人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试(含答案解析)(2)

一、选择题
1．若对(0,)t ∀∈+∞，都有22
(1)3x t x t
+<
+成立，则x 的取值范围是（ ） A ．()2,6-
B ．(,3)
(2,6)-∞--
C ．(,3)(2,)-∞-⋃-+∞
D ．(,3)(2,)-∞-⋃-+∞
2．现有以下结论： ①函数1
y x x
=+
的最小值是2； ②若a 、b R ∈且0ab >，则
2b a
a b
+≥；
③
y =2；
④函数()4
230y x x x
=-->的最小值为2-. 其中，正确的有（ ）个
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A ．2
2
2a b ab +>
B ．a b +≥
C ．11
a b +>D ．
2b a
a b
+≥ 4．已知函数()24x x a
f x x
++=，若对于任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，则实数a
的取值范围为（ ）
A ．[)5,+∞
B ．()5,-+∞
C ．()5,5-
D ．[]5,5-
5．对于任意实数x ，不等式210ax ax -+>恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(]0,4
B ．[)0,4
C ．(]
[),04,-∞+∞ D ．()(),04,-∞+∞
6．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中； 乙预测说：我不会获奖，丙获奖 丙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丁预测说：乙的猜测是对的
成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（） A ．甲和丁 B ．乙和丁 C ．乙和丙 D ．甲和丙
7．下列命题中是真命题的是（ ）
A ．
y =的最小值为2；
B ．当a ＞0，b ＞0时，
11
4a b
++； C ．若a 2+b 2=2，则a +b 的最大值为2；
D ．若正数a ，b 满足2,a b +=则
11+4+22
a b +的最小值为1
2.
8．对于实数a 、b 、m ，下列说法：①若22am bm >，则a b >；②若a b >，则
a a
b b ；③若0b a >>，0m >，则
a m a
b m b
+>+；④若0a b >>且ln ln a b =，
则2a b +的最小值是，正确的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．下列结论不正确的是（ ） A ．若a b >，0c >，则ac bc > B ．若a b >，0c >，则
c c a b
> C ．若a b >，则a c b c +>+ D ．若a b >，则a c b c ->-
10．若,,a b c 为实数，则下列命题错误的是( )
A ．若22ac bc >，则a b >
B ．若0a b <<，则22a b <
C ．若0a b >>，则
11a b
< D ．若0a b <<,0c d >>，则ac bd < 11．已知3x >，1
3
y x x =+-，则y 的最小值为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
12．已知0x >，0y >，23x y +=，则23x y
xy
+的最小值为（ ）
A ．3-
B ．1
C 1
D 1
参考答案
二、填空题
13．正数a ，b 满足
19
1a b
+=，若不等式2414a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是_______．
14．已知实数,a b 满足01,01a b <<<<，若1a b +=，则11(1)(1)a b
++的最小值为__________．
15．已知a 、b 、c 为正实数，则代数式
938432a b c
b c c a a b
+++++的最小值是_________. 16．设0b >，2
1a b -=，则2
42a a b
+的最小值为_________.
17．某企业开发一种产品，生产这种产品的年固定成本为3600万元，每生产x 千件，需投入成本c （x ）万元，c （x ）＝x 2+10x ．若该产品每千件定价a 万元，为保证生产该产品不亏损，则a 的最小值为_____．
18．已知32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________. 19．已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则23
a b
+的最小值为__________.
20．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120,ABC ABC ∠=︒∠的平分线交
AC 于点D ，且1BD =，则9a c +的最小值为________．
参考答案
三、解答题
21．设全集U =R ，集合2A={x|x -4x-12<0}，B={x|(x-a)(x-2a)<0}． （1）当a=1时，求集合U
A B ⋂
；
（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．
22．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且
222cos 2sin 2a c b B
ac A +-=
． (1)求角A ；
(2)若2a =，求ABC ∆的面积的最大值．
23．已知不等式2(1)(2)60a x b x ---+≥的解集为{}
31x x -≤≤ （1）求,a b 的值.
（2）求不等式2
(2)40amx bm x -++<的解集
24．已知正数,,a b c 满足3a b c ++=. （Ⅰ）若221a b +=，求c 的取值范围； （Ⅱ）求证：
3bc ac ab a b c
++≥.
25．设a ，b 为实数，比较22a b +与1ab a b ++-的大小．
26．当a 为何值时，不等式22(1)(1)10a x a x ----<的解集是全体实数？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
首先利用基本不等式得到2(1)4t t +≥，再根据题意得到2
43
x x <+，解不等式即可.
