启发式教学应找准学生的“最近发展区”

摘要：课堂教学只有以学生的现有发展水平为基础，以“最近发展区”为定向，才能有效的促进学生的发展。

所以，数学教学应当充分发挥学生现有发展水平的积极作用，在学生的“最近发展区”上去帮助学生解决认知矛盾，促成学生的“最近发展区”向现实发展水平转化，激发学生的求知欲，经过他们主动积极的探索而获取知识，发展能力。

本文以一个案例对此加以浅议
关键词：最近发展区课堂教学椭圆（双曲线）第二定义
前苏联心理学家维果斯基认为，学生的发展水平可以区分为两种，一种是“现有发展区”，它是评定学生已经达到的发展程度（水平层次和范围）、现有发展特点的依据，这是课堂教学的出发点；第二种是“最近发展区”，它是一种潜在的、可能的发展水平，是经过教师的启发指导和学生的努力所能够达到的发展水平，这是课堂教学所应该努力追求的目标。

教学只有以学生的现有发展水平为基础，以“最近发展区”为定向，才能有效的促进学生的发展。

所以，数学教学应当充分发挥学生现有发展水平的积极作用，在学生的“最近发展区”上去帮助学生解决认知矛盾，促成学生的“最近发展区”向现实发展水平转化,要使学生经常处于“跳一跳摘果子的状态”，既使学生感到负荷满，有适当的紧张感，又使学生感到压力不太大，问题可以解决，从而激发学生的
求知欲，经过他们主动积极的探索而获取知识，发展能力。

下面是我的一个教学案例：
在普通高中课程标准实验教科书人教A 版《数学》（选修2-1）第二章第二节进行椭圆定义教学时，课本上把第一定义安排在授课内容中，而把第二定义安排在课本阅读材料中，让学生借助信息技术用《几何画板》探究：“点),(y x M 与定点)0,(c F 的距离和它到定直线c a x l 2
:=的距离的比是常数)0(>>c a a c ，求点M 的轨迹。

”
学生根据题意求出点M 的轨迹方程后再结合椭圆标准方程便可给出椭圆的第二定义：若点),(y x M 与定点)0,(c F 的距离和它到定直线c a x l 2:=的距离的比是常数)0(>>c a a
c ，则点M 的轨迹是一个椭圆（图1）.其中)0,(c F 叫椭圆的右焦点，直线c a x l 2:=叫椭圆的右准线.
但多数学生对此定义感到不解与困惑，产生疑问：“怎么想到用这种方式给椭圆下定义呢？”
通过对学生的调查和自己的反思，使我认识到：学生对第二定义之所以感到突然，陌生，主要原因是第一定义已经
图1
占据学生的脑海，只要提起椭圆定义，立马呈现的是第一定义，这种现象在心理学上称为“功能固着”。

为了使学生更容易接受椭圆第二定义，我对教学设计做了如下调整：
回归椭圆第一定义，从椭圆第一定义出发释疑解难： 如图2，以经过椭圆两焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy .
设),(y x M 是椭圆上的任意一点，椭圆的焦距为)0(2>c c ，M 与1F 和2F 的距离的和等于常数a 2（c a 22>），1F 和2F 的坐标分别是)0,(c -和)0,(c ，则椭圆就是集合{}a MF MF M P 2|2
1=+=。

因为 221)(y c x MF ++=，222)(y c x MF +-=
所以 a y c x y c x 2)()(2222=+-+++。

① 不妨把方程①中的项22)(y c x +-移到右边、然后两边平方，整理得
222)(y c x a cx a +-=-，②
下面对②式从两个方面化简：
思路一：
图2
将②式两边再同时平方（课本所给方法），并化简，得
)()(22222222c a a y a x c a -=+-
两边同除以)(222c a a -，得
1222
22=-+c
a y a x 由c a 22>，即c a >知22c a >，令222c a
b -=，则有
122
22=+b
y a x )0(>>b a 这便是（焦点在x 轴上的）椭圆的标准方程.
思路二：
不再将②式两边同时平方，而是将②式左边的系数c 提出，得
2
22
)()(y c x a x c a c +-=-
化为
2
22
)()(y c x x c a a c +-=- 由于22)(,,y c x c a +-都为正数，则有
)0()(2
22>>=-+-c a a c c
a x y c x . 这是一个非常具有鲜明几何意义的式子，即：动点),(y x M 到
定点)0,(c F 的距离2
2)(y c x +-与它到定直线c a x 2=的距离c a x 2-的比是常数)0(>>c a a
c .如此便很自然的引入椭圆的第
二定义。

这样就帮助学生解决了认知中的困惑，找到了实施椭圆第二定义教学的最佳方法。

类似的，在实施双曲线第二定义教学时，可同样采用此方法：
如图3，以经过双曲线两焦点21,F F 的直线为x 轴，线段
21F F 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy .
设),(y x M 是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距为)0(2>c c ，M 与1F 和2F 的距离的差的绝对值等于常数a 2（a c 22>），1F 和2F 的坐标分别是)0,(c -和)0,(c ，则双曲线就是集合{}a MF MF M P 2|21=+=。

因为 221)(y c x MF ++=，222)(y c x MF +-=
所以 a y c x y c x 2)()(2222±=+--++。

③
把方程③移项、两边平方，整理得
222)(y c x a cx a +-±=-，④
不再将④式两边同时平方，而是将④式左边的系数c 提出，得
2
22
)()(y c x a x c
a c +-±=-
化为
2
22
)()(y c x x c a a c +-±=- 由于22)(,,y c x c a +-都为正数，则有)0()(2
2
2>>=-+-a c a c c
a x y c x . 这同样是一个非常具有鲜明几何意义的式子，即：动点
),(y x M 到定点)0,(c F 的距离2
2)(y c x +-与它到定直线c a x 2
=的距离c
a x 2-的比是常数)0(>>a c a c .(图4)
两点反思： 第一、“最近发展区”是以隐性的方式客观存在于每个学生的思维之中的。

在以“自主、探究、合作”为主的新的学习方式下，教师必须研究学生的“最近发展区”，要多与学生交流，了解学生的心理特征和已有认知水平，以便从中及时获取信息，及时调整自己的教学。

依据“最近发展区”，设置问题，创设情景，反映相关数学内容的本质，让学生更好的进入角色，激发学生的学习兴趣，使学生积极主动的投入到学习中，真正实现教学过程以教师为主导，学生为主体，由“要学生学”转向“学生要学”。

图4
第二、教师对学生在课堂上的“疑问”不能草率处理，或置之不理，而只按自己事先备好的教案讲解，这样会极大的挫伤学生主动学习的积极性。

教师应倡导民主教学，鼓励学生课堂发问、质疑，并善待学生的提问，灵活的调整自己的教学设计，找准学生的“最近发展区”，引导学生自主学习，实现教学相长。

参考文献：普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修2-1），人民教育出版社，A版.。