数学物理方法总结(改)
数学物理方法学习心得
竭诚为您提供优质文档/双击可除数学物理方法学习心得篇一：数学物理方程的感想数学物理方程的感想通过对数学物理方程一学期的学习，我深深的感受到数学的伟大与博大精深。
当应用数学发展到一定高度时，就会变得越来越难懂，越来越抽象，没有多少实际的例子来说明；物理正好也要利用数学来进行解释和公式推导，所以就出现了数学物理方法。
刚开始到结束这门课程都成了我的一大问题。
很难理解它的真正意义（含义），做题不致从何入手，学起来越来越费劲。
让我很是绞尽脑汁。
后来由于老师耐心的指导与帮助下我开始有了点理解。
用数学物理方法来解释一些物理现象，列出微分方程，当然这些微分方程是以物理的理论列出来的，如果不借助于物理方法，数学也没有什么好办法来用于教学和实践，而物理的理论也借助于数学方法来列出方程，解出未知的参数。
这就是数学物理方法的根本实质所在。
真正要学好数学物理方程不仅要数学好物理也不能够太差。
接下来我想先对数学物理方程做一个简单的介绍与解释说明。
数学物理方程——描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的数学描述都是偏微分方程，例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此。
这些反映物理及工程过程的规律的偏微分方程人们对偏微分方程的研究，从微分学产生后不久就开始了。
例如，18世纪初期及对弦线的横向振动研究，其后，对热传导理论的研究，以及和对流体力学、对位函数的研究，都获得相应的数学物理方程信其有效的解法。
到19世纪中叶，进一步从个别方程的深入研究逐渐形成了偏微分的一般理论，如方程的分类、特征理论等，这便是经典的偏微分方程理论的范畴。
然而到了20世纪随着科学技术的不断发展，在科学实践中提出了数学物理方程的新问题，电子计算机的出现为数学物理方程的研究成果提供了强有力的实现手段。
又因为数学的其他分支（如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等等）也有了迅速发展，为深入研究偏微分方程提供了有力的工具。
数学物理方法整理(全)
CR条件极坐标形式
u 1 v 1 u v
f z u v u v 0 CR条件： i 0 z x y y x 解析函数 性质1、f(z)在区域 B 解析，u(x,y)和v(x,y)为共轭调和函数 u(x,y)和v(x,y)都满足二维 Laplace 方程
若l所围区域包围n个奇 点b1 b2 b3 ….， bn , 则 单极点
f z dz 2 i Re sf (b )
l j 1 j
n
称为留数定理
Re sf ( z0 ) lim ( z z0 ) f ( z )
z z0
m 1
1 d m Re sf ( z ) lim { [( z z ) f ( z )]} m阶极点 0 0 m 1 z z0 (m 1)! dz
m为z0的阶，z 0为m阶极点，一阶极点 单极点 z0本性奇点 m ,
第四章 留数定理
l
f ( z )dz ak ( z z0 ) k dz 2ia1 2i Re sf z0
k l0
a1 Re sf ( z0 )
a-1称为f(z)在 奇点z0的留数
k
k
0
f(z)正幂部分称为解析部分，负幂部分称为主要部分 (z-z0 )-1的系数a-1称为f(z)在 奇点z0的留数
若 f ( z) a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 )2 z0可去奇点
m m1 f ( z ) a ( z z ) a ( z z ) ... a0 a1 ( z z0 ) 若 m 0 m1 0
f ( z)
《数学物理方法》_重要_公式_总结
无限长弦的一般强迫振动定解问题 200(,)(,0)()()tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ϕψ==⎧=+∈>⎪=⎨⎪=⎩ 解()()().().0()111(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττϕϕψξξατατ++----⎡⎤=++-++⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰三维空间的自由振动的波动方程定解问题()2222222220001,,,,0(,,)(,,)t t u u u a x y z t tx y z u x y z u x y z t ϕϕ==⎧⎛⎫∂∂∂∂=++-∞<<+∞>⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎪⎪=⎨⎪∂⎪=∂⎪⎩在球坐标变换sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θϕθϕϕπθπθ=⎧⎪=≤<+∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩21()1()(,)44M Mat r S S M M u M t dS dS a t r a rϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰(r=at)221()1()(,)44M Mat atS S M M u M t dS dS a t t a tϕψππ⎡⎤''∂=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰无界三维空间自由振动的泊松公式()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θϕθϕϕπθπθ'=+⎧⎪'=+≤≤≤≤⎨⎪'=+⎩2()sin dS at d d θθϕ=二维空间的自由振动的波动方程定解问题()222222200,,,0(,)(,)t t u u u a x y t t x y u u x y x y t ϕψ==⎧⎛⎫∂∂∂=+-∞<<+∞>⎪ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎨∂⎪==⎪∂⎩22at at ππ⎡⎤⎡⎤＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 傅立叶变换1()()2i x f x f e d λλλπ+∞-∞=⎰基本性质[]1212[][]F f f F f F f αβαβ+=+ 1212[][][]F f f F f F f *=12121[][][]2F f f F f F f π=* [][]F f i F f λ'= ()[]()[]k k F f i F f λ= [][]d F f F ixf d λ=- 1[()]d ixf F f d λλ--= 00[()][()]i x F f x x e F f x λ--=00[()]()i x F e f x f λλλ=-..1[()][()]x F f d F f x i ξξλ-∞=⎰.0.[)]1i x i xx F x x e dx e λλδδ∞--=-∞===⎰（（）()()..[]i x i F x x e dx e λλξδξδξ∞---∞-=-=⎰1[()]()F f ax f a aλ=若[()]()F f x g λ=则 [()]2()F g x f πλ=-()()i x f f x e dxλλ+∞--∞=⎰[]12()F πδλ= 22242ax aF e e λπ--⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭1cos ()21sin ()2ia ia ia ia a e e a e e i--=+=- cos sin cos sin ia ia e a i a e a i a -=+=-2x e dx +∞--∞=⎰＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 拉普拉斯变换()()sx f s f x e dx +∞-=⎰[]Re Re ax cL ce p a p a =>-21[]L x s =21[]()xL ex s ββ-⋅=+[]22sin kL kt s k =+[]22cos sL kt s k ==+[]22[]2ax axe eaL shax L s a--==- Re Re s a > []22[]2axaxe esL chax L s a -+==+ Re Re s a >基本性质[]1212[][]L f f L f L f αβαβ+=+ 1111212[][]L f f L f L f αβαβ---⎡⎤+=+⎣⎦[()][()],0s L f x e L f x τττ--=≥0[()](),Re()ax L e f x f s a s a σ=-->1[()](),(0)sL f cx f c c c=> ()12(1)[][](0)(0)(0)n n n n n L f s L f s f s f f ---'=----..01[()][()]xL f d L f x sττ=⎰[][()]n n n d L f L x f ds=- ..