第二课堂 电磁感应
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2
R
1
r
M o
A
R 2
R1 R1 R2 2
( R2 R1 ) 2( R1 R2 )
R2 R1 U A' U M ' A处有正电荷堆积，M有负电荷堆积
R1 R2 U A' U M '
L2 M
L1 A B 互感电动势前的正负号由两线圈的绕向决定
di1 di2 AB ( L1 M ) dt dt
U AB AB
M di1 M di1 ( L1 )a L1 M ( ) L2 dt L2 dt
2
第25届物理竞赛题
磁场中的高斯定理得
r
dx
dBxr Br 2rdx 0
2
G F
o
F
R
F E
EF R2 dB ( 3 ) vBR 4 3 dt
dB (3) Ei dl r dt I 方向：逆时针 R1 R2 1 2 2 U A' U M ' IR1 1
M
R
R
v
R
o
D
E
o
R
F
R
1
M r o
A
R 2
AC
r dB 2 dt Ei 2 R dB 2r dt AM 0
mRv 0 x 2 2 Bl
B 2l 2 t mR
)
例7、如图所示，在无限长螺线管中放有一金属圆盘，
半径为a，厚度为b，电导率， 通电后，使得 dB k 。 0
dt
求：（1）金属中的涡电流；（2）消耗的电功率。
解：先求一薄层中的涡电流
i
d dB r 2 r 2 k dt dt
例1(练习册 p85
5）如图所示为一“日”字形闭合导
线框。已知ab=bc=cd=de=ef=fa=0.1m, 已知 ab、cf、
de段电阻均为3，cd、ef段电阻均为1.5，bc、fa段
电阻均为零，匀强磁场B的方向与框面垂直向里，大小
为B=1T，磁场边界与de平行，图中虚线所示。今以图
中向右的方向，以v=24m/s的速度，将线框匀速地拉出
r<R
M
R
r>R
o
D
r dB CD Ei dl cos dl 2 dt
1 dB r dB h dl hl 2 dt 2 dt r
1 l 2 dB 2 R ( ) l 2 2 dt
AC
R
1 dB 解： Ek r 2 dt
1 dB 1 dB Ek孔 r1 k r2 ( )k 2 dt 2 dt
1 dB 1 dB (r1 r2） k r0 k 2 dt 2 dt qEk孔 加速度 a m
a 2 a 2 di r0 B0 dx i r0 B0 x L L 0 0
园环受的安培力
a2 2 4 2 Fx i ( x) Br 2r0 r0 B0 x L
a2 2 4 2 d 2x r0 B0 x m 2 L dt d x a 2 4 2 r0 B0 x 0 2 dt mL
a
自感 ——自身回路的磁通量与回路的电流成正比. 互感 ——线圈中的磁通量与对方的电流成正比
12 12 M12 I1 M 12 I1
LI L I
2
I1(t)
(1) 自感(互感)系数是线圈几何尺度、相对位置等的函
数，与电流的变化率无关 (2）可以证明两个给定的线圈互感系数相等 (3) 法拉第定律可求自感(互感)电动势
af (t )2r
d df (t ) a 2r Ek dl Ek 2r dt dt
Ek a
df (t ) b dt b f t C a
df (t ) b dt a
其中C为任意常数
b Ca B t r r
第25届物理竞赛题
A x
2 0
2
2
v
2 0 2
v0
2
S
B
F
Pm
N
B S BS cos Br 2 sin
Br 2 cos d r 2 B cos Fr sin R dt
t
2
B 2 2 r 3 cos 2 d RF sin
v0 v1 (1 e 2
12 M12
d dI L L dt dt dI
1
M12 M 21
dt
互感系数和自感系数的关系 （1）同轴螺旋管 无漏磁——即彼此磁场完全穿过
M L1L2
N1
有漏磁: M k L L 1 2
0 k 1
I
N1
l
N2
（2）线圈的连接：
顺接 L L1 L 2 2M 反接 L L1 L 2 2M B2
l 1 2r R S bdr
dI
薄层电阻 薄层电流
R
1 kbrdr 2
整个金属板电流
1 1 I kbrdr kba2 2 4 0
a
消耗功率
Hale Waihona Puke 1 2 dP dI k br 3dr 2
