壶关县第四中学八年级数学上册 第十四章 整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法14.1.2 幂的乘

教学目标
1．知识与技能
理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过推理得出幂的乘方的运算性质，并且掌握这个性质．
2．过程与方法
经历一系列探索过程，发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力，通过情境教学，培养学生应用能力．
3．情感、态度与价值观
培养学生合作交流意义和探索精神，让学生体会数学的应用价值．
重、难点与关键
1．重点：幂的乘方法则．
2．难点：幂的乘方法则的推导过程及灵活应用．
3．关键：要突破这个难点，在引导这个推导过程时，步步深入，层层引导，•要求对性质深入地理解．
教学方法
采用“探讨、交流、合作”的教学方法，让学生在互动交流中，认识幂的乘方法则．教学过程
一、创设情境，导入新知
【情境导入】
大家知道太阳，木星和月亮的体积的大致比例吗？我可以告诉你，•木星的半径是地球半径的102倍，太阳的半径是地球半径的103倍，假如地球的半径为r，那么，•请同学
们计算一下太阳和木星的体积是多少？（球的体积公式为V=4
3
πr3）
【学生活动】进行计算，并在黑板上演算．
解：设地球的半径为1，则木星的半径就是102，因此，木星的体积为
V木星=4
3
π·（102）3=？（引入课题）．
教师引导】（102）3=？利用幂的意义来推导．
【学生活动】有些同学这时无从下手．
【教师启发】请同学们思考一下a3代表什么？（102）3呢？
【学生回答】a3=a×a×a，指3个a相乘．（102）3=102×102×102，就变成了同底数幂乘法运算，根据同底数幂乘法运算法则，底数不变，指数相加，102×102×102=102+2+2=106，•因此（102）3=106．
【教师活动】下面有问题：
利用刚才的推导方法推导下面几个题目：
（1）（a 2）3；（2）（24）3；（3）（b n ）3；（4）－（x 2）2
． 【学生活动】推导上面的问题，个别同学上讲台演示．
【教师推进】请同学们根据所推导的几个题目，推导一下（a ）的结果是多少？ 【学生活动】归纳总结并进行小组讨论，最后得出结论：
（a m
）n =()n m
m
m m
m m m m
a a a a a ++
+=个n 个= a mn
．
评析：通过问题的提出，再依据“问题推进”所导出的规律，利用乘方的意义和幂的乘法法则，让学生自己主动建构，获取新知：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 二、范例学习，应用所学 【例】计算：
（1）（103
）5
；（2）（b 3
）4
；（3）（x n
）3
；（4）－（x 7
）7
．
【思路点拨】要充分理解幂的乘方法则，准确地运用幂的乘方法则进行计算． 【教师活动】启发学生共同完成例题．
【学生活动】在教师启发下，完成例题的问题：并进一步理解幂的乘方法则： 解：（1）（103
）5
=103×5
=1015； （3）（x n ）3=x
n ×3
=x 3n
；
（2）（b 3
）4=b
3×4
=b 12
； （4）－（x 7
）7
=－x 7×7
=－x 49
．
三、随堂练习，巩固练习 课本P143练习． 【探研时空】
计算：－x 2
·x 2
·（x 2
）3
+x 10
．
【教师活动】巡视、关注中等、中下的学生，媒体显示练习题． 【学生活动】书面练习、板演． 四、课堂总结，发展潜能
1．幂的乘方（a m
）n
=a mn
（m ，n 都是正整数）使用范围：幂的乘方．方法：底数不变，指数相乘．
2．知识拓展：这里的底数、指数可以是数，可以是字母，•也可以是单项式或多项式．
3．幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于，一个是“指数相乘”，•一个是“指数相加”．
五、布置作业，专题突破 课本习题
板书设计
4.5 一次函数的应用
2 建立一次函数模型解决预测类型的实际问题
要点感知通过图表数据的规律，构建一次函数模型，然后通过函数模型检查所得结果是否__________，是否符合实际情况.
预习练习一位母亲记录了儿子3~9岁的身高(单位：cm)，由此建立身高与年龄的模型为y=7.19x+73.93.则下列说法中正确的是( )
A.身高与年龄是一次函数关系
B.这个模型适合所有3~9岁的孩子
C.预测这个孩子10岁时，身高一定在145.83 cm以上
D.这个孩子在3~9岁之内，年龄每增加1岁，身高平均增加约7.19 cm
知识点建立一次函数模型解决预测类型的实际问题
1.如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距.根据最近人体构造学的研究成果表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数.下表是测得的指距与身高的一组数据：
根据上表解决下面这个实际问题：姚明的身高是226厘米，可预测他的指距约为( )
A.26.8厘米
B.26.9厘米
C.27.5厘米
D.27.3厘米
2.为了使学生能读到更多优秀书籍，某书店在出售图书的同时，推出一项租书业务，规定每租看1本书，若租期不超过3天，则收租金1.50元，从第4天开始每天另收0.40元，那么1本书租看7天归还，请你预测应收租金_________元.
