海南省海口市第一中学2020届高三9月月考数学试题(B卷)

海口市一中2020届高三年级9月月考数学（B ）卷试题
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 设集合{}
lg(3)A x y x ==-，{
}
2,x
B y y x R ==∈ ，则A ∪B 等于（ ） A. {}
0x x >
B. R
C. {}
1x x >
D.
{}3x x >
【★★答案★★】A 【解析】 【分析】
由题可知集合A 是对数函数的定义域，集合B 是指数函数值域，分别求出两集合再求并集即可.
【详解】解：因为{}{}
lg(3)=3A x y x x x ==->，{
}{
}
2,=0x
B y y x R y y ==∈>， 所以 {}
0A B x x ⋃=>， 故选：A
【点睛】此题考查了对数函数、指数函数、集合的并集运算，属于基础题. 2. 在复平面内，复数1
1i
-的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【★★答案★★】D 【解析】
分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限. 详解：
11111(1)(1)22i i i i i +==+--+的共轭复数为1122
i - 对应点为1
1(,)2
2
-，在第四象限，故选D.
点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.
3. 函数6()22x x
x
f x -=
+的图像大致是（ ）
A.
B.
C. D.
【★★答案★★】C 【解析】 【分析】
根据函数特点，判断奇偶性，再通过函数在0x >时的函数值，进行判断，得到★★答案★★. 【详解】()622
x x
x
f x -=
+定义域为R ，()()622x x x f x f x ---==-+，且()00f = 所以()f x 为R 上的奇函数，A 、B 排除.
当0x >时，()f x 分子、分母都为正数，故()0f x >，排除D 项. 故选C 项.
【点睛】本题考查函数的图像与性质，通过排除法进行解题，属于简单题.
4. 已知1
3
2a -=，21log 3b =，1
2
1
log 3c =，则（ ）． A. a b c >> B. a c b >> C. c a b >>
D.
c b a >>
【★★答案★★】C 【解析】
试题分析：因为13
212
11
2(0,1),log 0,log 1,33a b c -=∈==所以.b a c <<选C ． 考点：比较大小
5. 下表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据.根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为
ˆ0.70.35y
x =+，那么表中t 的值为( )
A. 3
B. 3.15
C. 3.5
D. 4.5
【★★答案★★】A 【解析】 【分析】
由表中数据求出,x y ，代入线性回归方程即得. 【详解】因为线性回归直线过样本中心点()
,x y ， 由表中数据求得3456 2.54 4.5114.5,444
t t
x y +++++++=
===， 代入线性回归方程得110.7 4.50.35,34
t
t +=⨯+∴=. 故选：A .
【点睛】本题考查线性回归方程，属于基础题.
6. ()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
展开式中2x 的系数为（ ） A. 15
B. 20
C. 30
D. 35
【★★答案★★】C 【解析】 【分析】
利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得2x 的系数.
【详解】根据二项式定理展开式通项为1C r n r r
r n T a b -+=
()()()66622
111111x x x x x ⎛⎫++=++⋅+ ⎪⎝⎭
则()6
1x +展开式的通项为16r r
r T C x +=
则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 展开式中2x 的项为22446621C x C x x ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭
则()62111x x ⎛⎫+
+ ⎪⎝⎭
展开式中2x 的系数为2466151530C C +=+= 故选:C
【点睛】本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.
7. 若直线22(0,0)mx ny m n -=->>被圆22
2410x y x y ++-+=截得弦长为4，则
41
m n
+的最小值是（ ） A. 9
B. 4
C.
12
D.
14
【★★答案★★】A 【解析】 【分析】
圆方程配方后求出圆心坐标和半径，知圆心在已知直线上，代入圆心坐标得,m n 满足的关系，用“1”的代换结合基本不等式求得
41
m n
+的最小值． 【详解】圆标准方程为2
2
(1)(2)4x y ++-=，圆心为(1,2)C -，半径为2r ，
直线被圆截得弦长为4，则圆心在直线上，∴222m n --=-，1m n +=， 又0,0m n >>，
∴
41414()()5n m m n m n m n m n +=++=++59≥+=，当且仅当4n m m n =，即21
,33m n ==时等号成立．
∴41
m n
+的最小值是9． 故选A ．
【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题时需根据直线与圆的位置关系求得,m n 的关系
1m n +=，然后用“1”的代换法把
41
m n
+凑配出可用基本不等式的形式，从而可求得最值． 8. ()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R 总有3()()2
f x f x +=-，则3
()2f -的值为
（ ）
A. 3
2
- B. 3 C.
