八年级数学下册101函数的图像教案版

函数的图像
【教学目标】
知识与技能：
通过具体实例感受函数图象的意义，能从图象中获取信息，并能进行简单的分析.
过程与方法：
1.通过具体操作，培养动手能力，体会“数形结合”的思想
2、通过分析图像了解函数图像的特点，发展合情推理能力和演绎推理能力。

3、通过用函数图像解决问题，提高处理图像信息的能力。

情感态度价值观：
通过动手操作，让学生体验“数”与“形”的转化过程，感受函数图像的简洁美，同时，让学生体验成功建立学习的自信心。

【重点、难点】
根据函数图像分析函数变化规律，由函数图像读取信息并解决问题。

一、课前预习
1.在事物的变化过程中，我们称数值发生变化的量为（变量），而数值始终保持不变的量称为
（常量）.常量与变量必须存在于一个变化过程中.
2.一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有（唯一确定的值）与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时，y=b，那么b 叫做当自变量的值为a时的函数值.
3. 汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时，则（ s）是（t）的函数，s与t的函数关系式是( s=60t )
设计意图：让学生回忆函数的有关概念；用学过的知识引导学生判断事例是否为函数，为后面函数的图像学习埋下伏笔。

二、导入新课
将数学课本一本一本摞在一起，让学生观察并思考在这个变化过程中，这摞书的高度h与书本的数量x之间是不是函数关系。

引导学生学生回答“是”，然后说明为进一步研究函数的变化关系引入本节课讲授的课题——函数的图像。

三、学习目标
知识与技能：
通过具体实例感受函数图象的意义，能从图象中获取信息，并能进行简单的分析.
过程与方法：
1.通过具体操作，培养动手能力，体会“数形结合”的思想
2、通过分析图像了解函数图像的特点，发展合情推理能力和演绎推理能力。

3、通过用函数图像解决问题，提高处理图像信息的能力。

情感态度价值观：
通过动手操作，体验“数”与“形”的转化过程，感受函数图像的简洁美，体验成功建立学习的自信心。

重点、难点
根据函数图像分析函数变化规律，由函数图像读取信息并解决问题。

设计意图：通过目标引领，让学生有针对性的学习，学会利用数学思想的，提高认识。

四、课内探究
合作学习：
1、小组内一摞数学书的高度h 随数量x 之间的变化关系。

将表格补充完整；在平面直角坐标系标找出横轴、纵轴表示的含义；老师引导描出第一个点，其余由学生完成。

（4号观察，3号测量，2号记录，1号画图）
总结函数图像的概念。

2、在这摞数学书的基础上再增加物理课本的数量呢？
通过以上活动，引导学生总结出函数图像的概念以及分段函数的概念，并能初步感知画函数图像的基本步骤。

设计意图：这部分内容是本节课的重点，所以不急于让他们画出图像，而是让他们体验有序实数对的含义和平面直角坐标系中横轴、纵轴所表示的意义，自己在平面直角坐标系表示出横轴、纵轴表示的量。

这样让他们在探究中学习，易于理解，最后对照自己的活动过程，总结函数图像的概念以及分段函数的概念。

设置学生周围实际的问题，使整个学习内容变得形象直观，易于接受，使学生更能够抓住本质进行学习，更能激起学生的学习兴趣，培养学生的思考能力和探究能力。

五、例题讲解：
某家用淋浴器在使用前水箱水量为0升.使用时，先向水箱注水，注满后开启电源加热，加热完毕后关闭电源，开始使用淋浴，均匀放水，直至将水用完.淋浴器中水箱的水量与时间的函数图象如图所示.根据图象回答下列问题： （1）注水共用了多少时间？ （2）加热共用了多少时间？ （3）使用淋浴共用了多少时间？ （4）水箱注满后水量是多少升
（5）当t=2(分钟)时，水箱内油水多少升？
设计意图：为使数学变得有趣实用，我设计了给出特定时间，水箱里还有多少水的问题，引导学生结合图形回答问题。

