1.4.3正切函数图象与性质课件
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高中数学 1.4.3正切函数图象与性质课件 新人教A版必修4
/ 1
(3) 平移 (4) 连线
6
o1
M -11 A
o 6
3
2
2 3
5
7
6
6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
-
-
精品
6
思考
4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?
y
y
T
x
o x (1,0) A
o x x (1,0) A
正切线AT
y
x
o x (1,0) A
T
y
T
x
o
(1,0)
，
8
，8
，4
3 ，8
(4) 连线
o
3 0 3
2 848
84 8 2
精品
9
二:性质 你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗?
y
1 x
-3/2 - t- -/2 0 t /2 t+ 3/2 -1
函数 定义域 值域
y=tanx
{x|xk,kZ}
2
R
周期性
T=
奇偶性
奇函数
单调性 增区间精品 (k,k)kZ
C. ( , 0 ) 6
D. ( , 0 ) 4
精品
14
合作学习
精品
15
例题分析
精品
16
例题分析
例 2 解 不 等 式 ： tanx 3
解：
y
3
0 x 32
解法1 解法2
由精图 品 x 可 k 3 知 ,k ： 2 (k 1Z 7 )
例题分析
精品
1.4.3正切函数的性质和图象课件.ppt
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
练习：画出下列各角的正切线：
y
的终边 的终边
y
y
y
的终边
的终边
复习回顾 问题：正弦曲线是怎样画的？
3
2
2k
]
减函数
奇函数
2
对称轴： x
2
k
,k
Z
对称中心： (k , 0) k Z
y=cosx
y
1
0
2
3 2
2
5 2
x
-1
xR
y [1,1]
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数
2
值域： R
y y tan x
周期性： 正切函数是周期函数，
周期是
2
2
o 2
x 2
奇偶性： 奇函数
单调性： 在 ( k , k ) k Z
2
2
内是增函数
对称性： 对称中心是(k , 0), k Z
2
对称轴呢？
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
解：
y
3
0 x
1.4.3 正切函数的性质与图象 课件
-
-
P1
6
o1
M-11 A
y
1p1/
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线 (3) 平移 (4) 连线
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
1、用平移正弦线得y sin x, x [0,2 ]图象.
2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到.
§
正切函数的性质
周期性
由诱导公式得 tan(x ) tan x, x R,x k, k Z
2
所以，正切函数是周期函数，周期是 .
奇偶性
由诱导公式得 tan(x) tan x, x R,x k, k Z
2
所以正切函数是奇函数.
单调性
所以,函2数的3定义2域是x
x
2k
3
,
k
Z.3
由于f+x
2
kT＜
2
txan
32＜2x
Tk,k3Z,
tan
2
x
3
2
T
解得
ta2nk23x＜x＜3 2k
f (3x,)k,
Z .
2
T
即T
2
因此,函数的单调递增区间是:
2k
，2k 3
3
, k Z. 2
周期T
另解：周期T
1.4.3正切函数图象与性质课件
在x
1 3
k
18
,
1 3
k
5
18
上是增函数；
4、奇偶性 非奇非偶函数
5、周期性
最小正周期是
3
四、小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
问题讨论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
在每一个开区间
(-π+ kπ,π+ kπ) ，kZ 内都是增函数。
2
2
例1 求函数 y tan(x ) 的定义域。
解：令 z x ,
4
那么函数 y t4an z的定义域是：
24
令u x ;所以y tan u的单调递增区间为:
2 4 k u k ,k Z
2
2
由u 1 x 得 :
24
k 1 x k 22 4 2
y 3 tan( 1 x )的单调递减区间为:
24
2k 3 x 2k
2
2
2k x 2k 3
2
2
例4 求下列函数的周期：
•最小正周期：所有周期T中最小的正数。
3.如何利用单位圆中的正 弦线作出 正弦函数图象？
Y
y sin x, x [0,2 ]
74 3 5 11 2
63 2 3 6
O 2 5
6 3 23 6
X
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数
高中数学1.4.3正切函数的性质与图象优秀课件
定义域 奇偶性 周期性 单调性
对称性
正 切 函 数 y ta nx 的 性 质
{x|xR且 xk,kZ}
2 奇函数
最 小 正 周 期 T
在 (k ,k ),(k Z )上 单 调 递 增
对 称 中 2 心 (k,2 0 ),(k Z );无 对 称 轴
2
课堂数学思想总结
类比迁移思想 整体代换思想 数形结合思想
4
4
类型一 正切函数的定义域
例1 求以下函数的定义域. (1)y＝1＋1tan x；
(2) ylg( 3tanx).
