九年级数学上册期末试卷中考真题汇编[解析版]

九年级数学上册期末试卷中考真题汇编[解析版]
一、选择题
1．若点()10,A y ，()21,B y 在抛物线()213y x =-++上，则下列结论正确的是（ ）
A ．213y y <<
B ．123y y <<
C ．213y y <<
D ．213y y << 2．已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为13cm ，则这个圆锥的全面积是（ ）
A ．265cm π
B ．290cm π
C ．2130cm π
D ．2155cm π 3．如图，以AB 为直径的⊙O 上有一点C ，且∠BOC ＝50°，则∠A 的度数为（ ）
A ．65°
B ．50°
C ．30°
D ．25°
4．如图1，S 是矩形ABCD 的AD 边上一点，点E 以每秒k cm 的速度沿折线BS －SD －DC 匀速运动，同时点F 从点C 出发点，以每秒1cm 的速度沿边CB 匀速运动．已知点F 运动到点B 时，点E 也恰好运动到点C ，此时动点E ，F 同时停止运动．设点E ，F 出发t 秒时，
△EBF 的面积为2ycm ．已知y 与t 的函数图像如图2所示．其中曲线OM ，NP 为两段抛物
线，MN 为线段．则下列说法：
①点E 运动到点S 时，用了2.5秒，运动到点D 时共用了4秒；
②矩形ABCD 的两邻边长为BC ＝6cm ，CD ＝4cm ；
③sin ∠ABS ＝32
； ④点E 的运动速度为每秒2cm ．其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①③④
C ．①②④
D ．②③④
5．已知点O 是△ABC 的外心，作正方形OCDE ，下列说法：①点O 是△AEB 的外心；②点O 是△ADC 的外心；③点O 是△BCE 的外心；④点O 是△ADB 的外心.其中一定不成立的说法是（ ）
A ．②④
B ．①③
C ．②③④
D ．①③④
6．如图，点P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点
B ，∠P=30°，OB=3，则线段BP 的长为（ ）
A．3 B．33C．6 D．9
7．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）
A．8 B．12 C．14 D．16
8．如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（）
A．1：2 B．1：4 C．1：2D．2：1
9．如图，BC是O的直径，A，D是O上的两点，连接AB，AD，BD，若
70
ADB︒
∠=，则ABC
∠的度数是（）
A．20︒B．70︒C．30︒D．90︒
10．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）
A．2x﹣3＝x B．2x+3y＝5 C．2x﹣x2＝1 D．
1
7 x
x
+=
11．某市计划争取“全面改薄”专项资金120 000 000元，用于改造农村义务教育薄弱学校100所数据120 000 000用科学记数法表示为（）
A．12×108B．1.2×108C．1.2×109D．0.12×109
12．受益于电子商务发展和法治环境改普等多重因素，“快递业”成为我国经济发展的一匹“黑马”，2018年我国快递业务量为600亿件，预计2020年快递量将达到950亿件，若设快递平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（）
A．600（1+x）＝950 B．600（1+2x）＝950
C．600（1+x）2＝950 D．950（1﹣x）2＝600
二、填空题
13．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是_____．
14．如图，AB、CD、EF所在的圆的半径分别为r1、r2、r3，则r1、r2、r3的大小关系是____．（用“＜”连接）
15．如图，用一张半径为10 cm 的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的高为8 cm ，那么这张扇形纸板的弧长是________cm ．
16．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球运动时间t （秒）之间的函数关系式是h=12t ﹣6t 2，则小球运动到的最大高度为________米；
17．如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，
∠AOC =30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点Q ，且PQ =OQ ，则满足条件的∠OCP 的大小为_______．
18．圆锥的母线长是5 cm,底面半径长是3 cm,它的侧面展开图的圆心角是____.
19．已知关于x 的方程230x mx m ++=的一个根为-2，则方程另一个根为__________．
20．如图，抛物线2143115y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，⊙B 的圆心为B ，半径是1，点P 是直线AC 上的动点，过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，则切线长PQ 的最小值是__．
21．如图，O 2ABCD 内接于O ，点E 在ADC 上运动，连接BE ，作AF ⊥BE ，垂足为F ，连接CF .则CF 长的最小值为________.