为进一步拓展思路，提出了t=2时，水箱里有多少水的问题，让学生独立思考激发了学生兴趣，也让学生明白点所蕴含的信息，充分感受到函数图象的意义，从图象中获取信息。

有效训练：
小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家.图中映了这个过程中，小明离他家的距离 y 与时间 x 之间的对应关系.
50 30 15
150 300 500
30
根据图象回答下列问题：
(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？ (2)小明吃早餐用了多少时间？
(3)食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？ (4)小明读报用了多少时间？
(5)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？
设计意图：联系生活实际，将学到的知识感受函数图象的意义，能从图象中获取信息，并能进行简单的分析 六、拓展延伸
你知道《龟兔赛跑》的寓言故事吗？读图回答下列问题：
(1) 图中哪条线（填实、虚）表示兔子跑过的路程与实间的关系？ （2）比赛中，兔子共睡了多少分钟？
（3）乌龟在这次比赛中的平均速度为多少米/分？ 兔子的平均速度为多少米/分；
（4） 乌龟经多长时间追上兔子？追上时乌龟跑了多少路程？（思考：交点蕴含怎样信息？） （5） 根据图象你还能得到哪些信息？
设计意图：通过寓言故事，激发学生的兴趣的同时，让学生理解在同一坐标系内的两种不同函数关系所表示的意义，尤其明白交点所蕴含的信息。

七、课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？（学生思考，师生共同梳理） 1、观察观察函数图像，可以获得相关信息，并能利用这些信息解决问题. 2、数形结合思想
设计意图：师生共同梳理本节课的知识，可以让学生对所学的知识进行再认识，得以巩固加深认识，同时也可以对知识进行系统化，知识更趋于合理化。

