南充高中考试数学试题及答案

南充高中2015年面向省内外自主招生考试
数 学 试 题
（考试时间：120分钟 试卷总分：150分）
第Ⅰ卷(选择。

填空题）
一、选择题（每小题5分,共计50分.下列各题只有一个正确的选项，请将正确选项的番号填入答题卷的相应位置)
1、二次函数)0(4)4(2≠--=a x a y 的图象在23x <<这一段位于x 轴的下方，在
67x <<这一段位于x 轴的上方，则a 的值可为
A. 1
B. —1
C. 2
D. -2 2、设,a b 是不相等的任意正数，又
,a b a b
x y a b ++=
=，则,x y 这两个数一定
A ．都不大于2 B.都不小于2
C.至少有一个不小于2
D.至少有一个小于2
3、已知a b c k
b c a c a b ===+++，则直线2y kx k =+一定过
A.第一、二象限
B.第二、三象限
C.第三、四象限
D.第一、四象限
4、如图，点A 的坐标是(2，0）,△ABO 是等边三角形，点B 在第一象限。

若反比例函数x
k
y =
的图象经过点B ，则k 的值是 A 。

1 B 。

2 C 。

3 D 。

32 5、如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，连结A C ，BC ，分别以
AC,BC 为边向外作正方形ACDE ，BCFG ，DE,FG,，的中点分别是M ，N ，P ，Q 。

若MP+NQ=14,AC+BC=18，则AB 的长是
A. 29 B 。

7
90
C. 13
D. 16 6、在同一平面直角坐标系内直线1y x =-、双曲线2y x =、
抛物线2
21215y x x =-+-共有多少个交点
A ．5个
B 。

6个
C 。

7个 D.8个
7、已知31
2
a -=，则
3222621a a a a ++=-
A ．3-
B ．3
C ．32-+
D ．32+
8、如图,P 为等腰三角形ABC 内一点，过P 分别作三条边BC 、CA 、AB 的垂线,垂足分别为D 、E 、F 。

已知10AB AC ==,12BC =，且133PD PE PF =∶∶∶∶.则四边形PDCE 的面积为
A ．10
B ．15
C ．
403 D ．50
3
9、甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A 背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇，已
知每秒钟甲比乙多行0。

1米，那么两人第三次相遇的地点与点A 沿跑道上的最短距离是（）米
A. 176
B.376 C 。

576 D 。

776 10。

已知一个梯形的四条边长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积为
A 。

4
B 。

6
C 。

D.
二、填空题（每小题5分，共计30分，请将你的答案填到答题卷的相应位置处）
11、同时抛掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面分别刻有1到6的点数,朝上的点数中，一个点数能被另一个点数整除的概率为
12、设,αβ是方程2910x x ++=的两根，则22(20151)(20151)ααββ++++的值为 13、已知在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发,沿着A →B 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒，连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为 14、已知在ABC ∆中,BC 边的长为12，且这边上的高AD 的长为3,则ABC ∆的周长的最小值为
15、已知212x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的乘积,则符合条件的整数a 的个数是
16。

某校举办数学竞赛，A ，B ，C ，D ，E 五位同学分获前5名.发奖前,老师请他们猜一猜各人名次排列情况。

A 说：“B 第三名，C 第五名” ；B 说：“E 第四名，D 第五名”; C 说：“A 第一名,E 第四名"；D 说：“C 第一名,B 第二名”； E 说:“A 第三名，D 第四名”。