()[]pf x f s ds L x∞=⎰（） 1212[][][]L f f L f F f *= 0[()]()1sx L x x e dx δδ+∞-==⎰＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 三个格林公式 高斯公式：设空间区域V 是由分片光滑的闭曲面S 所围成，函数P,Q,R 在V 上具有一阶连续偏导数，则：V SP Q R dV Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z ⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰或()()()cos ,cos ,cos ,V SP Q R dV P n x Q n y R n z dS x y z ⎛⎫∂∂∂++=++⎡⎤ ⎪⎣⎦∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 第一格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：SVVu v dS u vdV u vdV ∇⋅=∇⋅∇+∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第二格林公式设u(x,y,z),V(x,y,z)在SŲS V 上有一阶连续偏导数，它们在V 中有二阶偏导，则：()()SVu v v u dS u v v u dV ∇-∇⋅=∆-∆⎰⎰⎰⎰⎰第三格林公式设M 0，M 是V 中的点，v(M)=1/r MM0, u(x,y,z)满足第一格林公式条件，则有：000011111()44MM MM MM S V u u M u dS u dV r n n r r ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂=--∆⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰定理1：泊松方程洛平问题 (,,),(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u f x y z x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续） 的解为：011111()()()()44S V u M M M dS f M dV r n r r ψϕππ⎡∂⎤⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ 推论1：拉氏方程洛平问题0,(,,)(,,),((,,),(xx yy zz SS S u u u u x y z V uu x y z x y z n ϕψ∆=++=∈⎧⎪⎨∂==⎪∂⎩连续）连续）的解为：0111()()()4S u M M M dS r n r ψϕπ⎡∂⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰⎰ ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 调和函数1、定义：如果函数u(x,y,z)满足:(1) 在V S 具有二阶连续偏导数；(2) 0u ∆= 称u 为V 上的调和函数。
数学物理方法知识点总结数学物理方程知识点归纳
数学物理方法知识点总结数学物理方程知识点归纳一、力学1.物质的运动和静止是相对参照物而言的。
2.相对于参照物，物体的位置改变了，即物体运动了。
3.参照物的选取是任意的，被研究的物体不能选作参照物。
4.力的作用是相互的，施力物体同时也是受力物体。
5.力的作用效果有两个：使物体发生形变。
使物体的运动状态发生改变。
6.力的三要素：力的大小、方向、作用点。
7.重力的方向总是竖直向下的，浮力的方向总是竖直向上的。
8.重力是由于地球对物体的吸引而产生的。
9.一切物体所受重力的施力物体都是地球。
10.两个力的合力可能大于其中一个力，可能小于其中一个力，可能等于其中一个力。
11.二力平衡的条件(四个)：大小相等、方向相反、作用在同一条直线上，作用在同一个物体上。
12.用力推车但没推动，是因为推力小于阻力(错，推力等于阻力)。
13.影响滑动摩擦力大小的两个因素：接触面间的压力大小。
接触面的粗糙程度。
14.惯性现象：(车突然启动人向后仰、跳远时助跑、运动员冲过终点不能立刻停下来)。
15.物体惯性的大小只由物体的质量决定(气体也有惯性)16.司机系安全带，是为了防止惯性(错，防止惯性带来的危害)。
17.判断物体运动状态是否改变的两种方法：速度的大小和方向其中一个改变，或都改变，运动状态改变。
如果物体不是处于静止或匀速直线运动状态，运动状态改变。
18.物体不受力或受平衡力作用时可能静止也可能保持匀速直线运动。
二、热学1.实验室常用温度计是利用液体热胀冷缩的性质制成的2.人的正常体温约为36.5℃。
3.体温计使用前要下甩，读数时可以离开人体。
4.物质由分子组成，分子间有空隙，分子间存在相互作用的引力和斥力。
5.扩散现象说明分子在不停息的运动着;温度越高，分子运动越剧烈。
6.密度和比热容是物质本身的属性。
7.沿海地区早晚、四季温差较小是因为水的比热容大(暖气供水、发动机的冷却系统)。
8.物体温度升高内能一定增加(对)。
9.物体内能增加温度一定升高(错，冰变为水)。
数学物理方法复习总结
数学物理⽅法复习总结数学物理⽅法教材：梁昆淼编写的《数学物理⽅法》[第四版]内容：第⼀篇复变函数论第⼆篇数学物理⽅程第⼀章复变函数⼀、复数1、复数的定义iy x z +=——代数式)sin (cos ??ρi z +=——三⾓式ρi e z =——指数式重点：复数三种表⽰式之间的转换！实部： z x Re = 虚部：z y Im = 模：22y x z +==ρ主辐⾓：)(arg x yarctg z = ,2a r g 0π<≤z辐⾓：πk z Argz 2arg +=),2,1,0( ±±=k共轭复数:iy x z +=*z x i y =- 2、复数的运算:加、减、乘、除、乘⽅、开⽅(1)、加法和减法(2)、乘法和除法))((221121iy x iy x z z ++=)()(12212121y x y x i y y x x ++-= )()(212121y y i x x z z ±+±=±111iyx z +=222iy x z +=21z z *222222211))((y x iy x iy x +-+=2222211222222121y x y x y x i y x y y x x +-+++=(2)、乘法和除法121111122222(cos sin )(cos sin )i i z i ez i eρ??ρρ??ρ=+==+=两复数相乘就是把模数相乘, 辐⾓相加;两复数相除就是把模数相除, 辐⾓相减。
(3) 复数的乘⽅和开⽅（重点掌握） )]sin()[cos(21212121ρρ-+-=i z z )(2121??ρρ-=i e 12121212[cos()sin()]z z i ρρ=+++)(2121??ρρ+=i e n i n e z )(?ρ=?ρin n e =)sin (cos ??ρn i n n +=或（n 为正整数的情况)棣莫弗公式：n i n i nsin cos )sin (cos +=+复数的乘、除、乘⽅和开⽅运算，采⽤三⾓式或指数式往往⽐代数式来得⽅便。
数学物理方法总结(改)
、
柯西公式
n次求导后得柯西公式
第三章幂级数展开
幂级数
其中 , , , ,……都就是复常数、
比值判别法(达朗贝尔判别法)
1、若有
则 收敛,
绝对收敛、
若极限 存在,则可引入记号R, ,于就是,若 ,则
绝对收敛、
2、若 ,则后项与前项得模之比得极限
、
双边幂级数
洛朗级数展开设f(z)在环形区域 得内部单值解析,则对环域上得任一点z,f(z)可展为幂级数 、其中
,
积分路径C为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周得任一闭合曲线、
例题1: 在 得环域上将 展为洛朗级数、
解答:
例题2: 在 得领域上将 展为洛朗级数、
解答: 由题意得
则有z-1得-1次项,而
第二类边界条件
第三类边界条件
衔接条件
、(T为张力)
达朗贝尔公式 定界问题
达朗贝尔公式 、
其中 , 、
第八章分离变数法
泛定方程 (若该方程可以使用分离变量法,则可以化成 )、
在不同得边界条件下解不同、
边界条件
(1){ ,X(x)得解为 { 其中 n=1,2,3……
(2){ ,X(x)得解为 { 其中 k=0,1,2……
(1)线性定理若 , ,则
、
(2)导数定理 、
(3)积分定理 L[ ]、
(4)相似性定理 、
(5)位移定理 、
(6)延迟定理 、
(7)卷积定理若 , ,则
,
其中 称为 与 得卷积、
第七章数学物理定解问题
(1) 均匀弦得微小振动,均匀杆得纵振动,传输线方程,均匀薄膜得微小横振动,流体力学与声学方程,电磁波方程得形式为 或 或 、
数学物理方法知识点精华总结
e z 1 z z 2 ... z n ...