总结归纳
求 正 切 函 数 的 定 义 域 需 要 注 意 :
1 .注 意 正 切 函 数 自 身 的 限 制 条 件 ; 2 . 注 意 利 用 正 切 函 数 的 图 象 进 行 方 程 或 不 等 式 的 求 解 ; 3 .注 意 解 集 的 规 范 书 写 .
思考
我 们 能 用 “ 五 点 法 ” 简 便 地 作 出 正 弦 函 数 与 余 弦 函 数 的 简 图 ，
那 能 否 类 似 的 作 出 正 切 函 数 y t a n x , x ( ,) 的 简 图 ？ 怎 么 作 ？ 2 2 两线三点法
两线: x， x
2
2
三 点 :(,1)， (0,0)， (,1)
进 一 步 地 ： f ( x ) t a n ( x ) t a n x f ( x ) ,
正 切 函 数 是 奇 函 数 。
知识点一 正切函数的性质
问题三
正切函数 f(x)tanx的周期性如何？
由 f( x + ) t a n ( x ) t a n x f( x ) ；
22
由 正 切 函 数 的 周 期 性 可 得 ：
数学必修四课件 1.4.3 正切函数的性质与图象
17π － 【解析】tan ＝－tan 4 22π － tan ＝－tan 5
π ， 4
2π ， 5
π π 2π π 2π π ∵－ < < < ，∴tan ＞tan ， 2 4 5 2 5 4 即
17π 22π － tan－ 4 >tan . 5
)
tan 2x 3．函数 f(x)＝ 的定义域为( tan x
kπ A.xx∈R且x≠ 4 ，k∈Z
)
π B. xx∈R且x≠kπ＋4，k∈Z π C. xx∈R且x≠kπ＋2，k∈Z π D.xx∈R且x≠kπ－4，k∈Z
【答案】A
• 正切函数的性质
【例 1】 求函数 间．
【解题探究】 利用正切函数的定义域， 求出函数的定义域， 通过正切函数的周期公式求出周期，结合正切函数的单调增区 间求出函数的单调增区间．
π π y＝tan2x＋3 的定义域、周期和单调区
π π π 1 【解析】由 x＋ ≠ ＋kπ，k∈Z，解得 x≠ ＋2k，k∈Z. 2 3 2 3
1 ∴定义域为 xx≠3＋2k，k∈Z .
π 周期 T＝ ＝2. π 2 π π π π 由－ ＋kπ＜ x＋ ＜ ＋kπ，k∈Z， 2 2 3 2 5 1 解得－ ＋2k＜x＜ ＋2k，k∈Z. 3 3
5 1 ∴函数的单调递增区间为－3＋2k，3＋2k ，k∈Z.
• 【方法规律】运用正切函数单调性比较大小 的方法 • (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同 一单调区间内． • (2)运用单调性比较大小关系．
人教A版高中数学必修四1.4.3正切函数的图象与性质课件
6
6
C.{ x R | x 2k , k Z} D.{x R | x 2k - , k Z}
6
6
2、函数y 2 tan(3x )的周期是（ C ）
4
A、2 B、 C、 D、
3
2
3
6
【拓 展】根据正切函数的图象，求满足下列不等式的 x 的范围：
（1） 1 tan x 3 3
5、周期性： T
题型点拔:形如 y Atan( x ) 的函数性质
例:求函数
的定义域、周期和单调区间。
解：原函数要有意义，自变量x应满足 即 所以，原函数的定义域是
由于
所以原函数的周期是2.