结果，每个名次都有人猜对。

请将五位同学名次按第一到第五依次排列为：
三、解答题:（本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤) 17、（1）（本小题5
分）解方程23152x x ++=
(2）（本小题5分）当0a >时化简
18、（本小题12分）已知抛物线2y x =与动
直线
44
2
222
11x x a x y x a x a --=
-+
(21)y t x c =--有公共点1122(,),(,)x y x y ，且222
1223x x t t +=+-
（1） 求实数t 的取值范围
（2）当t 为何值时，c 取到最小值,并求出c 的最小值
19、（本小题12分）某乒乓球训练馆准备购买n 副某种品牌的乒乓球拍,每副球拍配
(3)k k ≥个乒乓球.已知,A B 两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售,且每副球
拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都是1 元，现两家超市正在促销，A 超市所有商 品均打九折(按原价的90％付费）销售,而B 超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球，若仅考虑 购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：
(1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去哪家超市买更合算？ （2）当12k =时，请设计最省钱的购买方案
20、（本小题12分)如图1已知O 是锐角∠XAY 的边AX 上的动点,以点O 为圆心，R 为半径的圆与射线AY 切于点B ,交射线OX 于点C ．连结BC ，作CD ⊥BC ，交AY 于点D ． (1)求证：△ABC ∽△ACD ；
(2)若P 是AY 上一点，AP =4，且sinA =35，
① 如图2，当点D 与点P 重合时，求R 的值;
② 当点D 与点P 不重合时，试求PD 的长(用R 表示)．
, 21、（本小题12分）如图，已知：正方形ABCD 中，AB=8,点O 为边AB 上一动点，以点O 为圆心,OB 为半径的⊙O 交边AD 于点E （不与点A 、D 重合），EF ⊥OE 交边CD 于点
图2
图1
F ．设,BO x AE y ==．
（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
（2）在点O 运动的过程中，△EFD 的周长是否发生变化？如果发生变化,请用x 的代数式表示△EFD 的周长；如果不变化，请求出△EFD 的周长；
（3）以点A 为圆心，OA 为半径作圆，在点O 运动的过程中,讨论⊙O 与⊙A 的位置关系，并写出相应的x 的取值范围．
22、(本小题12分）如图，已知抛物线m x x y +--=32
经过点C(－2，6)， 与x 轴相交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点D ． (1)求点A 的坐标;
（2)设直线BC 交y 轴于点E ，连接AE 、AC ，求证：AEC △是等腰直角三角形； （3）连接AD 交BC 于点F ，试问当14<<-x 时，在抛物线上是否存在一点P 使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与ABF △相似?若存在， 请求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由．
一、选择题答案:（每小题5分，共计50分)
11
．_______11
18________ 12．__22006 (即4024036）___
13．_________2
或3。