2!
n!
sin z z z 3 z 5 ... (-1) n z 2 n 1 ...
3! 5!
(2 n 1)!
z2 z4
z 2n
cos z 1 ...
...
2! 4!
( 2 n )!
计算下列极限 lim | c k 1 ( z a ) k 1 | k | ck (z a)k |
(i)当极限值小于 1 时，幂级数在点 z 处绝对 收敛(ii)当极限值大于 1 时，幂级数在点 z 处发散(iii)当极限值等于 1 时，敛散性不能 判断。
柯西判别法：计算极限 lim k | c k ( z a ) k | k
邻域内点点是可导的，则称该点是解析的。
解析的必要条件：函数 f(z)=u+iv 在点 z 的
邻域内(i) u 、 u 、 v 、 v 存在。 x y x y
(ii)C-R 条件在该点成立。 解析的充分条件：函数 f(z)=u+iv 在邻域内(i)
u 、 u 、 v 、 v 不仅存在而且连续。 x y x y
第一章 复数和复变函数 1.5 连续
若函数 f ( x ) 在 z 0 的邻域内（包括 z 0 本身）
已经单值确定，并且 lim f ( z ) f ( z 0 ) ， z z0
则称 f(z)在 z 0 点连续。
1.6 导数 若函数在一点的导数存在，则称函数在该点 可导。 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件
f ( ) cos kd
D
(
k
数学物理方法总结
∞
为了求得 Tn (t ) ，将上解代入泛定方程得
14
Tn (t ) + n Tn (t ) = 0
' 2
解得 Tn (t ) = An e
∞ n =1 =1
− n 2t
− n 2t
∞
所以 u ( x, t ) = ∑ An e 代入初始条件可得
sin nx
n
∑A
n =1
sin nx = sin x + 2 sin 3 x
1 = [arctg ( x + at ) − arctg ( x − at )] 2a
用拉普拉斯变换法求解方程
6
y '' (t ) − 2 y ' (t ) + y (t ) = t 2 e t y (0) = 0, y ' (0) = 0
解：设
(t ≥ 0)
L[ y (t )]
'
=
10
解：设分离变数形式的解为
u ( x, t ) = X ( x )T (t )
X '' + λX = 0 代入泛定方程和边界条件，可得 X (0) = 0, X (π ) = 0 T ' + λT = 0
X (x ) 的方程和条件构成本征值问题，如果
λ < 0或 λ = 0
X ( x ) = 0 ，只能得无意义的解 ，故排除。
2
12
线性叠加得满足泛定方程和边界条件的解，原定解问题的形式解为
u n ( x, t ) = ∑ Ae
n =1
∞
− n 2t
sin nx
将形式解代入初始条件得 比较系数后得
数学物理方法归纳总结
数学物理方法归纳总结在数学和物理领域，人们经常使用各种数学方法来解决复杂的问题。
这些数学方法不仅能够帮助我们理解自然界的规律，还可以应用于各种实际情况中。
本文将对数学物理方法进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
1.微积分方法微积分是数学中的一门重要学科，它包括微分和积分两个方面。
微积分方法在物理学中的应用非常广泛。
例如，在研究物体的运动过程中，我们可以使用微积分方法求解物体的速度、加速度等相关问题。
微积分方法还可以用于求解曲线的斜率、曲率等问题，进一步帮助我们理解物理现象。
2.矢量分析方法矢量分析方法主要应用于描述和分析空间中的物理量。
在物理问题中，许多物理量都是有方向和大小的，通过使用矢量分析方法，我们可以更好地理解其性质和变化规律。
例如，通过计算力的合成与分解，可以求解力的平衡问题；利用矢量叉乘可以得到磁场强度的方向等。
3.微分方程方法微分方程是数学中的一种重要方程形式，它描述了变量之间的关系随时间、空间或其他独立变量的变化情况。
微分方程方法在物理学中应用广泛，常用于描述动力学、电磁场、波动等问题。
通过建立适当的微分方程模型，我们可以求解各种物理现象的演化过程。
4.矩阵方法矩阵方法是一种通过线性代数的理论和技巧来处理物理问题的数学方法。
在量子力学中，矩阵方法广泛应用于描述和计算粒子的能量、波函数、自旋等性质。
矩阵方法可以简化复杂的计算过程，帮助人们更好地理解量子力学中的各种现象。
5.概率统计方法概率统计方法是数学中研究随机事件规律和数据分析的一种数学方法。
在物理学中，概率统计方法可以用于解释微观粒子运动的不确定性、描述热力学系统的行为等。
概率统计方法可以帮助我们预测和分析物理现象中的随机因素，并进行相应的量化处理。
6.变分法变分法是一种用于求解最值问题的数学方法。
在物理学中，变分法常用于描述系统的最小作用量原理以及拉格朗日力学中的运动方程。
通过对物理量的变分求解，我们可以得到系统的稳定状态、系统的能量变化等重要信息。
数学物理方法课程总结
第一部分：一阶线性常微分方程组
● 高阶线性常微分方程化为一阶线性常微分方程组 ● 齐次线性常微分方程（组）解的结构
★基本解组 ★,eAt，A的特征值三种情况 ★通解表达式
● 非齐次线性常微分方程（组）的特解、通解。
第二部分：三类数理方程
第一章：波动方程
● 叠加原理 ● 达朗贝尔公式 ● 齐次化原理 ● 分离变量法求解波动方程的初边值混合问题 （若边界条件是非齐次的要先齐次化----通过加减，边界条 件变为齐次后再用分离变量的方法求解） ● 能量积分 ● 用能量积分证明解的唯一性
第二章：热传导方程
● 叠加原理 ● 齐次化原理 ●分离变量法求解热传导方程的初边值混合问题 （若边界条件是非齐次的要先齐次化----通过加减，边界条 件变为齐次后再用分离变量的方法求解） ● 傅里叶变换及5个性质 ● 用傅里叶变换求解热传导方程的柯西问题 ● 极值原理 ● 用极值原理证明解的唯一性
第三章：调和方程
● 变分原理 ● 分离变量法求解调和方程的边值问题 ● 格林第二公式 ● 平均值定理 ● 极值原理及其证明 ● 用极值原理证明解的唯一性 ● 格林函数法 ● 格林函数的5个性质及证明思路 ● 特殊边界情况求格林函数
数学物理方法思想总结
数学物理方法思想总结数学物理方法思想是指应用数学与物理的原理和方法进行问题的分析、研究和解决的一种思维方式。
这种思想强调了理论和实践相结合的方法，通过建立数学模型来揭示自然规律，进而提高对物理现象的理解和控制能力。
下面将对数学物理方法思想进行总结。
首先，数学物理方法思想体现了对物理问题进行抽象和理想化的特点。
物理世界中的现象往往非常复杂，难以直接进行分析和解决。
因此，数学物理方法思想着重于利用数学工具对物理问题进行抽象和理想化处理，将物理问题简化为数学模型，从而实现对问题的分析和研究。
通过抽象和理想化，我们可以更好地理解问题的本质和内在规律。
其次，数学物理方法思想注重于建立数学模型来描述物理现象。
在研究物理问题时，我们常常通过建立数学模型来描述和分析物理现象。
数学模型是基于多种数学工具和方法构建的，可以对物理问题进行定量分析，揭示物理规律和相应的数学关系。
通过数学模型，我们可以对物理现象进行更深层次的理解，并推断出新的物理结论。
第三，数学物理方法思想追求简洁和精确的逻辑推理。
在数学物理方法的研究过程中，逻辑推理是非常重要的。
通过逻辑推理，我们可以从已知条件推导出更多的结论和结果。
数学物理方法思想注重于严谨的逻辑推理和证明，强调结论的准确性和可靠性。
在推理的过程中，我们会使用各种数学工具和方法，如微积分、线性代数、偏微分方程等，来处理和求解不同的数学问题。