22．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan B＝cos∠DAC，若sin C＝12
13
，BC＝12，则AD
的长_____．
23．有4根细木棒，它们的长度分别是2cm、4cm、6cm、8cm．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是_____．
24．已知二次函数y＝3x2+2x，当﹣1≤x≤0时，函数值y的取值范围是_____．
三、解答题
25．已知二次函数y＝－x2＋bx＋c（b，c为常数）的图象经过点（2，3），（3，0）．（1）则b＝，c＝；
（2）该二次函数图象与y轴的交点坐标为，顶点坐标为；
（3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象；
（4）根据图象，当－3＜x＜2时，y的取值范围是．
26．如图，BD是⊙O的直径．弦AC垂直平分OD，垂足为E．
（1）求∠DAC的度数；
（2）若AC＝6，求BE的长．
27．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A(1，1)，且与直线-2y x 交于B ，C 两点． （1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；
（2）求△ABC 的面积；
（3）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN ⊥x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
28．已知二次函数y ＝2x 2+bx ﹣6的图象经过点(2，﹣6)，若这个二次函数与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于点C ，求出△ABC 的面积．
29．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC 的顶点及点O 都在格点上（每个小方格的顶点叫做格点）．
（1）以点O 为位似中心，在网格区域内画出△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′与△ABC 位似（A ′、B ′、C ′分别为A 、B 、C 的对应点），且位似比为2：1；
（2）△A ′B ′C ′的面积为 个平方单位；
（3）若网格中有一格点D ′（异于点C ′），且△A ′B ′D ′的面积等于△A ′B ′C ′的面积，请在图中标出所有符合条件的点D ′．（如果这样的点D ′不止一个，请用D 1′、D 2′、…、D n ′标出）
30．如图，小明家窗外有一堵围墙AB ，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C 射进房间的地板F 处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D 射进房间的地板E 处，小明测得窗子距地面的高度OD ＝1m ，窗高CD ＝1.5m ，并测得OE ＝1m ，OF ＝5m ，求围墙AB
的高度．
31．小亮晚上在广场散步，图中线段AB 表示站立在广场上的小亮，线段PO 表示直立在广场上的灯杆，点P 表示照明灯的位置．
（1）请你在图中画出小亮站在AB 处的影子BE ；
（2）小亮的身高为1.6m ，当小亮离开灯杆的距离OB 为2.4m 时，影长为1.2m ，若小亮离开灯杆的距离OD ＝6m 时，则小亮（CD ）的影长为多少米？
32．如图示，在平面直角坐标系中，二次函数2
6y ax bx =++（0a ≠）交x 轴于()4,0A -，()2,0B ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .
（1）求二次函数的表达式；
（2）点D 是第二象限内的点抛物线上一动点
①求ADE ∆面积最大值并写出此时点D 的坐标；
②若1tan 3
AED ∠=，求此时点D 坐标； （3）连接AC ，点P 是线段CA 上的动点.连接OP ，把线段PO 绕着点P 顺时针旋转90︒至PQ ，点Q 是点O 的对应点.当动点P 从点C 运动到点A ，则动点Q 所经过的路径长等于______（直接写出答案）
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
将x=0和x=1代入表达式分别求y 1,y 2,根据计算结果作比较.
【详解】
当x=0时，y 1= -1+3=2,
当x=1时，y 2= -4+3= -1,
∴213y y <<.
故选：A.
【点睛】
本题考查二次函数图象性质，对图象的理解是解答此题的关键.
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
先根据圆锥侧面积公式：S rl π=求出圆锥的侧面积，再加上底面积即得答案.
【详解】
解：圆锥的侧面积=251365cm ππ⨯⨯=，所以这个圆锥的全面积
=2265590cm πππ+⨯=.
故选：B.