八、达标检测
7.5 t /分
55
甲，乙两同学骑自行车从Ａ地沿同一条路到Ｂ地，已知乙比甲先出发．他们离出发地的距离s／km 和骑行时间t/h之间的函数关系如图所示，给出下列说法，根据图象信息，下列说法正确的是
_____________
（1）他们都骑了２０km；（2）.乙在途中停留了０.５h；
（3）甲和乙两人同时到达目的地；
（4）相遇后，甲的速度小于乙的速度．
九、课后作业
甲、乙两工程队参与水利建设，两对施工的的土方量与所用时间的函数图像如图所示，请根据图像回答问题：
（1）乙工程队比甲工程队晚开工几天？早完工几天？
（2）甲工程队在施工中间休息了几天？
（3）甲工程队在在哪一时间段内施工进度最快？
（4
）从图像中你还能得到关于甲、乙两工程队施工的那些信息？
板书设计：
函数的图像
合作学习：坐标展示自变量——横坐标函数值——纵坐标解答函数图象问题主要步骤一看坐标轴，二看特殊点，三看变化趋势；四看如果有两个图象就看交点. 数形结合思想和分类讨论思想,化图象信息为
八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．如图,下列条件中,不能证明△ABC ≌△DCB 的是( )
A ．AB=DC,AC=D
B B ．AB=DC,∠ABC=∠DCB
C ．BO=CO,∠A=∠D
D ．AB=DC,∠DBC=∠ACB
【答案】D
【解析】试题分析：根据题意知，BC 边为公共边． A ．由“SSS”可以判定△ABC ≌△DCB ，故本选项错误； B ．由“SAS”可以判定△ABC ≌△DCB ，故本选项错误；
C ．由BO=CO 可以推知∠ACB=∠DBC ，则由“AAS”可以判定△ABC ≌△DCB ，故本选项错误；
D ．由“SSA”不能判定△ABC ≌△DCB ，故本选项正确． 故选D ．
考点：全等三角形的判定．
2．下列计算中，不正确．．．的是（ ） A ．236()a a = B ．2222a a a += C ．6
24a a a ÷=
D ．5525a a a =
【答案】D
【分析】根据幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的除法和同底数幂的乘法逐一判断即可． 【详解】A ． 23
23
6()a a
a ⨯==，故本选项正确；
B ． 2222a a a +=，故本选项正确；
C ． 62624a a a a -÷==，故本选项正确；
D ． 555510a a a a +==，故本选项错误． 故选D ． 【点睛】
此题考查的是幂的运算性质和合并同类项，掌握幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的除法和同底数幂的乘法是解决此题的关键．
3．如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 做//DE BC ，分别
交
AB 、AC 于点D 、E ，若ADE ∆的周长为18，则AB 的长是( )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．12
【答案】B
【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDO 和△CEO 是等腰三角形，再由等腰三角形的性质
得BD=DO ，CE=EO ，则△ADE 的周长=AB+AC ，由此即可解决问题； 【详解】解：∵在△ABC 中，∠BAC 与∠ACB 的平分线相交于点O ， ∴∠ABO=∠OBC ，∠ACO=∠BCO ， ∵DE ∥BC ，
∴∠DOB=∠OBC ，∠EOC=∠OCB ， ∴∠ABO=∠DOB ，∠ACO=∠EOC ， ∴BD=OD ，CE=OE ，
∴△ADE 的周长是：AD+DE+AE=AD+OD+OE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=18， ∴AB=AC=1． 故选：B ． 【点睛】
本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质及角平分线的性质．利用平行线和角平分线推出等腰三角形是解题的关键.
4．如图，在等边ABC ∆中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将BCD ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到
BAE ∆，连接ED ，若6BC =，4BD =，则有以下四个结论：①BDE ∆是等边三角形；②//AE BC ；
③ADE ∆的周长是10；④ADE BDC ∠=∠．其中正确结论的序号是（ ）
A ．②③④
B ．①③④
C ．①②④
D ．①②③
【答案】D
【分析】先由△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAE ，可知：BD=BE ，∠DBE=60°，则可判断△BDE 是等边三角形；根据等边三角形的性质得BA=BC ，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，再根据旋转的性质得到∠BAE=∠BCD=60°，从而得∠BAE=∠ABC=60°，根据平行线的判定方法即可得到AE ∥BC ；根据等边三角形的性质得∠BDE=60°，而∠BDC>60°，则可判断∠ADE≠∠BDC ；由△BDE 是等边三角形得到DE=BD=4，再利用△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAE ，则AE=CD ，△AED 的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD=BC+BD=1．
