2013人教B版选修(2-3)2.2.1《条件概率》
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理解教材新知 2.2
第 二 章
2.2.1 条件 概率
把握热点 考向
考点一 考点二
应用创新演练
返回
2．2.1
条件概率
返回
100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质
量合格，85件产品的长度、质量都合格． 令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}， A∩B＝{产品的长度、质量都合格}． 问题1：试求P(A)、P(B)、P(A∩B)． 93 90 85 提示： P(A)＝ ， P(B)＝ ， P(A∩B)＝ . 100 100 100 返回
个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字 母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有 红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒 子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒
子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第
三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则试 验成功．求试验成功的概率． 返回
返回
4 1 P(R|B)＝ ，P(W|B)＝ 5 5
(5 分)
事件“试验成功”表示为 (R∩A) ∪ (R∩B) ，又事件 R∩A 与事件 R∩B 互斥， 所以由概率的加法公式得 P((R∩A)∪(R∩B)) ＝P(R∩A)＋P(R∩B) ＝P(R|A)· P(A)＋P(R|B)· P(B) 1 7 4 3 59 ＝ × ＋ × ＝ 2 10 5 10 100 (10 分) (7 分)
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(3)法一
由(1)、(2)可得，在第 1 次抽到理科题的
PA∩B 条件下，第 2 次抽到理科题的概率为 P(B|A)＝ PA 3 10 1 ＝ ＝ . 3 2 5 法二 因为事件 A∩B 含 6 个基本事件， 事件 A 含
6 1 12 个基本事件，所以 P(B|A)＝ ＝ . 12 2
(1)由条件概率的定义可知，P(B|A)与 P(A|B)是不 同的．另外，在事件 A 发生的前提下，事件 B 发生的 概率不一定是 P(B)，即 P(B|A)与 P(B)不一定相等． (2)在条件概率的定义中，要强调 P(A)>0.当 P(A) ＝0 时，P(B|A)＝0. PA∩B (3)P(B|A) ＝ 可 变 形 为 P(A∩B) ＝ PA P(B|A)· P(A)，即只要知道其中的两个值就可以求得第 三个值．
返回
P(A| B )＝
3 1 ＝ ， 8＋1 3
P(A)＝P(A∩B)∪(A∩ B ) ＝P(A∩B)＋P(A∩ B ) ＝P(A|B)P(B)＋P(A| B )P( B ) 4 2 1 1 ＝ × ＋ × 9 3 3 3 11 ＝ . 27
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掌握好条件概率应注意以下几点
(1)事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率
[思路点拨]
设出基本事件，求出相应的概率，再用基
本事件表示出“试验成功”这件事，求出其概率． [精解详析] 设 A＝{从第一个盒子中取得标有字母 A
的球}， B＝{从第一个盒子中取得标有字母 B 的球}， R＝{第二次取出的球是红球}， W＝{第二次取出的球是白球}， 7 3 则容易求得 P(A)＝ ，P(B)＝ ， 10 10 1 1 P(R|A)＝ ，P(W|A)＝ ， 2 2 (2 分)
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[例1]
在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不
放回地依次抽取2道题，求： (1)第1次抽到理科题的概率； (2)第1次和第2次都抽到理科题的概率； (3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的
概率．
[思路点拨] 根据分步乘法计数原理先计算出事件总
数，然后计算出各种情况下的事件数后即可求解． 返回
与没有这个附加条件的概率是不同的． (2)所谓的条件概率，是试验结果的一部分信息已 知(即在原随机试验的条件上，再加上一定的条件)，求 另一事件在此条件下发件下 B 发生，相当于 A∩B 发生，求 P(B|A)时，可把 A 看成新的基本事件空间来计 算 B 发生的概率，即 nA∩B nA∩B PA∩B nΩ P(B|A)＝ ＝ ＝ . nA nA PA nΩ
[精解详析]
设第 1 次抽到理科题为事件 A， 第 2 次抽
到理科题为事件 B，则第 1 次和第 2 次都抽到理科题为事 件 A∩B. (1)从 5 道题中不放回地依次抽取 2 道题的基本事件总 数为 A2 5＝20.