32
D. 0
【★★答案★★】D 【解析】 【分析】
根据()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(0)0f =，在3()()2f x f x +=-中令3
2
x =-即可得到3()2
f -得值.
【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-对任意x ∈R 都成立， 当0x =时，有(0)0f =，
又因为对任意x ∈R 总有3()()2f x f x +=-，所以333()()222
f f -+=--， 所以3
()(0)02
f f -=-=. 故选：D.
【点睛】本题考查了奇函数的性质，属于基础题.
9. 如图，已知OAB ∆，若点C 满足()2,,AC CB OC OA OB R λμλμ==+∈，则1
1
λ
μ
+
=
（ ）
A.
13
B.
23
C.
29
D.
92
【★★答案★★】D 【解析】 【分析】
把2AC CB =转为12
33
OC OA OB =
+，故可得,λμ的值后可计算11λμ+的值.
【详解】因为2AC CB =，所以()
2OC OA OB OC -=-，整理得到12
33
OC OA OB =
+，
所以12,33λμ==，119
2
λμ+=，选D.
【点睛】一般地，O 为直线l 外一点，若,,A B C 为直线l 上的三个不同的点，那么存在实数λ满足()1OC OA OB λλ=+-；反之，若平面上四个不同的点满足()1OC OA OB λλ=+-，则,,A B C 三点共线.
10. 半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为（ ） A. 5:6π B. 6:2π
C. :2π
D. 5:12π
【★★答案★★】B 【解析】 【分析】
作出过正方体的对角面的截面，设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，在直角C CO '∆中，由勾股定理，得222CC OC OC ''+=，求得球的半径6
R a =，利用体积公式，即可求解. 【详解】作出过正方体的对角面的截面，如图所示， 设球的半径为R ，正方体的棱长为a ，那么2,2
a CC a OC '==， 在直角C CO '∆中，由勾股定理，得222CC OC OC ''+=, 即22
22(
)2
a a R +=，解得62R a =， 所以半球的体积为333
114266()23322
V R a a πππ=
⨯=⨯=， 正方体的体积为3
2V a =，
所以半球与正方体的体积比为
33
6:6:22
a a ππ=，故选B.
【点睛】本题主要考查了球的内接组合体的性质，以及球的体积与正方体的体积的计算，其中解答中正确认识组合体的结构特征，作出过正方体的对角面的截面，利用勾股定理求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于基础题.
11. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦距为的实轴长为（ ） A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【★★答案★★】B 【解析】
【详解】因为双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线为b y x a
=±，
因为两条渐近线互相垂直，所以2
1b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
，得a b =
因为双曲线焦距为c =由222c a b =+可知228a =，所以2a =，所以实轴长为24a =. 故选B 项.
【点睛】本题考查双曲线的渐近线，实轴长等几何特性，属于简单题.
12. 已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且满足()()0f x xf x '+>（()f x '是()f x 的导函数），则不等式()()
()2
111x f x f x --<+的解集为（ ）
A. (),2-∞
B. ()1,+∞
C. ()1,2-
D. ()1,2
【★★答案★★】D 【解析】 【分析】
构造函数()()g x xf x =，利用导数分析函数()y g x =在()0,∞+上的单调性，在不等式
()()()2111x f x f x --<+两边同时乘以1x +化为()()()()221111x f x x f x --<++，即
()()211g x g x -<+，然后利用函数()y g x =在()0,∞+上的单调性进行求解即可.
【详解】构造函数()()g x xf x =，其中0x >，则()()()0g x f x xf x ''=+>， 所以，函数()y g x =在定义域()0,∞+上为增函数，
在不等式()()
()2
111x f x f x --<+两边同时乘以1x +得
()()()()2
21111x
f x x f x --<++，即()()211
g x g x -<+，
所以22
111010x x x x ⎧-<+⎪->⎨⎪+>⎩
，解得12x <<，
因此，不等式()()
()2
111x f x f x --<+的解集为()1,2，故选D.