【点睛】
本题考查了圆锥的有关计算，属于基础题型，熟练掌握圆锥侧面积的计算公式是解答的关键.
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据圆周角定理计算即可．
【详解】 解：由圆周角定理得，1252
A BOC ∠=∠=︒，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
①根据函数图像的拐点是运动规律的变化点由图象即可判断．②设AB CD acm ==，BC AD bcm ==，由函数图像利用△EBF 面积列出方程组即可解决问题．③由 2.5BS k =，1.5SD k =，得53
BS SD =，设3SD x =，5BS x =，在RT ABS ∆中，由222AB AS BS +=列出方程求出x ，即可判断．④求出BS 即可解决问题．
【详解】
解：函数图像的拐点时点运动的变化点根据由图象可知点E 运动到点S 时用了2.5秒，运动到点D 时共用了4秒．故①正确．
设AB CD acm ==，BC AD bcm ==， 由题意，1··( 2.5)721·(4)42
a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得46a b =⎧⎨=⎩
， 所以4AB CD cm ==，6BC AD cm ==，故②正确，
2.5BS k =， 1.5SD k =， ∴53
BS SD =，设3SD x =，5BS x =， 在Rt ABS ∆中，222AB AS BS +=，
2224(63)(5)x x ∴+-=，
解得1x =或134
-（舍)， 5BS ∴=，3SD =，3AS =，
3sin 5
AS ABS BS ∴∠=
=故③错误， 5BS =，
5 2.5k ∴=， 2/k cm s ∴=，故④正确，
故选：C ．
【点睛】
本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、勾股定理、三角形面积、函数图象问题等知识，读懂图象信息是解决问题的关键，学会设未知数列方程组解决问题，把问题转化为方程去思考，是数形结合的好题目，属于中考选择题中的压轴题．
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据三角形的外心得出OA=OC=OB，根据正方形的性质得出OA=OC＜OD，求出
OA=OB=OC=OE≠OD，再逐个判断即可．
【详解】
解：如图，连接OB、OD、OA，
∵O为锐角三角形ABC的外心，
∴OA＝OC＝OB，
∵四边形OCDE为正方形，
∴OA＝OC＜OD，
∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，
∴OA＝OC≠OD，即O不是△ADC的外心，
OA＝OE＝OB，即O是△AEB的外心，
OB＝OC＝OE，即O是△BCE的外心，
OB＝OA≠OD，即O不是△ABD的外心，
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和三角形的外心.熟记三角形的外心到三个顶点的距离相等是解决此题的关键.
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出OP的长．
【详解】
连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=30°，OB=3，
∴AO=3，则OP=6，
故BP=6-3=3．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．7．D
解析：D
【解析】
【分析】
直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=1
2
BC，再利用相似三角形的判定与性质得出
答案．
【详解】
解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=1
2 BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE
BC
=
1
2
，
∴
1
4
ADE
ABC
S
S
∆
∆
=，
∵△ADE的面积为4，
∴△ABC的面积为：16，
故选D．
【点睛】
考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC是解题关键．
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵两个相似三角形的周长比是1：2，
∴它们的面积比是：1：4．
故选：B．
本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
连接AC ，如图，根据圆周角定理得到90BAC ︒∠=，70ACB ADB ︒∠=∠=，然后利用互余计算ABC ∠的度数．
【详解】
连接AC ，如图，
∵BC 是O 的直径，
∴90BAC ︒∠=，
∵70ACB ADB ︒∠=∠=，
∴907020ABC ︒︒︒∠=-=．
故答案为20︒．
故选A ．
【点睛】
本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】
A 、方程2x ﹣3＝x 为一元一次方程，不符合题意；
B 、方程2x +3y ＝5是二元一次方程，不符合题意；
C 、方程2x ﹣x 2＝1是一元二次方程，符合题意；
D 、方程x +1x
＝7是分式方程，不符合题意， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的问题，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
解析：B
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
120 000 000＝1.2×108，
故选：B．
【点睛】
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
设快递量平均每年增长率为x，根据我国2018年及2020年的快递业务量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】
设快递量平均每年增长率为x，
依题意，得：600(1+x)2=950．
故选：C．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二、填空题
13．14
【解析】
【分析】
先求出方程的两根，然后根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【详解】
解：x2﹣6x+8＝0，
(x﹣2)(x﹣4)＝0，
x﹣2＝0，x﹣4＝0
解析：14
【解析】
【分析】
先求出方程的两根，然后根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
【详解】
解：x2﹣6x+8＝0，
(x﹣2)(x﹣4)＝0，
x﹣2＝0，x﹣4＝0，
x1＝2，x2＝4，
当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，
当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13，
故答案为：13．
【点睛】
本题考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，熟练掌握一元二次方程的解法是解法本题的关键．
14．r3 ＜r2 ＜r1
【解析】
【分析】
利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径，从而进行比较即可.
