2019届北师大版高三数学(理)复习学案：学案16 定积分及其简单的应用(含答案)

学案16 定积分及其简单的应用
导学目标： 1.以求曲边梯形的面积和汽车变速行驶的路程为背景准确理解定积分的概念.2.理解定积分的简单性质并会简单应用.3.会说出定积分的几何意义，能根据几何意义解释定积分.4.会用求导公式和导数运算法则，反方向求使F′(x)＝f(x)的F(x)，并运用牛顿—莱布尼茨公式求f(x)的定积分.5.会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积.6.能熟练运用定积分求变速直线运动的路程.7.会用定积分求变力所做的功．
自主梳理
1．定积分的几何意义：如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么函数f(x)在区间[a，b]上的定积分的几何意义是直线________________________所围成的曲边梯形的________．2．定积分的性质
(1)ʃb a kf(x)dx＝__________________ (k为常数)；
(2)ʃb a[f1(x)±f2(x)]dx＝_____________________________________；
(3)ʃb a f(x)dx＝_______________________________________.
3．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做__________________，为了方便，我们常把F(b)－F(a)记成__________________，即ʃb a f(x)dx＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．
4．定积分在几何中的应用
(1)当x∈[a，b]且f(x)>0时，由直线x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S ＝__________________.
(2)当x∈[a，b]且f(x)<0时，由直线x＝a，x＝b (a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S ＝__________________.
(3)当x∈[a，b]且f(x)>g(x)>0时，由直线x＝a，x＝b (a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝______________________.
(4)若f(x)是偶函数，则ʃa－a f(x)dx＝2ʃa0f(x)dx；若f(x)是奇函数，则ʃa－a f(x)dx＝0.
5．定积分在物理中的应用
(1)匀变速运动的路程公式
做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a，b]上的定积分，即________________________．
(2)变力做功公式
一物体在变力F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向从x＝a移动到x＝b (a<b)(单位：m)，则力F所做的功W＝__________________________.
自我检测
1．计算定积分ʃ503xdx的值为 ( )
A.75
2
B．75
C.25
2
D．25
2．定积分ʃ10[1－－2－x]dx等于 ( )
A.π－2
4
B.
π
2
－1
C.π－1
4
D.
π－1
2
3．如右图所示，阴影部分的面积是 ( )
A ．2 3
B ．2－ 3
C.32
3
D.353
4．(2018·湖南)ʃ421
x
dx 等于 ( )
A ．－2ln 2
B ．2ln 2
C ．－ln 2
D ．ln 2
5．若由曲线y ＝x 2＋k 2
与直线y ＝2kx 及y 轴所围成的平面图形的面积S ＝9，则k ＝
________.
探究点一 求定积分的值 例1 计算下列定积分：
(1)
21
11
()e
x dx x x
+
+⎰； (2)2
sin 2cos )x x dx π
-⎰
（
； (3)ʃπ0(2sin x －3e x
＋2)dx ； (4)ʃ20
|x 2
－1|dx.
变式迁移1 计算下列定积分：
(1)ʃ2π0|sin x|dx ；(2)ʃπ0sin 2
xdx.
探究点二 求曲线围成的面积
例2 计算由抛物线y ＝12
x 2和y ＝3－(x －1)2
所围成的平面图形的面积S.