1 事件 A 所含基本事件的总数为 A1 3×A4＝12.
12 3 故 P(A)＝ ＝ . 20 5 (2)因为事件 A∩B 含 A2 3＝6 个基本事件． 6 3 所以 P(A∩B)＝ ＝ . 20 10
返回
5．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3 个红球．现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然 后从2号箱中随机取出一球，问从2号箱取出红球的概
率是多少？
解：记A＝{从2号箱中取出的是红球}， B＝{从1号箱中取出的是红球}， 4 2 则P(B)＝ ＝ ， 2＋4 3 1 P( B )＝1－P(B)＝ ， 3 3＋1 4 P(A|B)＝ ＝ ， 8＋1 9
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1．把一枚硬币投掷两次，事件 A＝{第一次出现正面}，B ＝{第二次出现正面}，则 P(B|A)＝ 1 A. 4 1 C. 6 1 B. 2 1 D. 8 ( )
1 1 1 解析：P(A∩B)＝ ，P(A)＝ ，∴P(B|A)＝ . 4 2 2
答案： B 返回
2．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件 下，他在周六晚上值班的概率为________．
返回
[一点通]
计算条件概率的两种方法：
(1)在缩小后的样本空间 ΩA 中计算事件 B 发生的概率， 事件A∩B所含基本事件的个数 即 P(B|A)＝ ； 事件A所含基本事件的个数 (2)在原样本空间 Ω 中，先计算 P(A∩B)，P(A)，再按 PA∩B 公式 P(B|A)＝ 计算求得 P(B|A)． PA
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条件概率的概念 (1)事件的交 事件A和B 同时发生 所构成的事件D，称为事件A与B
的交(或积)记做D＝A∩B(或D＝AB)．
(2)条件概率 对于两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事 件B发生的概率叫做条件概率．用符号 “P(B|A)” 表示．即 PA∩B 条件概率公式P(B|A)＝ ，P(A)＞0 . PA 返回
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点击下图进入“应用创新演练”
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[一点通]
对于比较复杂的事件，可以先分解为两个
(或若干个)较简单的互斥事件的并，求出这些简单事件的 概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．
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4．一批产品中有4%的次品，而合格品中一等品占45%，
从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率．
解：设 A 表示“取出的产品为合格品”，B 表示“取 出的产品为一等品”，则 P(B|A)＝45%. 因为 P( A )＝4%， P(A)＝1－P( A )＝1－4%＝96%. 所 以 P(B) ＝ P(A∩B) ＝ P(A)· P(B|A) ＝ 96%×45% ＝ 43.2%.