【详解】
解：利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径
∴r3 ＜r2 ＜r1
故答案为：r
解析：r3＜r2＜r1
【解析】
【分析】
利用尺规作图分别做出AB、CD、EF所在的圆心及半径，从而进行比较即可.
【详解】
解：利用尺规作图分别做出AB、CD、EF所在的圆心及半径
∴r3＜r2＜r1
故答案为：r3＜r2＜r1
【点睛】
本题考查利用圆弧确定圆心及半径，掌握尺规作图的基本方法，准确确定圆心及半径是本题的解题关键.
15．【解析】
【分析】
首先求出圆锥的底面半径，然后可得底面周长，问题得解．
【详解】
解：∵扇形的半径为10cm，做成的圆锥形帽子的高为8cm，
∴圆锥的底面半径为cm，
∴底面周长为2π×6＝12
解析：12π
【解析】
【分析】
首先求出圆锥的底面半径，然后可得底面周长，问题得解．
【详解】
解：∵扇形的半径为10cm，做成的圆锥形帽子的高为8cm，
22
-=cm，
1086
∴底面周长为2π×6＝12πcm，即这张扇形纸板的弧长是12πcm，
故答案为：12π．
【点睛】
本题考查圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长．16．6
【解析】
【分析】
现将函数解析式配方得，即可得到答案.
【详解】
，
∴当t=1时，h 有最大值6.
故答案为：6.
【点睛】
此题考查最值问题，确定最值时需现将函数解析式配方为顶点式，再根据开 解析：6
【解析】
【分析】
现将函数解析式配方得2
21266(1)6h t
t t =--=+﹣，即可得到答案. 【详解】 221266(1)6h t t t =--=+﹣，
∴当t=1时，h 有最大值6.
故答案为：6.
【点睛】
此题考查最值问题，确定最值时需现将函数解析式配方为顶点式，再根据开口方向确定最值.
17．40°
【解析】
：在△QOC 中，OC=OQ ，
∴∠OQC=∠OCQ ，
在△OPQ 中，QP=QO ，
∴∠QOP=∠QPO ，
又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠
解析：40°
【解析】
：在△QOC 中，OC=OQ ，
∴∠OQC=∠OCQ ，
在△OPQ 中，QP=QO ，
∴∠QOP=∠QPO ，
又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，
∴3∠OCP=120°，
∴∠OCP=40°
18．216°.
【解析】
【分析】
【详解】
圆锥的底面周长为2π×3=6π(cm),
设圆锥侧面展开图的圆心角是n°,则=6π,
解得n=216.
故答案为216°.
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，
解析：216°.
【解析】
【分析】
【详解】
圆锥的底面周长为2π×3=6π(cm),
设圆锥侧面展开图的圆心角是n°,则
π5180
n ⨯=6π, 解得n=216.
故答案为216°.
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 19．6
【解析】
【分析】
将方程的根-2代入原方程求出m 的值，再解方程即可求解．
【详解】
解：把x=-2代入原方程得出，4-2m+3m=0，解得m=-4；
故原方程为：，
解方程得：．
故答案为：6
解析：6
【解析】
【分析】
将方程的根-2代入原方程求出m 的值，再解方程即可求解．
【详解】
解：把x=-2代入原方程得出，4-2m+3m=0，解得m=-4；
故原方程为：24120x x --=，
解方程得：122,6x x =-=．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查的知识点是解一元二次方程，根据方程的一个解求出方程中参数的值是解此题的关键．
20．【解析】
【分析】
先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可.