【详解】∵△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAE ， ∴BD=BE ，∠DBE=60°， ∴△BDE 是等边三角形， ∴①正确；
∵△ABC 为等边三角形，
∴BA=BC ，∠ABC=∠C=∠BAC=60°， ∵△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAE ， ∴∠BAE=∠BCD=60°， ∴∠BAE=∠ABC ， ∴AE ∥BC ，
∵△BDE 是等边三角形， ∴DE=BD=4，
∵△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAE ， ∴AE=CD ，
∴△AED 的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD=BC+BD=6+4=1， ∴③正确；
∵△BDE 是等边三角形， ∴∠BDE=60°，
∵∠BDC=∠BAC+∠ABD ＞60°， ∴∠ADE=180°-∠BDE-∠BDC ＜60°， ∴∠ADE≠∠BDC ， ∴④错误． 故选D ． 【点睛】
本题主要考查旋转得性质，等边三角形的判定和性质定理，掌握旋转的性质以及等边三角形的性质定理，是解题的关键．
5．23x 可以表示为( ) A ．x 3＋x 3 B ．2x 4－x C ．x 3·x 3
D ．62x ÷x 2
【答案】A
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】B 、原式＝42x x －,故B 的结果不是32x . C 、原式＝6x ,故C 的结果不是32x . D 、原式＝42x ,故D 的结果不是32x . 故选A. 【点睛】
本题主要考查整式的运算法则，熟悉掌握是关键. 6．在下列各式中，计算正确的是（ ） A ．3
4
12
a a a ⋅= B ．
()
4
37
a a =
C ．
()
3
2
63a b a b = D ．623a a a ÷=
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法和除法以及幂的乘方、积的乘方判断即可． 【详解】A. 347a a a ⋅=，该选项错误；
B. ()
14
32a a =，该选项错误；
C. ()3
263a b a b =，该选项正确；
D.
624a a a ÷=，该选项错误．
故选：C ．
此题考查同底数幂的乘法、除法以及幂的乘方、积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
7．如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，∠A=25°，D 是AB 上一点．将Rt △ABC 沿CD 折叠，使B 点落在AC 边上的B′处，则∠ADB′等于（ ）
A ．25°
B ．30°
C ．35°
D ．40°
【答案】D
【解析】∵在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠B=90°﹣25°=65°． ∵△CDB′由△CDB 反折而成，∴∠CB′D=∠B=65°．
∵∠CB′D 是△AB′D 的外角，∴∠ADB′=∠CB′D ﹣∠A=65°﹣25°=40°． 故选D ． 8．在ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对边分别是a b c 、、，下列条件中，不能说明ABC 是直角三角形的是（ ） A ．2
22b a c =-
B ．;
C A B ∠=∠-∠ C ．::3:4:5A B C ∠∠∠=
D ．::5:12:13a b c =
【答案】C
【分析】此题考查的是直角三角形的判定方法，大约有以下几种： ①勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理；
②三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于第三个内角的度数； 根据上面两种情况进行判断即可． 【详解】解：A 、由222b a c =-得a 2=b 2+c 2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC 为直角三角形，不符
合题意；
B 、由
C A B ∠=∠-∠得∠C +∠B=∠A ，此时∠A 是直角，能够判定△ABC 是直角三角形，不符合题意； C 、∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，那么∠A=45°、∠B=60°、∠C=75°，△ABC 不是直角三角形，故此选项符合题意；
D 、a ：b ：c=5：12：13，此时c 2=b 2+ a 2，符合勾股定理的逆定理，△ABC 是直角三角形，不符合题意； 故选：C ． 【点睛】
此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长构成勾股数或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形． 9．在平面直角坐标系中，点()2,3A -位于哪个象限？（
