2021届高三数学(理)考点04 函数的概念(定义域、值域、解析式、分段函数)解析版 Word版含解

【考点剖析】
1.最新考试说明：
(1)了解函数、映射的概念；
(2)理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法；
(3)会求一些简单函数的定义域;
(4)分段函数及其应用：了解简单的分段函数，并能简单应用.
2.命题方向预测：
预计2021年高考对函数及其表示的考查仍以函数的表示法、分段函数、函数的定义域等基本知识点为主，题型延续选择题、填空题的形式，分值为4分到5分.
3.课本结论总结：
中学数学的很多领域都涉及定义域，忽视定义域将对后续的复习带来困难，由函数的解析式求函数的定义域的解题过程可总结为：考察⇒整合⇒化简⇒结论，即先对解析式中的各部位进行必要的考察，得到自变量x应满足的条件，再把上述条件整合成自变量x应满足的不等式（组），解这个不等式（组）得到的解集即为函数的定义域.
4.名师二级结论：
形如21y ax b x =+-cos (0)x ααπ=≤≤或sin ()2
2
x π
π
θθ=-
≤≤
，利用
三角换元求解，如果是更复杂的式子，如：2y ax b c m nx =++-(0)m
x n
ααπ=
≤≤，2y ax b c m nx =+++m
x n
α=
利用三角公式或其他方法解决. 5.课本经典习题：
(1)新课标A 版第17页，例1 已知函数1
()32
f x x x =
++， （1）求函数的定义域；
（2）求(3)f -，2()3
f 的值；
（3）当0a >时，求()f a ，(1)f a -的值
【经典理由】对于函数定义域的求解给出了总结，也从抽象-具体的给出函数值的概念及其当自变量取定义
域内某一值时，函数值的求法.
(2)新课标A 版第18页，例2 下列函数中哪个与函数y x =相等？
（1）2
()y x =；（2）3
3
y x =3）2
y x =4）2
x y x
=.
【经典理由】给出了函数相等的定义，并对如何判断两个函数相等作出了总结.
6.考点交汇展示： (1)函数与方程相结合
例1. 【2021高考江苏，13】已知函数|ln |)(x x f =，⎩
⎨⎧>--≤<=1,2|4|1
0,0)(2x x x x g ，则方程1
|)()(|=+x g x f 实根的个数为
【答案】4
(2)函数与不等式相结合
例2【2021高考北京，理7】如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（）
A
B O
x
y -1
2
2C
A ．{}|10x x -<≤
B ．{}|11x x -≤≤
C ．{}|11x x -<≤
D ．{}
|12x x -<≤
【答案】C
(3)函数与集合相结合
例3设全集为R, 函数2()1f x x -M, 则C M R 为（ ） A. [－1,1] B. (－1,1) C.,1][1,)(∞--+∞ D.,1)(1,)(∞--+∞
【答案】D
【解析】()f x 的定义域为[1,1]M =-，故()
(),11,R M =-∞-+∞C ，选D.要注意避免出现1x
±及求补
集时区间端点的取舍错误.
