高三数学烟台上学期期中考试卷2022-2023答案

2022-2023学年度第一学期期中学业水平诊断
高三数学参考答案
一、选择题：
C B
D B A D C A
二、选择题
9.ACD 10.BCD 11.BD 12.ABD
三、填空题
13.257-
14.143 15.2
- 16.6
四、解答题
17.解：（1）由已知得，2(1)log (1)1f a =+=，∴12a +=，1a =，…………………1分 ∴222()log (1)log (2)log (1)(2)f x x x x x =++-=+-， …………………2分
由10
20x x +>⎧⎨->⎩
得，12x -<<， …………………3分
令()(1)(2)g x x x =+-，则()g x 在1
(1,)2-上单调递增，在1(,2)2
上单调递减，……4分 又2log y x =在(0,)+∞上单调递增，
所以()f x 的单调递增区间为1(1,)2-，单调递减区间为1(,2)2
. …………………5分
（2）由0
20
x a x +>⎧⎨
->⎩得，又1a >-且0a ≠，2a x -<<，
222(2)log (2)log log (2)f x a x x x a x -=+-+=+-， …………………6分
因为()(2)f x f x ≤-，所以22log ()(2)log (2)x a x x a x +-≤+-，
所以()(2)(2)x a x x a x +-≤+-，即ax a ≥， …………………7分 ①当0a >时，1ax a x ≥⇔≥，
又因为2a x -<<，所以12x ≤<. …………………8分 ②当10a -<<时，1ax a x ≥⇔≤，
又因为2a x -<<，所以1a x -<≤. …………………9分 综上：当0a >时，原不等式的解集为{|12}x x ≤<；
当10a -<<时，原不等式的解集为{|1}x a x -<≤. …………………10分
18.解：（1）选择①：设2b x =，则AD DC x ==， …………………1分
在ABD △中，2112
169cos 8x ADB +
-∠=， …………………2分 在BCD △中，2211211299cos 88x x CDB +-
∠==
， …………………3分 ∵ADB CDB π∠+∠=, ∴cos cos 0ADB CDB ∠+∠=， …………………4分
即22112
16
9088x x +
-+=，所以43x =，故83b =. …………………6分
选择②：由正弦定理得，sin sin sin cos()6A B B A π
=-， …………………1分
∵(0,)B π∈，∴sin 0B >，∴sin cos()6A A π
=-，
即1sin cos sin 22A A A =
+
，于是tan A =，∴3
A π
=， …………………2分 设2,b x c y ==，
在ABD △中，22112
19cos 22
x y A xy +-
=
=，即221129x y xy +-=，① ……………3分
在ABC 中，22112
419cos 42x y A xy +-
=
=，
即22112429x y xy +-=，②……………4分
联立①②得，4,43x y ==，即8
4,3
c b ==. ……………6分
（2）由题意得，ABE
ACE
ABC S S
S
+=，
……………7分
∴
11818
4sin 30sin 304sin 60
22323
AE AE ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯， ∴5
AE =
， ……………9分
又∵
3
2
BE c EC b ==，
∴BE =， ……………11分
∴45ABE
C =+
，故ABE △
的周长为45
++. (12)
分
19.解：（1）(0)1f =，()sin cos f x a x x '=-+， ……………1分 故(0)1f a '=+， ……………2分 ∴()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1(1)y a x -=+，即(1)1y a x =++， …………3分
∴12a +=，即1a =，
所以函数()f x 的解析式为()cos sin f x x x x =++， ………………………4分 （2）()cos sin ,[0,]f x x x x x π=++∈，
()1sin cos 1)4
f x x x x π
'=-+=-， ………………………5分
令()0f x '=
得，sin()4
2x π
-=， ………………………6分 ∵(0,)x π∈，∴3(,
)4
44
x π
ππ
-∈-
，
∴4
4
x π
π
-
=
，即2
x π
=
， ………………………7分
当(0,)2
x π
∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，
当(
,)2
x π
π∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， ………………………9分
故当[0,]x π∈时，max ()()12
2
f x f ππ
==
+， ………………………10分
∵(0)1()1f f ππ=<=-，∴min ()(0)1f x f == ………………………11分
所以函数()f x 在[0,]π上的值域为[1,
1]2
π
+. ………………………12分
20.解：（1）当2n ≥时，2
11(1)n n S n a --=-， ………………………1分
两式相减得，
221(1)n n n a n a n a -=--， ………………………2分
化简得，11(2)1n n a n n a n --=≥+， ………………………3分
∴1
2112
11212
1(2)13(1)
n n n n n a a a n n a a n a a a n n
n n -----=
⋅⋅⋅
⋅=⋅⋅⋅⋅=≥++， …………4分 1n =时，11a =满足上式，
∴2
()(1)
n a n n n *=
∈+N ， ………………………5分
（2）由（1）得，1
n b n
=
， ………………………6分 121111
[](1)(2)2(1)(1)(2)
n n n b b b n n n n n n n ++=
=-+++++， ………………………8分
∴1111111
[()()(
)]212232334
(1)(1)(2)
n T n n n n =
⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯+++
111111[]2
12(1)(2)42(1)(2)4
n n n n =-=-<⨯++++， ………………………12分 21解：（1）因为B 镇前4个月的总需水量为24万立方米，
所以2424p ==，则6p =， ………………………1分 所以),91(12218*
N x x x x qx W ∈≤≤--+=.