【点睛】本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下： （1）根据导数不等式的结构构造新函数()y g x =；
（2）利用导数分析函数()y g x =的单调性，必要时分析该函数的奇偶性； （3）将不等式变形为()()12g x g x <，利用函数()y g x =的单调性与奇偶性求解. 二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 在4个不同的红球和3个不同的白球中，随机取3个球，则既有红球又有白球的概率为__________． 【★★答案★★】67
【解析】 【分析】
从7个球里取3个球，共有 3
735C =种可能的情况，要求既有红球又有白球，可以从反面考
虑，即全是红球和全是白球的情况，然后用总数减去这两种情况就是符合要求的，然后再由古典概型公式，得到概率.
【详解】从7个球里取3个球，共有 3
735C =种可能的情况，
全是红球的情况有3
44C =，全是白球的情况有3
31C =，
将这两种情况去掉，就是符合要求的情况，即既有红球又有白球的情况，
所以概率为333
7433
7306
357
C C C C --== 【点睛】本题考查古典概型中从反面考虑的情况，属于简单题. 14. 设函数()sin(2)f x x ϕ=+()2
π
ϕ<
向左平移3
π
个单位长度后得到的函数是一个奇函
数，则ϕ=__________． 【★★答案★★】3
π 【解析】
把函数()()22f x x πϕϕ⎛⎫
=+<
⎪⎝
⎭
的图象向左平移
3
π
个单位长度后，可得223y sin x πϕ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
的图象，结合得到的函数为一个奇函数，则2,3k k Z ϕππ+=∈，因
为2
π
ϕ<
，令0k = 可得3
π
ϕ=
，故★★答案★★为
3
π
. 【方法点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性和图象的变换，属于中档题.已知
()()sin f x A x ωφ=+的奇偶性求φ时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式
来解答：（1）,k k z φπ=∈时，()f x sin A x ω=±是奇函数；（2）,2
k k z π
φπ=+
∈ 时，
()f x cos A x ω=±是偶函数.
15. 已知函数26
()log f x x x
=-的零点的区间是()()1,k k k Z -∈，则k 的值为__________. 【★★答案★★】4 【解析】 【分析】
由导数得出函数()f x 的单调性，结合零点存在性定理，即可得出k 的值. 【详解】函数26
()log f x x x
=
-的定义域为(0,)+∞ 261()0ln 2
f x x x '=-
-< 则函数()f x 在(0,)+∞上单调递减
22224346(3)log log log log 3033f =-=
-=>，261
(4)log 4042
f =-=-< (3)(4)0f f ∴<
由零点存在性定理可知，函数26
()log f x x x
=-在区间(3,4)必有1个零点，则4k = 故★★答案★★为：4
【点睛】本题主要考查了由零点所在区间求参数的值，属于中档题.
16. 已知{}n a 是公差不为零的等差数列，同时9a ，1a ，5a 成等比数列，且159320a a a ++=，则13a =______ . 【★★答案★★】28 【解析】 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等比数列的性质以及等差数列的通项公式求出首项和公差，再根据通项公式可求得结果.
【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，
因为9a ，1a ，5a 成等比数列，所以2
195a a a =⋅，
所以2
111(8)(4)a a d a d =++，根据0d ≠，化简得1380a d +=，
又由159320a a a ++=，得111312820a a d a d ++++=，即144a d +=， 联立1380a d +=与144a d +=，解得18a =-，3d =， 所以1311283628a a d =+=-+=. 故★★答案★★为：28.
【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了等差数列通项公式的基本量的计算，属于基础题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,满足()12,n n n a S S S +=-,()2,b n =,//a b ．
（1）求证：数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等比数列；
（2）求数列{}n S 的前n 项和n T ．
【★★答案★★】(1)证明见解析；(2)()
121n
n T n =-+． 【解析】 【分析】
（1）先由//a b ，结合题意得到()122n n n n S S S +∴-=，化简整理，结合等比数列的定义，即可证明结论成立；
（2）先由（1）求出1
2-=⨯n n S n ，再由错位相减法，即可求出结果.
【详解】()1证明
()()12,,2,,//,+=-=n n n a S S S b n a b
()122n n n n S S S +∴-=,
121n n S S
n n
+∴
=⨯+, 11a ∴=,111
S
=,
∴数列Sn n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以1为首项,以2为公比的等比数列;
()2解：由()1可知,
12n n S n -∴=⨯,
0121122232...2n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++⨯,
()12121222...122n n n T n n -∴=⨯+⨯++-⨯+⨯,
由错位相减得
(
)()121112122 (222)
21212112
n n n n
n n n n T n n n n ---=++++-⨯=
-⨯=--⨯=---,
()121n n T n ∴=-+．
【点睛】本题主要考查等比数列的证明以及数列的求和问题，熟记等比数列的概念，以及错位相减法求和即可，属于常考题型.
18. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝3bsinA －acosB ． （1）求B ；
（2）若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a ，c ． 【★★答案★★】（1）；（2）．
【解析】 试题分析：（1）由
及正弦定理得
，
因为，可以得出的关系式，进而求出角
；（2）根据三角形面积公式得，
又根据余弦定理得出，从而得出
．
试题解析：（1）由及正弦定理得
，因为
，得
，因为
为三角形内角，故
． （2）三角形的面积
，故
．而
，故
．解得
．
考点：1、正、余弦定理；2、三角形面积公式．
19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值.
【★★答案★★】（1）见解析；（2）3
【解析】
【详解】（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ． 由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD ． 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ． （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，
由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .
以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标
系F xyz
-.
由（1）及已知可得
2
2
A
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
，
2
0,0,
2
P
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
，
2
2
B
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
，
2
,1,0
2
C
⎛⎫
-
⎪
⎪
⎝⎭
.
所以
22
,1,
22
PC
⎛⎫
=--
⎪
⎪
⎝⎭
，()
2,0,0
CB=，
22
22
PA
⎛
=-
⎝⎭
，()
0,1,0
AB=. 设()
,,
n x y z
=是平面PCB的法向量，则
0,
0,
n PC
n CB
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
即
22
0,
20,
x y z
x
⎧
+-=
⎪
⎨
⎪=
⎩
可取(0,1,2
n=--.
设()
,,
m x y z
=是平面PAB 的法向量，则
0,
0,
m PA
m AB
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
即
22
0,
22
0.
x z
y
-=
⎨
⎪=
⎩
可取()
1,0,1
m=.
则
3
cos,
n m
n m
n m
⋅
==-，
所以二面角A PB C
--的余弦值为
3
-
【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：
①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；
②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角； ③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.
20. 某高中社团进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的称为“时尚族”，否则称为“非时尚族”，通过调查分别得到如图所示统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
完成以下问题：
（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n ，a ，p 的值；
（Ⅱ）从[40，50）岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45）岁的人数为X ，求X 的分布列和期望E （X ）..
【★★答案★★】（1）直方图见解析，1000,0.65,60n p a ===（2）分布列见解析，()2E x =
【解析】 【分析】
试题分析：（Ⅰ）根据所求矩形的面积和为1求出第二组的频率，然后求出高，画出频率直方
图，求出第一组的人数和频率从而求出n，由题可知，第二组的频率以及人数，从而求出p的值，然后求出第四组的频率和人数从而求出a的值；
（Ⅱ）因为[40，45）岁年龄段的“时尚族”与[45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值为2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人，机变量X服从超几何分布，X的取值可能为0，1，2，3，分别求出相应的概率，列出分布列，根据数学期望公式求出期望即可．
试题解析：解：（Ⅰ）第二组的频率为1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，
所以高为．频率直方图如下：
第一组的人数为，频率为0.04×5=0.2，所以．
由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3=300，所以．第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．（Ⅱ）因为[40，45）岁年龄段的“时尚族”与[45，50）岁年龄段的“时尚族”的比值
为60：30=2：1，所以采用分层抽样法抽取18人，[40，45）岁中有12人，[45，50）岁中有6人．
随机变量X服从超几何分布．，，
，．
所以随机变量X分布列为
X 0 1 2 3
P
∴数学期望
（或者 ）.
点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值 【详解】
21. 已知函数()ln f x x x =.
（1）求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程； （2）求()f x 的单调区间；
（3）若对于任意1
,x e e
⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，都有()1f x ax ≤-，求实数a 的取值范围.
【★★答案★★】（1）1y x =-（2）()f x 的单调递增区间是1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
；()f x 的单调递减区
间是10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
（3）1a e ≥-.
【解析】 【分析】
（1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得切线方程；
（2）求得导函数，并令()0f x '=求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间；
（3）将不等式变形，并分离参数后构造函数()1
ln g x x x
=+，求得()g x '并令()0g x '=求得极值点，结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可确定a 的取值范围.