【详解】
令中y=0，得x1=
【解析】
【分析】
先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可.
【详解】
令21115y x =-中y=0，得x 1
x 2
∴直线AC
的解析式为1y =-， 设P （x ，31x ）， ∵过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，BQ=1
∴PQ 2=PB 2-BQ 2，
2+（31x ）2-1， =24283753x x ， ∵43
a =0<， ∴PQ 2有最小值24283475()332644
3，
∴PQ
【点睛】
此题考查二次函数最小值的实际应用，求动线段的最小值，需构建关于此线段的函数解析式，利用二次函数顶点坐标公式求最值，此题找到线段PQ 、BQ 、PB 之间的关系式是解题的关键.
21．【解析】
【分析】
先求得正方形的边长，取AB 的中点G ，连接GF ，CG ，当点C 、F 、G 在同一直线上时，根据两点之间线段最短，则CF 有最小值，此时即可求得这个值.
【详解】
如图，连接OA 、OD ，取
解析：51-
【解析】
【分析】
先求得正方形的边长，取AB 的中点G ，连接GF ，CG ，当点C 、F 、G 在同一直线上时，根据两点之间线段最短，则CF 有最小值，此时即可求得这个值.
【详解】
如图，连接OA 、OD ，取AB 的中点G ，连接GF ，CG ，
∵ABCD 是圆内接正方形，2OA OD ==
∴90AOD ∠=︒，
∴()222222AD OA OD =+=
=， ∵AF ⊥BE ，
∴90AFB ∠=︒，
∴112
GF AB ==， 2222125CG BG BC =+=+
当点C 、F 、G 在同一直线上时，CF 有最小值，如下图：
51，
51．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定CF的最小值是解决本题的关键．
22．8
【解析】
【分析】
在Rt△ADC中，利用正弦的定义得sinC＝＝，则可设AD＝12x，所以AC＝
13x，利用勾股定理计算出DC＝5x，由于cos∠DAC＝sinC得到tanB＝，接着在Rt△A
解析：8
【解析】
【分析】
在Rt△ADC中，利用正弦的定义得sin C＝AD
AC
＝
12
13
，则可设AD＝12x，所以AC＝13x，利
用勾股定理计算出DC＝5x，由于cos∠DAC＝sin C得到tan B＝12
13
，接着在Rt△ABD中利用
正切的定义得到BD＝13x，所以13x+5x＝12，解得x＝2
3
，然后利用AD＝12x进行计算．
【详解】
在Rt△ADC中，sin C＝AD
AC
＝
12
13
，
设AD＝12x，则AC＝13x，∴DC22
AC AD
-＝5x，
∵cos∠DAC＝sin C＝12 13
，
∴tan B＝12 13
，
在Rt△ABD中，∵tan B＝AD
BD
＝
12
13
，
而AD＝12x，
∴BD＝13x，
∴13x+5x＝12，解得x＝2
3
，
∴AD＝12x＝8．
故答案为8．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．23．【解析】
【分析】
根据题意列举出所有4种等可能的结果数，再根据题意得出能够构成三角形的结果数，最后根据概率公式即可求解．
【详解】
从中任取3根共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6；2、4、
解析：1 4
【解析】
【分析】
根据题意列举出所有4种等可能的结果数，再根据题意得出能够构成三角形的结果数，最后根据概率公式即可求解．
【详解】
