第八讲 二次函数讲义
二次函数教学讲义
二次函数知识点：二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向教学目标：1． 理解二次函数的概念；2． 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3． 会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4． 会用待定系数法求二次函数的解析式；5． 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。
内容：（1）二次函数及其图象如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0),那么，y 叫做x 的二次函数。
二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。
（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是a b x 2-=，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线y=a （x+h ）2+k(a ≠0)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=-h. 考查重难点与常见题型：1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x 为自变量的二次函数y ＝(m －2)x 2＋m 2－m －2额图像经过原点， 则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数y ＝kx ＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y ＝kx 2＋bx －1的图像大致是（ ）3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x ＝53，求这条抛物线的解析式。
二次函数复习讲义(完美)
二次函数最全面的复习讲义学习目标1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.知识网络要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.二、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式：(1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；(2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．三、2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，或，其中a≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．类型一：二次函数的概念1、下列函数中，是关于x的二次函数的是__________________(填序号)．(1)y＝-3x2；(2)；(3)y＝3x2-4-x3； (4)；(5)y＝ax2+3x+6；(6)．【变式1】下列函数中，是二次函数的是（ )A. B. C.D.【变式2】如果函数是二次函数，求m的值类型二、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为______________．【答案】或．【变式】已知：抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1，交x轴于点A、B(A在B的左侧)，且AB=4，交y轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M的坐标.【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)∴y=x2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4，∴M(1，-4).课堂练习1．已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式【答案与解析】本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得：解得∴所求的二次函数的解析式为y=-x2+3x-5.2 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点.（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标.【答案】（1）．（2）令，得，解方程，得，．∴二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和．∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为3．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．【答案与解析】解法一：设二次函数解析式为(a≠0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)．则有解得∴抛物线解析式为．解法二：设抛物线解析式为(a≠0)．由图象知，抛物线与x轴两交点为(-1，0)，(3，0)．则有，即．又，∴∴抛抛物物解析式为．课后巩固练习一、选择题1. 二次函数的图象经过点A(0，0)，B(-1，-11)，C(1，9)三点，则它的解析式为( )．A． B． C． D．2．二次函数有( )A．最小值-5 B．最大值-5 C．最小值-6 D．最大值-63．把抛物线y=3x2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（）A.y=3(x－3)2+2B.y=3(x+3)2+2C.y=3(x－3)2－2D.y=3(x+3)2－24．如图所示，已知抛物线y＝的对称轴为x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为 ( )A.(2，3)B.(3，2)C.(3，3)D.(4，3)5．