解析：设事件 A 为“周日值班”，事件 B 为“周六 C1 1 6 值班”，则 P(A)＝ 2，P(A∩B)＝ 2，故 P(B|A)＝ C7 C7 PA∩B 1 ＝ . 6 PA
1 答案： 6
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3．一个盒子中有6只正品晶体管，4只次品晶体管，任取两
次，每次取一只，第一次取后不放回，若已知第一只是
问题2：任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求 它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率． 提示：事件 A|B 发生，相当于从 90 件质量合格的产品
85 中任取 1 件长度合格，其概率为 P(A|B)＝ . 90 问题3：试探求P(B)、P(A∩B)、P(A|B)间的关系．
PA∩B 提示：P(A|B)＝ . PB
正品，求第二只也是正品的概率．
解：令 Ai＝{第 i 只是正品}，i＝1,2. 6×9 3 P(A1)＝ ＝ ， 10×9 5 6×5 1 P(A1∩A2)＝ ＝ ， 10×9 3 1 PA1∩A2 3 5 P(A2|A1)＝ ＝ ＝ . 3 9 PA1 5
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[例2]
(10分)将外形相同的球分装三个盒子，每盒10
第 二 章
2.2.1 条件 概率
把握热点 考向
考点一 考点二
应用创新演练
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2．2.1
条件概率
返回
100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质
量合格，85件产品的长度、质量都合格． 令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}， A∩B＝{产品的长度、质量都合格}． 问题1：试求P(A)、P(B)、P(A∩B)． 93 90 85 提示： P(A)＝ ， P(B)＝ ， P(A∩B)＝ . 100 100 100 返回
个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字 母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有 红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒 子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒
子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第
三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则试 验成功．求试验成功的概率． 返回
返回
4 1 P(R|B)＝ ，P(W|B)＝ 5 5
(5 分)
事件“试验成功”表示为 (R∩A) ∪ (R∩B) ，又事件 R∩A 与事件 R∩B 互斥， 所以由概率的加法公式得 P((R∩A)∪(R∩B)) ＝P(R∩A)＋P(R∩B) ＝P(R|A)· P(A)＋P(R|B)· P(B) 1 7 4 3 59 ＝ × ＋ × ＝ 2 10 5 10 100 (10 分) (7 分)
返回
(3)法一
由(1)、(2)可得，在第 1 次抽到理科题的
PA∩B 条件下，第 2 次抽到理科题的概率为 P(B|A)＝ PA 3 10 1 ＝ ＝ . 3 2 5 法二 因为事件 A∩B 含 6 个基本事件， 事件 A 含
6 1 12 个基本事件，所以 P(B|A)＝ ＝ . 12 2
(1)由条件概率的定义可知，P(B|A)与 P(A|B)是不 同的．另外，在事件 A 发生的前提下，事件 B 发生的 概率不一定是 P(B)，即 P(B|A)与 P(B)不一定相等． (2)在条件概率的定义中，要强调 P(A)>0.当 P(A) ＝0 时，P(B|A)＝0. PA∩B (3)P(B|A) ＝ 可 变 形 为 P(A∩B) ＝ PA P(B|A)· P(A)，即只要知道其中的两个值就可以求得第 三个值．
返回
P(A| B )＝
3 1 ＝ ， 8＋1 3
P(A)＝P(A∩B)∪(A∩ B ) ＝P(A∩B)＋P(A∩ B ) ＝P(A|B)P(B)＋P(A| B )P( B ) 4 2 1 1 ＝ × ＋ × 9 3 3 3 11 ＝ . 27
返回
掌握好条件概率应注意以下几点
(1)事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率
[思路点拨]
设出基本事件，求出相应的概率，再用基
本事件表示出“试验成功”这件事，求出其概率． [精解详析] 设 A＝{从第一个盒子中取得标有字母 A
的球}， B＝{从第一个盒子中取得标有字母 B 的球}， R＝{第二次取出的球是红球}， W＝{第二次取出的球是白球}， 7 3 则容易求得 P(A)＝ ，P(B)＝ ， 10 10 1 1 P(R|A)＝ ，P(W|A)＝ ， 2 2 (2 分)
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[例1]
在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不
放回地依次抽取2道题，求： (1)第1次抽到理科题的概率； (2)第1次和第2次都抽到理科题的概率； (3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的
概率．
[思路点拨] 根据分步乘法计数原理先计算出事件总
数，然后计算出各种情况下的事件数后即可求解． 返回
与没有这个附加条件的概率是不同的． (2)所谓的条件概率，是试验结果的一部分信息已 知(即在原随机试验的条件上，再加上一定的条件)，求 另一事件在此条件下发件下 B 发生，相当于 A∩B 发生，求 P(B|A)时，可把 A 看成新的基本事件空间来计 算 B 发生的概率，即 nA∩B nA∩B PA∩B nΩ P(B|A)＝ ＝ ＝ . nA nA PA nΩ
[精解详析]
设第 1 次抽到理科题为事件 A， 第 2 次抽
到理科题为事件 B，则第 1 次和第 2 次都抽到理科题为事 件 A∩B. (1)从 5 道题中不放回地依次抽取 2 道题的基本事件总 数为 A2 5＝20.
