初升高衔接教案(集合与函数部分)

初升高
衔接资料
（学生用书）
姓名：________
第一章 集合与函数概念
1.1 集合
一、集合的概念 1．集合与元素
一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母a,b,c,⋅⋅⋅表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母A,B,C,⋅⋅⋅表示．
说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等． 2．元素与集合的关系
如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作___________；如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作___________．
注意：a A ∈与a A ∉取决于元素a 是否是集合A 中的元素．根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a 与集合A ，a A ∈与a A ∉这两种情况中必有一种且只有一种成立． 3．集合中元素的特征
（1）___________：集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．这是判断一组对象是否构成集合的标准．
（2）___________：给定集合的元素是互不相同的．即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
（3）___________：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系． 4．集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 二、常用的数集及其记法
1．全体___________组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ； 2．所有___________组成的集合称为正整数集，记作*
N 或+N ； 3．全体___________组成的集合称为整数集，记作Z ； 4．全体___________组成的集合称为有理数集，记作Q ； 5．全体___________组成的集合称为实数集，记作R ．
易错点：N 为非负整数集（即自然数集），包括0，而*
N 表示正整数集，不包括0，注意区分． 三、集合的表示方法
1．列举法
把集合的元素___________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性．
（2）“{}”含有“所有”的含义，因此用{}R 表示所有实数是错误的，应是R ． 2．描述法
用集合所含元素的___________表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________．
说明：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式． 四、Venn 图，子集 1．Venn 图的概念
我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn 图．
说明：（1）表示集合的Venn 图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2）Venn 图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显． 2．子集
（1）子集的概念
一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中___________都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）． 用Venn 图表示A ⊆B 如图所示：
（2）子集的性质
①任何一个集合是它自身的子集，即A A ⊆．
②传递性，对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆． 五、从子集的角度看集合的相等
如果集合A 是集合B 的___________（A B ⊆），且集合B 是集合A 的___________（B A ⊆），此时，
集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =．用Venn 图表示A B =如图所示．
六、真子集 1．真子集的概念
如果集合A B ⊆，但存在元素___________，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B ⊂≠（或B A ⊃≠）． 如果集合A 是集合B 的真子集，在Venn 图中，就把表示A 的区域画在表示B 的区域的内部．如图所示：
2．真子集的性质
对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊂≠，B C ⊂≠，那么A C ⊂≠．
辨析：子集与真子集的区别：若A B ⊆，则A B ⊂≠或A B =；若A B ⊂≠，则A B ⊆． 七、空集 1．空集的概念
我们把___________任何元素的集合叫做空集，记作∅，并规定：空集是任何集合的子集． 2．空集的性质
（1）空集是任何集合的___________，即A ∅⊆； （2）空集是任何非空集合的___________，即A ⊂∅≠．
注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解． 八、并集 1．并集的概念
一般地，由___________属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：
___________（读作“A 并B ”），即{},A
B x x A x B =∈∈或．用Venn 图表示如图所示：
（1） （2） （3） 由上述图形可知，无论集合A ，B 是何种关系，A
B 恒有意义，图中阴影部分表示并集．
注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的． 2．并集的性质
对于任意两个集合A ，B ，根据并集的概念可得： （1）()A A B ⊆，()B A B ⊆； （2）A A A =；