将函数的图象向右平移a(a＞0)个单位，得到函数的图象，则a的值为( )A．1 B．2 C．3 D．46．若二次函数的x与y的部分对应值如下表：x -7 -6 -5 -4 -3 -2Y -27 -13 -3 3 5 3则当x＝1时，y的值为 ( )A．5 B．-3 C．-13 D．-27二、填空题7．抛物线的图象如图所示，则此抛物线的解析式为______________．第7题第10题8．已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1，-2)，则这个二次函数的关系式为______．9．已知抛物线．该抛物线的对称轴是________，顶点坐标________；10．如图所示已知二次函数的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y 随x的增大而增大时，x的取值范围是______________．11．已知二次函数(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：…-1 0 1 ……-2 -2 0 …则该二次函数的解析式为______________．12．已知抛物线的顶点坐标为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为4，则抛物线的解析式为______________．三、解答题13．根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式．(1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；(2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点；(3)已知抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)．14．如图，已知直线y＝-2x+2分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，求过A、B、C三点的抛物线的解析式．15．在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝4，分别以OB，OA所在的直线为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合)，过F点的反比例函数(k ＞0)的图象与AC边交于点E．(1)求证：AE×AO＝BF×BO；(2)若点E的坐标为(2，4)，求经过点O，E，F三点的抛物线的解析式．一、选择题1.【答案】D；【解析】设抛物线的解析式为(a≠0)，将A、B、C三点代入解得，，c＝0．2.【答案】C；【解析】首先将一般式通过配方化成顶点式，即，∵a＝1＞0，∴x＝-1时，．3.【答案】A；4.【答案】D；【解析】∵点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，∴点A与点B关于对称轴x＝2对称，又∵A(0，3)，∴AB＝4，y B＝y A＝3，∴点B的坐标为(4，3)．5.【答案】B；【解析】抛物线的平移可看成顶点坐标的平移，的顶点坐标是，的顶点坐标是，∴移动的距离．6.【答案】D；【解析】此题如果先用待定系数法求出二次函数解析式，再将x＝1代入求函数值，显然太繁，而由二次函数的对称性可迅速地解决此问题．观察表格中的函数值，可发现，当x＝-4和x＝-2时，函数值均为3，由此可知对称轴为x＝-3，再由对称性可知x＝1的函数值必和x＝-7的函数值相等，而x＝-7时y＝-27．∴x＝1时，y＝-27．二、填空题7.【答案】；【解析】由图象知抛物线与x轴两交点为(3，0)，(-1，0)，则．8.【答案】；【解析】设顶点式，再把点（0,0）代入所设的顶点式里即可．9.【答案】(1)x＝1；(1，3)；【解析】代入对称轴公式和顶点公式即可.10.【答案】；【解析】将(-1，0)，(1，-2)代入中得b＝-1，∴对称轴为，在对称轴的右侧，即时，y随x的增大而增大.11.【答案】；【解析】此题以表格的形式给出x、y的一些对应值．要认真分析表格中的每一对x、y值，从中选出较简单的三对x、y的值即为(-1，-2)，(0，-2)，(1，0)，再设一般式，用待定系数法求解．设二次函数解析式为(a≠0)由表知解得∴二次函数解析式为．12.【答案】【解析】由题意知抛物线过点(1，0)和(5，0)．三、解答题13.【答案与解析】(1)∵顶点是(1，2)，∴设(a≠0)．又∵过点(2，3)，∴，∴a＝1．∴，即．(2)设二次函数解析式为(a≠0)．由函数图象过三点(1，-1)，(0，1)，(-1，13)得解得故所求的函数解析式为．(3)由抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，∴设y＝a(x-1)(x-3)(a≠0)，又∵过点(0，-3)，∴a(0-1)(0-3)＝-3，∴a＝-1，∴y＝-(x-1)(x-3)，即．14.【答案与解析】过C点作CD⊥x轴于D．在y＝-2x+2中，分别令y＝0，x＝0，得点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，2)．由AB＝AC，∠BAC＝90°，得△BAO≌△ACD，∴AD＝OB＝2，CD＝AO＝1，∴C点的坐标为(3，1)．设所求抛物线的解析式为，则有，解得，∴所求抛物线的解析式为．15.【答案与解析】(1)证明：由题意知，点E、F均在反比例函数图象上，且在第一象限，所以AE×AO＝k，BF×BO＝k，从而AE×AO＝BF×BO．(2)将点E的坐标为(2，4)代入反比例函数得k＝8，所以反比例函数的解析式为．∵OB ＝6，∴当x＝6时，点F的坐标为．设过点O、E、F三点的二次函数表达式为(a≠0)，将点0(0，0)，E(2，4)，三点的坐标代入表达式得：解得∴经过O、E、F三点的抛物线的解析式为：．要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴) (0，0)(轴) (0，)(，0)(，)()2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线中，的作用：(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.类型一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1．