变式迁移2 计算曲线y ＝x 2
－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．
探究点三 定积分在物理中的应用
例3 一辆汽车的速度－时间曲线如图所示，求此汽车在这1 min 内所行驶的路程．
变式迁移3 A 、B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段速度为1.2t m/s ，到C 点时速度达24 m/s ，从C 点到B 点前的D 点以匀速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速
度为(24－1.2t)m/s ，在B 点恰好停车，试求：
(1)A 、C 间的距离； (2)B 、D 间的距离；
(3)电车从A 站到B 站所需的时间．
函数思想的应用
例 (12分)在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2
.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2
之和最小，并求最小值．
【答题模板】
解 S 1面积等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t·t 2
－ʃt 0x 2
dx ＝23
t 3.[2分]
S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝ʃ1
t
x 2dx －t 2
(1－t)＝23t 3－t 2＋13
.[4分]
所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2
＋13
(0≤t≤1)．[6分]
令S′(t)＝4t 2
－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －12＝0时，得t ＝0或t ＝12.[8分]
t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝2
3.[10分]
所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为1
4
.[12分]
【突破思维障碍】
本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查学生知识的迁移能力和导数的应用意识．
1．定积分ʃb a
f(x)dx 的几何意义就是表示由直线x ＝a ，x ＝b (a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)围成的曲边梯形
的面积；反过来，如果知道一个这样的曲边梯形的面积也就知道了相应定积分的值，如ʃ20
4－x 2
dx ＝π (半径为2的14个圆的面积)，ʃ2－2
4－x 2
dx ＝2π. 2．运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差． 3．计算一些简单的定积分问题，解题步骤是：第一步，把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数积的和或差；第二步，把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；第三步，分别用求导公式找到一个相应的使F′(x)＝f(x)的F(x)；第四步，再分别用牛顿—莱布尼茨公式求各个定积分的值后计算原定积分的值．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列值等于1的积分是 ( )
A ．ʃ10xdx
B ．ʃ1
0(x ＋1)dx
C ．ʃ1012
dx
D ．ʃ1
01dx
2．(2018·汕头模拟)设函数f(x)＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋1，0≤x≤1，
3－x ，1<x≤2，则ʃ2
0f(x)dx 等于 ( )
A.13
B.17
6 C ．6 D ．17
3．已知f(x)为偶函数且ʃ60f(x)dx ＝8，则ʃ6
－6f(x)dx 等于 ( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16
4．(2018·深圳模拟)曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π
2
所围成的平面区域的面积为
( )
A ．ʃπ
20(sin x －cos x)dx
B ．2ʃπ
40(sin x －cos x)dx
C ．ʃπ
20(cos x －sin x)dx
D ．2ʃπ
4
0(cos x －sin x)dx
5．(2018·临渭区高三调研)函数f(x)＝ʃx
0t(t －4)dt 在[－1,5]上 ( ) A ．有最大值0，无最小值
B ．有最大值0，最小值－32
3
C ．有最小值－32
3
，无最大值
D
6．若1 N 的力使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力做的功为__________J.
7．ʃ10(2x k
＋1)dx ＝2，则k ＝________.
8．(2018·山东实验中学高三三诊)若f(x)在R 上可导，f(x)＝x 2＋2f′(2)x＋3，则ʃ3
0f(x)dx ＝________. 三、解答题(共38分)
9．(12分)计算以下定积分：
(1)ʃ21⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x dx ； (2)ʃ32⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2dx ； (3)ʃπ30(sin x －sin 2x)dx ； (4)ʃ2
1|3－2x|dx.
10．(12分)设y ＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x －2. (1)求y ＝f(x)的表达式；
(2)求y ＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．
11．(14分)求曲线y ＝e x
－1与直线x ＝－ln 2，y ＝e －1所围成的平面图形的面积．
答案 自主梳理
1．x ＝a ，x ＝b (a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x) 面积
2．(1)k ʃb a f(x)dx (2)ʃb a f 1(x)dx±ʃb a f 2(x)dx (3)ʃc a f(x)dx ＋ʃb
c f(x)dx(其中a<c<b)
3.微积分基本定理 F(x)|b a
4.(1)ʃb a f(x)dx (2)－ʃb a f(x)dx (3)ʃb
a [f(x)－g(x)]dx
5.(1)s ＝ʃb a v(t)dt (2)ʃb
a F(x)dx 自我检测
1．A 2.A 3.C 4.D 5．±3
解析 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝x 2＋k 2
，
y ＝2kx.
得(x －k)2
＝0，
即x ＝k ，
所以直线与曲线相切，如图所示，
当k>0时，S ＝ʃk 0(x 2＋k 2
－2kx)dx
＝ʃk 0(x －k)2dx ＝13(x －k)3|k 0＝0－13(－k)3
＝k 3
3，
由题意知k
33
＝9，∴k ＝3.
由图象的对称性可知k ＝－3也满足题意，故k ＝±3. 课堂活动区
例1 解题导引 (1)与绝对值有关的函数均可化为分段函数． ①分段函数在区间[a ，b]上的积分可分成几段积分的和的形式．
②分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．
(2)f(x)是偶函数，且在关于原点对称的区间[－a ，a]上连续，则ʃa －a f(x)dx ＝2ʃa
0f(x)dx.
