吉林省长春市十一高中2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题+Word版含答案

长春市十一高中2017-2018学年度高一上学期期末考试
数 学 试 题
说明：本试卷共分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
{}0,2,02|2
==-∈=M x x R x U ，则=M C U （ ）
A.{}0
B.{}2
C.φ
D.{}2,0,2- 2.下列结论，正确的个数为（ ） （1）若a ，b 都是单位向量，则
b a =
（2）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量
（3）方向为南偏西ο60的向量与北偏东ο60的向量是共线向量 （4）直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量
A.1
B.2
C.3
D.4 3.函数)34(log 2
1-=
x y 的定义域为 （ ）
A ．3(,)4-∞
B ． 3(,1]4
C ． (,1]-∞
D ．3(,1)4
4.如图，点O 是平行四边形ABCD 两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是（ ） A.CA AD AB =+ B.0=-OC OA C.BC CD BD =- D.DA OC BO =+
5.已知5
3
sin ,54cos =-
=αα，则角α2的终边所在的象限为（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 6.等腰三角形一个底角的正切值为
3
2
，则这个三角形顶角的正弦值为（ ）
A.
952 B.954 C.1311 D.
1312
7
.若方程1)2lg(=+x x 的实根在区间()()Z k k k ∈+1,上，则=k （ ）
A ．2-
B ．1
C ．2-或1
D ．0 8.已知函数在
单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．()
+∞,4
C ．[)4,4-
D ．
9.若当x R ∈时,函数()x
f x a =始终满足0()1f x <≤,则函数的图象大致为
（ ）
10. 已知函数)2||,0)(tan()(π
ϕωϕω<
≠+=x x f ，点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,32π和⎪⎭
⎫
⎝⎛0,67π是其相邻的两个对称中心，且在区间⎪⎭
⎫
⎝⎛34,32ππ内单调递减，则=ϕ（ ） A.
6π B.6π- C.3π D.3
π
- 11.已知(,)A A A x y 是单位圆上（圆心在坐标原点O ）任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转
3
π
到OB 交单位圆于点(,)B B B x y ，则B A x y +3的最大值为（ ）
A.1
B.2
C.2
D.3 12.记：∑==
+++++n
i i
n i x
x x x x 1
21ΛΛ.已知函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，若
函数x y -=21
与)(x f y =图象的交点为()()()m m y x y x y x ,,,,,,2211Λ，则1
()m
i i i x y =+=
∑（ ）
A.0
B.m
C.m 2
D.m 4 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知幂函数
的图象过点
，则k α+= ．
14.已知21tan =
α，()5
2
tan -=-βα，则()=-αβ2tan . 15．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足)1()1(+=-x f x f ，当[]3,2∈x 时，x x f =)(，则[]0,1-∈x 时，=)(x f
.
16.已知函数⎩⎨⎧≥-<-+=0
,120
,32)(x x a ax x f x ，若存在R x x ∈21,，21x x ≠，使)()(21x f x f =成立，
则实数a 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分） 设31tan ,55cos =-
=βα，2
0,23πβπαπ<<<<. （1）求)sin(βα-的值； （2）求βα-的值.
18．（本小题满分12分） 已知函数x x f 2log )(=
（1）解关于x 的不等式1)()1(>-+x f x f ； （2）设函数kx f x g x
++=)12()(，若)(x g 的图象关于y 轴对称，求实数k 的值.
19.（本小题满分12分）
某城市出租车的收费标准是：起步价5元（乘车不超过3千米）；行驶3千米后，每千米车费1.2元；行驶10千米后，每千米车费1.8元． （1）写出车费与路程的关系式；
（2）一乘客计划行程30千米，为了节省支出，他设计了三种乘车方案：
①不换车：乘一辆出租车行30千米；
②分两段乘车：先乘一辆车行15千米，换乘另一辆车再行15千米； ③分三段乘车：每乘10千米换一次车． 问哪一种方案最省钱？
20.（本小题满分12分）
已知32cos cos 2sin 2)(2
4
4
-++=x x x x f .
（1）求函数)(x f 的最小正周期，对称轴方程及单调递减区间；
（2）若函数)(x f 图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，图象上所有点向
左平移
6π个单位长度，得到函数)(x g 的图象，当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈6,4ππx 时，求函数)(x g 的最小值，并求取得最小值时的x 的值.
21．（本小题满分12分）
已知函数()f x 对一切实数y x ,均有()()(22)f x y f y x y x +-=+-成立，且0)1(=f . （1）求函数()f x 的解析式； （2）设x
x x f x g 2)()(-=
,若不等式02)2(≤⋅-x
x k g （k 为常数）在[]2,2-∈x 时恒成立，求实数k 的取值范围．
22.（本小题满分12分）（理科学生做） 如图，在半径为R ,圆心角为
3
π
的扇形金属材料中剪出一个长方形EPQF ，并且EP 与AOB ∠的平分线OC 平行，设θ=∠POC .