二次函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”号)．【解析】将A(a，15)，分别代入y＝x2中得：∴；，又A、B在抛物线对称轴左侧，∴a＜0，b＜0，即，∴【变式1】二次函数与的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则______．【答案】2.【变式2】不计算比较大小：函数的图象右侧上有两点A（a，15），B（b，0.5），则a______b．答案】＞.2．已知y=(m+1)x是二次函数且其图象开口向上,求m的值和函数解析式.【答案与解析】由题意，，解得m=1，∴二次函数的解析式为：y=.3．求下列抛物线的解析式：（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y轴对称的抛物线．【答案与解析】（1）由于待求抛物线形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为，又顶点坐标是（0，-5），故常数项，所以所求抛物线为．（2）因为抛物线的顶点为（0，1），所以其解析式可设为，又∵该抛物线过点（3，-2），∴，解得．∴所求抛物线为．4．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象回答下列问题．(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；(2)抛物线开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；(3)抛物线，当x____时，随x的增大而减小；当x____时，函数y有最____值，其最____值是____．【答案与解析】函数与的图象如图所示：(1)下；l ；(2)向下；y轴；(0，1)；(3)＞0；＝0；大；大；1.课堂练习一、选择题1. 关于函数y=的图象,则下列判断中正确的是()A. 若a、b互为相反数,则x=a与x=b的函数值相等；B. 对于同一个自变量x,有两个函数值与它对应；C. 对任一个实数y,有两个x和它对应；D. 对任意实数x,都有y＞0.2. 下列函数中，开口向上的是（）A. B. C. D.3. 把抛物线向上平移1个单位，所得到抛物线的函数表达式为()．A．B．C．D．4. 下列函数中，当x＜0时，y值随x值的增大而增大的是（）A. B. C. D.5. 在同一坐标系中，作出，，的图象，它们的共同点是（）．A．关于y轴对称，抛物线的开口向上B．关于y轴对称，抛物线的开口向下C．关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点D．关于原点对称，抛物线的顶点都是原点6. 晴天时，汽车的刹车距离s (m)与开始刹车时的速度v(m/s)之间满足二次函数，若汽车某次的刹车距离为2.25m，则开始刹车时的速度为( )．A. 10m/sB. 15m/sC. 20m/sD. 25m/s二、填空题7. 已知抛物线的解析式为y＝-3x2，它的开口向______，对称轴为______，顶点坐标是________，当x＞0时，y随x的增大而________．8. 若函数y＝ax2过点(2，9)，则a＝________．9. 已知抛物线y＝x2上有一点A，A点的横坐标是-1，过点A作AB∥x轴，交抛物线于另一点B，则△AOB的面积为________．10. 写出一个过点（1，2）的函数解析式_________________．11. 函数，、的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数关系式是_____________________．12. 若对于任意实数x，二次函数的值总是非负数，则a的取值范围是____________．三、解答题13．已知是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大．（1）求m的值；（2）画出函数的图象．14. 已知抛物线经过A（-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断B（-1，-4）是否在此抛物线上？（3）求此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.15．函数y=ax2 (a≠0)的图象与直线y=2x-3交于点(1，b)．（1）求a和b的值；（2）求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）x取何值时，y随x的增大而增大?（4）求抛物线与直线y=-2的两个交点及其顶点所构成的三角形的面积．一、选择题1．【答案】A.2．【答案】D；【解析】开口方向由二次项系数a决定，a＞0，抛物线开口向上；a＜0，抛物线开口向下.3．【答案】A；【解析】由抛物线的图象知其顶点坐标为(0，0)，将它向上平移1个单位后，抛物线的顶点坐标为(0，1)，因此所得抛物线的解析式为．4．【答案】B；【解析】根据抛物线的图象的性质，当a＜0时，在对称轴（x=0）的左侧，y值随x值的增大而增大，所以答案为B.5. 【答案】C；【解析】y＝2x2，y＝-2x2，的图象都是关于y轴对称的，其顶点坐标都是(0，0)．6. 【答案】B；【解析】当s＝2.25时，，v＝15．二、填空题7．【答案】下；y轴；(0，0)；减小；8．【答案】；【解析】将点(2，9)代入解析式中求a.9．【答案】1 ；【解析】由抛物线的对称性可知A(-1，1)，B(1，1)，则.10．【答案】【解析】答案不唯一.11．【答案】，，．【解析】先比较，|1|，|3|的大小关系，由|a|越大开口越小，可确定从里向外的三条抛物线所对应的函数依次是y＝3x2，y＝x2，．12．【答案】a＞-1；【解析】二次函数的值总是非负数，则抛物线必然开口向上，所以a+1＞0.三、解答题13. 【解析】解：（1）∵为二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大，∴，∴，∴m=1.（2）由（1）得这个二次函数解析式为，自变量x的取值范围是全体实数，可以用描点法画出这个函数的图象．如图所示．14. 【解析】解：（1）∵抛物线经过A（-2，-8），∴-8=4a，∴a=-2，抛物线的解析式为：.（2）当x=-1时，y=-2=-2≠-4，∴点B（-1，-4）不在此抛物线上.（3）当y=-6时，即，得，∴此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标是（，-6）和（，-6）.15. 