1 2 1 2 3 P k br dr k ba4 2 8 0
A处有负电荷堆积，M有正电荷堆积
若电阻均匀，圆环内只有感生电场，没有静电场
例3、图中所示为一半径是R0的圆柱形区域的横截面， 在此区域中分布着具有轴对称性且随时间变化的磁场， 各点磁感强度 的方向垂直图面向里，B 的大小与该点
离对称轴O的距离r成反比．设场中任一点P处的涡漩电
场 的方向如图所示，问区域内的变化磁场具有怎样的
k
r1 r 2 r0
Eko
带电粒子的运动类似于斜抛运动 射程 射高
2 R v0 cos t v0
sin 2 a
2 R sin 2 v0 2 2a
5 Kq 63.4 , v0 R 4 m
0
例5、如图所示，一金属圆环以其边缘为支点直立在两 磁极间，环的底部受两个固定档的限制，使其不能滑 动。现环受一扰动偏离竖直面，并开始倒下。已知B，
环半径r，环电阻R，环重F，并可以认为环倒下的过程
中重力矩时时都与磁力矩平衡，求环倒时间. 环偏离感应电流磁矩磁力矩 磁力矩方向向外 重力矩方向向内 根据题意 重力矩=磁力矩
B
S
i
N
Pm
F
解：重力矩 Fr sin
磁力矩 Pm B sin ir B cos i R d dt
磁场区域，试求在此过程中拉力所做的功。
r
R
R
R
r
解：
vBl 2.4V
R R 2r 2 Fab Fcf I ablB 0.016N I
0.32A
I ab I cf 0.16A
r
R
R
R
r
W1 2Fabl 0.0032J 1 1 1 1 I' 0.48 A ( ) R' R R' 2r R R 2
Fab I ablB 0.048N
W2 Fabl 0.0048J W W1 W2 8.0 103 J
例2、被限制在半径为R的无限长圆柱内的均匀磁场，B均匀增加， （1）计算两段导线CD与AOM的感应电动势，并分别比较A、M 两点及C、D两点的电势高低（O为圆心，CD的长度为l）； （2）若有一长为2R的导体棒，以速度v横扫过磁场，试求在图示 的EF位置的感应电动势； （3）若在垂直磁场的平面内放入两种不同材料的半圆环组成的半 径为r的金属圆环，圆心在O点，两部分电阻分别为R1和R2,试比 较A与M两点的电势高低。
数学形式可使区域内r > 0的各点 的大小为一恒定值b．
解：设B的函数表达式为
a B (r , t ) f (t ) r
EK
其中a为比例系数任意常数
r dS 1 (r , t ) B dS af (t ) af (t ) 2rdr r r s 0
× r P B O × × R0
2
r dB a Br rB0 2r dx 2
2
Br rB0
a 1 8m 2
环在运动中有动生电动势和自感电动势产生感应电 流，载流线圈在磁场中受力运动
v L IR 0
v vBr 2r0
di L L dt
i x
a 2 di r0 B0 dx L
N2
B1 B2
若无漏磁 L L1 L 2 2 L1L 2
N1
N2
B1
例1、如图，已知电感线圈的自感系数为L1和L2，两者 之间的互感系数为M, 导线和线圈的直流电阻忽略不计。
di1 a , 求A、B两点 当线圈L1中电流强度的变化率为 dt
间的电压？ 解： L di2 M di1 0 2 dt dt
o
h
E i
D
CD
C
（2）
EF k i
E
R
v
R
G
k (v B) R vBR
EF
R dB i Ei dl Ei dl ( 3 ) 4 3 dt E G
rrv??om????????????????????arcdf??oe??????????????r?????r1?or??????r2??????????????a?m??om????????????????????arcd222irdbrrdterdbrrrdt?????????0am?edl???????iedlld?ld?coscosdbr??cd??ldrhdtdb2r??dtdbh21l?dt2?cd?22122ldbrldt???o?h???????????????c????e?rd?i?2f??oe??????????????r?????rrv?efki?????kvbr???????vbr?ef?gfiiiedl?edl?????e??g?????g234433dtrdbdt???fe?2343efrdbvbrdt?????32idbedl???rdt????????12irr?方向
