北京市东城区2019届高三数学4月综合练习(一模)试题文

状元考前提醒
拿到试卷：熟悉试卷
刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。

答题策略
答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。

先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。

2. 先小后大。

先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。

3. 先局部后整体。

把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。

立足中下题目，力争高水平
考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。

中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。

确保运算正确，立足一次性成功
在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。

不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。

试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。

要学会“挤”分
考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。

考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。

检查后的涂改方式要讲究
发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。

如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。

有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。

考试期间遇到这些事，莫慌乱！
状元考前提醒
拿到试卷：熟悉试卷
刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。

答题策略
答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。

先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。

2. 先小后大。

先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。

3. 先局部后整体。

把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。

立足中下题目，力争高水平
考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。

中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。

确保运算正确，立足一次性成功
在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。

不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。

试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。

要学会“挤”分
考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。

考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。

检查后的涂改方式要讲究
发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。

如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。

有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。

考试期间遇到这些事，莫慌乱！
北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（一）
数学 （文科） 2019.4
本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项。

（1）已知集合2{20},{210}A x x x B x x =+>=+>，则A B =I
（A ）12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭
（B ）12x x ⎧⎫
>
⎨⎬⎩⎭
（C ）{0}x x > （D ）R （2）在复平面内，若复数(2i)z -对应的点在第二象限，则z 可以为
（A ）2 （B ）1- （C ）i （D ）2+i （3）已知圆2
2
:20C x x y ++=，则圆心C 到直线3x =的距离等于
（A ）1
（B ）2 （C ）3 （D ）4
（4）设E 为ABC △的边AC 的中点，+u u u r u u u r u u u r
BE mAB nAC =，则,m n 的值分别为
（A ）11,
2- （B ）1,12- （C ）1,12
- （D ）1
1,
2
（5）正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图 所示，则截面图形的形状为
（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）平行四边形 （D ）梯形
（6）若,x y 满足0,10,26,
x y y y x ì+?ïïï
+?íïï?ïïî则x y -的最大值为
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4
（7）南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势
既同，则积不容异”. 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为12,S S ，则“12,V V 相等”是“12,S S 总相等”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（8）某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候
选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票. 这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88% ,70% ,46% ，则 本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值） 最高可能为