5_______ 14．_______12+15．_________6____________ 16．____ CBAED ______________
三、解答题：（本大题共6个小题,共70分，解答应写出必要的说明，证明过程和推演步骤)
17、（1）（本小题5分）解方程
2
3152x x ++=
（2）（本小题5分）当0a >时化简
解：（1）原方程整理得23(51)50x x +++=，设y =
则原方程化为2
3250y y +-=即(1)(35)0y y -+=，解得，
125
1,3y y ==-
，又0y ≥
1y =1=，解得0x =或5x =-
故原方程的解为120,5x x ==-
（2）
又0a >∴当0x >时1y = ,当0x <时1y =-
442
22211x x a x y x a x a --=
-+222222222222
22
22
2222
()()
()a x a x a x x a y a x a a x x a x x a x a x a a x x a x a a x a x
-+-=
-+-+-=-+=
18、（本小题12分）已知抛物线2y x =与动直线(21)y t x c =--有公共点1122(,),(,)x y x y ,且2
2
2
1223x x t t +=+-
（2） 求实数t 的取值范围
（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值
解：（1）联立2y x =与(21)y t x c =--,消去y 得二次方程2(21)0x t x c --+= ①有实根12,x x ,则121221,x x t x x c +=-=,所以
()222
12121222
21()()2
11(21)(23)36422c x x x x x x t t t t t ⎡⎤==
+-+⎣⎦⎡⎤=--+-=-+⎣⎦②，把②代入方程①得()()22
12136402
x t x t t --+
-+=③，t 的取值应满足22212230t t x x +-=+≥④，且使方程③有实根，即()()
2
2
2
2123642870t t t t t ∆=---+=-+-≥⑤，解不等式④得
3t ≤-或1t ≥,解不等式⑤
得
22t ≤≤，所以t
的取值范围为
2222t -
≤≤+⑥
（2）由②式知
()()221313641222c t t t =
-+=-+,由于()2
31122c t =-+
，在
2222t -
≤≤+
是递增的，所以当22t =-
时，min 114
c -=
19、（本小题12分）某乒乓球训练馆准备购买n 副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配
(3)k k ≥个乒乓球
已知,A B 两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元， 每个乒乓球的标价都是1 元,现两家超市正在促销,A 超市所有商品均打九折(按原价的90%
付费)销售，而B 超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球，若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：
（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球,那么去哪家超市买更合算？ （2）当12k =时，请设计最省钱的购买方案
解:（1）由题意，去A 超市购买n 副球拍和kn 个乒乓球的费用为()0.920n kn +元，去B
超市购买n 副球拍和kn 个乒乓球的费用为()203n n k +-元, 由()()0.920203n kn n n k +<+-，解得10k >； 由()()0.920203n kn n n k +=+-，解得10k =； 由()()0.920203n kn n n k +>+-,解得10k <，
∴当10k >时，
去A 超市购买更合算；当10k =时，去A,B 两家超市购买都一样;当10k <时，去时，去B 超市购买更合算
（2）当12k =时，购买n 副球拍应配12n 个乒乓球 若只在A 超市购买,则费用为()0.9201228.8n n n += 元 若只在B 超市购买,则费用为()2012329n n n +-=元
若在B 超市购买n 副球拍，然后再在A 超市购买不足的乒乓球，则费用为
()200.912328.1n n n +-=
显然28.128.829n n n <<所以最省钱的购买方案是在B 超市购买n 副球拍，然后再在A
超市购买不足的乒乓球
20、（本小题12分）如图1已知O 是锐角∠XAY 的边AX 上的动点，以点O 为圆心,R 为半径的圆与射线AY 切于点B ，交射线OX 于点C ．连结BC ，作CD ⊥BC ，交AY 于点D ． (1）求证：△ABC ∽△ACD ；
（2）若P 是AY 上一点，AP =4，且sinA =3
5，
① 如图2,当点D 与点P 重合时，求R 的值；
② 当点D 与点P 不重合时，试求PD 的长(用R 表示）．
（1）证明:∵⊙O 切AY 于点B ，
∴OB ⊥AB ．
∴∠OBC=90°—∠CBD ． ∵CD ⊥BC ，
∴∠ADC=90°-∠CBD ． ∴∠ADC=∠OBC ．
又在⊙O 中，OB=OC =R ， ∴∠OBC=∠ACB ． ∴∠ACB=∠ADC ． 又∠A=∠A ，
∴△ABC ∽△ACD ．—————-----—--4分
（2）解：①由已知，sinA=
5
3
,又OB=OC=R ，OB ⊥AB, ∴在Rt △AOB 中,sinA=
5
3
=AO OB ∴R AO 35=,R AB 34
=
∴R AC 3
8
=，--—-—-—--———--—-——-—
-6分
∵△ABC ∽△ACD
∴
AD
AC
AC AB = ∴R AD 316= ∴4
3=R ———--——--—-—-—---——--—-—---8分
②当点D 与点P 不重合时，有以下两种可能： (i ）若点D 在线段AP 上
PD=AP-AD=4-
R 3
16 （ii)若点D 在射线PY 上
PD=AD-AP=
R 3
16
—4 图2
图1
又当点D 与点P 重合,即4
3=
R 时,PD=0,
故在题设条件下，总有PD=
43
16
-R -----————----————----—--———12分 21、（本小题12分）如图,已知：正方形ABCD 中,AB=8,点O 为边AB 上一动点，以点O 为圆心，OB 为半径的⊙O 交边AD 于点E （不与点A 、D 重合）,EF ⊥OE 交边CD 于点F ．设BO=x ，AE=y ．
（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
（2）在点O 运动的过程中,△EFD 的周长是否发生变化？如果发生变化，请用x 的代数式表示△EFD 的周长;如果不变化，请求出△EFD 的周长；
（3）以点A 为圆心，OA 为半径作圆，在点O 运动的过程中，讨论⊙O 与⊙A 的位置关系，并写出相应的x 的取值范围．
解：（1）∵以点O 为圆心，OB 为半径的⊙O 交边AD 于点E ，
∴OB=OE ，∵四边形ABCD 是正方形,
∴∠A=90°， ∴AO 2+AE 2=OE 2，即(8—x)2+y 2=x 2
, ∵y ＞0， ∴ -————- 3分 （2)△EFD 的周长不变．-—-——- 4分 理由如下:
∵EF ⊥OE ， ∴∠AEO+∠DEF=90°，
∵∠D=∠A=90°，∴∠AEO+∠AOE=90°-—-———5分, ∴∠DEF=∠AOE ，
∴△AOE ∽△DEF ，————-- 6分
AOE DEF
C AO C
ED ∴
=
,，888DEF y x
C y +-=
-
()()222
6481686416888DEF
x x x y C
x x x
⎡⎤-----⎣⎦∴==
==---.。