由
【点评解】得对于形如 y Atan( x ) 的函数应注意 将 x 看成一个整体，再结合正切函数的性质解
题 所以原函数的单调递增区间是
变式题：求函数y 3tan(- x )的单调区间.
24 解：原函数的解析式可化为y -3tan( x - )
24
令u
x
-
，则
y
tan u 的递增区间为:
[k
-
, k], k Z Nhomakorabea24
22
由u 1 x - 得 : k - 1 x - k ,k Z
所隔开的无数多条曲线组成的。 2
探究（三）：正切函数的图象与性质
观察正切函数的图象，获得其性质：
1、定义域： 2、值域： 3、单调性：
问题：正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
A
B
在每一个开区间( k , k ), k Z 内都是增
函数。
2
2
观察正切函数的图象，获得其性质：
1、定义域： 2、值域： 3、单调性： 4、奇偶性：奇函数
课件8： 1.4.3 正切函数的性质与图像
D.x|x≠kπ＋34π，k∈Z
解析：tan(4π－x)＝－tan(x－4π)．由 x－π4≠kπ＋4π (k∈Z)得
x≠kπ＋34π(k∈Z)，∴函数的定义域是x|x≠kπ＋34π，k∈Z.
答案：D
2．根据正切函数的图像解不等式：tan 2x≤－1.
解：在(－2π，π2)内，tan(－4π)＝－1.所以不等式 tan 2x≤－1 的解集由不等式 kπ－π2＜2x≤kπ－π4，k∈Z 确定．解得k2π－4π＜x≤k2π－π8 ，k∈Z.所以不等式 tan 2x≤－1 的解集为x|k2π－π4＜x≤k2π－π8，k∈Z.如图所示．
①定义域：x|x∈R，x≠π2＋kπ，k∈Z； ②值域：[0，＋∞)；
(6 分) (7 分)
③周期性：T＝π；
(8 分)
④奇偶性：非奇非偶函数；
(10 分)
⑤单调性：单调增区间为[kπ，kπ＋2π)，k∈Z. (12 分)
[方法规律] 由函数的性质(如周期性、有界性、对称性)可指导我们画出函数的图像；
[方法规律] 求有关正切函数的定义域时，要首先考虑正切函数本身的 定义域，然后根据函数的特点确定出满足条件的三角不等式或不等式 组．另外，解不等式时要充分利用三角函数的图像或三角函数线．
1．函数 y＝tan(π4－x)的定义域是 ( )
π A.x|x≠4
B.x|x≠－π4
C.x|x≠kπ＋4π，k∈Z
[例 3] (12 分)画出函数 y＝|tan x|＋tan x 的图像，并根据图像
求出函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．
[解]
由 y＝|tan x|＋tan x 其图像如图所示．
知
y＝02，tanx∈x，（x∈kπ（－kπ2π，，kkππ）＋，2π），(k∈Z)．
正切函数的图象与性质优秀课件
( , ) 2 2
的情形, 再拓展到整个定义域.
作业:P45练习:2，3，4，6.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着
的情形, 再拓展到整个定义域.
作业:P45练习:2，3，4，6.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着
高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象课件 新人教A版必修4
第十三页，共44页。
【解析】1.因为sin x∈［-1,1］，所以y=tan(sin x)的定义
域为R，值域为［tan(-1),tan 1］.
答案(dá àn)：R ［tan(-1),tan 1］
2.y=(tan x-1)2+2，由于tan x∈R，所以当tan x=1时，函数
取最小值2.
答案(dá àn)：2
x 5由，于φ k 5 .
φ 0，
2 故当k=1时，得
φ
由 3x k 得，k
18
26
2
故3Z函，，数(所hxá以ns函kh数ù)(解5há析，n式skhf为ùZx)，的 定tan(3x
3
).
义域为
3 {x
|
x
2 R且x
k值域5为，Rk.由3Z于}正. 18切函数(hánshù)
y=tan x在区间
心.( )
x k ，k Z.
