2012年高考数学压轴卷试题 文 大纲版

数学（文）试题
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡上的指
定位置上。

2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再
选涂其它答案标号；非选择题答案实用0.5毫米的黑色中性（签字）笔
或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域
书写的答案无效。

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把
所选题目对应的题号涂黑。

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U=Z，集合，则集合为（ ）
A．{1，2} B．{1} C．{2} D．{-1，1}
2．复数 （ ）
A．
B．
C． D．
3．已知等差数列中，，，则 （ ）
A．3 B．8 C．14 D．19
4．正方形中，点，分别是，的中点，那么 ( )
A． B.
C． D.
5. 在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是
A． B． C．
D．
6．已知函数在[1，是单调增函数，则a的最大值是 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
7．若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为 （ ）
A．1 B． C． D．2
8．直线与平面相交但不垂直, 在 上的射影为直线a , 直线b 在 上.
则“”是“”的 （
）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．非充分非必要条件 D．充要条件
9．四棱锥
的底面为正方形，侧面
为等边三角形，
且侧面
底面
，点
在底面正方形
内（含
边界）运动，且满足
，则点
在正方形
内的轨
迹一定是 （ ）
10. 设表示，两者中的较小的一个，若函数，则满足的的集合为
（ ）
A. B. C. D.
11. 过原点与曲线相切的切线方程为 （
）
A. B. C. D.
12. 若实数满足不等式组，目标函数的最大值为2，则实数a的值是
A.-2
B.0
C.1
D.2
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线
上．
13. 函数的最小值为 ；图象的对称轴方程为
．
14．某个容量为的样本的频率分布直方
图见右图，则在区间上的数据的频数为
．
15. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且⊥
轴，则双曲线的离心率为 ．
16．若点集，则
（1）点集所表示的区域的面积为_________；
（2）点集所表示的区域的面积为___________ .
三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
18．（本小题满分12分）
在三棱锥中，和都是边长为的等边三角形，，分别是的中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：⊥平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．
19．（本小题满分12分）
某网站就观众对2011年春晚小品类节目的喜爱程度进行网上调查，其中持各种态度的人数如下表：
喜爱程度喜欢一般不喜欢
人数560240200
（Ⅰ）现用分层抽样的方法从所有参与网上调查的观众中抽取了一个容量为n的样本，已知从不喜欢小品的观众中抽取的人数为5人，则n的值为多少？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若抽取到的5名不喜欢小品的观众中有2名为女性，现将抽取到的5名不喜欢小品的观众看成一个总体 ，从中任选两名观众，求至少有一名为女性观众的概率.
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求在处的切线方程；
（Ⅱ）求的极值．
21．( 本小题满分12分)
已知点是离心率为的椭圆：上的一点．斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点不重合．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
22. ( 本小题满分12分)
已知集合中的元素都是正整数，且，集合具有性质：对任意的，且，有．
(Ⅰ) 判断集合是否具有性质；
(Ⅱ) 求证：；
(Ⅲ) 求证：．
参考答案
一．选择题：每小题5分，满分60分．
题 号123456789101112答 案C A D D A D B D B C A D 二．填空题：每小题5分，满分20分．
13. ；
提示：由已知函数的图象，答案是显然的。

14. 30
提示： ∵
∴对于在区间的频率/组距的数值为，
∴容量为为100的样本落在上频数为
15．
提示：设，代入双曲线方程得，由已知，即，
于是有，故有，即，得，
两边同时加上得，于是，即有
于是
16．，
提示：已知点集A表示以原点为圆心，半径为1的圆的边界及其内部，点集B表示以原点为中心，四条边平行于坐标轴且长为2的正方形边界及其内部;
（1）本题相当于把点集A中的圆向右平移1个单位，
向上平移1个单位，因此其面积不变，为π.
（2）相当于把点集A沿点集B扩大如图所示：
其面积为：
三．解答题：
17．本小题主要考查三角变换公式和三角计算，考查三角基础知识和基本运算能力．满分10分．
〖解析〗（Ⅰ）∵
∴ . ………………………………3分
∴. ……………………………………………5分（Ⅱ） ∵,
∴ ……………………………………………………7分
. ………………………………………………9分 ∴. …………………10分
18．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系，线面平行与垂直的论
证、椎体体积的计算等基础知识，考查空间想象能力、思维能力和运算能力．满分12分．
〖解析〗（Ⅰ）分别为的中点，∴∥
又平面，平面
∴∥平面．………………………………………………………
4分
（Ⅱ）如图，连结
，为中点，,
∴⊥，．
同理, ⊥，．
又,
∴,
∴．
∴⊥．
⊥,⊥，,
⊥平面．………………………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知垂直平面
∴为三棱锥的高，且
∴．………………………12分
19．本小题主要考查抽样方法和概率的计算，以及利用概率统计的基础知识解决实际问题的能力．满分12分．
〖解析〗（Ⅰ）采用分层抽样的方法，样本容量与总体容量的比为 则不喜爱小品观众应抽取人
∴ (5)
分
（Ⅱ）由题意得，女性观众抽取2人，男性观众抽取3人，设女性观众为，男性观众为
则从5位不喜爱小品的观众中抽取两名观众有10种可能：
……………………………………8分
其中抽取两名观众中至少有一名为女性观众有7种可能：
所以从5位不喜爱小品的观众中抽取两名观众，
至少有一名为女性观众的概率为…………………………………………13分
20．本小题主要考查导函数的求法、导数的几何意义、函数极值的求法，考查运用基本概念进行计算的能力．满分12分．
〖解析〗（Ⅰ）当时，，
又 ，
所以
即在处的切线方程为……………………………5分
（II）因为
所以（x>0）……………………………………6分
（1）当
时，
因为
，且
所以对
恒成立，
所以在
上单调递增，无极值 ………………………7分
（2）当
时，
令，解得
（舍） ………………………9分
所以当
时，，的变化情况如下表：
……………………………11分
所以当
时，取得极小值，且．
综上，当
时，函数在
上无极值；当
时，函数在
处取得极小值．………………………………………12分
21．本小题主要考查椭圆的方程的求法，考察弦长公式的应用和利用均值不等式求最值的方法，考查思维能力、运算能力和综合解题的能力．满分12分．
〖解析〗（Ⅰ）， ，
∴，，
∴椭圆方程为．…………………………………………………
5分
（Ⅱ）设直线BD的方程为
∴
∴
………………………①
………………………②
，
设为点到直线BD：的距离，
∴
∴ ，当且仅当时，的面积最大，最大值为．………………………………………………………12分
22．本小题考察对数学概念的阅读理解能力，考查不等式、集合知识的综合应用，考查运用学过的数学知识解决问题的能力，考查思维能力、论证能力、运算能力和综合解题的能力．满分12分．
〖解析〗(Ⅰ)由于，，，
，，，
所以集合具有性质． (4)
分
（Ⅱ）证明：依题意有，又，
因此．
可得．
所以．
即． ……………………8分（Ⅲ）证明：由(Ⅱ)可得．
又，可得，因此．
同理，
可知．
又，可得，
所以均成立．
当时，取，则，可知．
又当时，．
所以． ……………………12分
其它解法，请酌情给分.。