3.如图所示表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，已知龟、兔上午8：00从同一地点出发，请你根据图中给出的信息预测，乌龟在__________点追上兔子.
4.一根祝寿蜡烛长85 cm，点燃时每小时缩短5 cm.
(1)请写出点燃后蜡烛的长y(cm)与蜡烛燃烧时间t(h)之间的函数关系式；
(2)请你预测该蜡烛可点燃多长时间？
5.某公司生产的一种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来20天内的日销售量
m(件)与时间t(天)的关系如下表：
通过认真分析上表的数据，用所学过的函数知识：
(1)确定满足这些数据的m(件)与t(天)之间的函数关系式；
(2)判断它是否符合预测函数模型.
6.小明的爸爸用50万元购进一辆出租车(含经营权).在投入营运后，每一年营运的总收入为18.5万元，而各种费用的总支出为6万元，设该车营运x年后盈利y万元.
(1)y与x之间的函数关系式是_________________.
(2)可预测该出租车营运__________年后开始盈利.
7.某地夏季某月旱情严重，若该地10号、15号的人日均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降.当人日均用水量低于10千克时，政府将向当地居民送水.那么预测政府开始送水的日期为__________号.
8.下表是近年来某地小学入学儿童人数的变化趋势情况，请你运用所学知识解决下列问题：
（1）求入学儿童人数y(人)与年份x(年)的函数解析式;
（2）请预测该地区从哪一年开始入学儿童的人数不超过1 000人?
9.张师傅驾车运送货物到某地出售，汽车出发前油箱有油50升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)之间的关系如图所示.
请根据图象回答下列问题：
(1)汽车行驶多少小时后加油？中途加油多少升？
(2)已知加油前、后汽车都以70千米/小时匀速行驶，如果加油站距目的地210千米，要到达目的地，请你预测油箱中的油是否够用？并说明理由.
10.一水库的水位在最近5小时之内持续上涨，下表记录了这5个小时水位高度.
(1)由记录表推出这5个小时中水位高度y(单位：米)随时间t(单位：时)变化的函数解析式，并在图中画出该函数图象；
(2)据估计按这种上涨规律还会持续若干个小时，请预测再过多少小时水位高度将达到10.35米？
参考答案
要点感知 可靠 预习练习 D
1.D
2.
3.10 3.18：00
4.(1)∵蜡烛的长等于蜡烛的原长减去燃烧的长度，∴y=85-5t ； (2)∵蜡烛燃尽的时候蜡烛的长度y=0，
∴85-5t=0.解得t=17. ∴该蜡烛可点燃17小时. 5.(1)设预测m(件)与t(天)之间的函数模型为m=kt+b ，将1,94t m ==⎧⎨
⎩和3,
90t m ==⎧⎨⎩
代入一次函数m=kt+b 中，有
94,903.k b k b =+=+⎧⎨
⎩解得2,
96.k b =-=⎧⎨⎩
∴m=-2t+96.
故所求函数关系式为m=-2t+96.
(2)经检验，其他点的坐标均适合以上解析式，∴符合预测函数模型. 6.（1）y=12.5x-50 （2）4 7.24
8.(1)y=-150x+303 350； (2)∵y ≤1 000，
∴-150x+303 350≤1 000，
∴x ≥ 2 015
23
. ∴从2016年起该地区入学儿童的人数不超过1 000人.
9.(1)由图象可知：汽车行驶3小时后加油，加油量：45-14=31(升)； (2)由图可知汽车每小时用油(50-14)÷3=12(升)，
所以汽车要准备油210÷70×12=36(升)， ∵45升＞36升， ∴油箱中的油够用.
10.(1)设函数的解析式为y=kt+b ，由记录表得：10,10.05.b k b +⎧⎨⎩＝＝解得0.0510.k b ⎧⎨⎩
＝，
＝
函数的解析式为：y=0.05t+10.
列表为：
描点并连线为：
(2)当y=10.35时，10.35=0.05t+10.解得t=7.7-5=2.
∴再过2小时水位高度将达到10.35米.
