【高一数学】函数的极值教学设计

§ 3.1.2 函数的极值
一、教学目标： ⑴理解函数极值的概念；
⑵会求给定函数在某区间上的极值。

二、教学重点：函数极值的判定方法 三、教学难点：用导数求函数极值的方法 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）复习引入
1、函数的导数与函数的单调性的关系：
设函数)(x f y = 在某个区间内有导数，(1)在该区间单调递增)(0/
x f y ⇒> (2)在该区间单调递减)(0/
x f y ⇒< 2、用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数的定义域；
②求函数)(x f 的导数)(/
x f ；
③解不等式0)(/
>x f ，得x 的范围就是递增区间 解不等式0)(/<x f ，得x 的范围就是递减区间 （二）探究新课 一、极值的定义
一般地，设函数)(x f 在0x 附近有定义，如果对0x 附近所有的点，都有
(1))()(0x f x f <，就说f(x 0)是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0x f y =极大值，x 0是极大值点 (2))()(0x f x f <.就说f(x 0)是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值，x 0是极小值点 注：1.取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值
2.对于极值请注意以下几点： （1）极值是一个局部概念，
极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（2）函数的极值不是唯一的
一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系
一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，g 是极大值点，d 是极小值点，
而()()
g f d f >
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部 4、判别f (x 0)是极大、极小值的方法:
若0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则)(0x f 是极值， 如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则)(0x f 是极大值； 如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则)(0x f 是极小值。

注：若0x 是极值点，则0)(0='x f ，反之却不然
二、求可导函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义域， (2)求导数/
()f x ； (3)求方程/()f x =0的根；
(4)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并将)(),(/
x f x f 随
x 的变化情况列成表格.检查/()f x 在方程根左右的值的符号，
①如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取得极大值； ②如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取得极小值； ③如果左右不改变符号，那么)(x f 在这个根处无极值。

（三）例题 例1 求()3
1443
f x x x =
-+的极值
解： ∵()3
1443f x x x =
-+
∴()'
24(2)(2)f
x x x x =-=-+
令042
/
=-=x y 则2,221=-=x x ∴当x 变化时， ()'
f
x ，()f x 的变化情况如下表：
∴()32=
-=f y 极大值 ()3
4
2-==f y 极小值
例2 求2
4
6
33x x x y +-=解：∵2
4
6
33x x x y +-=
∴
()
2
235/166126-=+-=x x x x x y
令0/
=y
则1,0,1321==-=x x x
当x 变化时，y ′，y
∴当x =0时，y 有极小值且0
=极小值y
（四）巩固练习：1.求下列函数的极值.(1)672
+-=x x y (2)x x y 275
-=
2.求函数x x y ln 2
=的极值与对应的极值点
（五）课堂小结：
1.函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.
2.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.
3.
4.求极值的具体步骤：这一步需注意如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这点处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点
（六）课后作业：课本P62 练习题（1）、（2）课本习题3-1中 A组3。