2
(3)正切曲线(qūxiàn)有无数条对称轴，其对称轴是
()
第五页，共44页。
提示：(1)错误. 正切函数的定义域为 值域为R.
(k , k )，k Z.
2
2
(2)正确(zhè(nkgq, 0u)è(k).点Z)
是其对称中心.
2
(3)错误.正切曲线没有对称轴.
把 4转化到 2 2 上再比较大小.
【解析】选A.
f
1
tan (1
) 4
tan (1
34又)，
1 3 1 ，
2
44 4
所以f(0)>f(-1)>f(1).
第二十五页，共44页。
类型 三 正切函数的奇偶性与周期(zhōuqī)
【解析】1.因为sin x∈［-1,1］，所以y=tan(sin x)的定义
域为R，值域为［tan(-1),tan 1］.
答案(dá àn)：R ［tan(-1),tan 1］
2.y=(tan x-1)2+2，由于tan x∈R，所以当tan x=1时，函数
取最小值2.
答案(dá àn)：2
x 5由，于φ k 5 .
φ 0，
2 故当k=1时，得
φ
由 3x k 得，k
18
26
2
故3Z函，，数(所hxá以ns函kh数ù)(解5há析，n式skhf为ùZx)，的 定tan(3x
3
).
义域为
3 {x
|
x
2 R且x
k值域5为，Rk.由3Z于}正. 18切函数(hánshù)
y=tan x在区间
心.( )
x k ，k Z.
2
(3)正切曲线(qūxiàn)有无数条对称轴，其对称轴是
()
第五页，共44页。
提示：(1)错误. 正切函数的定义域为 值域为R.
(k , k )，k Z.
2
2
(2)正确(zhè(nkgq, 0u)è(k).点Z)
是其对称中心.
2
(3)错误.正切曲线没有对称轴.
把 4转化到 2 2 上再比较大小.
【解析】选A.
f
1
tan (1
) 4
tan (1
34又)，
1 3 1 ，
2
44 4
所以f(0)>f(-1)>f(1).
第二十五页，共44页。
类型 三 正切函数的奇偶性与周期(zhōuqī)
课件4：1.4.3 正切函数的性质与图象
1.正切函数的图象
课后小结
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为 x＝kπ＋2π，k∈Z，相邻
两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2.正切函数的性质 (1)正切函数 y＝tan x 的定义域是x|x≠kπ＋2π，k∈Z，值域是 R. (2)正切函数 y＝tan x 的最小正周期是 π，函数 y＝Atan(ωx＋φ) (Aω≠0) 的周期为|ωπ |.
(3)正切函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上单调递增，正切函数无单调函数 y＝3tan(2x＋π4)的定义域是( C ) A．{x|x≠kπ＋π2，k∈Z} B．{x|x≠2kπ－38π，k∈Z} C．{x|x≠2kπ＋π8，k∈Z} D．{x|x≠2kπ，k∈Z}
2.函数 f(x)＝tan(x＋π4)的单调增区间为 ( C ) A．(kπ－π2，kπ＋π2)，k∈Z B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z C．(kπ－34π，kπ＋π4)，k∈Z D．(kπ－π4，kπ＋34π)，k∈Z
第一章 三角函数
1.4 三角函数的图象与性质
1.4.3 正切函数的性质与图象
正切函数 y＝tan x 的性质与图象
y＝tan x
图象
定义域
{x|x∈R，且 x≠kπ＋π2，k∈Z}
值域 周期 奇偶性 单调性
R 最小正周期为 π
奇函数 在开区间 kπ－π2，kπ＋2π (k∈Z)
内递增
例 1 求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域． 解：由题意得t1a－n xta＋n 1x≥>00 ，即－1≤tan x<1. 在－π2，π2内，满足上述不等式的 x 的取值范围是－π4，π4， 又 y＝tan x 的周期为 π， 所以所求 x 的范围是kπ－π4，kπ＋π4 (k∈Z)． 即函数的定义域为kπ－π4，kπ＋4π (k∈Z)．
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函数
y
y=sinx
y
y=cosx
1
图形
2
1
2
0
3 2
2