第四，数学物理方法思想强调实验与理论的相互验证。
在研究物理问题时，数学模型往往需要通过实验进行验证。
数学物理方法思想认识到实验与理论的相互关系，强调通过实验结果来验证和修正数学模型，从而提高模型的准确性和可靠性。
实验与理论的相互验证是数学物理方法思想的重要特征之一，也是推动科学发展和进步的重要手段。
第五，数学物理方法思想注重创新和跨学科的应用。
数学物理方法思想强调创新和跨学科的应用，希望通过新的思维方式和方法来解决问题。
在研究物理问题时，数学物理方法思想常常会结合其他学科的理论和方法，如计算机科学、统计学等，来解决更加复杂和实际的问题。
数学物理方法期末总结
数学物理方法期末总结目录一、基本概念与理论 (3)1. 数学物理方法概述 (4)1.1 定义与重要性 (5)1.2 历史发展 (6)2. 微积分的应用 (8)2.1 微分在物理学中的应用 (9)2.2 积分在物理学中的应用 (9)3. 线性代数 (10)3.1 向量与矩阵 (12)3.2 线性方程组 (13)3.3 特征值与特征向量 (13)4. 微分方程 (15)4.1 常微分方程 (16)4.2 偏微分方程 (17)二、数值方法与计算 (18)1. 数值分析基础 (19)1.1 误差分析 (21)1.2 置信区间与假设检验 (22)2. 求解方法 (22)2.1 直接法 (23)2.2 迭代法 (25)2.3 分裂法 (25)3. 计算机模拟 (27)3.1 数值实验步骤 (28)3.2 实验数据分析 (29)三、专题研究 (30)1. 波动理论 (31)1.1 波的传播 (32)1.2 驻波与干涉 (34)2. 量子力学基础 (35)2.1 波粒二象性 (36)2.2 薛定谔方程 (37)3. 统计物理 (38)3.1 随机过程 (40)3.2 熵与热力学第二定律 (40)四、课程总结与展望 (41)1. 重点回顾 (42)1.1 核心知识点总结 (43)1.2 学习难点解析 (44)2. 未来发展趋势 (45)2.1 数学物理方法的进步方向 (46)2.2 在现代物理学的应用前景 (47)3. 个人学习体会 (48)3.1 学习过程中的收获 (49)3.2 对未来学习的展望 (51)一、基本概念与理论数学物理方法是将数学工具应用于物理学问题的过程，它包括了数学分析、微分方程、复变函数、概率论等数学分支。
数学物理方法的基本目标是建立物理现象与数学模型之间的联系，通过求解数学模型来揭示物理现象的本质规律。
微分方程是描述自然界中运动变化的数学工具，它将偏微分方程和常微分方程两种形式结合在一起，可以用于求解各种类型的物理问题。
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第一章 复述和复变函数 1.5连续若函数)(x f 在0z 的领域内（包括0z 本身）已经单值确定，并且)()(0lim 0zf z f z z =→，则称f(z)在0z 点连续。
1.6导数若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv ∂∂在点不仅存在而且连续。
(ii)C-R 条件在该点成立。
C-R 条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂y y x u xy x v y y x v x y x u ),(),(),(),( 1.7解析若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。
解析的必要条件：函数f(z)=u+iv 在点z 的领域内(i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv ∂∂存在。
(ii)C-R 条件在该点成立。
解析的充分条件：函数f(z)=u+iv 在领域内(i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv∂∂不仅存在而且连续。
(ii)C-R 条件在该点成立。
1.8解析函数和调和函数的关系 拉普拉斯方程的解都是调和函数：22x u ∂∂+22y u∂∂=0 ①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。
但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C —R 条件。
②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)?通过C —R 条件列微分方程 第二章 复变函数的积分 2.2解析函数的积分柯西定理：若函数f(z)在单连区域D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A 与B 的那些曲线来讲，积分⎰BAdz z f )(的值均相等。
柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于零。
⎰=Cdz z f 0)(二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D 解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。
数学物理方法总结
数学物理方法总结数学物理方法在物理学领域中扮演着非常重要的角色，它不仅仅是物理学家的工具，更是一种思维方式和解决问题的方法。
数学物理方法的应用涉及到了许多领域，包括经典力学、电磁学、热力学、量子力学等。
本文将对数学物理方法进行总结，以便对这些方法有一个全面的了解。
首先，我们来谈谈在经典力学中的数学物理方法。
在经典力学中，微积分和微分方程是非常重要的工具。
微积分通过对函数的积分和导数运算，可以描述物体的运动和力学系统的行为。
而微分方程则可以用来描述物体的运动规律，比如牛顿第二定律就可以用微分方程来描述。
此外，拉格朗日力学和哈密顿力学也是经典力学中重要的数学物理方法，它们可以通过变分原理和哈密顿原理来描述物体的运动。
其次，我们来看看在电磁学中的数学物理方法。
在电磁学中，矢量分析和电磁场方程是非常重要的数学工具。
矢量分析可以用来描述电场和磁场的分布和性质，而电磁场方程则可以用来描述电磁场的行为，比如麦克斯韦方程组可以描述电磁波的传播。
此外，复数和调和函数也是电磁学中常用的数学工具，它们可以简化电磁场的计算过程。
再者，我们来讨论一下在热力学中的数学物理方法。
在热力学中，统计物理和热力学定律是非常重要的数学物理方法。
统计物理可以用来描述大量粒子系统的性质，比如玻尔兹曼分布和费米-狄拉克分布可以用来描述气体中粒子的分布。
而热力学定律则可以用来描述热量和功的转化，比如热力学第一定律可以用来描述热力学系统的能量守恒。
最后，我们来看看在量子力学中的数学物理方法。
在量子力学中，线性代数和波动方程是非常重要的数学工具。
线性代数可以用来描述量子态的性质，比如态矢量和算符可以用来描述量子系统的性质。
而波动方程则可以用来描述波函数的行为，比如薛定谔方程可以用来描述量子系统的演化。
综上所述，数学物理方法在物理学中扮演着非常重要的角色，它们不仅仅是工具，更是一种思维方式和解决问题的方法。
通过对数学物理方法的总结，我们可以更好地理解物理学中的各种现象和规律，为我们的科研工作提供更加丰富的思路和方法。
数学物理方程学习总结
数学物理方程学习总结
数学物理方程，总体来说，我觉得是一门挺深奥的学科，难度较大。
它主要讲的就是三大方程（波动方程，热传导方程，调和方程）的推导，初边值问题的解及其性质（存在性，唯一性，稳定性）的讨论。
