(完整)2.2.3平面向量数乘运算及其几何意义
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2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
1.向量加法三角形法则: 特点:尾首相接,首尾相连
C ab b
A a B
2.向量加法平行四边形法则:
特点:起点相同,连终点
B aC
b
a
b
b
O a A
3.向量减法三角形法则:
特ar点br：共起点，连O 终br点ar，B指向A 被减Bu向uAur量
ur uur
uuur ur uur uuur ur uur
C设uuDuer1, e22是eur1两个euur2 不，共若线A、的B向、量D，三A点B共线2e，1 求kek2的,C值B . e1 3e2,
小结
1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量， 但实数与向量不能相加、相减.实数除 以向量没有意义，向量除以非零实数就 是数乘向量.
(2)若b // a(a 0),则b a是否成立?
成立
向量共线定理：
rr r r
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,
rr
使b a.
rr
r rr r
即a与b共线
b a (a 0)
思考:1)
r a
为什么要是非零向量?
r 2) b 可以是零向量吗?
练一练: 书本P90,练习4
r a
r b
作一作，看成果
已知非零向量
ar,作出
r a
r a
r a
,你能发现什么？
r
a
rrr
r a a a
O
A
B
CLeabharlann 3arr 3a与 a 方向相同
rr 即 3a 3 a
类比上述结论，(ar )
r (a)
r (a)
又如何呢？
rrr a a a
N
r M
Q
P
3a
r 3a
与
r ar方向相r 反
即 3a 3 a
一般地，我们规定实数λ与向量
r a
的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作 ar ，它的长度和方向
规定如下：
r
r
（1） | a || || a |;
（2）当
当
0时， 0时，
r ar a
的方向与 的方向与
r ar
a
的方向相同； 的方向相反。
rr
特别的，当 0 时， a 0.
例 如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
试判断AC与AE是否共线。
E
C
解： AE AD DE A
B
3AB 3BC
3 AB BC
D
3AC
∴ AC与 AE 共线．
rr
uuur r r
例6.如图，已知任意两个向量 a、b ，试作OA a b,
uuur r r uuur r r
5
向量的数乘运算满足如下运算律：
，是实数，
r
r
（1）（ a) ( )a;
r rr
(2)( )a a a;
rr r r
(3) (a b) a b.
r
r
特别地:（ ）a a
r r r r
a b a b
练一练: 书本P90,练习2
根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为非零
向量)，并进行比较。
已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并
进行比较。 a
3(2a)
3(2a) = 6a
b a
2a
2b
a
b
2b
2(a b ) 2a 2b 2a
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算
例1、计算下列各式
(1)(3)
4a
12a
(2)3(a
b)
2(a
b)
a
5b
(3)(2aa3b5bc)2c(3a
2b
c)
练一练: 书本P90,练习5
思考:
(1)若b r a(ra 0),则a,b位置关系如何? b // a
2.若λa=0，则可能有λ=0，也可能有 a=0. 3.向量的数乘运算律，不是规定，而是 可以证明的结论.向量共线定理是平面 几何中证明三点共线，直线平行，线段 数量关系的理论依据.
书本P91，A组，9,10题
OB a 2b,OC a 3b. 你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
r
r
a
b
r 3b
B
r
2b
A
r
b
r
a
O
总结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
且有公共点Ｂ
A,B,C三点共线
ur uur uuur 已知ur两个uur非uu零ur 向量ur e1和eu2ur不uu共ur 线，ur如果uur AB 2e1 3e2，BC 6e1 23e2，CD 4e1 8e2， 求证 : A、B、D三点共线.
1.向量加法三角形法则: 特点:尾首相接,首尾相连
C ab b
A a B
2.向量加法平行四边形法则:
特点:起点相同,连终点
B aC
b
a
b
b
O a A
3.向量减法三角形法则:
特ar点br：共起点，连O 终br点ar，B指向A 被减Bu向uAur量
ur uur
uuur ur uur uuur ur uur
C设uuDuer1, e22是eur1两个euur2 不，共若线A、的B向、量D，三A点B共线2e，1 求kek2的,C值B . e1 3e2,
小结
1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量， 但实数与向量不能相加、相减.实数除 以向量没有意义，向量除以非零实数就 是数乘向量.
(2)若b // a(a 0),则b a是否成立?
成立
向量共线定理：
rr r r
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,
rr
使b a.
rr
r rr r
即a与b共线
b a (a 0)
思考:1)
r a
为什么要是非零向量?
r 2) b 可以是零向量吗?
练一练: 书本P90,练习4
r a
r b
作一作，看成果
已知非零向量
ar,作出
r a
r a
r a
,你能发现什么？
r
a
rrr
r a a a
O
A
B
CLeabharlann 3arr 3a与 a 方向相同
rr 即 3a 3 a
类比上述结论，(ar )
r (a)
r (a)
又如何呢？
rrr a a a
N
r M
Q
P
3a
r 3a
与
r ar方向相r 反
即 3a 3 a
一般地，我们规定实数λ与向量
r a
的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作 ar ，它的长度和方向
规定如下：
r
r
（1） | a || || a |;
（2）当
当
0时， 0时，
r ar a
的方向与 的方向与
r ar
a
的方向相同； 的方向相反。
rr
特别的，当 0 时， a 0.
例 如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
试判断AC与AE是否共线。
E
C
解： AE AD DE A
B
3AB 3BC
3 AB BC
D
3AC
∴ AC与 AE 共线．
rr
uuur r r
例6.如图，已知任意两个向量 a、b ，试作OA a b,
uuur r r uuur r r
5
向量的数乘运算满足如下运算律：
，是实数，
r
r
（1）（ a) ( )a;
r rr
(2)( )a a a;
rr r r
(3) (a b) a b.
r
r
特别地:（ ）a a
r r r r
a b a b
练一练: 书本P90,练习2
根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为非零
向量)，并进行比较。
已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并
进行比较。 a
3(2a)
3(2a) = 6a
b a
2a
2b
a
b
2b
2(a b ) 2a 2b 2a
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算
例1、计算下列各式
(1)(3)
4a
12a
(2)3(a
b)
2(a
b)
a
5b
(3)(2aa3b5bc)2c(3a
2b
c)
练一练: 书本P90,练习5
思考:
(1)若b r a(ra 0),则a,b位置关系如何? b // a
2.若λa=0，则可能有λ=0，也可能有 a=0. 3.向量的数乘运算律，不是规定，而是 可以证明的结论.向量共线定理是平面 几何中证明三点共线，直线平行，线段 数量关系的理论依据.
书本P91，A组，9,10题
OB a 2b,OC a 3b. 你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
r
r
a
b
r 3b
B
r
2b
A
r
b
r
a
O
总结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
且有公共点Ｂ
A,B,C三点共线
ur uur uuur 已知ur两个uur非uu零ur 向量ur e1和eu2ur不uu共ur 线，ur如果uur AB 2e1 3e2，BC 6e1 23e2，CD 4e1 8e2， 求证 : A、B、D三点共线.