创新设计2013-2014学年高中数学人教B版选修4-5配套课件：1.3.1、2《绝对值不等式的解法》

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知识点2 解|f(x)|<|g(x)|型不等式
【例2】 解不等式|x－a|<|x－b| (a≠b)． 解 由|x－a|<|x－b|两边平方得：(x－a)2<(x－b)2. 整理得：2(a－b)x>a2－b2.因 a≠b，当 a>b 时，x>a＋2 b； 当 a<b 时，x<a＋2 b.∴不等式的解集为： 当 a>b 时，x|x>12a＋b； 当 a<b 时，x|x<12a＋b.
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x<－25，∴－3≤x<－25.
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③当 x≥12时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)<2x＋1， 解得 x>2，∴x>2. 综上可知：原不等式的解集为x|x<－25或x>2.
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●反思感悟：对含有多个绝对值符号的不等式的解法通常用 分段讨论法，去掉绝对值符号，将不等式化为整式不等式求 解，去掉绝对值符号的依据是绝对值的定义，找到分界点(即 零值点)．令绝对值内的数为零，分成若干段，最后原不等式 的解集是各段解集的并集．
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5．|f(x)|<a (a>0)⇔ －a<f(x)<a . 6．|f(x)|>a (a>0)⇔ f(x)>a或f(x)<－a . 7．|f(x)|<g(x)⇔ －g(x)<f(x)<g(x) ． 8．|f(x)|>g(x)⇔ f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)． 9．|f(x)|<|g(x)|⇔ f2(x)<g2(x) ． 10．|f(x)|>|g(x)|⇔ f2(x)>g2(x) ．
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●反思感悟：对于|ax＋b|≤c或(ax＋b)≥c型不等式的化简，要 特别注意a为负数时，可以先把a化为正数．
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1．解不等式： (1)2|x|＋1>7；(2)|1－2x|<5.
解 (1)2|x|＋1>7⇔2|x|>6 ⇔|x|>3⇔x>3或x<－3. ∴不等式的解集为{x|x>3或x<－3}． (2)|1－2x|<5⇔|2x－1|<5⇔－5<2x－1<5 ⇔－4<2x<6⇔－2<x<3. ∴不等式的解集为{x|－2<x<3}．
答案 C
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3．不等式2<|2x＋3|≤4的解集为________． 答案 {x|－72≤x<－52或－12<x≤12}
课|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c型不等式 【例1】 解不等式：
(1)|x－a|≤b (b>0)；(2)|x－a|≥b (b>0)． 解 (1)|x－a|≤b (b>0)⇔－b≤x－a≤b ⇔a－b≤x≤b＋a. 所以原不等式的解集为{x|a－b≤x≤a＋b}． (2)|x－a|≥b⇔x－a≥b或x－a≤－b ⇔x≥a＋b或x≤a－b. 所以原不等式的解集为{x|x≥a＋b或x≤a－b}．
1.3 绝对值不等式的解法 1.3.1 |ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法
1.3.2 |x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的解法
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1．理解绝对值的几何意义，会用数轴上的点表示绝对值不 等式的范围．
2．会解含一个绝对值符号和含两个绝对值符号共四种类型 的绝对值不等式．
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●反思感悟：解含有绝对值符号的不等式关键是去掉绝对值 符号，把绝对值不等式转化为我们熟悉的一元一次不等式或 一元二次不等式．
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2．解不等式|x2－2x＋3|<|3x－1|. 解 x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， |x2－2x＋3|<|3x－1|⇔x2－2x＋3<|3x－1| ⇔3x－1>x2－2x＋3 或 3x－1<－x2＋2x－3 ⇔x2－5x＋4<0 或 x2＋x＋2<0. 由 x2－5x＋4<0，得：1<x<4， 由 x2＋x＋2<0，得：x＋122＋74<0， 该不等式解集为∅.所以原不等式的解集为(1,4)．
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基础自测
1．集合{x|0<|x－3|<3，x∈Z}的真子集个数为 ( )．
A．16
B．15
C．8
D．7
答案 B
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2．使 |2x3＋－1||x－| 4有意义的 x 所满足的条件是
( )．
A．－3≤x<32
B．－52<x≤3
C．－3≤x<－52或32<x≤3 D．－3≤x≤3
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知识点3 解|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c型不等式 【例 3】 解不等式|x＋3|－|2x－1|<2x＋1.
解 ①x<－3 时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<2x＋1，解 得 x<10，∴x<－3.
②当－3≤x<12时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<2x＋1，解得
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课堂小结
解绝对值不等式的基本思想是设法去掉绝对值符号，去
绝对值符号的常用手段有3种： (1)根据实数的绝对值的意义：|a|＝a－a
a≥0 a<0.
(2)根据不等式的性质：
|x|<a⇔－a<x<a (a>0)．
(3)根据|a|2＝a2 (a∈R)，不等式两边同时平方，当然应 注意不等式两边平方的前提．
A．0
B．－1
C．1
D．2
( )．
解析 (1)x≥2则不等式化为x－1＋x－2＝2x－3≤3， 解得2≤x≤3.∵x∈Z，∴x＝2或x＝3. (2)1≤x<2，则不等式化为x－1＋2－x＝－1≤3， 则x∈[1,2)．∵x∈Z，∴x＝1. (3)x<1，则不等式化为1－x＋2－x＝3－2x≤3，解得x≥0. ∵x∈Z且取最小整数，∴x＝0.综上所得：x＝0.
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自学导引
1．设x，a为实数，|x－a|表示数轴上的 点x与点a 之间的距 离；|x|表示数轴上的 点x与原点 之间的距离．当x≥0 时，|x|＝x；当x<0时，|x|＝ －x .
2．|x|>a (a>0)⇔ x>a或x<－a . 3．|x|<a (a>0)⇔ －a<x<a . 4．a<0时，|x|≤a的解集为 ∅ ；|x|≥a的解集为R.
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随堂演练
1．不等式 1≤|2x－1|<2 的解集为 A.－12，0∪1，32 B.x|－12<x<0或1≤x≤32 C.x|－12<x≤0或1≤x<32 D.x|－12≤x≤0或1≤x≤32
答案 A
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3．不等式|2x－1|－|x－2|<0的解集为________．
解析 |2x－1|－|x－2|<0⇔|2x－1|<|x－2|⇔(2x－1)2<(x－ 2)2⇔4x2－4x＋1<x2－4x＋4⇔3x2<3⇔－1<x<1. 答案 (－1,1)
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4．log12|x－2|>－1 的解集是________________． 答案 {x|0<x<4且x≠2}
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3．解不等式|2x－1|<|x|＋1. 解 当 x<0 时，原不等式可化为 －2x＋1<－x＋1，解得 x>0， 又∵x<0，∴x 不存在； 当 0≤x<12时，原不等式可化为－2x＋1<x＋1， 解得 x>0，又∵0≤x<12，∴0<x<12；
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当 x≥12时，原不等式可化为 2x－1<x＋1，解得 x<2， 又∵x≥12，∴12≤x<2. 综上，原不等式的解集为{x|0<x<2}．
( )．
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解析 由题意得||22xx－－11||≥<21，，
① ②
解①得 x≥1 或 x≤0，解②得－12<x<32. ∴解集为x|－12<x≤0或1≤x<32.
答案 C
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2．不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整数解是