从中任取3根共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6；2、4、8；2、6、8；、4、6、8，
其中恰好能搭成一个三角形为4、6、8，
所以恰好能搭成一个三角形的概率＝1
4
．
故答案为1
4
．
【点睛】
本题考查列表法或树状图法和三角形三边关系，解题的关键是通过列表法或树状图法展示出所有等可能的结果数及求出构成三角形的结果数．
24．﹣≤y≤1
【解析】
【分析】
利用配方法转化二次函数求出对称轴，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】
∵y＝3x2+2x＝3（x+）2﹣，
∴函数的对称轴为x＝﹣，
∴当﹣1≤x≤0时，函数有最
解析：﹣
13
≤y ≤1 【解析】
【分析】 利用配方法转化二次函数求出对称轴，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】
∵y ＝3x 2+2x ＝3（x +13）2﹣13
， ∴函数的对称轴为x ＝﹣13
， ∴当﹣1≤x ≤0时，函数有最小值﹣
13，当x ＝﹣1时，有最大值1， ∴y 的取值范围是﹣
13≤y ≤1， 故答案为﹣
13
≤y ≤1． 【点睛】 本题考查二次函数的性质、一般式和顶点式之间的转化，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
三、解答题
25．（1）b =2，c =3；（2）（0，3），（1，4）（3）见解析；（4）－12＜y ≤4
【解析】
【分析】
（1）将点（2，3），（3，0）的坐标直接代入y ＝－x 2＋bx ＋c 即可；
（2）由（1）可得解析式，将二次函数的解析式华为顶点式即可;
（3）根据二次函数的定点、对称轴及所过的点画出图象即可;
（4）直接由图象可得出y 的取值范围.
【详解】
（1）解：把点（2，3），（3，0）的坐标直接代入y ＝－x 2＋bx ＋c 得
3=-4+2b+c 0=-9+3b+c ⎧⎨⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩
， 故答案为:b=2，c=3;
（2）解：令x=0,c=3, 二次函数图像与y 轴的交点坐标为则（0，3），
二次函数解析式为y=y ＝-x 2＋2x ＋3=-(x-1)²+4,则顶点坐标为(1,4).
（3）解：如图所示
…
（4）解：根据图像，当－3＜x＜2时，y的取值范围是:－12＜y≤4.
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的图象与性质．
26．（1）30°；（2）33
【解析】
【分析】
（1）由题意证明△CDE≌△COE，从而得到△OCD是等边三角形，然后利用同弧所对的圆
周角等于圆心角的一半求解；（2）由垂径定理求得AE=1
2
AC=3，然后利用30°角的正切
值求得DE=3，然后根据题意求得OD=2DE=23，直径BD=2OD=43，从而使问题得解.【详解】
解：连接OA,OC
∵弦AC垂直平分OD
∴DE=OE，∠DEC=∠OEC=90°
又∵CE=CE
∴△CDE≌△COE
∴CD=OC
又∵OC=OD
∴CD=OC=OD
∴△OCD 是等边三角形
∴∠DOC=60°
∴∠DAC =30°
（2）∵弦AC 垂直平分OD
∴AE=12
AC=3 又∵由（1）可知，在Rt △DAE 中，∠DAC =30° ∴tan 30DE AE =
，即3DE =∴
∵弦AC 垂直平分OD
∴
∴直径
∴
-
【点睛】
本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质及锐角三角函数，掌握相关定理正确进行推理判断是本题的解题关键.