（3）A A ∅=； （4）A B B
A =．
九、交集 1．交集的概念
一般地，由___________的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作：___________（读作“A 交B ”），即{|},A
B x x A x B =∈∈且．用Venn 图表示如图所示：
（1）A 与B 相交（有公共元素） （2）A B ⊂≠，则A
B A = （3）A 与B 相离（A B =∅）
注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素． （2）定义中的“所有”是指集合A 和集合B 中全部的公共元素，不能是一部分公共元素． 2．交集的性质 （1）(),()A
B A A B B ⊆⊆； （2）A A A =；
（3）A ∅=∅； （4）A B B
A =．
十、全集与补集 1．全集的概念
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U ，
是相对于所研究问题而言的一个相对概念．
说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集R 看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z 看作全集． 2．补集的概念
对于一个集合A ，由全集U 中___________集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作
U
A ，即{},U A x x U x A =∈∉且．用Venn 图表示如图所示：
说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A 的补集的前提是A 是全集U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．（2）若x U ∈，则x A ∈或U
x A ∈，二者必居其一．
3．全集与补集的性质
设全集为U ，集合A 是全集U 的一个子集，根据补集的定义可得： （1）
U
U =∅； （2）U U ∅=； （3）
(
)U
U
A A =；
（4）(
)U
A
A U =； （5）(
)U
A
A =∅．
例题讲解
1．集合的概念
判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素．注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象．
【例1】下列各组对象中不能构成集合的是（）
A ．正三角形的全体
B ．所有的无理数
C ．高一数学第一章的所有难题
D ．不等式2x ＋3>1的解
集合中元素的三个特性：
（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都必须明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的．
（3）无序性：集合中元素的排列无先后顺序，任意调换集合中元素的位置，集合不变．
判断指定的对象能不能组成集合，关键是看作为集合的元素是否具有确定性，也就是能否找到一个明确的标准．
2．元素与集合之间的关系
元素与集合之间有且仅有“属于（∈）”和“不属于（∉）”两种关系，且两者必居其一．判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征．
若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若a A ∈，且集合A 是用列举法表示的，则a 一定等于集合A 的其中一个元素，由此可列方程（组）求解．
【例2】已知{21}M x|x a ,a ==+∈Z ，则有（）
A ．1M ∉
B ．0M ∈
C ．2M ∈
D ．1M -∈
3．集合的表示方法
对于元素较少的集合宜采用列举法表示，用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏、不计次序；对于元素较多的集合宜采用描述法表示．
但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素．但要注意不要忽略集合中元素的代表形式． 【例3】选择适当的方法表示下列集合：（） （1）1和70组成的集合；
（2）大于1且小于70的自然数组成的集合． （3）大于1且小于70的实数组成的集合．
（4）（4）平面直角坐标系中函数2y x =-+图象上的所有点组成的集合． 4．集合相等
从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个 元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义．
【例4】已知集合M 中含有三个元素2，a ，b ，集合N 中含有三个元素2a ，2，2b ，且两集合相等，求a ， b 的值．
5．判断两个集合之间的关系
（1）从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析，
首先，判断一个集合A 中的任意元素是否属于另一集合B ，若是，则A ⊆B ，否则A 不是B 的子集； 其次，判断另一个集合B 中的任意元素是否属于第一个集合A ，若是，则B ⊆A ，否则B 不是A 的子集；若既有A ⊆B ，又有B ⊆A ，则A ＝B ．
（2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素； 对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断．也可以利用数轴或Venn 图进行快速判断． 【例5】指出下列各组中两个集合的包含关系： （1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；
（2）{|3,}A x x k k ==∈N ，{|6,}B x x z z ==∈N ；
（3）{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形，{|}C x x =是四边形，{|}D x x =是正方形．
6．确定集合的子集的个数
有限集子集的确定问题，求解关键有三点： （1）确定所求集合；