）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点A 坐标为()2,3-，则它位于第四象限， 故选D ． 【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限
(),++；第二象限(),-+；第三象限(),--；第四象限(),+-．
10．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A ．只有乙 B ．甲和丁
C ．乙和丙
D ．乙和丁
【答案】D
【解析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．
【详解】∵22
211x x x x x
-÷
-- =22
211x x x x x
--- =()2212·1x x x x x
---- =
()()
221·1x x x x x
---- =
()2x x
--
=
2x x
-， ∴出现错误是在乙和丁， 故选D ．
【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键.
二、填空题
11．如图，50AOB ∠=︒，CD OA ⊥于D ，CE OB ⊥于E ，且CD CE =，则DOC ∠=________．
【答案】25︒
【分析】根据角平分线性质求出OC 平分∠AOB ，即可求出答案．
【详解】∵CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB ，CD ＝CE ，
∴OC 平分∠AOB ，
∵∠AOB ＝50°，
∴∠DOC ＝12
∠AOB ＝25°， 故答案为：25°．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定，注意：在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
12．如图，AD 、BE 是等边ABC 的两条高线，AD 、BE 交于点O ，则∠AOB ＝_____度．
【答案】1
【分析】根据等边三角形的性质可得AB ＝AC ＝BC ，∠CAB ＝∠ABC ＝60°，然后根据三线合一求出∠BAD 和∠ABE ，最后利用三角形的内角和定理即可求出结论．
【详解】解：∵ABC 是等边三角形，
∴AB ＝AC ＝BC ，∠CAB ＝∠ABC ＝60°， ∵AD 、BE 是等边
ABC 的两条高线， ∴∠BAD ＝12∠BAC ＝30°，∠ABE ＝12
∠ABC ＝30°， ∴∠AOB ＝180°﹣∠BAD ﹣∠ABE ＝180°﹣30°﹣30°＝1°，
故答案为：1．
【点睛】
此题考查的是等边三角形的性质，掌握等边三角形的定义和三线合一是解题关键．
13()253-=____．
【答案】35．
【分析】由二次根式的性质，即可得
()253-=53|，继而求得答案． 5＜3，
∴53＜0， ∴()253-=53|=35
故答案为：35
【点睛】 此题考查了二次根式的化简与性质以及绝对值的性质．注意：
()()()20000a a a a a a ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩
．
14．分解因式：x 2﹣7x+12 =________．
【答案】 (x-4)(x-3)
【分析】因为（-3）×（-4）=12，（-3）+（-4）=-7，所以利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】解：x 2-7x+12=（x-3）（x-4）．
故答案为：（x-3）（x-4）．
【点睛】
本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
15．将函数3y x =的图象沿y 轴向下平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为__________．
【答案】32y x =-
【解析】直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可．
【详解】将函数y ＝3x 的图象沿y 轴向下平移1个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为：y ＝3x−1． 故答案为：y ＝3x−1．
【点睛】
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
16．如图，ABC ∆中，BP 平分ABC ∠，CP 平分ACB ∠，若60A ︒∠=，则BPC ∠=__________
【答案】120°
【分析】先求出∠ABC+∠ACB ，根据角平分线求出∠PBC 、∠PCB 的度数和，再根据三角形内角和求出∠BPC.
【详解】∵60A ︒∠=,
∴∠ABC+∠ACB=120︒，
∵BP 平分ABC ∠，CP 平分ACB ∠，
∴∠PBC=12∠ABC,∠PCB=12
∠ACB, ∴∠PBC+∠PCB=12
(∠ABC+∠ACB)=60︒， ∴∠BPC=180︒-(∠PBC+∠PCB)= 120°
, 故答案为：120°
. 【点睛】
此题考查三角形的内角和定理，角平分线的性质，题中利用角平分线求出∠PBC 、∠PCB 的度数和是解题的关键.