波动方程，对于非齐次线性方程组初值问题的解利用叠加原理，分为方程齐次和初值问题齐次，方程齐次利用的方法为行波法（达朗贝尔公式），初值齐次利用的是齐次化原理。
初边值问题—变量分离法，对于高维波动方程初值问题—泊松公式，性质讨论—能量不等式。
热传导方程，边值问题基本上与波动方程类似，初值问题—傅里叶变换。
性质讨论主要用到的就是极值原理。
调和方程，不存在柯西问题，它只有边值问题，分为狄利克雷内外问题。
主要方法为格林函数法，静电源像法，解决问题也比较单一，有球面，半空间，圆。
性质讨论—极值原理和先验估计均可。
数学物理方法知识点精华总结
第一章 复数和复变函数 1.5连续若函数)(x f 在0z 的邻域内（包括0z 本身）已经单值确定，并且)()(0lim 0z f z f z z =→，则称f(z)在0z 点连续。
1.6导数若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i)xu ∂∂、yu ∂∂、xv ∂∂、yv ∂∂在点不仅存在而且连续。
(ii)C-R 条件在该点成立。
C-R 条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂y y x u xy x v y y x v x y x u ),(),(),(),( 1.7解析若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的邻域内点点是可导的，则称该点是解析的。
解析的必要条件：函数f(z)=u+iv 在点z 的邻域内(i)xu ∂∂、yu ∂∂、xv ∂∂、yv ∂∂存在。
(ii)C-R 条件在该点成立。
解析的充分条件：函数f(z)=u+iv 在邻域内(i)xu ∂∂、yu ∂∂、xv ∂∂、yv ∂∂不仅存在而且连续。
(ii)C-R 条件在该点成立。
1.8解析函数和调和函数的关系 拉普拉斯方程的解都是调和函数： 22xu ∂∂+22yu ∂∂=0①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。
但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C —R 条件。
②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)?通过C —R 条件列微分方程 第二章 复变函数的积分 2.2解析函数的积分柯西定理：若函数f(z)在单连区域D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A 与B 的那些曲线来讲，积分⎰BAdz z f )(的值均相等。
柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于零。
⎰=Cdz z f 0)(二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。
数学物理方法论文
数学物理方法第一篇总结1.1复数与复数运算（一）复数的概念一个复数可以表示为某个实数与某个纯虚数iy 的和，z=x+iy ，这是复数的代数式，x 和y 叫做该复数的实部和虚部，并分别记做Re z 和Im z 。
如果将x 和y 当做平面上点的坐标，复数z 就跟平面上的点一一对应起来，这个平面称为复数平面，两个坐标轴分别称为实轴和虚轴。
复数的三角式]sin [cos θθρi z +=，其中22y x +=ρ，()x /y arctg =θ。
共轭复数的概念如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
（二）无限远点 复球面无限远点：复平面上ρ为无限大的点．复球面：与复平面相切于坐标原点o ，其上每一点都与复平面上的点构成一一对应关系的球面．（三）复数的运算已知两个复数：211sin cos θθi z += 222sin cos θθi z += 1.加减运算 )sin (sin )cos (cos z 212121θθθ+++=+i z 2.乘法运算[])sin(i )cos()sin )(cos sin (cos 21212122112121θθθθρρθθθθρρ+++=++=i i z z3.除法运算[])(i 212121212121)sin(i )cos(θθθθθθ-=-+-=e r rr r z z 4.复数的乘幂)sin (cos θθρn i n z nn+=5.复数的方根)sin (cosni n z nnθθρ+=（四）典型例题计算下列数值（其中θ为常数）1.ϑθθθn cos 3cos 2cos cos +++2.θθθθn sin 3sin 2sin sin +++1.2复变函数（一）复变函数的定义对于复平面的点集E ，它的每个点z 都有一个或多个点ψ通过确定的关系与之对应。
则称ψ为z 的复变函数，记作：ψ= f (z ), z ∈E E 叫做定义域。
大学物理与数学方法总结
n z不同，Sin z=1 =ïïîïïí춶-=¶¶¶¶=¶¶x v yu y v x u这是复变函数可导的必要条件。
函数可导的充要条件是：函数f(z)的偏导数yvx v yux u ¶¶¶¶¶¶¶¶,,,存在且连续，并且满足柯西—黎曼方程。
在极坐标系下的柯西—黎曼方程：ïïîïïí춶-=¶¶¶¶=¶¶r jr jr r v u v u11四 解析函数若函数f(z)在点0z 及其领域上处处可导，则称f(z)在0z 点解析。
又若f(z)在区域B 上每一点都解析，则称f(z)是区域B 上的解析函数。
上的解析函数。
解析函数是一类特殊的复变函数，具有以下主要性质： 1. 若函数f(z) = u +iv 在区域在区域B 上解析，则上解析，则 u(x,y)=1C ,v(x,y)=2C(1C ,2C 为常数)是B 上的两组正交曲线族。
2. 若函数f(z) = u +iv 在区域在区域B 上解析，则u,v 均为B 上的调和函数。
由性质2可以知道，若给定一个二元调和函数，若给定一个二元调和函数，我们可以将它看做某个解析函数我们可以将它看做某个解析函数的实部的实部（或虚部）（或虚部），利用柯西—黎曼方程求出相应的虚部黎曼方程求出相应的虚部（或实部）（或实部），也就是确定这个解析函数。
这个解析函数。
dy y v dx x v dv ¶¶+¶¶=根据柯西—黎曼方程，上式可变为，上式可变为 dy x u dx y u dv ¶¶+¶¶-=于是利用曲线积分法、凑全微分显示法或不定积分法可确定这个解析函数。
数学物理方法大总结
数学物理⽅法⼤总结数学物理⽅法⼀、填空题1、Г函数为：Г(x)=0,10>-∞-?x dt t e x t ；⼜称为第⼆类欧拉积分的为：0Re ,)(10>=Γ-∞-?z dt t e z z t 。