（A ）68% （B ）88%
（C ）96% （D ）98%
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（ 9 ）在等差数列{}n a 中，262a a +=，则4a = .
（10）抛物线C :2
2y px =上一点0(1,)y 到其焦点的距离为3，则抛物线C 的方程为_______. （11）在ABC ∆中，若cos sin 0b C c B +=，则C ∠= .
（12）已知函数()2sin()4
f x x π
=+，若对于闭区间[]a b ，中的任意两个不同的数12x x ，，都有
1212
()()
0f x f x x x -<-成立，写出一个满足条件的闭区间 .
（13）设函数2,
,
()1,
.
x e x x a f x ax x a ⎧-<=⎨
-≥⎩ 若1a =，则()f x 的最小值为 ； 若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是_______．
（14）设A B ，是R 的两个子集，对任意x R ∈，定义：01x A m x A ，，，，∉⎧=⎨
∈⎩
01.x B n x B ，，
，∉⎧=⎨∈⎩ ①若A B ⊆，则对任意x R ∈，(1)m n -= _____；
②若对任意x R ∈，1m n +=，则A B ，的关系为__________.
三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）
已知函数()4cos sin 16f x x x π⎛
⎫
=-
+ ⎪⎝⎭
. （Ⅰ）求23f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期，并画出()f x 在区间[]0,π上的图象. []
（16）（本小题13分）
已知等比数列{}n a 的首项为2，等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，且126a a +=，
1342b a b +=，323S a =. （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n a c b =，求数列{}n c 的前n 项和.
（17）（本小题13分）
改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图表示体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．
（Ⅰ）从2007年至2016年这十年中随机选出一年，求该年体育产业年增加值比前一年多500亿元
以上的概率；
（Ⅱ）从2007年至2011年这五年中随机选出两年，求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概
率；
（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育
产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）
（18）（本小题14分）
如图，在四棱锥
P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，
3PA = //AB CD ，AB AD ⊥，1AD DC ==，2AB =，
E 为侧棱PA 上一点.
（Ⅰ）若1
3
PE PA =
，求证：PC //平面EBD ； （Ⅱ）求证：平面EBC ⊥平面PAC ；
（Ⅲ）在侧棱PD 上是否存在点F ，使得AF ⊥平面PCD ？若存在，求出线段PF 的长；若不存在，
请说明理由．
（19）（本小题13分）
已知3
(2,0),(1,)2A P -为椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：上两点，过点P 且斜率为
,(0)k k k ->的两条直线与椭圆M 的交点分别为,B C .
（Ⅰ）求椭圆M 的方程及离心率；
（Ⅱ）若四边形PABC 为平行四边形，求k 的值．
（20）（本小题14分）
已知函数2
()(2)ln f x ax a x x =+--.
（Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）当01a <<时，求()f x 零点的个数.
北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（一）
数学（文科）参考答案及评分标准 2019.4
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）B （3）D （4）A （5）A （6）D （7）B （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）1 （10）2
8y
x =
（11）
3π4 （12）π544π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， （答案不唯一） （13）0；
[)0,+∞ （14）0；A B R
=ð
三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（I ）2224cos sin 13336f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24cos sin 132ππ=+14112⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪⎝⎭
1=-.
………………………………………………………………………………………………………
………. 3分
（Ⅱ）()4cos sin 16f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭4cos sin cos cos sin 166x x x ππ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭
31
4cos sin cos 122x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
223sin cos 2cos 1x x x =-+ 3sin 2cos2x x =-
31
2sin 2cos 222x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
2sin 26x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭. (9)
分
所以()f x 的最小正周期22
T π
=
=π. ………………………………………………….10分 因为[]0,x ∈π，所以112,666x πππ⎡⎤
-∈-⎢⎥⎣⎦ .
列表如下：
26
x -
π
6
-
π 0
2π π
32π 116
π
x
12
π 3
π 712
π 56
π π
()f x
1-
0 2[] 0
2-
1-