17．已知一次函数
()12y k x =-+，若y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是___．
【答案】k ＜1．
【分析】一次函数y=kx+b ，当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．据此列不等式解答即可．
【详解】解：∵一次函数y=（k-1）x+2中y 随x 的增大而减小，
∴k-1＜0，
解得k ＜1，
故答案是：k ＜1．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的增减性．一次函数y=kx+b ，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．
三、解答题
18．如图，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，CD 是AB 边上的高，BE 是AC 边上的中线，且BD=CE ．
（1）求证：点D 在BE 的垂直平分线上；
（2）求BEC ∠的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）67.5︒
【分析】（1）连接DE ，根据垂直的定义得到∠ADC=∠BDC=90°，根据直角三角形的性质得到DE=CE ，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）连接DE ，
∵CD 是AB 边上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵BE 是AC 边上的中线，
∴AE=CE ，
∴DE=CE ，
∵BD=CE ，
∴BD=DE ，
∴点D 在BE 的垂直平分线上；
（2）∵DE=AE ，
∴∠A=∠ADE=45︒，
∵∠ADE=∠DBE+∠DEB ，且BD=DE ，
∴∠DBE=∠DEB=122.52
ADE ∠=︒， ∵∠BEC=∠A+∠ABE ，
∴∠BEC=45︒+22.5︒=67.5︒．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
19．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线OC ：y x =交于点
C ．
（1）若直线AB 解析式为212y x =-+，
①求点C 的坐标；
②求△OAC 的面积．
（2）如图2，作AOC ∠的平分线ON ，若AB ⊥ON ，垂足为E ， OA ＝4，P 、Q 分别为线段OA 、OE 上的动点，连结AQ 与PQ ，试探索AQ ＋PQ 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）①C （4，4）；②12；（2）存在，1
【解析】试题分析：（1）①联立两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C 的坐标；
②欲求△OAC 的面积，结合图形，可知，只要得出点A 和点C 的坐标即可，点C 的坐标已知，利用函数关系式即可求得点A 的坐标，代入面积公式即可；
（2）在OC 上取点M ，使OM=OP ，连接MQ ，易证△POQ ≌△MOQ ，可推出AQ+PQ=AQ+MQ ；若想使得AQ+PQ 存在最小值，即使得A 、Q 、M 三点共线，又AB ⊥OP ，可得∠AEO=∠CEO ，即证
△AEO ≌△CEO （ASA ），又OC=OA=4，利用△OAC 的面积为6，即可得出AM=1，AQ+PQ 存在最小值，最小值为1．
（1）①由题意，
解得4,
{ 4.x y ==所以C （4，4）；
②把0y =代入212y x =-+得，6x =，所以A 点坐标为（6，0）， 所以164122OAC S =⨯⨯=；
（2）由题意，在OC 上截取OM ＝OP ，连结MQ
∵OQ 平分∠AOC ，
∴∠AOQ=∠COQ ，
又OQ=OQ ，
∴△POQ ≌△MOQ （SAS ），
∴PQ=MQ ，
∴AQ+PQ=AQ+MQ ，
当A 、Q 、M 在同一直线上，且AM ⊥OC 时，AQ+MQ 最小．
即AQ+PQ 存在最小值．
∵AB ⊥ON ，所以∠AEO=∠CEO ，
∴△AEO ≌△CEO （ASA ），
∴OC=OA=4，
∵△OAC 的面积为12，所以AM=12÷4=1，
∴AQ+PQ 存在最小值，最小值为1．
考点：一次函数的综合题
点评：本题知识点多，具有一定的综合性，要求学生具备一定的数学解题能力，有一定难度．
20．如图，已知ABC 中，12AB AC cm ==，BC 10cm =，点D 是AB 的中点，如果点P 在线段BC 上以2/cm s 的速度由点B 向点C 移动，同时点Q 在线段AC 上由点A 向点C 以4/cm s 的速度移动，若P 、Q 同时出发，当有一个点移动到点C 时，P 、Q 都停止运动，设P 、Q 移动时间为t s ．
（1）求t 的取值范围．
（2）当2t
=时，问BPD △与CQP 是否全等，并说明理由． （3）0t >时，若CPQ 为等腰三角形，求t 的值．
【答案】（1）03t ≤≤；（2）2t =时，BPD △与CQP 全等，证明见解析；（3）当1t =或117t =时，CPQ 为等腰三角形
【分析】（1）由题意根据图形点的运动问题建立不等式组，进行分析求解即可；
（2）根据题意利用全等三角形的判定定理（SAS ），进行分析求证即可；