【考点分类】
热点1 函数的定义域和值域
1.【2021高考福建，理14】若函数()6,2,
3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨
+>⎩
（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实
数a 的取值范围是．
【答案】(1,2]
【解析】当2x ≤，故64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[)4,+∞，只需1()3log a f x x =+（2x >）的值域包含于[)4,+∞，故1a >，所以1()3log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数
a 的取值范围是(1,2]．
2.【2021山东高考理第3题】函数1)(log 1)(2
2-=
x x f 的定义域为（ ）
A. )21,0(
B. ),2(+∞
C. ),2()2
1,0(+∞ D. ),2[]2
1,0(+∞
【答案】C
【解析】由已知得22(log )10,x ->即2log 1x >或2log -1x <，解得2x >或1
02
x <<
，故选C . 3. 下列函数中,与函数3x
定义域相同的函数为（ ） A ．y=
1sin x
B ．y=
1nx
x
C ．x y xe =
D ．
sin x
x
【答案】D
4. 已知函数()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域（ ）
A ．(1,1)-
B ．1(1,)2--
C ．(1,0)-
D ．1(,1)2
【答案】B
【解析】由题意知1210x -<+<，则1
12
x -<<-.故选B. 【方法规律】与定义域有关的几类问题
第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；
第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义； 第三类是不给出函数的解析式，而由()f x 的定义域确定函数[()]f g x 的定义域或由[()]f g x 的定义域确定函数()f x 的定义域．
第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．
【解题技巧】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有：(1)分式中,分母不为零;(2)偶次根式中,被开方数非负;(3)对数的真数大于0:(4)实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域,来年需要注意一些常见函数:带有分式,对数,偶次根式等的函数的定义域的求法
【易错点睛】求复合函数()y f t =，()t q x =的定义域的方法：
①若()y f t =的定义域为(,)a b ，则解不等式得()a q x b <<即可求出(())y f q x =的定义域；②若
(())y f g x =的定义域为(,)a b ，则求出()g x 的值域即为()f t 的定义域，如第4题，首先根据条件)
(x f 的定义域为)0,1(-，可令0121<+<-x ，解得211-
<<-x ，即)12(+x f 的定义域为)2
1,1(--. 热点2 函数的解析式
1. 【2021高考浙江，理7】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）
A.(sin 2)sin f x x =
B.2
(sin 2)f x x x =+ C. 2
(1)1f x x +=+ D.2(2)1f x x x +=+
【答案】D.
2.【2021江西高考理第3题】已知函数||5)(x x f =，)()(2
R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （ ）
A.1
B. 2
C. 3
D. -1
【答案】A
【解析】因为0
((1))15f g ==，所以(1)0g =，即10a -=，1a =，选A.
3.【2021高考安徽卷理第6题】设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，
则=)6
23(
π
f （ ） A.
21 B. 23 C.0 D.2
1
-
【答案】A
【解析】由题意，
231717111117(
)()sin ()sin sin 666666
f f f ππππππ
=+=++ 5511171111
(
)sin sin sin 066662222
f ππππ=+++=+-+=，故选A.
4.【2021浙江高考理第6题】已知函数则
且,3)3()2()1(0,)(2
3≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）
A.3≤c
B.63≤<c
C.96≤<c
D. 9>c
【答案】C
【解析】由()()()123f f f -=-=-得，184212793a b c a b c
a b c a b c
-+-+=-+-+⎧⎨
-+-+=-+-+⎩，解得611a b =⎧⎨=⎩，所以
()32611f x x x x c =+++，由()013f <-≤，得016113c <-+-+≤，即69c <≤，故选C.
【解题技巧】(1)配凑法：由已知条件(())()f g x F x =，可将()F x 改写成关于()g x 的表达式，然后以x 替代()g x ，便得()f x 的解析式；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数(())f g x 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(4)方程思想：已知关于()f x 与1
()f x
或()f x -的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方
程组，通过解方程组求出()f x .
【易错点睛】解决函数解析式问题，必须优先考虑函数的定义域，用换元法解题时，应注意换元前后的等
价性，例如第11题，在利用换元法
t x
=+12
进行整体代换后，由0>x 可知1>t ，因此必须说明1>t 从而保证换元前后的等价性,
热点3 分段函数
1. 【2021高考新课标2，理5】设函数21
1log (2),1,()2,1,
x x x f x x -+-<⎧=⎨
≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
【答案】C
2.【2021高考福建卷第7题】已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0
,cos 0
,12x x x x x f 则下列结论正确的是（ ）
A.()x f 是偶函数
B. ()x f 是增函数
C.()x f 是周期函数
D.()x f 的值域为[)+∞-,1
【答案】
D
3.【2021浙江高考理第15题】设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0
,0
,22x x x x x x f ，若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______.
【答案】2a ≤
【解析】由题意()()()2
2
f a f
a f a <⎧⎪⎨
+≤⎪⎩，或()()2
2f a f a ≥⎧⎪⎨
-≤⎪⎩
，解得()2f a ≥-，当202a a a <⎧⎨+≥-⎩或202a a ≥⎧⎨-≥-⎩，解得2a ≤
4.【2021高考上海理科第题】设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=],
,[,),
,(,)(2a x x a x x x f 若4)2(=f ，则a 的取值范围为_____________.