【详解】
令()2
(1)t t t f +=，()0,t ∈+∞，
()2)2(11t t f t t t
==+++，
因为()0,t ∈+∞，所以()1
224f t t t
=++≥=， 当1t t
=即1t =时取等号，
又因为(0,)t ∀∈+∞，都有22(1)3x t x t +<+，所以2
43x x <+即可.
由243x x <+得()243033x x x x +-<++，即2412
03
x x x --<+， ()()2
41230x
x x --+<，所以()()()6230x x x -++<，
解得3x <-或26x -<<. 故选：B. 【点睛】
易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2．B
解析：B
【分析】
取0x <，可判断①的正误；利用基本不等式可判断②③④的正误. 【详解】
对于①，当0x <时，1
0y x x
=+
<，①错误；
对于②，若a ，b R ∈且0ab >，说明
0b a >，0a b >，则2b a a b +≥=，当且仅当22a b =时取等号，显然成立，②正确；
对于③，
2y =
≥=，
=231x +=，显然这样的x 不存在，所以结论不正
确，③错误；
对于④，因为0x >，所以4
3x x
+≥
函数()4
230y x x x
=-->的最大值为2-，所以结论不正确，④错误. 故选：B. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3．D
解析：D 【分析】
利用基本不等式的性质来逐一判断正误即可. 【详解】
对于A ，222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立，故A 错误；
对于B 、C ，虽然0ab >，只能说明,a b 同号，若,a b 都小于0时，则不等式不成立，故B ，C 错误；
对于D ，0ab >，,0b a
a b
∴>，2b a a b ∴+≥，当且仅当a b =时，等号成立，故D 正
确； 故选：D. 【点睛】
易错点睛：本题考查基本不等式的相关性质，利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正、二定、三相等，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.
4．B
解析：B 【分析】
根据条件将问题转化为“24a x x >--在[)1,+∞上恒成立”，再根据()
2
max
4a x x
>--求解
出a 的范围. 【详解】
因为对于任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，所以240x x a ++>对[)1,x ∈+∞恒成立， 所以(
)
2
max
4a x x
>--，[)1,x ∈+∞，
又因为2
4y x x =--的对称轴为2x =-，所以2
4y x x =--在[)1,+∞上单调递减， 所以()
()2
max
4145x x --=--=-，所以5a >-，
故选：B. 【点睛】
方法点睛：一元二次不等式在指定区间上恒成立求解参数范围问题的处理方法： （1）分类讨论法：根据参数的临界值作分类讨论；
（2）分离参数法：将自变量和参数分离开来，自变量部分构造新函数，分析新函数的最值与参数的大小关系.
5．B
解析：B 【分析】
讨论0a =和0a ≠情况，再根据一元二次不等式与二次函数的关系，解不等式得解. 【详解】 关于x 的不等式2
10ax ax -+>恒成立，
当0a =时，10>恒成立，满足题意
当0a ≠时，即函数()2
1f x ax ax =-+恒在x 轴上方即可， 所以0
a >⎧⎨
∆<⎩，即2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<，
所以实数a 的取值范围是[0,4). 故选：B 【点睛】
本题考查了一元二次不等式恒成立求参数的取值范围，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.
6．B
解析：B
【分析】
从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断
【详解】
若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁
答案选B
【点睛】
真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证
7．B
解析：BCD
【分析】
利用基本不等式分别判断A、B、D选项，C
选项可设,
a b
αα
==，利用三角
函数的值域求范围.【详解】
A选项，222
x+≥
0 >，
∴2
y=≥=
=，即221
x+=±时成立，又222
x≥
+，故A错；
B选项，当a＞0，b＞0
时，
11
24
a b
+++≥⨯=，
当且仅当1
a b
=
⎧
=
，即1
a b
==时等号成立，B正确；
C
选项，设,
a b
αα
==
，则
2sin2
4
a b
π
ααα⎛⎫
+==+≤
⎪
⎝⎭
，
C正确；
D选项，2
a b
+=，()
21
21
92
a b
⎡⎤
⎛⎫
∴+++=
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
，
则
()
1
212522
2
929
1111
++
4+22442
+22
42
a b a b
a
b
a b
a b
⎛⎫
+
⎪
⎡⎤+
⎛⎫⎛⎫
+++=⨯++
⎪
⎪ ⎪
⎢⎥++
⎝⎭⎝
=
+⎣+⎭
⎦ ⎪
⎝⎭
251942⎛ ≥⨯+= ⎝
⎭
，当且仅当122422a b a b ++=++且2a b +=时等号成立，解得1a b ==，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】
本题考查基本不等式的应用、利用三角函数的值域求范围，注意取等号的条件，属于中档题.
