高考数学一轮复习 第九章 解析几何单元质检 文 新人教

单元质检九解析几何
(时间:100分钟满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是()
A.3x-4y+4=0
B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0
C.3x-4y+16=0
D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=0
2.(2017宁夏石嘴山第三中学模拟)双曲线C:=1的渐近线方程为y=±x,则曲线C的离心率为()
A. B. C. D.
3.(2017湖南岳阳一模)已知直线l:=1(a>0,b>0)将圆C:x2+y2-2x-4y+4=0平分,则直线l与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值为()
A.8
B.4
C.2
D.1
4.抛物线y2=8x的焦点到双曲线=1的渐近线的距离为()
A.1
B.
C.
D.
5.已知椭圆=1(a>b>0)与双曲线=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m 的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是()
A. B. C. D.
6.过点A(0,3),被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为2的直线方程是()
A.y=-x+3
B.x=0或y=-x+3
C.x=0或y=x+3
D.x=0
7.若直线x-y+2=0与圆C:(x-3)2+(y-3)2=4相交于A,B,则的值为()
A.-1
B.0
C.1
D.10
8.将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()
A.对任意的a,b,e1>e2
B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2
C.对任意的a,b,e1<e2
D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2
9.(2017湖南岳阳一模)已知双曲线=1(a>0,b>0)与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F,且两曲线的一个交点为P,若|PF|=4,则双曲线的离心率为()
A.+1
B.2(+1)
C. D.2
10.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a=()
A. B.
C.3
D.9
11.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=()
A.3
B.6
C.12
D.42
12.已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是() A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2017北京丰台一模)已知点A(1,0),B(3,0),若直线y=kx+1上存在点P,满足PA⊥PB,则k的取值范围是.
14.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为.
15.已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为.
16.若方程=1所表示的曲线C,给出下列四个命题:
①若C为椭圆,则1<t<4;
②若C为双曲线,则t>4或t<1;
③曲线C不可能是圆;
④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则1<t<.
其中正确的命题是.(把所有正确命题的序号都填在横线上)
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.
(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.
18.(12分)已知圆心在x轴上的圆C过点(0,0)和(-1,1),圆D的方程为(x-4)2+y2=4.
(1)求圆C的方程;
(2)由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A,B两点,求|AB|的取值范围.
19.(12分)已知A,B是抛物线W:y=x2上的两个点,点A的坐标为(1,1),直线AB的斜率为k(k>0).设抛物线W的焦点在直线AB的下方.
(1)求k的取值范围;
(2)设C为W上一点,且AB⊥AC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D,判断四边形ABDC 是否为梯形,并说明理由.
20.(12分)
已知椭圆C1:=1(a>b>0)与椭圆C2:+y2=1有相同的离心率,经过椭圆C2的左顶点作直线l,与椭圆C2相交于P,Q两点,与椭圆C1相交于A,B两点.
(1)若直线y=-x经过线段PQ的中点M,求直线l的方程:
(2)若存在直线l,使得,求b的取值范围.
21.(12分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;
(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为-
,求双曲线的离心率.
22.(12分)已知椭圆E:=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点
P在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.
参考答案
单元质检九解析几何
1.D解析设所求直线方程为3x-4y+m=0,
由=3,解得m=16或m=-14.
即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.
2.B解析由题意知,,即b= a.
又c=a,所以e=,故选B.
3.B解析圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心坐标为(1,2),
则=1≥2,∴ab≥8,
当且仅当a=2,b=4时,等号成立.
∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S=ab≥4.
∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积的最小值是4,故选B.
4.A解析抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),其到双曲线=1的渐近线x±y=0的距离
d==1.
5.D解析由题意可知2n2=2m2+c2,
又m2+n2=c2,所以m=.因为c是a,m的等比中项,
所以c2=am,代入m=,解得e=.
6.B解析当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直线方程为x=0;
此时被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为2.
当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.因为弦长为2,圆的半径为2,
所以弦心距为=1.
