2014年高考数学(文)二轮配套教案：高考题型冲刺练 中档大题规范练——三角函数

中档大题规范练——三角函数
1． 已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x
. (1)求f (x )的定义域及最小正周期；
(2)求f (x )的单调递增区间．
解 (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，
故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．
因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x
＝2cos x (sin x －cos x )
＝sin 2x －2cos 2x
＝sin 2x －(1＋cos 2x ) ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2
＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为
⎣
⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2
，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π8
，x ≠k π(k ∈Z )． 所以f (x )的单调递增区间为
⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝
⎛⎦⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )． 2． 在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(3，1)，n ＝(cos A ＋1，sin
A )，且m ∥n .
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝3，cos B ＝33
，求b 的长． 解 (1)由m ∥n 得3sin A －cos A －1＝0. 得sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12
， 因为0<A <π，所以A ＝π3
. (2)在△ABC 中，由cos B ＝33，得sin B ＝63
， 又由正弦定理知a sin A ＝b sin B
，解得b ＝2 2. 3． (2013·重庆)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2.
(1)求C ；
(2)设cos A cos B ＝325，cos (α＋A )cos (α＋B )cos 2α＝25
，求tan α的值．
解 (1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，
由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22
. 又0<C <π，故C ＝3π4
. (2)由题意得
(sin αsin A －cos αcos A )(sin αsin B －cos αcos B )cos 2α＝25
. 因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝25
， tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝
25
， tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝
25
.① 因为C ＝3π4，所以A ＋B ＝π4，所以sin(A ＋B )＝22， 因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，
即325－sin A sin B ＝22
， 解得sin A sin B ＝325－22＝210. 由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，
解得tan α＝1或tan α＝4.
4． 设函数f (x )＝a ·(b ＋c )，其中向量a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(sin x ，－3cos x )，c ＝(－cos x ，
sin x )，x ∈R .
(1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；
(2)将函数y ＝f (x )的图象按向量d 平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d .
解 (1)由题意得，f (x )＝a ·(b ＋c )＝(sin x ，－cos x )·(sin x －cos x ，sin x －3cos x )
＝sin 2x －2sin x cos x ＋3cos 2x
＝2＋cos 2x －sin 2x
＝2＋2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋3π4. 所以，f (x )的最大值为2＋2，最小正周期是2π2
＝π. (2)由sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4＝0得2x ＋3π4
＝k π(k ∈Z )， 即x ＝k π2－3π8
，k ∈Z ， 于是d ＝⎝⎛⎭
⎫－k π2＋3π8，－2， |d |＝ ⎝⎛⎭
⎫k π2－3π82＋4，k ∈Z . 因为k 为整数，要使|d |最小，则只有k ＝1，此时d ＝⎝⎛⎭⎫－π8，－2即为所求．
5． 如图所示，一辆汽车从O 点出发沿一条直线公路以50千米/小时的速
度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在
距汽车出发点O 点的距离为5千米、距离公路线的垂直距离为3千米
的M 点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问
骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他
驾驶摩托车行驶了多少千米？
解 作MI 垂直公路所在直线于点I ，则MI ＝3千米，
∵OM ＝5千米，∴OI ＝4千米，∴cos ∠MOI ＝45
. 设骑摩托车的人的速度为v 千米/小时，追上汽车的
时间为t 小时．
由余弦定理得(v t )2＝52＋(50t )2－2×5×50t ×45
， 即v 2＝25t 2－400t
＋2 500 ＝25⎝⎛⎭⎫1t －82＋900≥900，
∴当t ＝18
时，v 取得最小值为30， ∴其行驶距离为v t ＝308＝154
千米． 故骑摩托车的人至少以30千米/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车
行驶了154
千米． 6． 已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝⎝⎛⎭
⎫3A cos x ，A 2cos 2x (A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6. (1)求A ；
(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12
，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A 2
cos 2x ＝A ⎝⎛⎭
⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为A >0，由题意知A ＝6.
(2)由(1)得f (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象； 再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12
，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图象． 因此g (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎡⎦
⎤π3，7π6， 故g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域为[－3,6]．。