5 2
x
0
2
3 2
2
5 2
x
-1
-1
定义域 值域 最值
x
x R
y [ 1,1]
x R
y [ 1,1]
2k 时， y m a x 1 2 2k x 时，y m in 1
(k
2
, k
2
)k Z
4.10 正切函数的图像和性质
正切曲线
是由通过点 ( k
2
, 0 )( k Z )且与 y 轴相互平行的
直线隔开的无穷多支曲线组成
渐 进 线 渐 进 线
3 2
0
正 切 函 数 图 像
性质 :
渐 进 线
渐 进 线
⑴ 定义域： { x | x k , k Z } 2 ⑵ 值域： R ⑶ 周期性： ⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
k 3
,
6
k 3
）k z ,
例题分析
例３ 求函数 y tan 3x 的周期. 解： 因为tan(3x ) tan 3x,
即tan3(x+
3
)=tan3x,
这说明自变量 x ,至少要增加 ，函数的值 3 才能重复取得，所以函数 y tan 3x 的周期
是
3
反馈练习：求下列函数的周期：
提高练习
求函数 y tan 3 x 的定义域、值域，并指出它的 3
单调性、奇偶性和周期性；
答案:
1 、定义域 2、值域
1 5 x x | x R且x k ，k Z 3 18
yR
3、单调性
4、奇偶性 5、周期性
1 5 1 在x k , k 上是增函数； 18 3 18 3
2
k , k Z
正切函数是奇函数.
2. 函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法
y
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线
/
1P 1
p1
(3) 平移 (4) 连线
3
6
-
-
-
o1
M
-1 A
1
o
6
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
反馈演练
1、 比 较 大 小 ： (1)tan138 (2)tan(0
< tan1430 。 _____
4
13π
> )_____tan(-
17π 5
)
２、求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增 区间。
定义域：｛ x \x k 3
6
6
, k z｝
值域： R
单调递增区间：（
象和性质的经验 以同样的方法研究正切函数 的图像和性质?
1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；
ta n y x 0 的 终 边 不 在 y轴 上 x k (k z ) 2 2、正切函数 y tan x 是否为周期函数？
思考
由诱导公式知
f x
17 5
).
⑸ 单调性：
(
k ,
2
在每一个开区间
k )
2
， Z 内都是增函数。 k
2 , kZ
x (6)渐近线方程： k
(7)对称中心 (
kπ 2
,0 )
问 题
讨
论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
角
3
的终边
Y
T
（ ， tan ）
3 3
A
0
3
X
利用正切线画出函数
y tan x
把单位圆右半圆分成8等份。 作法: (1) 等分： 3 3 (2) 作正切线 ， ， 8 ， 8 ，4 ， 8 8 4 (3) 平移 (4) 连线
x ， ， 2 2
A 是奇函数 B 在整个定义域上是增函数 C 在定义域内无最大值和最小值 D 平行于 x 轴的的直线被正切曲线各支所截线 段相等
２．函数 y tan (3 x )的一个对称中心是（ C ）
A.(
9
, 0)
B. (
4பைடு நூலகம்
, 0)
C. (
6
, 0)
D. (
4
, 0)
例题分析
例1、比较下列每组数的大小。
非奇非偶函数
最小正周期是
3
四、小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平 再利用周期性把该段图 移正切线得 y tan x , x ( 2 象向左、右扩展得到。 , 2 ) 的图象，
2 、y tan x 性质: ⑴ 定义域： { x | x ⑵ 值域：
2
k , k Z }
(1) (2)
y tan( 2 x
4
), x
8
k 2
(k Z )
y 5 tan
x 2
, x 2 k ( k Z ).