由点到直线距离公式得=1,解得k=-.
综上,所求直线方程为x=0或y=-x+3.
7.B解析依题意,圆心C(3,3)到直线x-y+2=0的距离为,
从而易得cos,即=45°,所以∠ACB=90°,所以=0,故选B.
8.D解析由条件知=1+=1+,
当a>b时,,则,所以e1<e2.
当a<b时,,则,所以e1>e2.
所以,当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2.
9.A解析抛物线y2=8x的焦点F(2,0),两曲线的一个交点为P,
若|PF|=4,则P(2,4)或(2,-4),可得=4,
即=4,解得a=2-2.∴e=+1.
10.A解析由题意可知,抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-4,则p=8,所以点M(1,4).
又双曲线-y2=1的左顶点为A(-,0),所以直线AM的斜率为.由题意得
,解得a=.
11.B解析因为双曲线的离心率为2,
所以e2==4,即b2=3a2,
所以双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,代入y2=2px(p>0),得x=p或x=0,
故x A=x B=p,
又因为|AF|=x A+p+=7,所以p=6.
12.A解析
如图,取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1.
由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形,则|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.
故a=2.
不妨设M(0,b),则,即b≥1.
所以e=.
又0<e<1,所以0<e≤.故选A.
13.解析以AB为直径圆的方程为(x-1)(x-3)+y2=0,把y=kx+1代入上述方程可得
(1+k2)x2+(2k-4)x+4=0.
∵直线y=kx+1上存在点P,满足PA⊥PB,∴Δ=(2k-4)2-16(1+k2)≥0,化为3k2+4k≤0.解得-
≤k≤0,
则k的取值范围是.
14.8解析设△OFM的外接圆圆心为O1,则|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以O1在线段OF的垂直平分线上.
又因为☉O1与抛物线的准线相切,所以O1在抛物线上,所以O1.
又因为圆面积为36π,所以半径为6,所以p2=36,所以p=8.
15.
2解析圆C:x2+y2-2y=0的圆心为(0,1),半径是r=1.
由圆的性质知:S四边形PACB=2S△PBC,
又因为四边形PACB的最小面积是2,
所以S△PBC的最小值为S=1=rd(d是切线长),所以d最小值=2.
由圆心到直线的距离就是PC的最小值,可得,又因为k>0,所以k=2.
16.②解析若C为椭圆,则有4-t>0,t-1>0且4-t≠t-1,
解得1<t<4且t≠,所以①不正确;
若C为双曲线,则有(4-t)(t-1)<0,解得t>4或t<1,所以②正确;
若t=时,该曲线表示为圆,所以③不正确;
若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则4-t>t-1>0,解得1<t<,所以④错误.
17.解(1)由得圆心C(3,2).
又因为圆C的半径为1,
所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.
显然切线的斜率一定存在,
设所求圆C的切线方程为y=kx+3,
即kx-y+3=0,则=1,
所以|3k+1|=,即2k(4k+3)=0.
所以k=0或k=-.所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-x+3,即y=3或3x+4y-12=0.
(2)由圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,
可设圆心C为(a,2a-4),
则圆C的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.
又因为|MA|=2|MO|,所以设M(x,y),
则=2,
整理得x2+(y+1)2=4,设为圆D,
所以点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,
所以2-1≤≤2+1,
解得a的取值范围为.
18.解(1)过两点(0,0)和(-1,1)的直线的斜率为-1,
则线段AB的垂直平分线方程为y-=1×,整理得y=x+1.取y=0,得x=-1.
所以圆C的圆心坐标为(-1,0),半径为1,
所以圆C的方程为(x+1)2+y2=1.
(2)设P(x0,y0),A(0,a),B(0,b),
则直线PA方程为,
整理得(y0-a)x-yx0+ax0=0.