[
[]
…………………………..13分
（16）（共13分） 解:（Ⅰ）设数列
{}n a 的公比为q ，数列{}n b 的公差为d .
由126a a +=，得 116a a q +=.因为12a =，所以2q = .
所以111222n n n n
a a q --==⋅=.
由134322,3b a b S a +=⎧⎨
=⎩，
得 111283,3312b b d b d +=+⎧⎨+=⎩， 解得11,
3.b d =⎧⎨=⎩
所以1(1)32n b b n d n =+-=-. ………..8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n n
a = ，32n
b =n - .
所以322n n n
a c
b ==⨯-.
从而数列
{}n c 的前n 项和1233(2222)2n n T n =⨯++++-L
2(12)
3212
n n ⨯-=⨯
-- 622 6.n n =⨯-- …………..13分
（17）（共13分） 解：（Ⅰ）设
A 表示事件“从2007年至2016年这十年中随机选出一年，该年体育产业年增加值
比前一年多500亿元以上”． 根据题意，42
()105
P A =
=． …………………………………………………….3分 （Ⅱ）从2007年至2011年这五年中有两年体育产业年增长率超过25%，设这两年为
A ，
B ，
其它三年设为C ，D ，E ，从五年中随机选出两年，共有10种情况：
AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，其中至少有一年
体育产业年增长率超过25%有７种情况， 所以所求概率为
7
10
. …………………………………………………….9分 （Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．
从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． …………….13分 （18）（共14分）
解：（Ⅰ）设AC BD G =I ， 连结EG .
由已知//AB CD ，1DC =，2AB =,得
2AG AB
GC DC
==. 由13PE PA =,得2AE
EP
=.
在PAC ∆ 中，由AE AG
EP GC
=
，得//EG PC . 因为EG ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ， 所以PC //平面EBD . …………….5分 （Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，
所以BC PA ⊥. 由已知得2AC =
，2BC =
，2AB = ，
所以222AC BC AB +=. 所以BC AC ⊥.
又PA AC A =I ，所以BC ⊥平面PAC . 因为BC ⊂平面EBC ，
所以平面EBC ⊥平面PAC . …………….10分 （Ⅲ）在平面PAD 内作AF
PD ⊥于点F ，
由DC PA ⊥，DC AD ⊥，PA AD A =I ， 得DC ⊥平面PAD .
因为AF ⊂平面PAD ，所以CD AF ⊥. 又PD CD D =I ，所以AF ⊥平面PCD .
由PA =1AD =，PA AD ⊥， 得3
2PF =.………………………..14分
（19）（共13分）
解：（I ）由题意得222,19 1.4a a b =⎧⎪
⎨+=⎪⎩
解得2,
a b =⎧⎪⎨=⎪⎩
所以椭圆M 的方程为22
143x y +=.
又1c ==， 所以离心率1
2c
e a ==. ………………………..5分[
（II ）设直线PB 的方程为(0)y kx m k =+>， 由22,
1
43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得222(34)8(412)0k x kmx m +++-=. 当0∆>时，设1122(,),(,)B x y C x y ， 则212412
134m x k -⋅=+，即212412
34m x k -=+. 将3
(1,)2P 代入y kx m =+，整理得3
2m k =-，所以212412
3
34k k x k --=+. 所以2112121292(34)k k y kx m k --+=+=+.所以22224123
12129(,)342(34)k k k k B k k ----+++. 同理22224123
12129(,)342(34)k k k k C k k +--++++.
所以直线BC 的斜率21
2112
BC y
y k x x -==-.
又直线PA 的斜率30
1
2
1(2)2PA BC k k -===--，所以//PA BC .
因为四边形PABC 为平行四边形，所以PA BC =. 所以2222412341231(2)3434k k k k k k +----=--++，解得32k =或1
2.
1
2k =时，(2,0)B -与A 重合，不符合题意，舍去.
所以四边形PABC 为平行四边形时，3
2k =. ………………………………13分
（20）（共14分）
解：（I ）()f x 定义域为(0,)+∞.
212(2)1(21)(1)
'()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x +--+-=+--==.
由已知，得'(1)0f =，解得1a =.
当1a =时，(21)(1)
'()x x f x x +-=.
所以'()001,'()01f x x f x x <⇔<<>⇔>.
所以()f x 减区间为(0,1)，增区间为(1,)+?.
所以函数()f x 在1x =时取得极小值，其极小值为(1)0f =，符合题意
所以1a =. ……………………………………………………………………5分
（II ）令(21)(1)
'()0x ax f x x +-==，由01a <<，得1
1x a =>. 所以11
'()00,'()0f x x f x x a a <⇔<<>⇔>.
所以()f x 减区间为1
(0,)a ，增区间为1
(,)a +?.
所以函数()f x 在1
x a =时取得极小值，其极小值为1
1
()ln 1f a a a =+-.
因为01a <<，所以1
ln 0,1a a <>. 所以110a -<. 所以11
()ln 10f a a a =+-<. 因为21(2)(2)(2)
()11a a a
a e f e e e e e ---+=++>+=，
又因为01a <<，所以20a e -+>. 所以1
()0f e >.
根据零点存在定理，函数()f x 在1(0,)a 上有且仅有一个零点.
因为ln x x >，22()(2)ln (2)(3)f x ax a x x ax a x x x ax a =+-->+--=+-. 令30ax a +->，得3a
x a ->.
又因为01a <<，所以31
a a a ->. 所以当3a
x a ->时，()0f x >.
根据零点存在定理，函数()f x 在1
(,)a +?上有且仅有一个零点.
所以，当01a <<时，()f x 有两个零点. ………………………………14分。