2019-2020学年人教A版必修 第一册1 第1课时 基本不等式学案

2．2 基本不等式 第1课时 基本不等式
问题导学
预习教材P44－P46，并思考以下问题： 1．基本不等式的内容是什么？ 2．基本不等式成立的条件是什么？
3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？
1．重要不等式与基本不等式
■名师点拨
(1)两个不等式a 2
＋b 2
≥2ab 与a ＋b
2
≥ab 成立的条件是不同的．前者要求a ，b 是实数
即可，而后者要求a ，b 都是正实数(实际上后者只要a ≥0，b ≥0即可)．
(2)两个不等式a 2
＋b 2
≥2ab 和a ＋b
2
≥ab 都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a ＝b
时，等号成立”．
2．基本不等式与最值 已知x ＞0，y ＞0，则
(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 2
4．
(2)若xy ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值
记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小． ■名师点拨
利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： ①一正：符合基本不等式a ＋b
2≥ab 成立的前提条件，a ＞0，b ＞0；
②二定：化不等式的一边为定值；
③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab 均成立．( ) (2)若a >0，b >0且a ≠b ，则a ＋b >2ab .( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎫
a ＋
b 22
.( ) (4)a ，b 同号时，b a ＋a
b ≥2.( )
(5)函数y ＝x ＋1
x 的最小值为2.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)× 如果a >0，那么a ＋1
a ＋2的最小值是( )
A ．2
B ．2 2
C ．3
D ．4
解析：选D.因为a >0，所以a ＋1
a
＋2≥2
a ·1
a
＋2＝2＋2＝4，当且仅当a ＝1时取等号． 不等式(x －2y )＋1
x －2y ≥2成立的前提条件为( )
A ．x ≥2y
B ．x >2y
C ．x ≤2y
D ．x <2y
解析：选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x －2y >0，即x >2y ，故选B.
已知0＜x ＜1，则x (1－x )的最大值为________，此时x ＝________．
解析：因为0＜x ＜1，所以1－x ＞0，所以x (1－x )≤⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x ＋（1－x ）22＝⎝⎛⎭⎫122＝1
4，当且仅
当x ＝1－x ，即x ＝12时“＝”成立，即当x ＝12时，x (1－x )取得最大值1
4
.
答案：14 1
2
对基本不等式的理解
下列结论正确的是( ) A ．若x ∈R ，且x ≠0，则4
x ＋x ≥4
B ．当x >0时，x ＋
1
x
≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1
x 的最小值为2
D ．当0<x ≤2时，x －1
x
无最大值
【解析】 对于选项A ，当x <0时，4
x ＋x ≥4显然不成立；对于选项B ，符合应用基本
不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C ，忽视了验证等号成立的条件，即x ＝1x ，则x ＝±1，均不满足x ≥2；对于选项D ，x －1x 在0<x ≤2的范围内单调递增，有最
大值2－12＝32
.
【答案】 B
应用基本不等式时的三个关注点
给出下列条件：①ab ＞0；②ab ＜0；③a ＞0，b ＞0；④a ＜0，b ＜0.其
中能使b a ＋a
b
≥2成立的条件有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：选C.当b a ，a b 均为正数时，b a ＋a
b
≥2，故只须a ，b 同号即可，所以①③④均可以．故
选C.