因为直线PA与圆C相切,可得=1,
化简得(x0+2)a2-2y0a-x0=0,
同理可得PB方程(x0+2)b2-2y0b-x0=0,
所以a,b为方程(x0+2)x2-2y0x-x0=0的两根,
所以|AB|=|a-b|==2,
令t=x0+2∈[4,8],则|AB|=2,
求得|AB|min=,|AB|max=.
|AB|的取值范围是.
19.解(1)抛物线y=x2的焦点为.
由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).
因为抛物线W的焦点在直线AB的下方,
所以1-k>,解得k<.
因为k>0,所以0<k<.即k的取值范围是.
(2)结论:四边形ABDC不可能为梯形.
理由如下:
假设四边形ABDC为梯形.
由题意,设B(x1,),C(x2,),D(x3,y3),
联立方程消去y,得x2-kx+k-1=0,
由根与系数的关系,得1+x1=k,所以x1=k-1.
同理,得x2=--1.
对函数y=x2求导,得y'=2x,
所以抛物线y=x2在点B处的切线BD的斜率为2x1=2k-2,
抛物线y=x2在点C处的切线CD的斜率为2x2=--2.
由四边形ABDC为梯形,得AB∥CD或AC∥BD.
若AB∥CD,则k=--2,即k2+2k+2=0,
因为方程k2+2k+2=0无解,所以AB与CD不平行.
若AC∥BD,则-=2k-2,即2k2-2k+1=0,因为方程2k2-2k+1=0无解,所以AC与BD不平行.
所以四边形ABDC不是梯形,与假设矛盾.
因此四边形ABDC不可能为梯形.
20.解(1)设P(-2,0),Q(x,y),则线段PQ的中点M为,则=0,即x+y=2.
联立解得
所以直线l的方程为y=0或y-0=(x+2),化为x-4y+2=0.
(2)椭圆C2:+y2=1的离心率e=.
设2c是椭圆C1:=1(a>b>0)的焦距,
则,又a2=b2+c2,可得a=2b,c=b,椭圆C1的方程化为x2+4y2=4b2.
设直线l的方程为y=k(x+2),P(x3,y3),Q(x4,y4),A(x1,y1),B(x2,y2).联立
消去y得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,
所以x3+x4=,x3x4=,
|PQ|=.
联立
消去y得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4b2=0,
所以x1+x2=,x1x2=,
|AB|=
=.
因为,所以||=3||,
即3×.
所以b2=1+∈(1,9],即b∈(1,3].
所以b的取值范围是(1,3].
21.解(1)双曲线=1的渐近线方程为y=±x,
由双曲线的一条渐近线方程为y=x,
可得=1,解得a=b.
因为c==2,所以a=b=.
由此可得双曲线方程为=1.
(2)设A的坐标为(m,n),可得直线AO的斜率满足k=,即m=n.①
因为以点O为圆心,c为半径的圆的方程为x2+y2=c2,
所以将①代入圆的方程,得3n2+n2=c2,解得n=c,m= c.
将点A代入双曲线方程,得=1,
化简,得c2b2-c2a2=a2b2,又因为c2=a2+b2,
所以上式化简整理得c4-2c2a2+a4=0,
两边都除以a4,整理得3e4-8e2+4=0,
解得e2=或e2=2,因为双曲线的离心率e>1,
所以该双曲线的离心率e=(负值舍去).
22.(1)解由已知,a=2b.
又椭圆=1(a>b>0)过点P,故=1,解得b2=1.所以椭圆E的方程是+y2=1.
(2)证明设直线l的方程为y=x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组得x2+2mx+2m2-2=0, ①
方程①的判别式为Δ=4(2-m2).
由Δ>0,即2-m2>0,解得-<m<.
由①得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.
所以点M的坐标为,直线OM方程为y=-x.
由方程组得C,D.
所以|MC|·|MD|=(-m+)·+m)=(2-m2).
又|MA|·|MB|=|AB|2=[(x1-x2)2+(y1-y2)2]
=[(x1+x2)2-4x1x2]=[4m2-4(2m2-2)]=(2-m2).
所以|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.。