27．（1）y=﹣（x ﹣1）2+1，C(﹣1，﹣3)；（2）3；（3）存在满足条件的N 点，其坐标
为(
53，0)或(73
，0)或(﹣1，0)或(5，0) 【解析】
【分析】 （1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C 点坐标；
（2）设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，与x 轴交于D ，得到y ＝2x−1，求得BD 于是得到结论；
（3）设出N 点坐标，可表示出M 点坐标，从而可表示出MN 、ON 的长度，当△MON 和△ABC 相似时，利用三角形相似的性质可得
MN ON AB BC =或MN ON BC AB
=，可求得N 点的坐标．
【详解】
（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴设抛物线解析式为y=a （x ﹣1）2+1，又抛物线过原点，
∴0=a （0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x ﹣1）2+1，
即y=﹣x 2+2x ，联立抛物线和直线解析式可得22-2y x x y x ⎧=+⎨=⎩﹣，
解得20x y =⎧⎨=⎩
或13x y =-⎧⎨=-⎩，∴B （2，0），C （﹣1，﹣3）； （2）设直线AC 的解析式为y=kx+b ，与x 轴交于D ，
把A （1，1），C （﹣1，﹣3）的坐标代入得13k b k b
=+⎧⎨-=-+⎩， 解得：21
k b =⎧⎨=-⎩， ∴y=2x ﹣1，当y=0，即2x ﹣1=0，解得：x=
12，∴D （12，0）， ∴BD=2﹣12=32
， ∴△ABC 的面积=S △ABD +S △BCD =
12×32×1+12×32×3=3； （3）假设存在满足条件的点N ，设N （x ，0），则M （x ，﹣x 2+2x ），
∴ON=|x|，MN=|﹣x 2+2x|，由（2）知，
，
，
∵MN ⊥x 轴于点N ，∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△ABC 和△MNO 相似时，有MN ON AB BC =或MN ON BC AB
=， ①当MN ON AB BC =时，
∴=|x||﹣x+2|=13|x|， ∵当x=0时M 、O 、N 不能构成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=
13，∴﹣x+2=±13，解得x=53或x=73，此时N 点坐标为（53，0）或（73
，0）； ②当或MN ON BC AB =时，
∴=，即|x||﹣x+2|=3|x|， ∴|﹣x+2|=3，∴﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，
此时N 点坐标为（﹣1，0）或（5，0），
综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为（
53，0）或（73
，0）或（﹣1，0）或（5，0）．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N 、M 的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 28．【解析】
【分析】
如图，把（0，6）代入y＝2x2+bx﹣6可得b值，根据二次函数解析式可得点C坐标，令
y=0，解方程可求出x的值，即可得点A、B的坐标，利用△ABC的面积＝1
2
×AB×OC，即可
得答案．
【详解】
如图，
∵二次函数y＝2x2+bx﹣6的图象经过点(2，﹣6)，∴﹣6＝2×4+2b﹣6，
解得：b＝﹣4，
∴抛物线的表达式为：y＝2x2﹣4x﹣6；
∴点C（0，﹣6）；
令y＝0，则2x2﹣4x﹣6=0，
解得：x1＝﹣1，x2=3，
∴点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），∴AB=4，OC=6，
∴△ABC的面积＝1
2
×AB×OC＝
1
2
×4×6＝12．
【点睛】
本题考查二次函数图象上的点的坐标特征及图象与坐标轴的交点问题，分别令x=0，y=0，即可得出抛物线与坐标轴的交点坐标；也考查了三角形的面积．
29．（1）详见解析；（2）10；（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）依据点O为位似中心，且位似比为2：1，即可得到△A′B′C′；
（2）依据割补法进行计算，即可得出△A′B′C′的面积；
（3）依据△A′B′D′的面积等于△A′B′C′的面积，即可得到所有符合条件的点D′．
【详解】
解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）△A′B′C′的面积为4×6﹣1
2
×2×4﹣
1
2
×2×4﹣
1
2
×2×6＝24﹣4﹣4﹣6＝10；
故答案为：10；
（3）如图所示，所有符合条件的点D′有5个．
【点睛】
此题主要考查位似图形的作图，解题的关键是熟知位似图形的性质及网格的特点. 30．4m
【解析】
【分析】