..7分 （3）设⊙O 的半径R 1=x ，则⊙A 的半径R 2=8-x ，圆心距d=OA=8—x ，
∵4＜x ＜8, ∴R 1＞R 2，
因为点A 始终在⊙O 内，所以外离和外切都不可能；
①_x0001_ 当⊙O 与⊙A 相交时,R 1—R 2＜d ＜R 1+R 2，即x-8+x ＜8-x ＜x+8-x ，——-—--8
分
解得：16
03x <<
—--——— 9分
故可得此时：1643x <<
②当⊙O 与⊙A 内切时,d=R 1—R 2，即8—x=x-8+x ， 解得：
16
3x =
--—— 10分
③当⊙O 与⊙A 内含时,0＜d ＜R 1—R 2，即0＜8-x ＜x-8+x,解得：16
8
3x <<—- 12分
22、（本小题12分)如图,已知抛物线m x x y +--=32经过点C(－2,6）， 与x 轴相交于A 、B 两点（A 在B 的左侧)，与y 轴交于点D ． (1)求点A 的坐标；
(2）设直线BC 交y 轴于点E ，连接AE 、AC ，求证：AEC △是等腰直角三角形; (3)连接AD 交BC 于点F ，试问当14<<-x 时，在抛物线上是否存在一点P 使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与ABF △相似？若存在， 请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵抛物线经过点C(－2，6）
∴
∴
∴
∴当，
,
.。

.。

.3分
（2)证明：设直线BC 的函数解析式为y=kx+b ， 由题意得： k b 0 2k b 6+=⎧⎨-+=⎩ ，解得： k 2 b 2
=-⎧⎨=⎩。

∴直线BC 的解析式为y=－2x+2． ————-— 5分 ∴点E 的坐标为（0，2）。

∴()()222 2 2 2 AE AO OE 4225CE 206225=+=+==
--+-=，。

∴AE=CE.——-——- 7分
又∵
∴ —-———— 6分 ∴△AEC 为等腰直角三角形——————7分
（3）在抛物线上存在点P 使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与ABF △相似。

——-——- 8分 理由如下：
设直线AD 的解析式为y=k 1x+b 1,则 1114k b 0 b 4
-+=⎧⎨=⎩,解得：
11
k 1 b 4=⎧⎨=⎩。

∴直线AD 的解析式为y=x+4。

联立直线AD 与直线BC 的函数解析式可得: y x 4 y 2x 2
=+⎧⎨=-+⎩，
解得：2 x 310 y 3⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。

∴点F 的坐标为（21033
- ， ）.
则()222221055210102BF 10AF 41 0333333⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫=--+-==---+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭
，. 又∵AB=5,()()22BC 2160 3 5=--+-=，
∴BF 5AB 5AB 3BC 3== ，。

∴BF AB AB BC
=。

又∵∠ABF=∠CBA,∴△ABF∽△CBA。

∴当点P 与点C 重合时,以A 、B 、P 为顶点的三角形与ABF △相似.——————10分 又∵抛物线关于直线对称
当点P 与点C 的对称点重合时，以A 、B 、P 为顶点的三角形也与ABF △相似。

∴当点P 的坐标为（-2，6）或（-
时,以A 、B 、P 为顶点的三角形也与ABF △相似。

———-—— 12分。