（2）注意两个特殊的子集：∅和自身；
（3）依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集……写出子集．就可避免重复和遗漏现象的发生．
【例6】集合{14}A=x x ∈-<<N 的真子集个数为（）
A ．7
B ．8
C ．15
D ．16
【解析】方法一：{}3210，，，
=A 中有4个元素，按真子集中所含元素的个数分类写出真子集． ∅是任何非空集合的真子集；
由一个元素构成的真子集：{0}{
1}{2}{3}，，，； 由两个元素构成的真子集：{0,1}{0,2}{0,3}{
1,2}{1,3}{2,3}，，，，，； 由三个元素构成的真子集：{0,1,2}{0,2,3}{1,2,3}{0,1,3}，，，．
故集合{14}A=x x ∈-<<N 的真子集个数为15．故选C ．
方法二：{}3210，，，
=A 中有4个元素，则真子集个数为15124
=-．故选C ． 【名师点睛】如果有限非空集合A 中有n 个元素，则： （1）集合A 的子集个数为2n
； （2）集合A 的真子集个数为21n -； （3）集合A 的非空子集个数为21n -； （4）集合A 的非空真子集个数为22n -． 7．集合的交、并、补运算 （1）“A
B ”是指所有属于集合A 或属于集合B 的元素并在一起所构成的集合．注意对概念中 “所
有”的理解：不能认为“A
B ”是由A 中的所有元素和B 中的所有元素组成的集合，即简单拼凑，要
满足集合中元素的互异性，A 与B 的公共元素只能作并集中的一个元素． （2）“A B ”是指属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合．注意对概念中“且”的理解：不
能仅认为A
B 中的任意元素都是A 和B 的公共元素，
它同时还表示集合A 与B 的公共元素都属于A B ，
而且并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 和集合B 没有公共元素时，=A B ∅．
（3）
{|,}U
A x x U x A =∈∉且．
全集与补集的性质：①一个集合与其补集的并集是全集，即()=U A A U ；②一个集合与其补集的交集是空集，即()=U A A ∅；③一个集合的补集的补集是其本身，即
()=U
U A A ；④空集的补集是全集，即
=U
U ∅；⑤全集的补集是空集，即=U U ∅．⑥若A B ⊆，则(
)()U
U A B ⊇；反之，若()()U
U A B ⊆，
则B A ⊆；⑦若=A B ，则=
U
U
A B ；反之，若
=
U
U
A B ，则=A B ；⑧德▪摩根定律：并集的补集等于补
集的交集，即
()=(
)
()U
U
U A B A B ；交集的补集等于补集的并集，即
()=(
)
()U
U
U A B A B ．
（4）解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求()U
A B 时，先求出
U
A ，再求交集；求
()U
A B 时，先求出A B ，再求补集．
【例7】设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ＝（）
A ．{4,8}
B ．{0,2,6}
C ．{0,2,6,10}
D ．{0,2,4,6,8,10}
（2）已知集合2
{|20},{0,1,2}M x x x N =-==，则M
N =（）
A ．{0}
B ．{0,1}
C ．{0,2}
D ．{0,1,2}
（3）已知全集{}{},|0,|1U A x x B x x ==≤=≥R ，则集合
()U
A B =（）
A ．{}|0x x ≥
B ．{}|1x x ≤
C ．{}|01x x ≤≤
D ．{}|01x x <<
1．下列选项正确的是（）
A ．0∈N *
B ．π∉R
C ．1∉Q
D ．0∈Z
2．在下列命题中，不正确的是（）
A ．{1}∈{0，1，2}
B ．Φ⊆{0，1，2}
C ．{0，1，2}⊆{0，1，2}
D ．{0，1，2}={2，0，1}
3．下列哪组对象不能构成集合（）
A ．所有的平行四边形
B ．高一年级所有高于170厘米的同学
C ．数学必修一中的所有难题
D ．方程x 2–4=0在实数范围内的解 4．已知集合A ={2，3}，下列说法正确的是（）
A ．2∉A
B ．2∈A
C ．5∈A
D ．3∉A
5．集合{3，x ，x 2–2x }中，x 应满足的条件是（）
A ．x ≠–1
B ．x ≠0
C ．x ≠–1且x ≠0且x ≠3
D ．x ≠–1或x ≠0或x ≠3
6．已知集合A ={2，–1}，B ={m 2–m ，–1}，则A =B ，则实数m =（）
A ．2
B ．–1
C ．2或–1
D ．4
7．集合A ={x |–2≤x ≤2}，B ={0，2，4}，则A ∩B =（）
A．{0} B．{0，2} C．[0，2] D．{0，1，2}
8．已知集合A={1，2，3}，B={x|x2–x–2<0，x∈Z}，则A∪B=（）如果已经衔接了二次不等式就可以留，没有就有点超
A．{1} B．{1，2}C．{0，1，2，3} D．{–1，0，1，2，3}
9．已知集合A={1，2}，B={0，2，5}，则A∪B中元素的个数为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．设全集U={3，1，a2–2a+1}，集合A={1，3}，∁U A={0}，则a的值为（）
A．0 B．1 C．–2 D．–1
11．已知全集U={0，1，2，3，4}，A={2，4}，B={1，3，4}，则（∁U A）∩B=（）
A．ΦB．{0} C．{1，3} D．{0，1，3，4}
12．如果集合U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，4，8}，B={1，3，4，7}，那么（∁U A）∩B等于（）A．{4} B．{1，3，4，5，7，8}C．{1，3，7} D．{2，8}
13．已知集合M={x∈Z||x|≤3}，则下列结论中正确的个数是（）
①2.5∈M②0⊆M③{0}∩M={0}④Φ∈M⑤集合M是无限集．
A．0 B．1 C．2 D．3．
14．设集合A={x∈Z|x>–1}，则（）
A．Φ∉A B∉A C A D．⊆A
15．设A∪{–1，1}={0，–1，1}，则满足条件的集合A共有个（）．
A．1 B．2 C．3 D．4