【答案】(,2]-∞
【解析】由题意，若2a >，则(2)2f =不合题意，因此2a ≤，此时[,)x a ∈+∞时，2
()f x x =，满足
(2)4f =.
【方法规律】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值
就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量x 的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式，体现
考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，
千万别代错解析式.
【解题技巧】求分段函数的值域，关键在于“对号入座”：即看清待求函数值的自变量所在区域，再用分
段函数的定义即可解决。

求分段函数解析式主要是指已知函数在某一区间上的图象或解析式，求此函数在
另一区间上的解析式，常用解法是利用函数性质、待定系数法及数形结合法等.画分段函数的图象要特别注
意定义域的限制及关键点（如端点、最值点）的准确性.分段函数的性质主要包括奇偶性、单调性、对称性
等，它们的判断方法有定义法、图象法等.总而言之，“分段函数分段解决”，其核心思想是分类讨论，如
第14题，即通过0>x 或0≤x 分类讨论，从而求解.
【热点预测】
1.已知函数
，那么的定义域是（ ）
A ．．．D ． 【答案】B
【解析】由已知得
,所以函数
,则有
,故函数的定义域为所以正确答案为B. 2.已知函数()f x 在R 上是单调函数，且满足对任意x R ∈，都有[()3]4x
f f x -=，则(4)f 的值是（ ）
2(1)log (21)f x x +=+()f x 1|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩
⎭1|2x x ⎧
⎫>⎨⎬
⎩⎭2|3x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭{}|0x x >()()()221log 21log 211f x x x +=+=+-⎡⎤⎣⎦
()()
2log 21f x x =-12102x x ->⇒>()f x 12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩
⎭
A ．85
B ．82
C ．80
D ．76
【答案】B
3.已知函数()222,0
2,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-≥⎩
.若()()0f a f a -+≤，则a 的取值范围是( )
A ．[]1,1-
B ．[2,0]-
C ．[]0,2
D ．[]2,2-
【答案】D
【解析】依题意可得2
2
2()2()0
a a a a a ≥⎧⎨
-+-+-≤⎩或2
2
()2()20
a a a a a <⎧⎨
---++≤⎩解得[2,2]a ∈-.
4.【湖北省部分重点中学2021-2021学年度上学期高三起点考试】已知()l n (1)l n (1)
f x x x =+--，(1,1)x ∈-，现有下列命题：
①()()f x f x -=-；②2
2(
)2()1
x
f f x x =+；③|()|2||f x x ≥.其中的所有正确命题的序号是( ) A ．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
【答案】A.
5.若函数()21f x x ax =++R ，则实数a 的取值范围是（ ）
A.()2,2-
B.()(),22,-∞-+∞
C.(][),22,-∞-+∞
D.[]2,2-
【答案】D
【解析】由题意知，对于任意x R ∈，210x ax ++≥恒成立，则22
41140a a ∆=-⨯⨯=-≤，解得22a -≤≤，故选D.
6.已知(0)1f =，()(1)f n nf n =-，n N +∈，则(3)f =.
【答案】6
【解析】令1=n 得，1)0()1(==f f ；令2=n 得，2)1(2)2(==f f ；令3=n 得，6)2(3)3(==f f .
7.函数2()2f x a =-（0a >，且1a ≠）的定义域为1
{|}2
x x ≤-，则a =.
【答案】14 【解析】可得20
x a -≥，即2x a ≥，则2log 1x a ≥，知2log 0a <，则log 2a x ≤，则1log 22
a =-，解 得14
a =. 8.【2021高考浙江，理10】已知函数223,1()lg(1),1x x f x x
x x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩
，则((3))f f -=，()f x 的最小值是． 【答案】0，3-22.
【解析】0)1())3((==-f f f ，当1≥x 时，322)(-≥x f ，当且仅当2=x 时，等
号成立，当1<x 时，0)(≥x f ，当且仅当0=x 时，等号成立，故)(x f 最小值为322-.
9. 二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+，且1)0(=f ,则=)(x f ________.