………………………2分 （2）①由题意知：012218)(≥--+=x x qx x W 对91≤≤x 且*
N x ∈恒成立， 即182q x -
++≥对91≤≤x 且*N x ∈恒成立， ……………………3分 令
t x
=1
，则131≤≤t ，
44)3
1
(1821218)(22≤+--=++-=t t t t m ，所以4≥q ， ………………5分
②首先5018≤+q ，即32≤q ， ……………6分 其次，50122)1(18≤--++x x q x 对91≤≤x 且*
N x ∈恒成立， 所以1
12232+++≤
x x x q 对91≤≤x 且*
N x ∈恒成立， ……………7分
令1
12232+++=
x x
x y ，则2
)
1()12232()1)(6
2(+++-++
=
'x x x x x y 2
22)
1(156)1()
51(6)1(3066+-+⋅-=++--=+--=x x x x x x x x x x 22)
1(429)25(6+-
+⋅-=x x x ， ……………9分 因为91≤≤x 且*
N x ∈，所以0<'y 恒成立，所以函数单调递减，
所以当8=x 时，y 取得最小值，且323
2
816922448min ≤+=+=
y 所以3
2
816+≤
q ， ……………11分 综合①②可得q 的取值范围为3
2
8164+≤≤q . ……………12分 22.解：（1）(0,)x ∈+∞，
2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a f x x a x x x
-++--'=+-+==， ……………1分
令()0f x '=得，1x =或x a =，
①当01a <<时，(0,)x a ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，(,1)x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，
(1,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增， ……………2分
②当1a =时，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞单调递增， ……………3分 ③当1a >时，(0,1)x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，(1,)x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减，(,)x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增， ……………4分 综上所述：当01a <<时，()f x 的单调递增区间为(0,),(1,)a +∞，()f x 的单调递减区间为(,1)a ；当1a =时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；
当1a >时，()f x 的单调递增区间为(0,1),(,)a +∞，()f x 的单调递减区间为(1,)a ，5分 （2）①由已知得，2
1()4ln 2
g x x a x x =--
， 2244()4a x a x x x a
g x x x x x
---+'=--==-， ……………6分
函数21()4ln 2
g x x a x x =--
有两个极值点1212,()x x x x <，
即方程240x x a -+=在(0,)+∞上有两个不等实根， 令2
()4h x x x a =-+， 因此只需(0)0
(2)0h h >⎧⎨
<⎩，即040
a a >⎧⎨-<⎩，故04a <<， ……………7分
②由①知，12124,x x x x a +==，且04a <<，
221211122211
()()(4ln )(4ln )22
g x g x x a x x x a x x +=--+--
221212121
4()(ln ln )()2
x x a x x x x =+-+-+
ln 8a a a =-+， ……………8分 要证12()()10ln g x g x a +<-，即证ln 810ln a a a a -+<-， 只需证(1)ln 20a a a -+-<，
令()(1)ln 2m a a a a =-+-，(0,4)a ∈
11
()ln 1ln a m a a a a a -'=-+
+=-， ……………9分 因为211
()0m a a a
''=--<恒成立，所以()m a '在(0,4)a ∈上单调递减，
又(1)10m '=>，1
(2)ln 202m '=-<， ……………10分
由函数根的存在性定理得，0(1,2)a ∃∈， 使得0()0m a '=，即00
1ln a a =
， 所以0(0,)a a ∈时，()0m a '>，()m a 单调递增，
0(,4)a a ∈时，()0m a '<，()m a 单调递减，
则max 000000000
11
()()(1)ln 2(1)
23m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-………11分 ∵00
1
3y a a =+
-在0(1,2)a ∈上显然单调递增， ∴00111
323022
a a +
-<+-=-<，∴()0m a <， 即12()()10ln g x g x a +<-. ………………12分。