16．设A={x|2≤x≤6}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）
A．[1，3] B．[3，+∞）C．[1，+∞）D．（1，3）
17．如图所示的韦恩图中，若A={x|0≤x<2}，B={x|x>1}，则阴影部分表示的集合为（）
A．{x|0<x<2} B．{x|1<x≤2} C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}
18．若全集U={–1，0，1，2}，P={x∈Z|x2–x–2<0}，则∁U P=（）如果已经衔接了二次不等式就可以留，没有就有点超
A．{0，1} B．{0，–1} C．{–1，2} D．{–1，0，2}
19．已知集合
1
{|12}{|22}
8
x
M x x x P x x
=-≤∈=<<∈
Z R
，，，，则图中阴影部分表示的集合为（）
A．{1} B．{–1，0} C．{0，1} D．{–1，0，1}还未学函数20．设全集U={x∈N|x≤9}，集合A={2，5，8，9}，B={1，4，6，7，9}，则图中阴影部分表示的集合为（）
A．{1，4，6} B．{1，4，7} C．{1，4，9} D．{1，4，6，7}
21．已知集合A是由0，m，m2–3m+2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m为__________．
22．由实数t，|t|，t2，–t，t3所构成的集合M中最多含有__________个元素．
23．设A={x|1<x<4}，B={x|x–a<0}，若A⊆B，则a的取值范围是__________．
24．已知集合A={0，1}，B={–1，0，a+3}，且A⊆B，则a等于__________．
25．已知{1}⊆A⊆{1，2，3}，则这样的集合A有__________个．
26．已知a∈R，b∈R，若{a，b
a
，1}={a2，a+b，0}，则a2019+b2019=__________．
27．已知集合A={a，b，2}，B={2，b2，2a}，且A=B，则a=__________．
28．已知集合A={x|–2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m–1}．若A∪B=A，求实数m的取值范围．29．已知集合A={x|x<–1或x>4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．
30．（新课标Ⅱ）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（）
A．{3} B．{5} C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7} 31．（天津）设集合A={1，2，3，4}，B={–1，0，2，3}，C={x∈R|–1≤x<2}，则（A∪B）∩C=（）A．{–1，1} B．{0，1}C．{–1，0，1} D．{2，3，4}
32．（新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2–x–2>0}，则∁R A=（）
A．{x|–1<x<2} B．{x|–1≤x≤2}C．{x|x<–1}∪{x|x>2} D．{x|x≤–1}∪{x|x≥2} 33．（新课标Ⅰ）已知集合A={0，2}，B={–2，–1，0，1，2}，则A∩B=（）
A．{0，2} B．{1，2}C．{0} D．{–2，–1，0，1，2}
34．（浙江）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则∁U A=（）
A．∅B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5} 35．（北京）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A∩B=（）绝对值不等式？
A．{0，1} B．{–1，0，1}C．{–2，0，1，2} D．{–1，0，1，2}
36．（新课标Ⅲ）已知集合A={x|x–1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）
A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}
37．（新课标Ⅱ）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z），则A中元素的个数为（）A．9 B．8 C．5 D．4
38．（北京）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A∩B=（）绝对值不等式？
A．{0，1} B．{–1，0，1} C．{–2，0，1，2} D．{–1，0，1，2}
39．（天津）设全集为R，集合A={x|0<x<2}，B={x|x≥1}，则A∩（∁R B）=（）
A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1} C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}
40．（江苏）已知集合A={0，1，2，8}，B={–1，1，6，8}，那么A∩B=__________．
1.2函数及其表示
一、函数的概念
1．函数的概念
设A 、B 是______，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的_____x ，在集合B 中都有______的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．
解读函数概念
（1）“A ，B 是非空的数集”，一方面强调了A ，B 只能是数集，即A ，B 中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
（2）理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A ，但函数的值域不一定是非空数集B ，而是集合B 的子集．
（3）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个（任意性）元素x ，在非空数集B 中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y 与之对应．