解 (1)ʃe 1⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋1x 2dx ＝ʃe 1xdx ＋ʃe 11x dx ＋ʃe 11x
2dx
＝12x 2|e 1＋ln x|e
1－1x |e 1 ＝12(e 2－1)＋(ln e －ln 1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －11 ＝12e 2－1e ＋32. (2)ʃπ
20(sin x －2cos x)dx
＝ʃπ20sin xdx －2ʃπ
2
0cos xdx ＝(－cos x)|π20－2sin x|π
2
＝－cos π2－(－cos 0)－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin π2－sin 0 ＝－1.
(3)ʃπ0(2sin x －3e x
＋2)dx
＝2ʃπ0sin xdx －3ʃπ0e x dx ＋ʃπ
02dx
＝2(－cos x)|π0－3e x |π0＋2x|π
＝2[(－cos π)－(－cos 0)]－3(e π－e 0
)＋2(π－0)
＝7－3e π
＋2π. (4)∵0≤x≤2，
于是|x 2
－1|＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
－1，1<x≤2，1－x 2
，0≤x≤1，
∴ʃ2
0|x 2
－1|dx ＝ʃ1
0(1－x 2
)dx ＋ʃ2
1(x 2
－1)dx
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3|10＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 3－x |2
1＝2. 变式迁移1 解 (1)∵(－cos x)′＝sin x ， ∴ʃ2π0|sin x|dx ＝ʃπ0|sin x|dx ＋ʃ2ππ|sin x|dx ＝ʃπ0sin xdx －ʃ2ππsin xdx
＝－cos x|π0＋cos x|2π
π
＝－(cos π－cos 0)＋(cos 2π－cos π)＝4.
(2)ʃπ0sin 2xdx ＝ʃπ0⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2－12cos 2x dx
＝ʃπ01
2dx －12ʃπ0cos 2xdx
＝12x|π0－12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12sin 2x |π0 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－0－12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12sin 2π－12sin 0 ＝π2
. 例2 解题导引 求曲线围成的面积的一般步骤为：(1)作出曲线的图象，确定所要求的面积；(2)联立方程解出交点坐标；(3)用定积分表示所求的面积；(4)求出定积分的值．
解 作出函数y ＝12
x 2和y ＝3－(x －1)2
的图象(如图所示)，则所求平面图形的面积S 为图中阴影部分的面积．
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝12x 2，y ＝3－－
2
，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2
3，y ＝2
9
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝2.
所以两曲线交点为A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，29，B(2,2)．
所以S ＝ʃ2－23[3－(x －1)2]dx －ʃ2
－2312x 2dx
＝ʃ2－23(－x 2＋2x ＋2)dx －ʃ2
－2312x 2dx
＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2＋2x 2－23－
⎪⎪⎪16x 32－23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－83＋4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫881＋49－43－16×⎝ ⎛⎭
⎪⎫8＋827
＝4
20
27
. 变式迁移2 解
如图，
设f(x)＝x ＋3，
g(x)＝x 2
－2x ＋3，
两函数图象的交点为A ，B ， 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋3，y ＝x 2
－2x ＋3. 得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，y ＝3或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3，
y ＝6.
∴曲线y ＝x 2
－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积
S ＝ʃ3
0[f(x)－g(x)]dx ＝ʃ30[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)dx] ＝ʃ30(－x 2＋3x)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13
x 3＋32x 2|30＝92.
故曲线与直线所围图形的面积为9
2
.
例3 解题导引 用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分，然后求出积分的和，即可得到答案．s(t)求导后得到速度，对速度积分则得到路程．
解 方法一 由速度—时间曲线易知．
v(t)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
3t ，t ∈[0，，30，t ∈[10，
，－1.5t ＋90，t ∈[40，60]，
由变速直线运动的路程公式可得 s ＝ʃ1003tdt ＋ʃ401030dt ＋ʃ60
40(－1.5t ＋90)dt ＝32t 2|100＋30t|40
10＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－34t 2＋90t |6040＝1 350 (m)． 答 此汽车在这1 min 内所行驶的路程是1 350 m.
方法二 由定积分的物理意义知，汽车1 min 内所行驶的路程就是速度函数在[0,60]上的积分，也就是其速度曲线与x 轴围成梯形的面积，
∴s ＝12(AB ＋OC)×30＝1
2
×(30＋60)×30＝1 350 (m)．
答 此汽车在这1 min 内所行驶的路程是1 350 m.