（1）试将长方形EPQF 的面积)(θS 表示为θ的函数；
（2）若将长方形EPQF 弯曲，使EP 和FQ 重合焊接制成圆柱的侧面，当圆柱侧面积最大时，求圆柱的体积（假设圆柱有上下底面）；为了节省材料，想从△OEF 中直接剪出一个圆面作为圆柱的一个底面，请问是否可行？并说明理由.
（参考公式：圆柱体积公式h S V ⋅=.其中S 是圆柱底面面积，h 是圆柱的高；等边三角形内切圆半径a r 6
3
=.其中a 是边长） 22.（本小题满分12分）（文科学生做）
已知函
数)0(2cos cos 3sin )(2>⎪⎭
⎫
⎝⎛-⋅+=ωωπωωx x x x f ，
且函数)(x f y =的图象相邻两条对称轴之间的距离为
2
π
. （1）求⎪⎭
⎫
⎝⎛6πf 的值； （2）若函数)0(12>⎪⎭⎫
⎝
⎛+k kx f π在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-3,6ππ上单调递增，求k 的取值范围.
长春市十一高中2017-2018学年度高一上学期期末考试
数学参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
二、填空题（每小题5分，共20分） 13．0 14．121-
15．x -2 16．⎪⎭
⎫ ⎝⎛
∞-32,
三、解答题（第17小题10分，第18，19，20，21，22小题各12分，共70分） 17.解：（1）因为55cos ,23-=<
<απαπ,所以552sin -=α,又2
0π
β<<，3
1
tan =β，所以10103cos ,1010sin ==ββ， 所以=-=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(=⨯+⨯-101055101035522
2
-. （6分） （2）因为2
0π
β<
<，所以02
<-<-
βπ
，又,23παπ<
<所以2
32π
βαπ<
-<， 因为22)sin(-
=-βα，所以4
5π
βα=-.（10分） 18.解：（1）因为1)()1(>-+x f x f ，所以1log )1(log 22>-+x x ，即：11
log 2>+x
x ，所以
21
>+x
x ，由题意，0>x ，解得10<<x ，所以解集为{}10|<<x x .（5分） （2）kx f x g x
++=)12()(kx x
++=)12(log 2，由题意，)(x g 是偶函数，所以
R x ∈∀，有)()(x f x f =-，即：kx kx x x ++=-+-)12(log )12(log 22成立，所以
kx x
x
2)12(log )12(log 22=+-+-，即：kx x x 21
21
2log 2=++-，所以kx x 22log 2=-，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C
B
B
C
D
D
C
D
B
A
A
C
以6
π
=
x .（12分）
21.解:（1）令
1=y ,所以x x f x f )22()1()1(-+=-+,又0)1(=f ,所以
2
)1(x x f =+.
令1+=x t ,所以1-=t x ,所以2)1()(-=t t f ,即2)1()(-=x x f .（5分）
（2）x x x f x g 2)()(-=x x x x x x x 1421222+-=-+-=41-+=x x ，所以
0242
122)2(≤⋅--+
=⋅-x
x
x x x k k g ，所以0124)2()1(2≤+⋅-⋅-x x k ，令x t 2=， []2,2-∈x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,41t ，即⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈4,41t 时，014)1(2≤+--t t k 恒成立，即
2141t t k -≤-2
114⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=t t 恒成立，因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,411t ，所以0114min
2=⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛t t ，
所以01≤-k ，即1≥k .（12分）
22.解：（1）由题意θθsin 2sin 22R OP PG PQ ===，又=-==OH OG GH PE
3
tan
cos π
θEH OP -3
tan
sin cos π
θθOP OP -=)sin 3(cos θθ-=R ，所以
)(θS )sin 3(cos sin 2θθθ-⋅=⋅=R R PE PQ =-=)sin 3cos (sin 222θθθR
)232cos 232sin 21(22
-+θθR ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
+=23)32sin(22πθR 所以)(θS 223)3
2sin(2R R -+
=π
θ.（5分）
（2）由（1）)(θS 取最大值时，2
3
2π
π
θ=
+
，所以12
π
θ=
，
因为=EF θsin 2R PQ =，设圆柱底面半径为r ,所以θπsin 22R r =,π
θ
sin R r =
,
所以圆柱底面面积2
2
sin ⎪⎭
⎫ ⎝⎛==πθππR r S πθ22sin R =
,又h )sin 3(cos θθ-=R , 所以h S V ⋅=π
θ
22sin R =
)sin 3(cos θθ-⋅R )3
cos()2cos 1(3
π
θθπ+-=
R 12
5cos )6cos 1(3
πππ-=
R ,因为426125cos -=π,所以3
8)2563(R V π-=
.。