4．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
(1)
tan 138
与 tan 143
;
(2)
tan(
13 4
) 与 tan(
tan x
tan x f x , x R , x
2
k , k Z
∴
y tan x 是周期函数，
是它的一个周期．
思考 3、正切函数
y tan x 是否具有奇偶性？
由诱导公式知
f x tan x tan x f x , x R , x
的图像:
o
2
3 8
4
8
0
8
4
3 8
2
二:性质
你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗? y
1
-3/2 - t- -/2
0
t /2
-1
t+ 3/2
x
函数 定义域
y=tanx
{ x | x k
2
,k Z}
值域
周期性 奇偶性 单调性 增区间
R T= 奇函数
(1)tan167 与tan173
t （2） a n ( 11π 4 )
o o
与
tan(0
13π 5
)
0
解:
90 167 173 180
0 0
y tan x在 ， 2
0
上是增函数，
0
tan167 tan173
说明：比较两个正切值大小，关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内，再 利用y=tanx的单调递增性解决。
因此函数的周期为2.
由
k
2
＜
2
x
3
＜k
2
, k Z,
解得
2k
3
＜ x＜ 2 k
3
, k Z.
因此,函数的单调递增区间是:
2k ， 2k 3 3 , k Z.
基础练习
1．关于正切函数 y ta n x , 下列判断不正确的是（B ）
3
, k Z,
所以,函数的定义域是 由于
x x 2k , k Z . 3
y tan x tan x 3 3 2 2 tan x 2 f ( x 2 ), 2 3
2
x 2 k 时， y m a x 1 x 2 k 时，y m in 1
x[ 2 k , 2 k ]
单调性 奇偶性 周期 对称性
2 k , 2 k ] 增函数 2 2 x [ 2 k , 3 2 k ] 减函数 2 2 奇函数
3、解不等式： x tan(
6
)
3 3
答案: 1. 2. 3.
x x k x k ,k Z 4 2
x x k x k ,k Z 2 4
2 x x k x k ,k Z 3 3
A
B
在每一个开区间
π (+ k π , + k π ) ，k Z 2 2 π
内都是增函数。
例1 求函数
y ta n x 的定义域、周期和单调区间. 3 2 解:函数的自变量 x 应满足 x k , k Z , 2 3 2
即
x 2k
R
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。 (5) 对称性：对称中心： (6)单调性： 在每一个开区间
y
y=sinx
y
y=cosx
1
图形
2
1
2
0
3 2
2
5 2
x
0
2
3 2
2
5 2
x
-1
-1
定义域 值域 最值
x
x R
y [ 1,1]
x R
y [ 1,1]
2k 时， y m a x 1 2 2k x 时，y m in 1
(k
2
, k
2
)k Z
4.10 正切函数的图像和性质
正切曲线
是由通过点 ( k
2
, 0 )( k Z )且与 y 轴相互平行的
直线隔开的无穷多支曲线组成
渐 进 线 渐 进 线
3 2
0
正 切 函 数 图 像
性质 :
渐 进 线
渐 进 线
⑴ 定义域： { x | x k , k Z } 2 ⑵ 值域： R ⑶ 周期性： ⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
k 3
,
6
k 3
）k z ,
例题分析
例３ 求函数 y tan 3x 的周期. 解： 因为tan(3x ) tan 3x,
即tan3(x+
3
)=tan3x,
这说明自变量 x ,至少要增加 ，函数的值 3 才能重复取得，所以函数 y tan 3x 的周期
是
3
反馈练习：求下列函数的周期：
提高练习
求函数 y tan 3 x 的定义域、值域，并指出它的 3
单调性、奇偶性和周期性；
答案:
1 、定义域 2、值域
1 5 x x | x R且x k ，k Z 3 18
yR
3、单调性
4、奇偶性 5、周期性
1 5 1 在x k , k 上是增函数； 18 3 18 3
2
k , k Z
正切函数是奇函数.
2. 函数 y sin x, x 0,2 图象的几何作法
y
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线
/
1P 1
p1
(3) 平移 (4) 连线
3
6
-
-
-
o1
M
-1 A
1
o
6
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
反馈演练
1、 比 较 大 小 ： (1)tan138 (2)tan(0
< tan1430 。 _____
4
13π
> )_____tan(-
17π 5
)
２、求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增 区间。
定义域：｛ x \x k 3
6
6
, k z｝
值域： R
单调递增区间：（
象和性质的经验 以同样的方法研究正切函数 的图像和性质?