利用基本不等式直接求最值
(1)已知t ＞0，求y ＝t 2－4t ＋1
t 的最小值；
(2)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＝1，求xy 的最大值． 【解】 (1)依题意得y ＝t ＋1
t －4≥
2
t ·1
t －4＝－2，等号成立时t ＝1，即函数y ＝t 2－4t ＋1t
(t >0)的最小值是－2. (2)因为正数x ，y 满足2x ＋y ＝1，
所以2x ＋y ＝1≥22xy ，所以2xy ≤12，解得xy ≤18，当且仅当x ＝14，y ＝1
2
时取等号．
(1)若a ＋b ＝S (和为定值)，当a ＝b 时，积ab 有最大值S 2
4，可以用基本不等式ab ≤
a ＋
b 2求得．
(2)若ab ＝P (积为定值)，则当a ＝b 时，和a ＋b 有最小值2P ，可以用基本不等式a ＋b ≥2ab 求得．
不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．
1．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9
D ．36
解析：选B.因为x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，所以(1＋x )(1＋y )＝1＋x ＋y ＋xy ＝9＋xy ≤9
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋y 22
＝9＋42＝25，因此当且仅当x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25. 2．若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a
b 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9
D ．10
解析：选C.因为a ，b 都是正数，所以⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a
b
≥5＋2b a ·4a
b
＝9，当
且仅当b ＝2a 时取等号．
利用基本不等式求最值
(1)已知x >2，则y ＝x ＋4
x －2的最小值为________．
(2)若0<x <12，则函数y ＝1
2
x (1－2x )的最大值是________．
(3)若x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋4y ＝1，则1x ＋1
y 的最小值为________．
【解析】 (1)因为x >2， 所以x －2>0，
所以y ＝x ＋4x －2＝x －2＋4
x －2＋2
≥2
（x －2）·4
x －2
＋2＝6，
当且仅当x －2＝4
x －2，
即x ＝4时，等号成立． 所以y ＝x ＋4
x －2的最小值为6.
(2)因为0<x <1
2，
所以1－2x >0，
所以y ＝12x (1－2x )＝14×2x ×(1－2x )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝1
16， 当且仅当2x ＝1－2x ， 即当x ＝14时，y max ＝116
.
(3)因为x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋4y ＝1， 所以1x ＋1y ＝x ＋4y x ＋x ＋4y y ＝5＋4y x ＋x
y ≥9，
当且仅当4y x ＝x y
，
即x ＝13，y ＝1
6时取等号．
【答案】 (1)6 (2)1
16
(3)9
若把本例(1)中的条件“x >2”改为“x <2”，求y ＝x ＋4
x －2的最大值．
解：因为x <2， 所以2－x >0， 所以f (x )＝x ＋4
x －2
＝－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤（2－x ）＋42－x ＋2
≤－2
（2－x ）⎝ ⎛⎭
⎪⎫42－x ＋2＝－2，
当且仅当2－x ＝4
2－x ，得x ＝0或x ＝4(舍去)，
即x ＝0时，等号成立． 故f (x )＝x ＋4
x －2
的最大值为－2.
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
1．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13
B.12
43
解析：选B.由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝1
2时取等
号．
2．函数y ＝3x 2＋6
x 2
＋1
的最小值是( ) A ．32－3 B ．3 C ．6 2
D ．62－3
解析：选D.y ＝3(x 2＋1)＋6
x 2＋1－3≥
23（x 2＋1）·6
x 2＋1
－3＝218－3＝62－3，当且仅当x 2＝2－1时等号成立，故
选D.
3．已知x >0，y >0，且1x ＋9
y
＝1，则x ＋y 的最小值为________．
解析：x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭
⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x
y
≥10＋2
y x ·9x
y
＝10＋6＝16. 即x ＝4，y ＝12时等号成立，所以x ＋y 的最小值为16. 答案：16
1．下列不等式中，正确的是( ) A ．a ＋4
a ≥4
B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥
a ＋b
2
D ．x 2＋3
x
2≥2 3
解析：选D.a ＜0，则a ＋4
a ≥4不成立，故A 错；a ＝1，
b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B 错，
a ＝4，
b ＝16，则ab ＜a ＋b
2
，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．
2．若a >0，b >0，a ＋2b ＝5，则ab 的最大值为( ) A ．25
B.252
48
解析：选D.a >0，b >0，a ＋2b ＝5，则ab ＝12a ·2b ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22＝258，当且仅当a ＝5
2，b ＝5
4
时取等号，故选D. 3．若a ＞1，则a ＋1
a －1的最小值是( )
A ．2
B ．a C.2a a －1
D ．3
解析：选D.因为a ＞1，所以a －1＞0， 所以a ＋1a －1＝a －1＋1
a －1＋1≥
2
（a －1）·1a －1
＋1＝3.
