)x x M Q Q y f x φαβ→⨯= ,
为单射.于是由定理2.4M 为一可数集.
此法主要建立在伯恩斯坦定理的基础之上,根据集合对等的定义,通过建立映射来证明集合可数.集合对等的定义中要求两个集合之间存在双射,此方法在伯恩斯坦定理的基础之上得到两个定理,并通过此二定理将集合可数的条件减弱为单射或满射.映射是数学中的一个基本的概念,在数学的各个分支中均可看见映射的踪影,映射也是一个大家都很熟悉的概念,因此在证明集合可数时不妨试试建立映射.此法的关键是建立合适的映射.
3.3 通过集合之间取并集来证明有些集合可数.
例3.8 证明平面上坐标为有理数的点组成可数集合.
证明 首先记平面上坐标为有理数的点组成的集合为E ,将（－∞,＋∞）中有理数全体排列起来12,,,,n a a a .记横坐标为n a ,纵坐标为有理数的点的全体构成的集合为n A ,显然1n n E A ∞== ,而
且易知(1,2,)n A n = 为可数集合,故E 为可数集合.
例3.9 所有系数为有理数的多项式组成一个可数集.
证明 记所有系数为有理数的多项式组成的集合为A ,记1n -次有理系数多项式为 12121n n n n a x a x a x a ---++++ ,（0n a ≠）.
由于多项式由其系数所唯一确定,因此所有1n -次有理系数多项式组成的集合可记为
{}1,2(,,);0n n i n A a a a a Q a =∈≠ 且
令{}12(,,,);n n i B b b b b Q =∈ ,易知n B 可数.建立映射,:()n n f A B f x x →=显然这是一个单射,于是由定理2.4n A 可数.又1n n A A
∞== ,故A 可数.
例3.10 全体代数数所组成的集合可数.
证明 首先我们基于这样一个事实,对于任意给定的自然数,n 全体n 次整系数多项式所组成的集合可数.由代数学知识可知,n 次多项式至多有n 个根.从而对于任意自然数n ,所有n 次整系数多项式的全体根所组成的集合可数,记为n E .令1n n E E
∞== ,易知E 即为全体代数数所组成的集合.而
且易见E 可数.
例3.11 当g 取遍所有正整数时,所有g 进制有限小数组成一可数集.
证明 记所有g 进制有限小数组成的集合为E ,下证E 可数.对于任意的给定的g ,g 进制有限小数全体显然组成可数集记为g E ,则1g g E E
∞== ,由定理2.6知E 为一可数集.
数学中有这么一句话,所谓的复杂问题只不过是简单问题的组合而已.这句话说得有一点夸大,但是对我们处理有些数学问题还是有一些启示的.比如在证明集合可数时,当我们没有办法证明一个比较复杂的集合可数时,不妨把它分解成很多个（当然不能超过可数多个）简单集合的并集,再证明每一个简单集合可数,从而根据定理说明并起来的复杂集合也是可数的.当然分解的时候至多分解为可数多个简单集合.此法的关键是找出合适的简单集合,使之并起来为所要证明的复杂集合.这部分主要是利用定理2.5、2.6以及推论2.1采用分解之法,其它化复杂为简单之法将在3.5有所体现.
3.4 用数学归纳法证明集合可数
例3.12 n 维空间中以有理数为坐标的点构成的集合可数.
证明 记{}12(,,,,);,1,2,n n i A x x x x Q i =∈= .
当1n =时,1A Q =是可数集合,命题成立.
假设n k =时命题成立,即k A 可数,我们将其表示成无穷序列的形式,
{}12,,,,k k k k n A a a a = ,其中每一个k i a 是一个k 维向量.给每一个k i a （1,2,i = ）添加一个有
理数坐标便可以将其扩展成一个1k +维向量,当添加的坐标取遍所有理数时,每一个k i a 被扩展成可数个1k +维向量,我们将这可数个1k +维向量组成的集合记为i B ,易见11k i i A B ∞+==
,故1k A +可数.
综上,由归纳法原理,对于任意自然数n ,n A 可数.原命题成立.
例3.13 可数集合的所有有限子集所组成的集合可数.
证明 记A 为一可数集合,则A 可以表示为12{,,,}n a a a ,记12{,,,}i i i i n E e e e = ,其中对于任意(1)j j n ≤≤,i
j e 是A 的i 元子集,用E 表示A 的所有有限子集所组成的集合,则显然
1n
i i E E == .下面用数学归纳法证明对于任意n ,n E 可数,从而证明E 可数.
首先112{{},{},,{},}n E a a a = 显然可数.
假设n E 可数,下证1n E +可数,
1n E +中的元素可以按照这样的方式构成,给n E 中的每一个元素集添加一个元素.即n
j n e E ∀∈给
n
j e 添加一个元素,使之变成11n j
n e E ++∈,从这个变换过程还可以看出实际上已经建立了一个从A 到n E 的满射111:;,n n j j j j n f a e a A e E +++→∈∈,其中j a 为从n j e 变到1n j e +所添加的那个元素.故1n E +可
数.