【答案】12
+-x x
10.湖北省部分重点中学2021-2021学年度上学期高三起点考试】以A 表示值域为R 的函数组成的集合， B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域 包含于区间[,]MM -。

例如，当31()x
x ϕ=，2()s i n x x ϕ=时，1()x A ϕ∈，2()x B ϕ∈。

现有如下命题： ①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b R ∀∈，a D ∃∈，()f a b =”；
②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；
③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B
+∉ ④若函数2()l n (2)1
x f x a x x =+++（2x >-，a R ∈）有最大值，则()f x B ∈. 其中的真命题有__________________.（写出所有真命题的序号）.
【答案】①③④.
【解析】若()f x A ∈，则()f x 的值域为R ，于是，对任意的b R ∈，一定存在a D ∈，使得()f a b =，故①正确．取函数()(11)f x x x =-<<，其值域为(1,1)-，于是，存在1M =，使得()f x 的值域包含于
[,][1,1]M M -=-，但此时()f x 没有最大值和最小值，故②错误．
当()f x A ∈时，由①可知，对任意的b R ∈，存在a D ∈，使得()f a b =，∴当()g x B ∈时，对于函数()()f x g x +，如果存在一个正数M ，使得()()f x g x +的值域包含于],[M M -，那么对于该区间外的某一个R b ∈0，一定存在一个D a ∈0，使得)()(00a g b a f -=，即],[)()(000M M b a g a f -∉=+，故③正确．对于)2(1
)2ln()(2->+++=x x x x a x f ，当0>a 或0<a 时，函数)(x f 都没有最大值．要使得函数)(x f 有最大值，只有0=a ，此时)2(1)(2->+=
x x x x f ． 易知]2
1,21[)(-∈x f ，所以存在正数21=M ，使得],[)(M M x f -∈，故④正确． 11.定义在实数集R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x Ax B =+（A B 、•为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，那么称()g x 为函数()f x 的一个承托函数．给出如下四个结论：
①对于给定的函数()f x ，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；
②定义域和值域都是R 的函数()f x 不存在承托函数；
③()2g x x =为函数()3f x x =的一个承托函数； ④1()2
g x x =为函数2()f x x =的一个承托函数． 其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】①③
12.设T S ,是R 的两个非空子集，如果存在．．
一个从S 到T 的函数)(x f y =满足：(i)}|)({S x x f T ∈=；(ii)对任意S x x ∈21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f <.那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下4
对集合.①,{1,1}S R T ==-；②*,S N T N ==；③{|13},{|810}S x x T x x =-≤≤=-≤≤；④
{|01},S x x T R =<<=，其中，“保序同构”的集合对的对应的序号是(写出所有“保序同构”的集合对的对应的序号).
【答案】②③④
【解析】“保序同构”的集合是指存在一函数()f x 满足：（1）S 是()f x 的定义域，T 是值域，（2）()f x 在S 上递增.对于①，若任意S x x ∈21,，当21x x <时，可能有12()()1f x f x ==-，不是恒有12()()f x f x <成立，所以①中的两个集合不一定是保序同构，对于②，取()1,f x x x N =+∈符合保序同构定义，对于③，取函数97(),(1,3)22f x x x =-∈-符合保序同构定义，对于④，取()tan(),(0,1)2
f x x x ππ=-∈符合保序同构定义，故选②③④.
13.【2021高考北京，理14】设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩
‚‚‚≥ ①若1a =，则()f x 的最小值为；
②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．
【答案】(1)1，(2)112
a ≤<或2a ≥. ②若函数()2x g x a =-与x 轴有无交点，则函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有两个交点，当
0a ≤时()g x 与x 轴有无交点，()4()(2)h x x a x a =--在1x ≥与x 轴有无交点，不合题意；当(1)20h a =-≥时，2a ≥，()h x 与x 轴有两个交点，x a =和2x a =，由于2a ≥，两交点横坐标均满足1x ≥；综上所述a 的取值范围112
a ≤<或2a ≥. 14.已知函数1)(+=x x g ，3
1)(+=x x h ，],3(a x -∈，其中a 为常数且0>a ，令函数)()()(x h x g x f ⋅=． （1）求函数)(x f 的表达式，并求其定义域；
（2）当4
1=a 时，求函数)(x f 的值域． 【答案】（1）
],0[a x ∈，)0(>a ；（2）]136,31[
1
()3x f x x +=+。