当且仅当a －1＝1
a －1
即a ＝2时取等号．
4．已知x ，y 为正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3
y 的最小值．
解：因为x ，y 为正实数， 所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎫
1x ＋3y ＝4＋⎝⎛⎭⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3. 当且仅当y x ＝3x y
，
即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， 所以1x ＋3y ≥1＋32，
故1x ＋3y 的最小值为1＋32
.
[A 基础达标]
1．已知a ，b ∈R ，且ab >0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b
≥2 解析：选D.对于A ，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错误；对于B ，C ，虽然ab >0，只能说明a ，b 同号，当a ，b 都小于0时，B ，C 错误；对于D ，因为ab >0，所以b a >0，a
b >0，
所以b a ＋a
b
≥2
b a ·a b ，即b a ＋a
b
≥2成立． 2.（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.9
2 C ．3
D.322
解析：选B.因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0， a ＋6≥0， 所以（3－a ）（a ＋6）≤
（3－a ）＋（a ＋6）2＝9
2
.
即
（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为9
2
.
3．已知实数x ，y 满足x >0，y >0，且2x ＋1
y ＝1，则x ＋2y 的最小值为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
解析：选D.因为x >0，y >0，且2x ＋1
y ＝1，
所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x
y ≥4＋24y x ·x
y
＝8， 当且仅当4y x ＝x
y 时等号成立．故选D.
4．设x >0，则y ＝3－3x －1
x 的最大值是( )
A ．3
B ．3－2 2
C ．3－2 3
D ．－1
解析：选C.y ＝3－3x －1
x ＝3－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤3－2 3x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1
x
，即x ＝
3
3
时取等号． 5．设x ＞0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－3
2
的最小值为( ) A ．0 B.12 C ．1
D.32
解析：选A.因为x ＞0，所以x ＋1
2＞0，
所以y ＝x ＋22x ＋1－3
2
＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋1
2－2 ≥2
⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12
－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12
，即x ＝12
时等号成立，所以函数的最小值为0.
6．已知x ＞0，y ＞0，2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为________． 解析：因为x ＞0，y ＞0，2x ＋3y ＝6， 所以xy ＝1
6(2x ·3y )
≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22 ＝16·⎝⎛⎭⎫622＝32
. 当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.
答案：3
2
7．若点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2
n 的最小值为________．
解析：因为点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上， 所以2m ＋n ＝1，
所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2（2m ＋n ）
n ＝4＋⎝⎛⎭⎫n m ＋4m n ≥8. 答案：8
8．给出下列不等式：
①x ＋1x ≥2；②⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2；③x 2＋y 2xy ≥2；
④x 2＋y 22>xy ；⑤|x ＋y |2
≥|xy |.
其中正确的是________(写出序号即可)．
解析：当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，x ＋1
x ≤－2，①不正确；
因为x 与1
x
同号，
所以⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1
|x |≥2，②正确； 当x ，y 异号时，③不正确； 当x ＝y 时，x 2＋y 2
2＝xy ，④不正确；
当x ＝1，y ＝－1时，⑤不正确． 答案：② 9．已知y ＝x ＋1
x
.
(1)已知x ＞0，求y 的最小值； (2)已知x ＜0，求y 的最大值． 解：(1)因为x ＞0，所以x ＋1
x ≥2
x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1
x
，即x ＝1时等号成立．所以y 的最小值为2.
(2)因为x ＜0，所以－x ＞0.所以f (x )＝－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
（－x ）＋1－x ≤－2
（－x ）·1
－x
＝－2，当
且仅当－x ＝1
－x
，即x ＝－1时等号成立．所以y 的最大值为－2.