2、B 函数（⼜称为第⼀类欧拉积分）为：0Re ;0Re )1(),(1101>>-=--?q p dt t t q p B q p ，；B 函数与Г函数之间的重要关系为：) ()()(),(q p q p q p B +ΓΓΓ=3、勒让德P l (x)的母函数：1)(2111),(02<=+-==∑∞=t t x P t tx d t x v l l l ，（B 卷）4、贝塞尔J n (x)的母函数：∑∞∞--=n n tt x t x J e)()1(2；其积分形式为：dt tei x J l n tt x n ?+-=1)1(221)(π（B 卷） 5、球阶函数：θπ?θ?θim ml m M l m l l ll l m l e p m l m l l Y y rd r c u )(cos )!()!(412)1(),(),()1(,1,+-+-=+=+，其中6、=-?l n a z dz)(?≠=的整数）是0(0)1(2n n n i π7、S —L ⽅程表现形式：0)()(])([=+-y x y x q dxdyx k dx d λρ 8、复数=-)4ln()2(4ln ππk i ++9、=+??∞∞-)6(sin πδx x 216sin -=-π10、复数=i cos 211--e e11、)3)(2(1)(--=z z z f 在，32<=+++-=n n nn n z zz f12、函数zze z f 1)(=在z=0处的奇点类型为本性奇点，其留数为： 2 1。
13、已知x 为复数，则=?-ππdx nx mx cos sin 0 。
14、函数><=1,01,)(t t t x f 的傅⾥叶变换为： )()sin cos 2)(πωωωωω+-=（G 。
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数学物理方法总结第一章 复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:(cos sin )z ρϕϕ=+和i z e ϕρ=欧拉公式:{1sin ()21cos ()2iz iz iz izz e e iz e e --=-=+柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{u u x yv v x y∂∂=∂∂∂∂=-∂∂ (其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv 在点0z 及其领域上处处可导,则称f(z)在0z 点解析.在区域B 上每一点都解析,则称f(z)是在区域B 上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv 在区域B 上解析,则12(,),(,)u x y C v x y C ==(12,C C 为常数)是B 上的两组正交曲线族.2.若函数在区域B 上解析,则u,v 均为B 上的调和函数,即22220u vx y∂∂+=∂∂ 例题: 已知某解析函数f(z)的实部22(,)u x y x y =-,求虚部和这个解析函数.解答: 由于22ux∂∂=2;22v y ∂∂=-2;则22220u v x y ∂∂+=∂∂曲线积分法u x ∂∂=2x;u y ∂∂=-2y.根据C-R 条件有:v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x.于是 22dv ydx xdy =+;(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,)(,0)(22)(22)(22)22x x y x x y x y x v ydx xdy C ydx xdy ydx xdy Cxdy C xy C=++=++++=+=+⎰⎰⎰⎰凑全微分显式法 由上式可知 22dv ydx xdy =+ 则易得 (2)dv d xy = 则显然 2v xy C =+不定积分法 上面已有v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x则第一式对y 积分,x 视为参数,有 2()2()v xy x xy x ϕϕ=+=+⎰. 上式对x 求导有2'()vy x xϕ∂=+∂,而由C-R 条件可知 '()0x ϕ=, 从而 ()x C ϕ=.故 v=2xy+C.222()(2)f z x y i xy C z iC =-++=+第二章 复变函数的积分单连通区域柯西定理 如果函数f(z)在闭单连通区域B 上解析,则沿B 上任意一分段光滑闭合闭合曲线l(也可以是B 的边界),有()0lf z dz =⎰.复连通区域柯西定理 如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数,则1()()0inll i f z dz f z dz =+=∑⎰⎰.式中l 为区域外边界线,诸i l 为区域内边界线,积分均沿边界线的正方向进行.即1()()inll i f z dz f z dz ==∑⎰⎰.柯西公式 1()()2lf z f dz iz απα=-⎰n 次求导后的柯西公式 ()1!()()2()n n l n f fz d i z ζζπζ+=-⎰第三章 幂级数展开幂级数200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-++-+∑其中0a ,1a ,2a ,3a ,……都是复常数. 比值判别法(达朗贝尔判别法) 1.若有110100limlim1k k k kk k kk a z z a z z a a z z +++→∞→∞-=-<- 则 2010200............kk a a z z a z z a z z +-+-++-+收敛,200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑绝对收敛.若极限1lim /k k k a a +→∞存在,则可引入记号R,1limkk k a R a →∞+=,于是,若0z z R -<,则 200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑绝对收敛.2.若0z z R ->,则后项与前项的模之比的极限 11010limlim1k k k kk k kk a z z a R a a z z +++→∞→∞->=-,即说明200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑发散.例题: 求幂级数2461.....z z z -+-+的收敛圆,z 为复变数. 解答: 由题意可得 1lim1kk k a R a →∞+== 故 246211......1z z z z -+-+=+ (1z <). 泰勒级数展开 设f(z)在以0z 为圆心的圆R C 内解析,则对圆内的任意z 点,f(z)可展为幂级数,0()()kkk f z a z z ∞==-∑,其中1()010()1()2()!R n k k C f z f a d iz k ζζπζ+==-⎰,1R C 为圆R C 内包含z 且与R C 同心的圆.例题: 在00z =的领域上将()zf z e =展开 解答: 函数()zf z e =的各阶导数()()n z fz e =,而()()0()(0)1k k f z f ==.则ze 在00z =的领域上的泰勒展开23401............1!2!3!4!!!k kzk z z z z z z e k k ∞==++++++=∑. 双边幂级数212010010220......()()()()......a z z a z z a a z z a z z ----+-+-++-+-+洛朗级数展开 设f(z)在环形区域201R z z R <-<的内部单值解析,则对环域上的任一点z,f(z)可展为幂级数0()()kkk f z a z z ∞=-∞=-∑.其中101()2()k k C f a d iz ζζπζ+=-⎰,积分路径C 为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线.例题1: 在1z <<∞的环域上将2()1/(1)f z z =-展为洛朗级数.