13．1 轴对称
13．1.1 轴对称
1．在生活实例中认识轴对称图形．(重点)
2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．(重点)
3．通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对称轴．(难点)
一、情境导入
请同学们认真观看动画片，听故事，思考最后的问题．
(配合动画讲故事)故事：在小河边的花丛中，有一只美丽的蝴蝶正在采花蜜．忽然，来了一只蜻蜓在它面前飞来飞去，蝴蝶生气地说：“谁在跟我捣乱？”蜻蜓笑嘻嘻地说：“你怎么连一家人都不认识了，我是来找你玩的．”这时蝴蝶更生气了，说道：“你是蜻蜓，我是蝴蝶，我们怎么可能是一家呢？”于是，蜻蜓就落在了旁边的一片叶子上，说：“这你就不知道了吧，不仅蜻蜓、蝴蝶是一家，有些树叶，还有我们身边的很多物体都和我们是一家呢．”(播放动画)
思考问题：为什么蜻蜓、蝴蝶、树叶是一家？
二、合作探究
探究点一：轴对称图形
【类型一】轴对称图形的识别
下列体育运动标志中，从图案看不是轴对称图形的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解析：根据轴对称图形的概念可得(1)(2)(4)都不是轴对称图形，只有(3)是轴对称图形．故选B.
方法总结：要确定一个图形是否是轴对称图形要根据定义进行判断，关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【类型二】判断对称轴的条数
下列轴对称图形中，恰好有两条对称轴的是( ) A ．正方形 B ．等腰三角形 C ．长方形 D ．圆
解析：A.正方形有四条对称轴；B.等腰三角形有一条对称轴；C.长方形有两条对称轴；D.圆有无数条对称轴．故选C.
方法总结：判断对称轴的条数，仍然是根据定义进行判断，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，注意不要遗漏．
探究点二：轴对称及轴对称图形的性质 【类型一】 应用轴对称的性质求角度
如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD ，其中∠BAD ＝150°，
∠B ＝40°，则∠BCD 的度数是( )
A ．130°
B ．150°
C ．40°
D ．65°
解析：∵这种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD ，其中∠BAD ＝150°，∠B ＝40°，∴∠D ＝40°，∴∠BCD ＝360°－150°－40°－40°＝130°.故选A.
方法总结：轴对称其实就是一种全等变换，所以轴对称往往和三角形的内角和、外角的性质综合考查．
【类型二】 利用轴对称的性质求阴影部分的面积
如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为( )
A ．4cm 2
B ．8cm 2
C ．12cm 2
D ．16cm 2
解析：根据正方形的轴对称性可得，阴影部分的面积等于正方形ABCD 面积的一半，∵正方形ABCD 的边长为4cm ，∴S 阴影＝12
×42＝8(cm)2
.故选B.
方法总结：正方形是轴对称图形，根据图形判断出阴影部分的面积等于正方形面积的一半是解题的关键．
【类型三】 用轴对称的性质证明线段之间的关系
如图，O 为△ABC 内部一点，OB ＝7
2
，P 、R 为O 分别以直线AB 、BC 为对称轴的对
称点．
(1)请指出当∠ABC 是什么角度时，会使得PR 的长度等于7？并完整说明PR 的长度为何在此时等于7的理由．
(2)承(1)小题，请判断当∠ABC 不是你指出的角度时，PR 的长度小于7还是大于7？并完整说明你判断的理由．
解析：(1)连接PB 、RB ，根据轴对称的性质可得PB ＝OB ，RB ＝OB ，然后判断出点P 、B 、R 三点共线时PR ＝7，再根据平角的定义求解；(2)根据三角形的任意两边之和大于第三边解答．
解：(1)如图，∠ABC ＝90°时，PR ＝7.证明如下：连接PB 、RB ，∵P 、R 为O 分别以直
线AB 、BC 为对称轴的对称点，∴PB ＝OB ＝72，RB ＝OB ＝72
.∵∠ABC ＝90°，∴∠ABP ＋∠CBR ＝∠ABO ＋∠CBO ＝∠ABC ＝90°，∴点P 、B 、R 三点共线，∴PR ＝2×72
＝7； (2)PR 的长度小于7，理由如下：∠ABC ≠90°，则点P 、B 、R 三点不在同一直线上，
∴PB ＋BR ＞PR ，∵PB ＋BR ＝2OB ＝2×72
＝7，∴PR ＜7. 方法总结：利用轴对称的性质可以将线段进行转化，然后结合三角形的任意两边之和大于第三边的性质予以解答，总之熟记各性质是解题的关键．
【类型四】 轴对称在折叠问题中的应用
如图，将长方形纸片先沿虚线AB 向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD 向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，那么打开后的展开图是( )
解析：∵第三个图形是三角形，∴将第三个图形展开，可得，即可排除答案A.∵再展开可知两个短边正对着，∴选择答案D ，排除B 与C.故选D.
方法总结：对于此类问题，要充分发挥空间想象能力，或亲自动手操作答案即可呈现．
三、板书设计
轴对称图形
1．轴对称图形的定义；
2．对称轴；
3．轴对称图形的设计方法．
这节课充分利用多媒体教学，给学生以直观指导，主动向学生质疑，促使学生思考与发现，形成认识，独立获取知识和技能．另外，借助多媒体教学给学生创设宽松的学习氛围，使学生在学习中始终保持兴奋、愉悦、渴求思索的心理状态，有利于学生主体性的发挥和创新能力的培养．。