2019年高考数学总复习3.2 二次函数及其图象

【解】 如果函数f(x)与x轴至多有一个交点,则Δ≤0 ∴k2-4×1×(8-k)≤0 k2+4k-32≤0 求得-8≤k≤4 ∴k的值为[-8,4].
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18.已知二次函数y=x2+bx+3有最小值为-1,试求常数b的值.
【解】 ∵a=1,c=3,函数有最小值为-1
∴ymin=������������������−������������=������×������×������−������������=-1
时y有最
值为
(2)函数y=-5x2-3x+1的顶点坐标为
当x=
时y有最
值为
(3)函数y=3x2+12x+11开口
,
在区间
单调递增,在区间
(4)函数y=-x2+2x+5开口
,在区间
调递增,在区间
单调递减.
, . , .
单调递减. 单
【答案】 (1)(-3,-7) -3 小 -7 (2)(- ������ ,������������) - ������ 大 ������������
() D.(2)和(4)
【答案】D
16
10.下列命题正确的是 ( ) A.函数 y=2x2-6x-3 的最小值是������
������
B.函数 y=-2x2-6x-3 的最大值是������������
������
C.函数 y=-x2-4x+3 的最小值为 7 D.函数 y=-x2-4x+3 的最大值为 7
������������
������������
(3)最值
①当 a>0,函数图象开口向上,当 x=-������������������时,ymin=������������������������−������������������. ②当 a<0,函数图象开口向下,当 x=-������������������时,ymax=������������������������−������������������. 【说明】 1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种:配方法和公式法.
2.无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与
对称轴;但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向.
2
【例题精解】 【例1】 求作函数y=x2+4x+2的简图.
【解】 y=x2+4x+2=(x+2)2-2
3
【例2】 (1)函数y=x2+6x+2的顶点坐标为
当x=
【点评】 在给定区间求二次函数的最值,步骤如下: (1)观察顶点是否出现在给定区间内; (2)比较给定区间的两个端点到对称轴的距离; (3)判断开口方向,然后求最值.
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【例5】 求当k为何值时,函数y=-2x2+4x+k的图象与x轴 (1)只有一个公共点;(2)有两个公共点;(3)没有公共点.
【解】 令-2x2+4x+k=0.则-2x2+x+k=0的判别式Δ=b24ac=16+8k (1)当Δ=0,即16+8k=0,k=-2时,方程有两个相等的实根,这时 图象与x轴只有一个公共点; (2)当Δ>0,即16+8k>0,k>-2时,方程有两个不相等的实根,这 时图象与x轴有两个公共点; (3)当Δ<0,即16+8k<0,k<-2时,方程有两个不相等的实根,这 时图象与x轴无公共点;
4.函数 y=������x2+x-3 的最小值是 ( )
������
A.-3 B.-������ C.������ D.3
������
������
【答案】B
11
5.二次函数y=x2-2x+5的值域是 A.[4,+∞) B.(4,+∞)
() C.(-∞,4]
D.(-∞,4)
【答案】A
12
6.函数y=x2+4x+k的图象可能是 ( )
������������ ������������
������������
(2)当 a>0,函数在区间(-∞,- ������ )上是减函数,在(- ������ ,+∞)上是增函数.
������������
������������
当 a<0,函数在区间(- ������ ,+∞)上是减函数,在(-∞,- ������ )上是增函数
【解】 (1)如果函数图象经过原点
则 02+2(m-1)×0+2m-m2=0，m2-2m=0，求得 m=0 或 2.
(2)如果函数图象关于 y 轴对称，则-������(������−������)=0，求得 m=1
������������
∴f(x)=-x2+1
(3)∵f(x)=-x2+1 为偶函数，∴f(-2)=f(2),f(- ������)=f( ������) 又∵f(x)在[0,+∞)上为减函数，∴f(2)<f( ������)<f( ������) 即 f(-2)<f(- ������)<f( ������)
【答案】C
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3.函数y=-2x2-4x-2的图象具有性质
()
A.开口方向向上,对称轴为x=-1,顶点坐标为(-1,0)
B.开口方向向上,对称轴为x=1,顶点坐标为(1,0)
C.开口方向向下,对称轴为x=-1,顶点坐标为(-1,0)
D.开口方向向下,对称轴为x=1,顶点坐标为(1,0)
【答案】C
10
������������ ������������ ������������
������������
(3)向上 [-2,+∞) (-∞,-2] (4)向下 (-∞,1] [1,+∞)
【点评】 要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性
质时,方法有两个:
(1)配方法;(2)公式法:适用于不容易配方题目.
【解】 (1)略 (2)令-x2+4x-3=0 x2-4x+3=0 (x-3)(x-1)=0 求得x=1或x=3 ∴x=1或x=3时y=0 (3)y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1 ∴函数图象的顶点坐标为(2,1),对称轴为x=2. 当x=2时,ymax=1.