10．(1)若x ＜3，求y ＝2x ＋1＋1
x －3的最大值；
(2)已知x ＞0，求y ＝2x
x 2＋1
的最大值．
解：(1)因为x ＜3，所以3－x ＞0.又因为y ＝2(x －3)＋1
x －3
＋7＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2（3－x ）＋13－x ＋
7，由基本不等式可得2(3－x )＋
1
3－x ≥2
2（3－x ）·13－x ＝22，当且仅当2(3－x )＝1
3－x
，
即x ＝3－2
2时，等号成立，于是－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（3－x ）＋13－x ≤－22，－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2（3－x ）＋13－x ＋7≤7
－22，故y 的最大值是7－2 2.
(2)y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1
x .因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2
x ·1x ＝2，所以0＜y ≤2
2
＝1，当且仅当x ＝1
x
，即x ＝1时，等号成立．故y 的最大值为1. [B 能力提升]
11．若0＜x ＜1
2，则函数y ＝x 1－4x 2的最大值为( )
A ．1 B.12 C.14
D.18
解析：选 C.因为0＜x ＜1
2，所以1－4x 2＞0，所以x
1－4x 2＝1
2
×2x
1－4x 2≤1
2
×
4x 2＋1－4x 22＝1
4
，当且仅当2x ＝1－4x 2，即x ＝
2
4
时等号成立，故选C. 12．已知x ≥5
2，则y ＝x 2－4x ＋52x －4有( )
A ．最大值5
4
B ．最小值5
4
C ．最大值1
D ．最小值1
解析：选D.y ＝x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋1
2（x －2）
＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤
（x －2）＋1x －2， 因为x ≥5
2，所以x －2＞0，
所以12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋1x －2≥12
·2
（x －2）·1
x －2
＝1，
当且仅当x －2＝1
x －2，即x ＝3时取等号．
故y 的最小值为1.
13．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab . (1)求ab 的最小值； (2)求a ＋2b 的最小值． 解：因为2a ＋b ＝ab ， 所以1a ＋2
b ＝1；
(1)因为a >0，b >0， 所以1＝1a ＋2
b ≥2
2ab ，当且仅当1a ＝2b ＝1
2
，即a ＝2，b ＝4时取等号，所以ab ≥8，即ab 的最小值为8；
(2)a ＋2b ＝(a ＋2b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝5＋2b a ＋2a
b ≥5＋22b a ·2a
b
＝9， 当且仅当2b a ＝2a
b ，即a ＝b ＝3时取等号，
所以a ＋2b 的最小值为9.
14．已知a ，b 为正实数，且1a ＋1
b ＝2 2.
(1)求a 2＋b 2的最小值；
(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值．
解：(1)因为a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝22，所以1a ＋1
b ＝22≥2
1ab ，即ab ≥1
2
(当且仅当a ＝b 时等号成立)．
因为a 2＋b 2≥2ab ≥2×1
2＝1(当且仅当a ＝b 时等号成立)，
所以a 2＋b 2的最小值为1.
(2)因为1a ＋1
b ＝22，所以a ＋b ＝22ab .因为(a －b )2≥4(ab )3，所以(a ＋b )2－4ab ≥4(ab )3，
即(22ab )2－4ab ≥4(ab )3，即(ab )2－2ab ＋1≤0，(ab －1)2≤0.因为a ，b 为正实数，所以ab ＝1.
[C 拓展探究]
15．是否存在正实数a 和b ，同时满足下列条件：①a ＋b ＝10；②a x ＋b
y ＝1(x >0，y >0)
且x ＋y 的最小值为18，若存在，求出a ，b 的值；若不存在，说明理由．
解：因为a x ＋b
y
＝1，
所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋bx y ＋ay
x ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 又x ＋y 的最小值为18， 所以(a ＋b )2＝18.
由⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）2
＝18，a ＋b ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝2.
故存在实数a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2满足条件．。