变式迁移3 解 (1)设v(t)＝1.2t ，令v(t)＝24，∴t ＝20.
∴A 、C 间距离|AC|＝ʃ20
01.2tdt
＝(0.6t 2)|200＝0.6×202
＝240 (m)． (2)由D 到B 时段的速度公式为
v(t)＝(24－1.2t) m/s ，可知|BD|＝|AC|＝240 (m)． (3)∵|AC|＝|BD|＝240 (m)，
∴|CD|＝7 200－240×2＝6 720 (m)．
∴C 、D 段用时6 720
24
＝280 (s)．
又A 、C 段与B 、D 段用时均为20 s ， ∴共用时280＋20＋20＝320 (s)． 课后练习区
1．D 2.B 3.D 4.D 5.B 6．0.36
解析 设力F 与弹簧伸长的长度x 的关系式为F ＝kx ， 则1＝k×0.02，∴k ＝50，
∴F ＝50x ，伸长12 cm 时克服弹力做的功
W ＝ʃ0.120
50xdx ＝502x 2|0.120＝502
×0.122
＝0.36(J)． 7．1
解析 ∵ʃ10(2x k
＋1)dx ＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋1x k ＋1＋x 10
＝2k ＋1＋1＝2，∴k ＝1. 8．－18
解析 ∵f′(x)＝2x ＋2f′(2)，∴f′(2)＝4＋2f′(2)，
即f′(2)＝－4，∴f(x)＝x 2
－8x ＋3，
∴ʃ30f(x)dx ＝13
×33－4×32
＋3×3＝－18.
9．解 (1)函数y ＝2x 2
－1x 的一个原函数是y ＝23x 3－ln x ，
所以ʃ21⎝
⎛⎭⎪⎫2x 2－1x dx ＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－ln x 21 ＝163－ln 2－23＝14
3
－ln 2.………………………………………………………………(3分) (2)ʃ32⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2dx ＝ʃ
32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2dx ＝
⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋ln x ＋2x 32
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫92＋ln 3＋6－(2＋ln 2＋4) ＝ln 32＋9
2
.…………………………………………………………………………………(6分)
(3)函数y ＝sin x －sin 2x 的一个原函数为
y ＝－cos x ＋12cos 2x ，所以ʃπ
3
0(sin x －sin 2x)dx
＝
⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x ＋12cos 2x π30
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－14－⎝
⎛⎭⎪⎫－1＋12＝－14.……………………………………………………………(9分) 32
2
(4)323232231
12
32
(32)(23)2312
x dx x dx x dx
x dx x dx =-=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰
＝(3x －x 2)|321＋(x 2－3x)|23
2＝12
.…………………………………………………………(12分)
10．解 (1)设f(x)＝ax 2
＋bx ＋c (a≠0)， 则f′(x)＝2ax ＋b.又f′(x)＝2x －2，
所以a ＝1，b ＝－2，即f(x)＝x 2
－2x ＋c.………………………………………………(4分) 又方程f(x)＝0有两个相等实根， 所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.
故f(x)＝x 2
－2x ＋1.………………………………………………………………………(8分)
(2)依题意，所求面积S ＝ʃ10(x 2
－2x ＋1)dx ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 3－x 2＋x |10＝1
3.……………………………………………………………………(12分)
11．解 画出直线x ＝－ln 2，y ＝
e －1及曲线y ＝e x
－1如图所示，则所求面积为图中阴影部分的面积．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝e －1，y ＝e x
－1，
解得B(1，e －1)．
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－ln 2，y ＝e x
－1，解得A ⎝
⎛⎭⎪⎫－ln 2，－12.…………………………………………………(4分) 此时，C(－ln 2，e －1)，D(－ln 2,0)．
所以S ＝S 曲边梯形BCDO ＋S 曲边三角形OAD
＝ʃ1－ln 2(e －1)dx －ʃ10(e x
－1)dx ＋|
|0－ln 2x －………………………………………(7分) ＝(e －1)x|1－ln 2－(e x －x)|10＋|(e x －x)|0
－ln 2| ………………………………………………(10分)
＝(e －1)(1＋ln 2)－(e －1－e 0)＋|e 0－(e －ln 2
＋ln 2)|
＝(e －1)(1＋ln 2)－(e －2)＋ln 2－1
2
＝eln 2＋1
2.……………………………………………………………………………(14分)。