（4）函数符号“()y f x =”是数学中抽象符号之一，“()y f x =”仅为y 是x 的函数的数学表示，不表示y 等于f 与x 的乘积，()f x 也不一定是解析式，还可以是图表或图象．学科网
2．函数的构成要素
由函数概念知，一个函数的构成要素为___________．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系．
辨析()
f x 与()()f a a A ∈：()f a 表示当自变量x a =时函数() f x 的值，是一个常量，而() f x 是自变量x 的函数，它是一个变量，()f a 是()
f x 的一个特殊值． 3．相等函数（同一函数）
对于两个函数，只有当两个函数的_______都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一函数．
名师提醒
（1）判断两个函数是相同函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相同函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相同函数．
（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
（3）在化简解析式时，必须是等价变形．
二、区间及其表示
1．区间的概念
设a ，b 是两个实数，而且a <b ．我们规定：
（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为___________；
（2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为___________；
（3）满足不等式a x b a x b ≤<<≤或的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为__________． 其中实数a ，b 都叫做相应区间的端点．我们可以在数轴上表示上述区间，为了区别开区间、闭区间的端点，我们用_____表示包括在区间内的端点，用_____表示不包括在区间内的端点．
注意：区间符号里面的两个字母（或数字）之间用“，”隔开．
2．无穷大的概念
实数集R 可以用区间表示为___________，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”．把满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞．
三、函数的三种表示方法
1．解析法用___________表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法．
2．图象法用___________来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法．
3．列表法通过列出___________来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法．
对三种表示法的说明
解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域．
图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点．
列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性．
四、分段函数
1．分段函数的概念
在函数定义域内，对于自变量x的不同___________，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．
知识提升
（1）分段函数每一段都有一个解析式，这些解析式组成的整体才是该分段函数的解析式．分段函数是一个函数，而不是几个函数．
（2）分段函数的定义域：一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．
（3）分段函数的值域：求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集．
2．分段函数的图象
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据每段的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图象，作图时要注意每段曲线端点的___________，横坐标相同的地方不能有两个或两个以上的点．
名师提醒
作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
五、映射
一般地，设A，B是两个___________，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的___________ 元素x，在集合B中都有___________的元素y与之对应，那么就称对应:f A B
→为从集合A到集合B的一个映射．
对映射的理解
（1）映射包括非空集合A，B以及对应关系f，其中集合A，B可以是数集，可以是点集，也可以是其他任何形式的集合．当A，B为数集时，此时的映射就是函数，即函数是一种特殊的映射．
（2）集合A，B是有先后次序的，即A到B的映射与B到A的映射是不同的．
（3）集合A中每一个元素在集合B中必有唯一的元素和它对应（有，且唯一），但允许B中元素没有A 中元素与之对应．
（4）A中元素与B中元素对应，可以是“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”．
知识提升
→，我们通常把集合A中的元素叫原象，而把集合B中与A中元素相对应的元对于映射:f A B
素叫象，集合A 叫原象集，象集为C ，则C B ⊆．象是对原象而言的，原象也是对象而言的，原象和象不可以互换．设A ，B 是两个集合，:f A B →是从集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 中不同的元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中的每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A 到B 上的一一映射．