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17.如果二次函数f(x)=x2+kx-(k-8)与x轴至多有一个交点, 求k的值.
3.2 二次函数及其图象
【复习目标】 1.掌握二次函数图象的画法及图象的特征. 2.掌握二次函数的性质,能利用性质解决实际问题. 3.会求二次函数在指定区间上的最大(小)值. 4.掌握二次函数、一元二次方程的关系.
1
【知识回顾】
1.函数 y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数.
2.二次函数的图象是一条抛物线.
,
������
14.设函数y=ax2-bx+c的图象如右图,
则下列各式与0的大小关系是
(1)a
,(2)b
,
((35))ca-b><+00c=0
,(4)a+,>(b60+)bc>20-4ac>0
,
.
15.已知y=-4x2+28x+1,则y有最大 .
值为
50
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三、解答题 16.已知二次函数y=-x2+4x-3, (1)画出函数的图象(草图); (2)当x为何值时y=0; (3)求函数图象的顶点坐标、对称轴和函数的最值.
【答案】D
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二、填空题
11.若函数f(x)=2x2+x-1,则f(x)的图象的对称轴是直
线 x=-������
.
������
12.若函数y=2x2+bx+3在区间(-∞,2)上是减函数,在区间
(与21,x+3轴∞.函的)是数交增y点=函坐2数x标-28,-则是3bx-=9(3的,0图) 象与、y轴. (的-������交,0)点坐.标是(0,-9)
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【同步训练】
一、选择题
1.函数y=(x-2)2+3图象的顶点坐标是
A.(2,3)
B.(-2,3)
C.(2,-3)
D.(-2,-3)
【答#43;mx+4在区间(-∞,-1)上是减函数，在 区间(-1,+ ∞)上是增函数，则m= ( )
A.2 B.-2 C.10 D.-10
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3.任何一个二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)都可把它的解析式配方为顶点式;
y=a(x+������ )2+������������������−������������.
������������
������������
性质:(1)图象的顶点坐标为(- ������ ,������������������−������������),对称轴是直线 x=- ������ .
������������
������������
求得 b=±4
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19.已知二次函数 f(x)=-x2+2(m-1)x+2m-m2, (1)如果它的图象经过原点,求 m 的值. (2)如果它的图象关于 y 轴对称,写出函数关系式. (3)如果它的图象关于 y 轴对称,试比较 f(-2)、f(- ������)、f( ������)的大小.
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【例4】 (1)求函数y=-x2+2x-5在给定区间[-3,7]上的最值. (2)求函数y=x2+4x+10在给定区间[-1,6]上的最值.
【解】 (1)原函数可化为y=-x2+2x-5=-(x-1)2-4 ∵图象开口向下 ∴当x=1时,ymax=-4 又∵|-3-1|<|7-1| ∴当x=7时,ymin=-(7-1)2-4=-40 (2)原函数可化为y=x2+4x+10=(x+2)2+6 ∵图象开口向上 |-1-(-2)|<|6-(-2)| ∴当x=-1时,ymin=(-1+2)2+6=7 当x=6时,ymax=(6+2)2+6=70
A.(-2,6)
B.(-∞,-2)∪(6,+∞)
C.[-2,6)
D.[-2,6]
【答案】B
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9.下列函数的图象中,对称轴是直线x=1的是
(1)y=2x2+4x-3
(2)y=2x2-4x+3
(3)y=-3x2-6x-3
(4)y=-3x2+6x-3
A.(1)和(2) B.(2)和(3) C.(1)和(3)
【答案】B
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7.对于二次函数y=-2x2+8x,下列结论正确的是 ( ) A.当x=2时,y有最小值8 B.当x=-2时,y有最小值8 C.当x=2时,y有最大值8 D.当x=-2时,y有最大值8
【答案】C
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8.如果函数y=x2+mx+(m+3)的图象与x轴有两个交点,则实数
m的取值范围是 ( )
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【例 3】 (1)已知函数 y=f(x)=x2+2x-3,试比较 f(-5),f(2),f(0)的大小. (2)已知函数 y=-2x2-1,试比较 f(2),f( ������),f(- ������)的大小.
【解】 (1)∵y=x2+2x-3 ∴可知函数的对称轴为直线 x=-1 又∵图象开口向上,|-5-(-1)|>|2-(-1)|>|0-(-1)| ∴f(-5)>f(2)>f(0) (2)∵y=-2x2-1 ∴可知函数的对称轴为直线 x=0 又∵图象开口向下,|- ������-0|>|2-0|>| ������-0| ∴f( ������)>f(2)>f(- ������) 【点评】 (1)当 a>0 时,对称轴通过抛物线的最低点(此时函数有最小值), 此时点到对称轴的距离越大,则对应的函数值就越大.如例 3(1) (2)当 a<0 时,对称轴通过抛物线的最高点(此时函数有最大值),此时图象上 的点到对称轴的距离越大,则对应的函数值就越小.如例 3(2)