首先根据DO=OE=1m，可得∠DEB=45°，然后证明AB=BE，再证明△ABF∽△COF，可得AB CO
BF OF
，然后代入数值可得方程，解出方程即可得到答案．
【详解】
解：延长OD，
∵DO⊥BF，
∴∠DOE=90°，
∵OD=1m，OE=1m，
∴∠DEB=45°，
∵AB⊥BF，
∴∠BAE=45°，
∴AB=BE ，
设AB=EB=x m ，
∵AB ⊥BF ，CO ⊥BF ，
∴AB ∥CO ，
∴△ABF ∽△COF ，
∴
AB CO BF OF
=， 1.51(51)5x x +∴=+-， 解得：x=4． 经检验：x=4是原方程的解．
答：围墙AB 的高度是4m ．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的应用，解决问题的关键是求出AB=BE ，根据相似三角形的判定方法证明△ABF ∽△COF ．
31．（1）如图，BE 为所作；见解析；（2）小亮（CD ）的影长为3m ．
【解析】
【分析】
（1）根据光是沿直线传播的道理可知在小亮由B 处沿BO 所在的方向行走到达O 处的过程中，连接PA 并延长交直线BO 于点E ，则可得到小亮站在AB 处的影子；
（2）根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可．
【详解】
（1）如图，连接PA 并延长交直线BO 于点E ，则线段BE 即为小亮站在AB 处的影子：
（2）延长PC 交OD 于F ，如图，则DF 为小亮站在CD 处的影子，
AB ＝CD ＝1.6，OB ＝2.4，BE ＝1.2，OD ＝6，
∵AB ∥OP ，
∴△EBA ∽△EOP ，
∴
,AB EB OP EO =即1.6 1.2,1.2 2.4
OP =+ 解得OP ＝4.8，
∵CD ∥OP ，
∴△FCD ∽△FPO ，
∴
CD FD OP FO =，即1.64.86
FD FD =+， 解得FD ＝3
答：小亮（CD ）的影长为3m ．
【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质解答．
32．（1）233642y x x =--+；（2）①503，点D 坐标为220,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
；
②D ⎝⎭
；（3
）【解析】
【分析】
（1）根据点坐标代入解析式即可得解；
（2）①由A 、E 两点坐标得出直线AE 解析式，设点D 坐标为()22,336t t t --+，过点D 作DF y 轴交AE 于点F ，则F 坐标为()2,2t t --，然后构建ADE ∆面积与t 的二次函数，即可得出ADE ∆面积最大值和点D 的坐标；
②过点M 作MN AE ⊥，在AME ∆中，由1tan 2MAE ∠=，1tan 3
MEA ∠=
，AE =M 的坐标，进而得出直线ME 的解析式，联立直线ME 和二次函数，即可得出此时点D 的坐标；
（3）根据题意，当点P 在点C 时，Q 点坐标为（-6,6），当点P 移动到点A 时，Q′点坐标为（-4，-4），动点Q 所经过的路径是直线QQ′，求出两点之间的距离即可得解.
【详解】
（1）依题意得：016460426a b a b =-+⎧⎨=++⎩，解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴233642
y x x =--+ （2）①∵()4,0A -，()0,2E -
∴设直线AE 为y kx b =+
将A 、E 代入，得042k b b =-+⎧⎨-=⎩
∴122
k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩
∴直线1:22
AE y x =-- 设点D 坐标为()22,336t t t --+，其中20t -<<
过点D 作DF y 轴交AE 于点F ，则F 坐标为()2,2t t --
∴2328DF t t =--+ ∴()22
14328ADE S t t ∆=⋅⨯--+ 即：26416ADE S t t ∆=--+ 由函数知识可知，当13t =-
时，()max 503ADE S ∆=，点D 坐标为220,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ ②设DE 与OA 相交于点M
过点M 作MN AE ⊥，垂足为N
在AME ∆中，1tan 2MAE ∠=，1tan 3
MEA ∠=
，AE =设MN t =，则2AN t =，3NE t =
∴23t t +=
∴t =
∴2AM ==
∴()2,0M -
∴:2ME y x =-- ∴2233642y x y x x =--⎧⎪⎨=--+⎪⎩
∴232320x x +-=
∴113x -+=
（舍去），213x -=
当x =
y =
∴1533D ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭
（3）当点P 在点C 时，Q 点坐标为（-6,6），当点P 移动到点A 时，Q′点坐标为（-4，-4），如图所示：
∴动点Q 所经过的路径是直线QQ′，
∴()()226464226QQ =-+++=′故答案为26
【点睛】
此题主要考查二次函数以及动点综合问题，解题关键是找出合适的坐标，即可解题.。