1 事件 A 所含基本事件的总数为 A1 3×A4＝12.
12 3 故 P(A)＝ ＝ . 20 5 (2)因为事件 A∩B 含 A2 3＝6 个基本事件． 6 3 所以 P(A∩B)＝ ＝ . 20 10
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5．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3 个红球．现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然 后从2号箱中随机取出一球，问从2号箱取出红球的概
率是多少？
解：记A＝{从2号箱中取出的是红球}， B＝{从1号箱中取出的是红球}， 4 2 则P(B)＝ ＝ ， 2＋4 3 1 P( B )＝1－P(B)＝ ， 3 3＋1 4 P(A|B)＝ ＝ ， 8＋1 9
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1．把一枚硬币投掷两次，事件 A＝{第一次出现正面}，B ＝{第二次出现正面}，则 P(B|A)＝ 1 A. 4 1 C. 6 1 B. 2 1 D. 8 ( )
1 1 1 解析：P(A∩B)＝ ，P(A)＝ ，∴P(B|A)＝ . 4 2 2
答案： B 返回
2．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件 下，他在周六晚上值班的概率为________．
返回
[一点通]
计算条件概率的两种方法：
(1)在缩小后的样本空间 ΩA 中计算事件 B 发生的概率， 事件A∩B所含基本事件的个数 即 P(B|A)＝ ； 事件A所含基本事件的个数 (2)在原样本空间 Ω 中，先计算 P(A∩B)，P(A)，再按 PA∩B 公式 P(B|A)＝ 计算求得 P(B|A)． PA
返回
条件概率的概念 (1)事件的交 事件A和B 同时发生 所构成的事件D，称为事件A与B
的交(或积)记做D＝A∩B(或D＝AB)．
(2)条件概率 对于两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事 件B发生的概率叫做条件概率．用符号 “P(B|A)” 表示．即 PA∩B 条件概率公式P(B|A)＝ ，P(A)＞0 . PA 返回
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点击下图进入“应用创新演练”
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[一点通]
对于比较复杂的事件，可以先分解为两个
(或若干个)较简单的互斥事件的并，求出这些简单事件的 概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．
返回
4．一批产品中有4%的次品，而合格品中一等品占45%，
从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率．
解：设 A 表示“取出的产品为合格品”，B 表示“取 出的产品为一等品”，则 P(B|A)＝45%. 因为 P( A )＝4%， P(A)＝1－P( A )＝1－4%＝96%. 所 以 P(B) ＝ P(A∩B) ＝ P(A)· P(B|A) ＝ 96%×45% ＝ 43.2%.
解析：设事件 A 为“周日值班”，事件 B 为“周六 C1 1 6 值班”，则 P(A)＝ 2，P(A∩B)＝ 2，故 P(B|A)＝ C7 C7 PA∩B 1 ＝ . 6 PA
1 答案： 6
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3．一个盒子中有6只正品晶体管，4只次品晶体管，任取两
次，每次取一只，第一次取后不放回，若已知第一只是
问题2：任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求 它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率． 提示：事件 A|B 发生，相当于从 90 件质量合格的产品
85 中任取 1 件长度合格，其概率为 P(A|B)＝ . 90 问题3：试探求P(B)、P(A∩B)、P(A|B)间的关系．
PA∩B 提示：P(A|B)＝ . PB
正品，求第二只也是正品的概率．
解：令 Ai＝{第 i 只是正品}，i＝1,2. 6×9 3 P(A1)＝ ＝ ， 10×9 5 6×5 1 P(A1∩A2)＝ ＝ ， 10×9 3 1 PA1∩A2 3 5 P(A2|A1)＝ ＝ ＝ . 3 9 PA1 5
返回
[例2]
(10分)将外形相同的球分装三个盒子，每盒10