（3）根据题意分CP CQ =和CQ PQ =以及CP PQ =三种情况，根据等腰三角形的性质进行分析计算.
【详解】（1）依题意42AQ t BP t =⎧⎨=⎩
， 012010
AQ BP ≤≤⎧⎨≤≤⎩， 030305
t t t ≤≤⎧∴⇒≤≤⎨≤≤⎩. （2）2t =时，BPD △与CQP 全等，
证明：2t
=时，4BP cm =，8AQ cm =，在BPD △和CQP 中， ∵12AB AC cm ==，BC 10cm =，点D 是AB 的中点，
6BD CP cm ∴==，4CQ BP cm ==，B C ∠=∠，
BPD CQP ∴△≌△(SAS).
（3）①当CP CQ =时，有1021241t t t -=-⇒=；
②当CQ PQ =，有CQP ~CAB △△，
∵0t
>， ∴CQ CP 12410201210t t t AC BC --=⇒=⇒=（舍去）； ③当CP PQ =时有~CPQ CAB △△， ∴CP CQ 1021241112107
t t t AC BC --=⇒=⇒=； 综上，当1t
=或117
t =时，CPQ 为等腰三角形. 【点睛】 本题考查等腰三角形相关的动点问题，熟练掌握等腰三角形的性质和全等三角形的判定以及运用数形结合的思维将动点问题转化为代数问题进行分析是解题的关键.
21．先化简，再求值：22122121x x x x x
x x x ---⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x 满足x 2﹣x ﹣1=1． 【答案】2．
【分析】根据分式的运算法则进行计算化简，再将x 2=x+2代入即可.
【详解】解：原式=×
=
×
=， ∵x 2﹣x ﹣2=2，
∴x 2=x+2，
∴==2．
22．已知如图，长方体的长20BE cm =，宽10AB cm =，高15AD cm =，点M 在CH 上，且
5CM cm =，一只蚂蚁如果沿沿着长方体的表面从点A 爬到点M ，需要爬行的最短距离是多少？
【答案】需要爬行的最短距离是152．
【分析】将长方体沿CH 、HE 、BE 剪开，然后翻折，使面ABCD 和面BEHC 在同一个平面内，连接AM ；或将长方体沿CH 、GD 、GH 剪开，然后翻折，使面ABCD 和面DCHG 在同一个平面内，连接AM ；或将长方体沿AB 、AF 、EF 剪开，然后翻折，使面ABEF 和面BEHC 在同一个平面内，连接AM ；再分别在Rt △ADM 、Rt △ABM 、Rt △ACM 中，利用勾股定理求得AM 的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程．
【详解】解：将长方体沿CH、HE、BE剪开，然后翻折，使面ABCD和面BEHC在同一个平面内，连接AM，如图1，
由题意可得：MD＝MC＋CD＝5＋10＝15cm，AD＝15cm，
在Rt△ADM中，根据勾股定理得：AM＝22
1515152cm；
将长方体沿CH、GD、GH剪开，然后翻折，使面ABCD和面DCHG在同一个平面内，连接AM，如图2，由题意得：BM＝BC＋MC＝5＋15＝20cm，AB＝10cm，
在Rt△ABM中，根据勾股定理得：AM＝22
2010105cm，
将长方体沿AB、AF、EF剪开，然后翻折，使面ABEF和面BEHC在同一个平面内，连接AM，如图3，由题意得：AC＝AB＋CB＝10＋15＝25cm，MC＝5cm，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AM＝22
255526cm，
∵152450，105500，526650，
∴152526
<10<5，
则需要爬行的最短距离是152cm．
【点睛】
此题考查了最短路径问题，利用了转化的思想，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用勾股定理求解．
23．如图，直线y=﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，直线y
1
2
=x+3交y轴于点C，两直线相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）如图2，过点A作AE∥y轴交直线y
1
2
=x+3于点E，连接AC，BE．求证：四边形ACBE是菱形；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段BC上，点G在线段AB上，连接CG，FG，当CG=FG，且∠CGF=∠ABC时，求点G的坐标．
【答案】（1）点D坐标(2，4)；（2）证明见详解；（3）点
8-．
【分析】(1)两个解析式组成方程组，可求交点D坐标；
(2)先求出点A，点B，点E，点C坐标，由两点距离公式可求BC=AE=AC=BE=5，可证四边形ACBE是菱形；
(3)由“AAS”可证△ACG≌△BGF，可得BG=AC=5，由两点距离公式可求点G坐标．
【详解】解：（1）根据题意可得：
28
1
3
2
y x
y x
=-+
⎧
⎪
⎨
=+
⎪⎩
，
解得：
2
4 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴点D坐标(2，4)
（2）∵直线y=﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，∴点B(0，8)，点A(4，0)．
∵直线y
1
2
=x+3交y轴于点C，
∴点C(0，3)．