1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；
ta n y x 0 的 终 边 不 在 y轴 上 x k (k z ) 2 2、正切函数 y tan x 是否为周期函数？
思考
由诱导公式知
f x
17 5
).
⑸ 单调性：
(
k ,
2
在每一个开区间
k )
2
， Z 内都是增函数。 k
2 , kZ
x (6)渐近线方程： k
(7)对称中心 (
kπ 2
,0 )
问 题
讨
论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
角
3
的终边
Y
T
（ ， tan ）
3 3
A
0
3
X
利用正切线画出函数
y tan x
把单位圆右半圆分成8等份。 作法: (1) 等分： 3 3 (2) 作正切线 ， ， 8 ， 8 ，4 ， 8 8 4 (3) 平移 (4) 连线
x ， ， 2 2
A 是奇函数 B 在整个定义域上是增函数 C 在定义域内无最大值和最小值 D 平行于 x 轴的的直线被正切曲线各支所截线 段相等
２．函数 y tan (3 x )的一个对称中心是（ C ）
A.(
9
, 0)
B. (
4பைடு நூலகம்
, 0)
C. (
6
, 0)
D. (
4
, 0)
例题分析
例1、比较下列每组数的大小。
非奇非偶函数
最小正周期是
3
四、小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平 再利用周期性把该段图 移正切线得 y tan x , x ( 2 象向左、右扩展得到。 , 2 ) 的图象，
2 、y tan x 性质: ⑴ 定义域： { x | x ⑵ 值域：
2
k , k Z }
(1) (2)
y tan( 2 x
4
), x
8
k 2
(k Z )
y 5 tan
x 2
, x 2 k ( k Z ).
4．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
(1)
tan 138
与 tan 143
;
(2)
tan(
13 4
) 与 tan(
tan x
tan x f x , x R , x
2
k , k Z
∴
y tan x 是周期函数，
是它的一个周期．
思考 3、正切函数
y tan x 是否具有奇偶性？
由诱导公式知
f x tan x tan x f x , x R , x
的图像:
o
2
3 8
4
8
0
8
4
3 8
2
二:性质
你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗? y
1
-3/2 - t- -/2
0
t /2
-1
t+ 3/2
x
函数 定义域
y=tanx
{ x | x k
2
,k Z}
值域
周期性 奇偶性 单调性 增区间
R T= 奇函数
(1)tan167 与tan173
t （2） a n ( 11π 4 )
o o
与
tan(0
13π 5
)
0
解:
90 167 173 180
0 0
y tan x在 ， 2
0
上是增函数，
0
tan167 tan173
说明：比较两个正切值大小，关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内，再 利用y=tanx的单调递增性解决。
因此函数的周期为2.
由
k
2
＜
2
x
3
＜k
2
, k Z,
解得
2k
3
＜ x＜ 2 k
3
, k Z.
因此,函数的单调递增区间是:
2k ， 2k 3 3 , k Z.
基础练习
1．关于正切函数 y ta n x , 下列判断不正确的是（B ）
3
, k Z,
所以,函数的定义域是 由于
x x 2k , k Z . 3
y tan x tan x 3 3 2 2 tan x 2 f ( x 2 ), 2 3
2
x 2 k 时， y m a x 1 x 2 k 时，y m in 1
x[ 2 k , 2 k ]
单调性 奇偶性 周期 对称性
2 k , 2 k ] 增函数 2 2 x [ 2 k , 3 2 k ] 减函数 2 2 奇函数
3、解不等式： x tan(
6
)
3 3
答案: 1. 2. 3.
x x k x k ,k Z 4 2
x x k x k ,k Z 2 4
2 x x k x k ,k Z 3 3
A
B
在每一个开区间
π (+ k π , + k π ) ，k Z 2 2 π
内都是增函数。
例1 求函数
y ta n x 的定义域、周期和单调区间. 3 2 解:函数的自变量 x 应满足 x k , k Z , 2 3 2
即
x 2k
R
⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。 (5) 对称性：对称中心： (6)单调性： 在每一个开区间