8．C
解析：C 【解析】
分析：由不等式性质对其判定 详解：对于①，若22am bm >，
20m >，则a b >，故正确
对于②，若a b >，则a a b b >，正确 对于③，若0b a >>，0m >，则
a m a
b m b
+>+，故正确 对于④，若0a b >>且lna lnb =，则1ab =，1b a
=
1
22a b a a
∴+=+
≥当12a a =
时等号成立，即1a =< 这与a b >矛盾，故错误 综上所述，正确的个数为3 故选C
点睛：由不等式性质对其判定，若能举出反例即可判断其错误，注意数值的符号，对于④中利用基本不等式求出最小值需要满足一正二定三相等，本题在取等号时是取不到的，故错误．
9．B
解析：B 【分析】
根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】
对于A 选项，不等式两边乘以一个正数，不等号不改变方程，故A 正确.对于B 选项，若
2,1,1a b c ===，则
c c
a b
<，故B 选项错误.对于C 、D 选项，不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号方向不改变，故C 、D 正确.综上所述，本小题选B.
【点睛】
本小题主要考查不等式的性质，考查特殊值法解选择题，属于基础题.
10．B
解析：B 【分析】
由题意利用不等式的性质逐一考查所给的四个选项中的结论是否正确即可.其中正确的命题可以用不等式的性质进行证明，错误的命题给出反例即可. 【详解】
对于A ，若2
2
ac bc >，则0c ≠，22
22ac bc c c
>，即a b >，故正确；
对于B ，根据不等式的性质，若0a b <<，不妨取2,1a b =-=-，
则22a b >，故题中结论错误；
对于C ，若0a b >>，则a b ab ab
>，即11a b <，故正确；
对于D ，若0a b <<,0c d >>，则0a b ->->，故ac bd ->-，ac bd <，故正确.
故选B. 【点睛】
本题主要考查不等式的性质及其应用，属于中等题.
11．D
解析：D 【分析】
由3x >，得到30x ->，化简11
3333
y x x x x =+=-++--，结合基本不等式，即可求解. 【详解】
因为3x >，所以30x ->，
则11333533y x x x x =+
=-++≥=--， 当且仅当1
33
x x -=-，即4x =时取等号， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”的条件，合理运算是解得的关键，着重考查推理与运算能力.
12．B
解析：B 【分析】
把要求的式子变形为21x y y x
++，再利用基本不等式求得它的最小值． 【详解】
已知0x >，0y >，23x y +=，
则
22223(2)2221211x y x x y y x xy y x y x y
xy xy xy y x y x
+++++===+++=，
当且仅当22
2x y = 时，即当3x =-，且y ，等号成立，
故23x y xy
+的最小值为1+
故选：B ． 【点睛】
本题考查基本不等式的运用，考查常数代换法，注意最值取得的条件，考查运算能力，属于中档题．
二、填空题
13．【分析】将不等式对任意实数x 恒成立转化为利用基本不等式求出的最小值可得即求出的最大值即可【详解】解：不等式对任意实数x 恒成立则又当且仅当即时等号成立又故答案为：【点睛】方法点睛：含参数的一元二次不等 解析：2m ≥
【分析】
将不等式2414a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立转化为
()2min 414a b x x m +≥-++-，利用基本不等式求出+a b 的最小值，可得
241416x x m -++-≤，即242m x x ≥-+-，求出242x x -+-的最大值即可．
【详解】
解：不等式2414a b x x m +≥-++-对任意实数x 恒成立， 则()2
min 414a b x x m +≥-++-，
又()199101016a a b a b a b a b b ⎛⎫
+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
，
当且仅当
9b a
a b
=，即4,12a b ==时等号成立， 241416x x m ∴-++-≤， 242m x x ∴≥-+-，
又()2
242222x x x -+-=-+≤-，
2m ∴≥．
故答案为：2m ≥．
方法点睛：含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单．
14．9【分析】应用基本不等式求得最小值【详解】∵若∴当且仅当时等号成立故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各项必须为正数；（2）二 解析：9
【分析】
应用基本不等式求得最小值．
【详解】
∵01,01a b <<<<，若1a b +=， ∴211111122(1)(1)111192a b a b b a ab ab ab ab a b +++=+++=++=+≥+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭．当且仅当12
a b ==时等号成立． 故答案为：9．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
15．【分析】先由题意令得到代入所求式子化简整理根据基本不等式即可求出结果【详解】因为abc 为正实数不妨令则所以当且仅当即即时等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三 解析：4748
【分析】
先由题意，令38432b c x c a y a b z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，得到111386131216411161612a x y z b x y z c x y z ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩
，代入所求式子，化简整理，根据基本不等式，即可求出结果.