例题讲解
1．函数概念
判断所给对应是否是函数，首先观察两个数集A ，B 是否非空；其次验证对应关系下，集合A 中数x 的任意性和集合B 中数y 的唯一性（即不能没有数y 对应数x ，也不能有多于一个的数y 对应数x ）．
【例1】给出下列两个集合,A B A B →及的对应f ：
①{}{}1,0,1,1,0,1:A B f A
=-=-,中的数的平方； ②{}{}0,1,1,0,1:A B f A
==-,中的数的开方； ③,:A B f A ==Z Q ,中的数的倒数； ④{}
,:A B f A
==R 正实数,中的数取绝对值； ⑤{}{}1
234,246810:2,,A B f n m n A m B ===∈∈，，，，，，，,其中． 其中是A 到B 的函数有__________个．
2．函数相等
讨论两个函数是否为同一函数时，要树立“定义域优先”的原则，若定义域相同，再化简函数解析式，看对应关系是否相同．
注意：定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数． 【例2】下列各组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（）
A ．()1f x x =-与()g x
B ．()f x x =与2
()x g x x
=
C ．()f x x =与()g x =
D ．24()2
x f x x -=-与()2g x x =+ 3．函数的定义域 （1）当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，求函数定义域的一般方法有：
①分式的分母不为0；
②偶次根式的被开方数非负；
③0y x =要求0x ≠；
④当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合；
⑤已知()f x 的定义域，求[()]f g x 的定义域，其实质是由()g x 的取值范围，求出x 的取值范围； ⑥已知[()]f g x 的定义域，求()f x 的定义域，其实质是由x 的取值范围，求()g x 的取值范围； ⑦由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求．
注意：定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
（2）已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值或取值范围，需运用分类讨论以及转化与化归的方法，转化为方程或不等式的解集问题，根据方程或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围．这种思想方法即通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．
【例3】函数1()3f x x =
-的定义域是（） A ．[2,3) B ．(3,)+∞C ．[2,3)(3,)+∞ D ．(2,3)(3,)+∞
4．求函数值或函数的值域
（1）函数求值即用数值或字母代替表达式中的x ，而计算出对应的函数值的过程．注意所代入的数值或字母应满足函数的定义域要求．
求函数值应遵循的原则：
①已知()f x 的表达式求()f a 时，只需用a 替换表达式中的x ．
②求()f f a ⎡⎤⎣⎦的值应遵循由里往外的原则．
③用来替换表达式中x 的数a 必须是函数定义域内的值．
（2）求函数的值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：
①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
②配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的方法．求
值域时一定要注意定义域的影响．如函数223y x x =-+的值域与函数223,{|0y x x x x =-+∈≤3}x <的值域是不同的；
③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x 仅出现在分母上，这样x 对函数的影响就比较清晰了；（可否增加例题，很抽象，转化也是一个难点，可否增加例题）
利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．
在利用换元法求解函数的值域时，一定要注意换元后新元的取值范围，否则会产生错解．求新元的范围，要根据已知函数的定义域．
【例4】函数y
A ．{|1}x x ≥-
B ．{|0}x x ≥
C ．{|0}x x ≤
D ．{|1}x x ≤- 【例5】函数243,[1,1]y x x x =-+∈-的值域为（）
A ．[1,0]-
B ．[0,8]
C ．[1,8]-
D ．[3,8] 5．函数解析式的求法
（1）已知函数的模型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件求待定系数．
（2）已知f （g （x ））=h （x ），求f （x ），常用的有两种方法：学科网
①换元法，即令t =g （x ），解出x ，代入h （x ）中，得到一个含t 的解析式，即为所求解析式；
②配凑法，即从f （g （x ））的解析式中配凑出“g （x ）”，即用g （x ）来表示h （x ），然后将解析式中的g （x ）用x 代替即可．利用这两种方法求解时一定要注意g （x ）的取值范围的限定．
（3）已知f （x ）与f （g （x ））满足的关系式，要求f （x ）时，可用g （x ）代替两边所有的x ，得到关于f （x ）与f （g （x ））的方程组，消去f （g （x ））解出f （x ）即可．常见的有f （x ）与f （−x ），f （x ）与1()f x
． 可否加一个例题？
（4）所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替使用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再利用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定．
【例6】已知1)f x =+，求()f x ．。