解答: 22222460211111111......111kk z z zz z z z z ∞=⎛⎫===+++ ⎪-⎝⎭-∑ 例题2: 在01z =的领域上将2()1/(1)f z z =-展为洛朗级数. 解答: 由题意得21111()()1211f z z z z ==---+ 则有z-1的-1次项,而0111111(1)()111222212kk k z z z z ∞=-===--+-++∑ (12z -<) 故 01111()(1)()2142k kk z f z z ∞=-=---∑.第四章 留数定理留数定理 设函数f(z)在回路l 所围区域B 上除有限个孤立奇点1b ,2b ,……,n b 解析,在闭区域B 上除1b ,2b ,……, n b 外连续,则11()2Re ()2nj lj f z dz i sf b ia ππ-===∑⎰.其中,1111Re ()lim{[()()]}(1)!j m m j j m z b d a sf b z b f z m dz---→==--. 推论1: 单极点的留数为000Re ()lim[()()]z z sf z z z f z →=-.推论2: 若f(z)可以表示为P(z)/Q(z)的特殊形式,其中P(z)和Q(z)都在0z 点解析,0z 是Q(z)的一阶零点(0()0Q z =).0()0P z ≠,则000000()()'()()()Re ()lim()lim ()'()'()z z z z P z z z P z P z P z sf z z z Q z Q z Q z →→+-=-==. 上式最后一步应用了罗毕达法则.留数定理的应用 类型一20(cos ,sin )R x x dx π⎰.作自变量代换 ix z e =.则式子变为111(,)22z z z z z dzI R iz--=+-=⎰.例题: 计算 202cos dxI xπ=+⎰.解答: 21201122cos 41(2)2z z dxdz dzI i i z z xzz z π-====-=-+++++⎰⎰⎰,Z的单极点为1,2422z -+==- 则221Re (22241z s i z z z π→--=+=++, 由于2-1z =内.故 I =. 类型二()f x dx ∞-∞⎰.积分区间是(,)-∞∞;复变函数f(z)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z 在上半平面及实轴上→∞时,zf(z)一致地0→.则式子可以变为()2I f x dx i π∞-∞==⎰{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}.例题: 计算21dx x ∞-∞+⎰. 解答: 21dzI z ∞-∞=+⎰的单极点为1,2z i =±.21Re ()2lim()1z i sf i i z i z ππ→=-=+,故21dxx π∞-∞=+⎰.类型三()cos F x mxdx ∞⎰,0()sin G x mxdx ∞⎰,积分区间是[0,]+∞;偶函数F(x)和奇函数G(x)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z 在上半平面或实轴上→∞,F(z)及G(z)一致地0→.则式子可以变为()cos {()}imx F x mxdx i F x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和;()sin {()}imx G x mxdx G x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和.若类型二,类型三的实轴上有有限个奇点,则有()2Re ()Re ()f x dx isf z isf z ππ∞-∞=+∑∑⎰在上平面实轴上.其中,在类型三中f(x)应理解为()imzF x e或()imxG x e.第五章 Fourier 变换傅里叶级数 周期为2l 的函数f(x)可以展开为级数01()(cossin )k k k k x k xf x a ab l lππ∞==++∑. 其中,{1()cos1()sin lk lk lk l k a f d l lk b f d l lπξξξδπξξξ--==⎰⎰, k δ={2(0)1(0)k k =≠.注: 积分上下限只要满足 上-下=2l 即可. 复数形式的傅里叶级数 ()k xilkk f x c eπ∞=-∞=∑其中 *1()[]2k x i l lk l c f e d lπξξ-=⎰. 傅里叶积分 0()()cos ()sin f x A xd B xd ωωωωωω∞∞=+⎰⎰傅里叶变换式 {1()()cos 1()()sin A f d B f d ωξωξξπωξωξξπ∞-∞∞-∞==⎰⎰复数形式的傅里叶积分{*()()()()[]i xi x f x F e d F f x e dx ωωωωω∞-∞∞-∞==傅里叶变换的性质(1) 导数定理 F [f ’(x)]=iwF(w)(2) 积分定理 F [()()x f d ξξ⎰]=1()F w iw(3) 相似性定理 F [f(ax)]=1()wF a a(4) 延迟定理 F [0()f x x -]=0()iwx e F w -(5) 位移定理 F [0()iw xef x ]=0()f w w -(6) 卷积定理 若F [1()f x ]=1()F w ,F [2()f x ]=2()F w ,则 F [1()f x *2()f x ]=122()()F w F w π. 其中1212()*()()()f x f x f f x d ξξξ∞-∞=-⎰称为1()f x 和2()f x 的卷积.δ函数()x δ={0(0)(0)x x ≠∞=.()bax dx δ=⎰{0(,0,0)1(a<0<b)a b <>都或都.δ函数的一些性质1. ()x δ是偶函数.()()'()'()x x x x δδδδ-=-=-2. ()()xH x t dt δ-∞==⎰{0(0)1(0)x x <>.3.00()()()f t d f t τδττ∞-∞-=⎰.第六章 Laplace 变换拉普拉斯变换 0()()pt f p f t e dt ∞-=⎰拉普拉斯变换的一些性质 (1) 线性定理 若11()()f t f p ,22()()f t f p ,则1121122()()()()c f t c f t c f p c f p ++.(2) 导数定理 '()()(0)f t p f p f -.(3) 积分定理1()td p ϕττ⎰L [()p ϕ]. (4) 相似性定理 1()()p f at f p a . (5) 位移定理 ()()te f t f p λλ-+.(6) 延迟定理 00()()pt f t t e f p --. (7) 卷积定理 若11()()f t f p ,22()()f t f p ,则1212()*()()()f t f t f p f p ,其中12120()*()()()tf t f t f f t d τττ=-⎰称为1()f t 和2()f t 的卷积.第七章 数学物理定解问题(1) 均匀弦的微小振动,均匀杆的纵振动,传输线方程,均匀薄膜的微小横振动,流体力学与声学方程,电磁波方程的形式为20tt xx u a u -=或220tt u a u -∆=或230tt u a u -∆=.(2) 扩散方程,热传导方程的形式为20t xx u a u -=或20t u a u -∆=.