综上根据归纳法原理,对于任意自然数,n n E 可数.
其实从以上证明可以看出可数集合的所有可数子集所组成的集合也是可数的.
数学归纳法是一个应用很广泛的而又很基本的数学方法,可以说凡是有自然数的地方都可以看到数学归纳法.而在处理与自然数相关的问题时使用数学归纳法也的确会得心应手,需要注意的是数学归纳法基本的三个步骤缺一不可.集合可数的命题中也有很多与自然数相关,尤其是n 维空间的子集,可谓和自然数直接相关,譬如例3.12,因此在证明此类集合可数时数学归纳法也不失为一种可行 之法.
3.5 运用转化的思想
解决数学问题的基本的思路之一便是将复杂问题转化为简单问题,将陌生问题转化为熟知问题,将未知问题转化为已知问题.在集合可数性的证明中这一方法也可派上用场.我们通过六个例题简单地介绍了此法,转化与化归的思想方法是初等数学的四大思想方法之一,是一个在大的方向上提供思路的方法,并不能提供具体的解题之招,因此具体的转化技巧的掌握还要经过多练习,多揣摩.
例3.14 证明定义在整个数轴上的单调函数之间断点所组成的集合可数.
证明 不妨设函数()y f x =()x -∞<<+∞为单调增函数,其间断点的全体记为E .由文献[10]知：
⑴(,)x ∀∈-∞+∞.0lim ()(0)x f x x f x ∆→+∆=+及0
lim ()(0)x f x x f x ∆→-∆=-存在. ⑵x E ∈的充要条件为(0)(0)f x f x +>-.
⑶12,x x E ∀∈,若12x x <,则1122(0)(0)(0)(0)f x f x f x f x -<+≤-<+.
故每一个x E ∈对应于直线上的开区间((0),(0))f x f x -+.且由⑶可知这样的开区间是互不相交的,因此E 可数.
例3.15 设(0,1)E ⊂是无限集,若从E 中任意选取不同的数所组成的无穷项正项级数总是收敛 的,试证明E 可数.
证明 如果1(0,)E n -是有限集合的话,则1
1[(0,)]n E E n ∞==- 是可数集.下面我们用反证法证明1(0,)E n
-确实是有限集合. 假定1(0,)E n -是无限集,我们从中选取无穷多个数,记为(1,2)n a n = 则有1n a n
>,由于级数11n n ∞
=∑发散,从而有级数1n n a ∞=∑发散.这与题设矛盾,因此假设错误,原命题成立,即1(0,)E n -是有限集. 例3.16 设{}I J αα∈是R 上的闭区间族,试证明点集I I J J αααα∈∈⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
是可数集.
证明 我们通过证明I I J J αααα∈∈⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
是离散集进而说明其可数.为叙述方便我们记
I I J J J αααα∈∈⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦
,假定x 是其聚点.则0,x J δ'∀>∃∈,使得(,)x x x δδ'∈-+.这已经构成矛盾,故J 为离散集.
例3.17 由自然数组成且公差也是自然数的等差数列之全体组成的集合可数.
证明 等差数列的通项公式为1(1)n a a n d =+-,故每个等差数列由其首项与公差所唯一决定.这样便可在等差数列与二元实数对12(,)x x （其中1x 为其首项,2x 为其公差.）之间建立一个一一映射.
记如题所述之集合为E ,则{}1212(,)|,E x x x x N ∈ ,而后者是一个可数集,从而E 可数.
例 3.18 若()f x 是R 上的实值函数,集合E 的元素e 满足,()f x 在e 点不连续,但是右极限(0)f e +存在.试证明集合E 可数.
证明 令{}|(0)S x R f x =∈+存在.对于任意自然数n ,做
{}|0,,(,),|()()|1n E x R x x x x f x f x n δδδ''''''=∈∃>∀∈-+-<使得.
则显然,1n n E ∞= 是()f x 的连续点集,故1111()n n n n n n n n E S E S E S E S E ∞∞
∞∞
====⎡⎤=-===-⎢⎥⎣⎦ C C ,
从而只需指出(1,2,3,)n S E n -= 是可数集即可.
任意取定一个n ,并设n x S E ∈-,则存在0δ>,使得1|()(0)|,2f x f x n
'-+<对于任意 (,)x x x δ'∈+成立.从而当,(,)x x x x δ'''∈+时,就有|()()|1f x f x n '''-<.