【详解】（1）因为函数()ln f x x x =，
所以()1
ln ln 1f x x x x x
'=+⋅
=+，()1ln111f '=+=. 又因为()10f =，则切点坐标为()1,0，
所以曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为1y x =-. （2）函数()ln f x x x =定义域为()0,∞+， 由（1）可知，()ln 1f x x '=+. 令()0f x '=解得1=
x e
()f x 与()f x '在区间()0,∞+上的
情况如下：
所以，()f x 的单调递增区间是1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
；
()f x 的单调递减区间是10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
（3）当1
x e e
≤≤时，“()1f x ax ≤-”等价于“1ln a x x ≥+”.
令()1ln g x x x =+，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()22111x g x x x x -'=-=，1,x e e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
. 令()0g x '=解得1x =，
当1,1x e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减. 当()1,x e ∈时，()0g x '>，所以()g x 在区间()1,e 单调递增.
而1ln 1 1.5g e e e e ⎛⎫=+=-> ⎪⎝⎭，()11
ln 1 1.5g e e e e
=+
=+<. 所以()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
. 所以当1a e ≥-时，对于任意1,x e e
⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，都有()1f x ax ≤-.
【点睛】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，由导函数求函数的单调区间，分离参数法并构造函数研究参数的取值范围，由导数求函数在闭区间上的最值，属于中档题.
22. 如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是3
，一个顶点是(0,1)B ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设P ，Q 是椭圆C 上异于点B 的任意两点，且BP BQ ⊥．试问：直线PQ 是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．
【★★答案★★】（Ⅰ）2
214
x y +=（Ⅱ）直线PQ 恒过定点3(0,)5-
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．求出b 利用离心率求出a ，即可求解椭圆C 的方程；
（Ⅱ）证法一：直线PQ 的斜率存在，设其方程为y=kx+m ．将直线PQ 的方程代入2
21
4
x y +=消去y ，设 P ()11,x y ，Q ()22,x y ，利用韦达定理，通过BP⊥BQ，化简求出25230m m --=，求出m ，即可得到直线PQ 恒过的定点．证法二：直线BP ，BQ 的斜率均存在，设直线BP 的方
程为y=kx+1，将直线BP 的方程代入2
214
x y +=，消去y ，解得x ，设 P ()11,x y ，转化求出P
的坐标，求出Q 坐标，求出直线PQ 的方程利用直线系方程求出定点坐标 试题解析：（Ⅰ）解：设椭圆C
半焦距为c ．依题意，得1b =，
且 222
2213
4
c a e a a -===，
解得 24a =．
所以，椭圆C 的方程是2
214
x y +=．
（Ⅱ）证法一：易知，直线PQ 的斜率存在，设其方程为y kx m =+． 将直线PQ 的方程代入2
2
44x y +=，
消去y ，整理得 2
2
2
(14)8440k x kmx m +++-=．
设 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，
则 122814km x x k +=-+，2122
44
14m x x k
-⋅=+．（1） 因为 BP BQ ⊥，且直线,BP BQ 的斜率均存在，
所以 1212
111y y x x --⋅=-， 整理得 121212()10x x y y y y +-++=．（2） 因为 11y kx m =+，22y kx m =+，
所以 1212()2y y k x x m +=++，22
121212()y y k x x mk x x m =+++．（3）
将（3）代入（2），整理得
221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m ++-++-=．（4）
将（1）代入（4），整理得 25230m m --=．
解得 3
5
m =-
，或1m =（舍去）． 所以，直线PQ 恒过定点3
(0,)5
-．
证法二：直线,BP BQ 的斜率均存在，设直线BP 的方程为1y kx =+． 将直线BP 的方程代入2
2
44x y +=，消去y ，得 2
2
(14)80k x kx ++=
解得 0x =，或2
814k
x k -=
+．
设 11(,)P x y ，所以12814k x k -=+，2
112
14114k y kx k -=+=+，
所以 2
22
814(,)1414k k P k k
--++． 以1k -替换点P 坐标中的k ，可得 22
284(,)44
k k Q k k -++． 从而，直线PQ 的方程是 222
22222
2148141488144144144
k k
y x k k k k k k k k k k --+++=-----++++．
依题意，若直线PQ 过定点，则定点必定在y 轴上． 在上述方程中，令0x =，解得35
y =-
． 所以，直线PQ 恒过定点3(0,)5
-． 考点：圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程
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