R
1
r
M o
A
R 2
R1 R1 R2 2
( R2 R1 ) 2( R1 R2 )
R2 R1 U A' U M ' A处有正电荷堆积，M有负电荷堆积
R1 R2 U A' U M '
L2 M
L1 A B 互感电动势前的正负号由两线圈的绕向决定
di1 di2 AB ( L1 M ) dt dt
U AB AB
M di1 M di1 ( L1 )a L1 M ( ) L2 dt L2 dt
2
第25届物理竞赛题
磁场中的高斯定理得
r
dx
dBxr Br 2rdx 0
2
G F
o
F
R
F E
EF R2 dB ( 3 ) vBR 4 3 dt
dB (3) Ei dl r dt I 方向：逆时针 R1 R2 1 2 2 U A' U M ' IR1 1
M
R
R
v
R
o
D
E
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R
F
R
1
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A
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AC
r dB 2 dt Ei 2 R dB 2r dt AM 0
mRv 0 x 2 2 Bl
B 2l 2 t mR
)
例7、如图所示，在无限长螺线管中放有一金属圆盘，
半径为a，厚度为b，电导率， 通电后，使得 dB k 。 0
dt
求：（1）金属中的涡电流；（2）消耗的电功率。
解：先求一薄层中的涡电流
i
d dB r 2 r 2 k dt dt
例1(练习册 p85
5）如图所示为一“日”字形闭合导
线框。已知ab=bc=cd=de=ef=fa=0.1m, 已知 ab、cf、
de段电阻均为3，cd、ef段电阻均为1.5，bc、fa段
电阻均为零，匀强磁场B的方向与框面垂直向里，大小
为B=1T，磁场边界与de平行，图中虚线所示。今以图
中向右的方向，以v=24m/s的速度，将线框匀速地拉出
r<R
M
R
r>R
o
D
r dB CD Ei dl cos dl 2 dt
1 dB r dB h dl hl 2 dt 2 dt r
1 l 2 dB 2 R ( ) l 2 2 dt
AC
R
1 dB 解： Ek r 2 dt
1 dB 1 dB Ek孔 r1 k r2 ( )k 2 dt 2 dt
1 dB 1 dB (r1 r2） k r0 k 2 dt 2 dt qEk孔 加速度 a m
a 2 a 2 di r0 B0 dx i r0 B0 x L L 0 0
园环受的安培力
a2 2 4 2 Fx i ( x) Br 2r0 r0 B0 x L
a2 2 4 2 d 2x r0 B0 x m 2 L dt d x a 2 4 2 r0 B0 x 0 2 dt mL
a
自感 ——自身回路的磁通量与回路的电流成正比. 互感 ——线圈中的磁通量与对方的电流成正比
12 12 M12 I1 M 12 I1
LI L I
2
I1(t)
(1) 自感(互感)系数是线圈几何尺度、相对位置等的函
数，与电流的变化率无关 (2）可以证明两个给定的线圈互感系数相等 (3) 法拉第定律可求自感(互感)电动势
af (t )2r
d df (t ) a 2r Ek dl Ek 2r dt dt
Ek a
df (t ) b dt b f t C a
df (t ) b dt a
其中C为任意常数
b Ca B t r r
第25届物理竞赛题
A x
2 0
2
2
v
2 0 2
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2
S
B
F
Pm
N
B S BS cos Br 2 sin
Br 2 cos d r 2 B cos Fr sin R dt
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B 2 2 r 3 cos 2 d RF sin
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12 M12
d dI L L dt dt dI
1
M12 M 21
dt