∵AE∥y轴交直线y
1
2
=x+3于点E，
∴点E(4，5)
∵点B(0，8)，点A(4，0)，点C(0，3)，点E(4，5)，
∴BC=5，AE=5，
AC==5，BE
==5，
∴BC=AE=AC=BE，
∴四边形ACBE是菱形；
（3）∵BC=AC，
∴∠ABC=∠CAB．
∵∠CGF=∠ABC，∠AGF=∠ABC+∠BFG=∠AGC+∠CGF，∴∠AGC=∠BFG，且FG=CG，∠ABC=∠CAB，
∴△ACG≌△BGF(AAS)，
∴BG=AC=5，
设点G(a，﹣2a+8)，
∴(﹣2a+8﹣8)2+(a﹣0)2=52，
∴a=
∵点G在线段AB上，
∴a=
∴点8
﹣
【点睛】
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点距离公式等知识，利用两点距离公式求线段的长是本题的关键．
24．某商厦用8万元购进纪念运动休闲衫，面市后供不应求，商厦又用1．6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了8元，商厦销售这种运动休闲衫时每件定价都是100元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完．
（1）商厦第一批和第二批各购进休闲衫多少件？
（2）请问在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？
【答案】（1）第一批购进衬衫1000件，第二批购进了2000件；（2）在这两笔生意中，商厦共盈利41000元．
【分析】（1）设第一批购进x 件休闲衫，则第二批购进了2x 件，根据“第二批购进的单价比第一批购进的单价贵了8元”，列出分式方程，即可求解；
（2）设这笔生意盈利y 元，根据等量关系，列出方程，即可求解．
【详解】（1）设第一批购进x 件休闲衫，则第二批购进了2x 件， 依题意可得：176000
80000
82x x -=，
解得：1000x =，
经检验：1000x =是方程的解，且符合题意，
22000x =，
答：第一批购进衬衫1000件，第二批购进了2000件；
（2）设这笔生意盈利y 元，
可列方程为：80000176000100(10002000150)80%100150y ++=⨯+-+⨯⨯，
解得：41000y =．
答：在这两笔生意中，商厦共盈利41000元．
【点睛】
本题主要考查分式方程的实际应用，根据等量关系，列出分式方程，是解题的关键．
25．（1）因式分解：3ab a b -
（2）解方程：7
2
21x x =+
（3）计算：2(2)()a a b a b -++
【答案】 (1)(1)(1)ab a a +-；(2)23x =是原方程的解；(3)22
2a b +
【分析】（1）提取公因式后用平方差公式分解即可；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解，求解后检验即可；
（3）根据单项式乘以多项式的法则及完全平方公式取括号后，合并同类项即可．
【详解】（1）()321ab a b ab a -=-
(1)(1)ab a a =+-
（2）方程两边同时乘以()1x x + 得：
72(21)x x =+
742x x =+
23
x = 检验：当23x =
时，()10x x +≠ ∴23
x =是原方程的解． （3）原式22222a ab a ab b =-+++
222a b =+
【点睛】
本题考查的是因式分解、解分式方程、整式的混合运算，掌握因式分解的方法：提公因式法及公式法，解分式方程的一般步骤及整式的运算法则是关键．
八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．分式1
1x -有意义，则x 的取值范围是（ ）
A ．1x >
B ．1x ≠
C ．1x <
D ．一切实数
【答案】B
【解析】试题分析：分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．
解：由分式有意义，得
x ﹣1≠1．
解得x≠1，
故选B ．
考点：分式有意义的条件．
2．若分式2
4
2x x -+的值等于0，则x 的值为（ ）
A ．2x =±
B ．2x =
C ．2x =-
D ．2x ≠-
【答案】B
【分析】化简分式24
2x x -+即可求解，注意分母不为0.
【详解】解：242x x -+=()()22
2x x x +-+=2x -=0
∴x=2，
经检验：x+2≠0，x=2是原方程的解.
故选B.
【点睛】
本题考查解分式方程；熟练掌握因式分解的方法，分式方程的解法是解题的关键．
3．吉安市骡子山森林公园风光秀丽，2018年的国庆假期每天最高气温（单位：℃）分别是：22，23，22，23，x ，1，1，这七天的最高气温平均为23℃，则这组数据的众数是（ ）
A ．23
B ．1
C ．1．5
D ．25
【答案】A
【分析】先根据平均数的定义列出关于x 的方程，求解x 的值，继而利用众数的概念可得答案．
【详解】解：根据题意知，22+23+22+23+x +1+1＝23×7，
解得：x ＝23，
则数据为22，22，23，23，23，1，1，
所以这组数据的众数为23，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查众数，解题的关键是掌握平均数和众数的概念．
4．若a m ＝8，a n ＝16，则a m+n 的值为( )。