这说明(,)n x x E δ+⊂,也就是说n S E -中每一个点x 都可以作为左端点构成开区间(,)x I x x δ=+,且x I 与n S E -不相交.因此当12,n x x S E ∈-且12x x ≠时,我们有12x x I I =∅ .其实,
我们记12111222(,),(,)x x I x x I x x δδ=+=+,且不妨假定12x x <,若1211x x x δ<<+,则12x x I ∈,故1()x n I S E -≠∅ ,矛盾.所以211x x δ≥+因此12x x I I =∅ .于是区间族{}|x n I x S E ∈-是可数集.我们可以建立n S E -到区间族{}|x n I x S E ∈-的满射为()x f x I =,故由定理2.3n S E -是可数集.
例3.19 ()f x 是(,)a b 上的实值函数,(,)x X a b ∈⊂满足'()f x -及'f +均存在,但''f f -+≠.试证 明集合X 可数.
证明 令{}''(,)|()()A x a b f x f x +-=∈<,{}
''(,)|()()B x a b f x f x +-=∈>.则只需证明,A B 为可数集即可.下面证明A 为可数集,对于B 则情形与A 类似,同理可得.
对任意的x A ∈,取有理数x r 满足''()()x f x r f x +-<<.再取x s 及x t ,x x a s t b <<<,使得()(),x x f y f x r s y x y x -><<-,以及()(),x x f y f x r x y t y x
-<<<-,合并这两式我们便可以得到 ()()()x f y f x r y x -<-,其中y x ≠且x x s y t <<.我们依此便可以建立从A 到3Q 的映射如下 :(,,)x x x f x r s t →,下证其为单射,从而说明A 是可数集.
任取12,x x A ∈,假定向量111222(,,)(,,)x x x x x x r s t r s t =,则区间1122(,)(,)x x x x s t s t =且均含有1x 及2x 于其内,于是我们有以下二式
12121()()()x f x f x r x x -<-,
21212()()()x f x f x r x x -<-.
而12x x r r =,故得矛盾.这说明f 确系一单射.
例3.20 设:(,)f a b R →为凸函数,则f 的不可导点组成一可数集.
证明 :(,)f a b R
→为凸函数,故对于任意的1212,(,),x x a b x x ∈<,由文献[11]有 1212()()()()f x f x f x f x x x x x
--≤--. 此外对2
2x x x '<<由文献[11]有 22222()()()()f x f x f x f x x x x x
'--≤'--. 再由22
2()()f x f x x x '-'-是2x '的增函数,故而由文献[10]知 2222()()()()()lim x x f x f x f x f x f x x x x x
+++'→'--'=≤<+∞'--. 同理,()f x -'存在且满足()()f x f x -+''-∞<≤<+∞.根据例3.19的结论便有(,)a b 上的凸函数之不可导点的集合为可数集.
应用本文所介绍的方法,简单的集合可数问题的证明就可以顺利解决了.最后一部分主要是体现转化的思想.一个集合的可数性不容易证明时,不妨转化为另一个集合.集合可数的证明有方法很多种,在处理问题时需要根据具体问题选取合适的方法.而且更多的时候用一种方法是很难凑效的,而需要综合好几种方法.例如例 3.12总体是数学归纳法,但同时也用到了集合取并集.总之注意多积累、多揣摩、多总结.
参考文献
[1] 江泽坚,吴智泉.实变函数论[M].北京:高等教育出版社,2003.12-13.
[2] 胡适耕.实变函数[M].北京:高等教育出版社,1999.10-17.
[3] 徐森林.实变函数论[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2006.23-24.
[4] 周民强.实变函数论[M].北京:北京大学出版社,2004.19-21.
[5] H.L.Royden.Real Analysis,Third Edition[M]. Beijing:China machine Press,2004.20-21.
[6] L.V.阿尔福斯.复分析[M].赵志勇,薛运华,杨旭.北京:机械工业出版社,2005.45-46.
[7] Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis,Third Edition[M].Beijing:China machine Press,
2004.38-39.
[8] 程其襄,张奠宙,魏国强等.实变函数与泛函分析基础[M].北京:高等教育出版社,2003.15-27.
[9] 马立新,姜曰华,于宗义.实变函数论复习与解题研究[M].青岛:中国海洋大学出版社.1996.12-22.
[10] 谢惠民,钱定边,易法槐,恽自求.数学分析习题课讲义(上册)[M].北京:高等教育出版社,2003.103-104.
[11] 华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,2004.148-149.
Some Method About Proof of the Countability of Set
Abstract:This paper mainly discusses five proof method to proove the countability of the set, which as follaws.
1. Based on the definition to construct infinite sequence to prove the countability of the set;
2. Based on the Bernstein theorem and through the establishment of mapping to proove the countability of the set;
3.Through taking the sum aggregate between the sets to prove the countability of some sets;
ing the mathematical induction to prove the countability of the set;
5. Using the ideal about transforms. Through discussion about the above methods, this paper makes a comprehensive introduction about the proof of the countability of the set. Key words: Coutable set; One-to-one maping; Infinite sequence。