(3) 稳定浓度分布,稳定温度分布,静电场,稳定电流场方程的形式为(拉普拉斯方程)0u ∆=.(4) 以上方程中x u 意为ux∂∂,xx u 意为22u x ∂∂.若以上各方程均为有源,则方程为 各方程=f(x,y,z,t).定解条件初始条件 初始”位移” 0(,,,)(,,)t u x y z t x y z ϕ==, 初始”速度” 0(,,,)(,,)t t u x y z t x y z ψ==. 边界条件 第一类边界条件 (,)(,)u r t f M t ∑=第二类边界条件(,)u f M t n∑∂=∂第三类边界条件 ()(,)uu Hf M t n ∑∂+=∂ 衔接条件 00(0,)(0,)u x t u x t -=+00(0,)(0,)()x x Tu x t Tu x t F t +--=-.(T 为张力) 达朗贝尔公式 定界问题 达朗贝尔公式 11(,)[()()]()22x at x at u x t x at x at d aϕϕψξξ+-=++-+⎰. 其中0()t u x ϕ==,0()tt u x ψ==.()x -∞<<∞第八章 分离变数法泛定方程 20tt xx u a u -=(若该方程可以使用分离变量法,则可以化成2''()''()()()T t X x a T t X x λ==-). ''()()0X x X x λ+=在不同的边界条件下解不同.边界条件(1) {(0)0()0X X l == , X(x)的解为 {2()()sinn n n ln X x C x lπλπ== 其中 n=1,2,3……(2) {'(0)0()0X X l ==, X(x)的解为 {21()2[]1()2()cosn n k lk X x C x lπλπ+=+= 其中 k=0,1,2……(3) {(0)0'()0X X l ==, X(x)的解为 {21()2[]1()2()sinn n k l k X x C x lπλπ+=+= 其中 k=0,1,2…… (4) {'(0)0'()0X X l ==, X(x)的解为 {2()()cosn n n ln X x C x lπλπ== 其中 n=0,1,2……T(t)的方程在有n 且n=0时的解为 ()T t At B =+; 在0n ≠时的解为()sincos n a n aT t A t B t l lππ=+; 在有k 的情况下为(21)(21)()sincos 22k a k aT t A t B t l lππ++=+. 初始条件 将u(x,t)=T(t)X(x)带入初始条件,确定u(x,t)中的常数项.欧拉型常微分方程 22220d R dRm R d d ρρρρ+-=. 解法为做代换t e ρ=.第九章 二阶常微分方程级数解法 本征值问题拉普拉斯方程 0u ∆=(1) 球坐标系下 2222222111()(sin )0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂. 分解为 2222(1)0R R r r l l R r r ∂∂+-+=∂∂ 其解为 11()ll R r Cr D r +=+. 和22211(sin )(1)0sin sin Y Y l l θθθθθϕ∂∂∂+++=∂∂∂(球方程,(,)()()Y θϕθϕ=ΘΦ) 球方程又可以分离为 ''()()0ϕλϕΦ+Φ= 其中有 ()(2)ϕϕπΦ=Φ+,其方程解为 {2()cos sin m A m B m λϕϕϕ=Φ=+ 其中 m=0,1,2……和 22222(1)2[(1)]01d d m x x l l dx dx x ΘΘ--++-Θ=- (连带勒让德方程).(2) 柱坐标系下 2222211()0u u u z ρρρρρϕ∂∂∂∂++=∂∂∂∂.分解为 ''()()0ϕλϕΦ+Φ= 其中有 ()(2)ϕϕπΦ=Φ+,其方程解为{2()cos sin m A m B m λϕϕϕ=Φ=+ 其中 m=0,1,2…… 和 ''0Z Z μ-=和 22221()0d R dR m R d d μρρρρ++-=. 当0μ=时,Z=C+Dz,()R ρ={ln (0)/(1,2,3......)m m E F m E F m ρρρ+=+=; 当0μ>时,()Z z De =+,方程R 转换为 22222()0d R dR x x x m R dx dx++-=(x =,m 阶贝塞尔方程). 当0μ<时,()Z z C D =+,方程R 转换为22222()0d R dR x x x m R dx dx +-+=(x =,m 阶虚宗量贝塞尔方程). 亥姆霍兹方程 20v k v ∆+=.在00x =的领域上l 阶勒让德方程的解为 0011()y x a y a y =+ 其中 2402()(1)(2)()(1)(3)1...2!4!(22)(24)...()(1)(3)...(21)......(2)!k l l l l l l y x x k l k l l l l l k x k -+--++=+++-----+++-++ 35121(1)(2)(3)(1)(2)(4)...3!5!(21)(23)...(1)(2)(4)...(2)......(21)!k l l l l l l y x x x k l k l l l l l k x k +-+--++=+++-----++++++第十章 球函数高次项l x 的系数 2(2)!2(!)l l l a l = (在乘以适当的常数之后),用递推公式改写后为2(2)(1)()(1)k k k k a a k l k l +++=-++,则 22(22)!(1)!2()!(2)!l n l l n a n l n l n --=---.则勒让德多项式为 [/2]20(22)!()(1)!2()!(2)!l kl k l l k l k P x x k l k l k -=-=---∑.[/2]l ={/2()(1)/2()l l l l -为偶数为奇数. ()1o P x =1()cos P x x θ==2211()(31)(3cos 21)24P x x θ=-=+ 3311()(53)(5cos33cos )28P x x x θθ=-=+ 42411()(35303)(35cos 420cos 29)864P x x x θθ=-+=++…… 勒让德多项式是正交的例题1: 以勒让德多项式为基,在区间[-1,1]上把f(x)=3234x x ++展开为广义傅里叶级数.解答: 3234x x ++=00112233()()()()f P x f P x f P x f P x +++ = 23012311(31)(53)22f f x f x f x x ++-+- 则有 02142f f -=, 13332f f -=, 2302f =, 3522f =. 故有3234x x ++=0132144()()()55P x P x P x ++. 例题2: 在半径0r r =的球的内部求解拉普拉斯方程使满足边界条件02cos r r u θ==. 解答: 边界条件与ϕ无关,故选择球坐标,则有10(,)()(cos )l l l l l l B u r A r P r θθ∞+==+∑. 又有自然边界条件 0r u =有限故0l B =.则有(,)(cos )ll ll u r A r P θθ∞==∑. 而02202012cos (cos )()()33l l l r r l u A r P x P x P x θθ∞======+∑,则 22200121(,)(cos )(cos )33l l l l u r A r P r P r θθθ∞===+∑.。