互感系数和自感系数的关系 （1）同轴螺旋管 无漏磁——即彼此磁场完全穿过
M L1L2
N1
有漏磁: M k L L 1 2
0 k 1
I
N1
l
N2
（2）线圈的连接：
顺接 L L1 L 2 2M 反接 L L1 L 2 2M B2
l 1 2r R S bdr
dI
薄层电阻 薄层电流
R
1 kbrdr 2
整个金属板电流
1 1 I kbrdr kba2 2 4 0
a
消耗功率
Hale Waihona Puke 1 2 dP dI k br 3dr 2
1 2 1 2 3 P k br dr k ba4 2 8 0
A处有负电荷堆积，M有正电荷堆积
若电阻均匀，圆环内只有感生电场，没有静电场
例3、图中所示为一半径是R0的圆柱形区域的横截面， 在此区域中分布着具有轴对称性且随时间变化的磁场， 各点磁感强度 的方向垂直图面向里，B 的大小与该点
离对称轴O的距离r成反比．设场中任一点P处的涡漩电
场 的方向如图所示，问区域内的变化磁场具有怎样的
k
r1 r 2 r0
Eko
带电粒子的运动类似于斜抛运动 射程 射高
2 R v0 cos t v0
sin 2 a
2 R sin 2 v0 2 2a
5 Kq 63.4 , v0 R 4 m
0
例5、如图所示，一金属圆环以其边缘为支点直立在两 磁极间，环的底部受两个固定档的限制，使其不能滑 动。现环受一扰动偏离竖直面，并开始倒下。已知B，
环半径r，环电阻R，环重F，并可以认为环倒下的过程
中重力矩时时都与磁力矩平衡，求环倒时间. 环偏离感应电流磁矩磁力矩 磁力矩方向向外 重力矩方向向内 根据题意 重力矩=磁力矩
B
S
i
N
Pm
F
解：重力矩 Fr sin
磁力矩 Pm B sin ir B cos i R d dt
磁场区域，试求在此过程中拉力所做的功。
r
R
R
R
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解：
vBl 2.4V
R R 2r 2 Fab Fcf I ablB 0.016N I
0.32A
I ab I cf 0.16A
r
R
R
R
r
W1 2Fabl 0.0032J 1 1 1 1 I' 0.48 A ( ) R' R R' 2r R R 2
Fab I ablB 0.048N
W2 Fabl 0.0048J W W1 W2 8.0 103 J
例2、被限制在半径为R的无限长圆柱内的均匀磁场，B均匀增加， （1）计算两段导线CD与AOM的感应电动势，并分别比较A、M 两点及C、D两点的电势高低（O为圆心，CD的长度为l）； （2）若有一长为2R的导体棒，以速度v横扫过磁场，试求在图示 的EF位置的感应电动势； （3）若在垂直磁场的平面内放入两种不同材料的半圆环组成的半 径为r的金属圆环，圆心在O点，两部分电阻分别为R1和R2,试比 较A与M两点的电势高低。
数学形式可使区域内r > 0的各点 的大小为一恒定值b．
解：设B的函数表达式为
a B (r , t ) f (t ) r
EK
其中a为比例系数任意常数
r dS 1 (r , t ) B dS af (t ) af (t ) 2rdr r r s 0
× r P B O × × R0
2
r dB a Br rB0 2r dx 2
2
Br rB0
a 1 8m 2
环在运动中有动生电动势和自感电动势产生感应电 流，载流线圈在磁场中受力运动
v L IR 0
v vBr 2r0
di L L dt
i x
a 2 di r0 B0 dx L
N2
B1 B2
若无漏磁 L L1 L 2 2 L1L 2
N1
N2
B1
例1、如图，已知电感线圈的自感系数为L1和L2，两者 之间的互感系数为M, 导线和线圈的直流电阻忽略不计。
di1 a , 求A、B两点 当线圈L1中电流强度的变化率为 dt
间的电压？ 解： L di2 M di1 0 2 dt dt
o
h
E i
D
CD
C
（2）
EF k i
E
R
v
R
G
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EF
R dB i Ei dl Ei dl ( 3 ) 4 3 dt E G
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