因为a 、b 、c 为正实数，不妨令38432b c x c a y a b z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则111386131216411161612a x y z b x y z c x y z ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩
， 所以11113139393
862164216438432x y z x y z x y z a b c b c c a a b x y z
-++-++-++=+++++ 1339338621642164
y z x z x y x x y y z z =-+++-+++- 6139488262164y x z x y z x y x z z y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-
++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
61474848
≥-+=， 当且仅当823629164y x x y z x x z
y z z y ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩
，即::1:2:3x y z =，即::10:21:1a b c =时，等号成立. 故答案为：
4748
. 【点睛】
易错点睛：
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 16．4【分析】两次应用基本不等式验证等号能同时成立即得【详解】由题意当且仅当即时上述不等式中等号同时成立故答案为：4【点睛】本题考查了基本不等式求最值考查了运算求解能力逻辑推理能力在连续运用基本不等式求 解析：4
【分析】
两次应用基本不等式，242a a b +≥12b b +≥，验证等号能同时成立即得． 【详解】
由题意211a b =+≥，
2442a a b +≥===≥， 当且仅当2142b b a
a b
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21a b =⎧⎨=⎩时上述不等式中等号同时成立． 故答案为：4．
【点睛】
本题考查了基本不等式求最值，考查了运算求解能力，逻辑推理能力，在连续运用基本不等式求最值时，要注意等号能否同时成立．
17．130【分析】本题先根据题意建立函数与不等式关系再运用参变分离化简最后运用基本不等式求最值即可【详解】解：有题意建立利润函数关系：（）整理得：为保证生产该产品不亏损则（）即当且仅当即取最小值130此 解析：130
【分析】
本题先根据题意建立函数与不等式关系，再运用参变分离化简，最后运用基本不等式求最值即可.
【详解】
解：有题意建立利润函数关系：2()(103600)f x ax x x =-++，（0x >） 整理得：2()(10)3600f x x a x =-+--，
为保证生产该产品不亏损，则2()(10)36000f x x a x =-+--≥，（0x >）
即36001010130a x x ≥++≥=， 当且仅当3600x x
=
即60x =，a 取最小值130，此时产品不亏损 故答案为：130.
【点睛】 本题考查函数与不等式关系、参变分离法，基本不等式解决实际问题中的最值问题，是基础题.
18．【分析】由题意可得利用基本不等式可求得的最小值由此可求得实数的取值范围【详解】由于不等式对任意实数恒成立则由基本不等式可得当且仅当时即当时等号成立所以因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查利
解析：(),1-∞
【分析】
由题意可得3231x x k -<+⋅-，利用基本不等式可求得3231x x -+⋅-的最小值，由此可求得实数k 的取值范围.
【详解】
由于不等式32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则3231x x k -<+⋅-，
由基本不等式可得323111x x -+⋅-≥=，
当且仅当323x x -=⋅时，即当31log 22
x =时，等号成立，所以，1k <，
因此，实数k 的取值范围是(),1-∞.
故答案为：()
,1-∞.
【点睛】
本题考查利用基本不等式求解不等式恒成立问题，考查参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题. 19．【分析】函数求导由切线方程可得再利用基本不等式求得最值【详解】的导数为由切线的方程可得切线的斜率为1可得切点的横坐标为切点为代入得为正实数则当且仅当即时取得最小值故答案为：【点睛】本题考查导数的运算
解析：5+【分析】
函数求导，由切线方程y x a =-可得1a b +=，再利用基本不等式求得最值.
【详解】
ln()y x b =+的导数为1y x b
'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1b -，切点为(1,0)b -，
代入y x a =-，得1a b +=，
,a b 为正实数，
则2323233()()2355b a a a b a b a b a b b
+=++=+++≥+=+
当且仅当a =，即2,3a b ==5+.
故答案为：5+
【点睛】 本题考查导数的运算、导数的几何意义及基本不等式求最值，属于基础题.
20．【分析】先根据三角形面积关系列等量关系再根据基本不等式求最值【详
解】因为所以因此当且仅当即时取等号即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查三角形面积公式利用基本不等式求最值考查综合分析求解能力属中档题 解析：16
【分析】
先根据三角形面积关系列,a c 等量关系，再根据基本不等式求最值.
【详解】
因为ABC ABD BDC S
S S =+, 所以11111sin1201sin 601sin 601222ac a c a c
=⨯⨯+⨯⨯∴+=
因此1199(9)()101016c a a c a c a c a c +=++=+
+≥+= 当且仅当911,1c a a c a c =+=即44,3
a c ==时取等号 即9a c +的最小值为16
故答案为：16
【点睛】
本题考查三角形面积公式、利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无。