【解析】解：（1）将x=1，y=b代入y=2x-3，得b=-1，所以交点坐标是(1，-1)．将x=1，y=-1代入y=ax2，得a=-1，所以a=-1，b=-1．（2）抛物线的解析式为y=-x2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x=0(即y轴)．（3）当x＜0时，y随x的增大而增大．（4）设直线y=- 2与抛物线y=-x2相交于A、B两点，抛物线顶点为O(0，0)．由,，得∴A(，-2)，B(，-2)．∴AB=|-(-)|=2，高=|-2|=2．∴．类型二、二次函数y=a（x-h)^2+k(a≠0)的图象与性质1．将抛物线作下列移动，求得到的新抛物线的解析式．(1)向左平移2个单位，再向下平移3个单位；(2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向；(3)以x轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向．【答案与解析】抛物线的顶点为(1，3)．(1)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，顶点为(-1，0)，而开口方向和形状不变，所以a＝2，得到抛物线解析式为．(2)顶点不动为(1，3)，开口方向反向，则，所得抛物线解析式为．(3)因为新顶点与原顶点(1，3)关于x轴对称，故新顶点应为(1，-3)．又∵抛物线开口反向，∴．故所得抛物线解析式为．2．把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b，c的值.【答案与解析】根据题意得，y=(x-4)2-2=x2-8x+14, 所以【变式】二次函数的图象可以看作是二次函数的图象向平移4个单位，再向平移3个单位得到的．【答案】上；右.3．已知与的图象交于A、B两点，其中A(0，-1)，B(1，0)．(1)确定此二次函数和直线的解析式；(2)当时，写出自变量x的取值范围．【答案与解析】(1)∵，的图象交于A、B两点，∴且解得且∴二次函数的解析式为，直线方程为．(2)画出它们的图象如图所示，由图象知当x＜0或x＞1时，．4．如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）若点P（m，-m）（m≠0）为抛物线上一点，求与P关于抛物线对称轴对称的点Q 的坐标．（注：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-）.【答案与解析】解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x-2）2+1，将点O（0，0）的坐标代入得：4a+1=0，解得a=-．所以二次函数的解析式为y=-（x-2）2+1；（2）∵抛物线y=-（x-2）2+1的对称轴为直线x=2，且经过原点O（0，0），∴与x轴的另一个交点B的坐标为（4，0），∴S△AOB =×4×1=2；（3）∵点P（m，-m）（m≠0）为抛物线y=-（x-2）2+1上一点，∴-m=-（m-2）2+1，解得m1=0（舍去），m2=8，∴P点坐标为（8，-8），∵抛物线对称轴为直线x=2，∴P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标为（-4，-8）．如下图.课堂巩固一、选择题1．抛物线的顶点坐标是（）A．(2，-3)B．(-2，3)C．(2，3)D．(-2，-3)2．函数y=x2+2x+1写成y=a(x－h)2+k的形式是（）A．y=(x－1)2+2 B．y=(x－1)2+C．y=(x－1)2－3D．y=(x+2)2－13．抛物线y=x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( )A．y=(x+3)2－2B．y=(x－3)2+2C．y=(x－3)2－2 D．y=(x+3)2+2 4．把二次函数配方成顶点式为（）A． B．C．D．5．由二次函数，可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线C．其最小值为1D．当时，y随x的增大而增大6．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（）二、填空题7. 抛物线y=-（•x+•3）2•-•5•的开口向_______，•对称轴是________，•顶点坐标是_______．8．已知抛物线y=－2(x+1)2－3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_ _____.9．抛物线y=－3(2x2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.10．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为．11．将抛物线向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是__ _____．12．抛物线的顶点为C，已知的图象经过点C，则这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________．三、解答题13．已知抛物线的顶点（-1，-2），且图象经过（1，10），求抛物线的解析式．14. 已知抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到抛物线；（1）求出a，h，k的值；（2）在同一直角坐标系中，画出与的图象；（3）观察的图象，当________时，y随x的增大而增大；当________时，函数y有最________值，最________值是________；（4）观察的图象，你能说出对于一切的值，函数y的取值范围吗？15．已知抛物线的顶点为A，原点为O，该抛物线交y轴正半轴于点B，且，求：(1)此抛物线所对应的函数关系式；(2)x为何值时，y随x增大而减小?一、选择题1.【答案】D；【解析】由顶点式可求顶点，由得，此时，．2.【答案】D；【解析】通过配方即可得到结论.3.【答案】A；【解析】抛物线y=x2向左平移3个单位得到y=(x+3)2，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是y=(x+3)2－2.4.【答案】B【解析】通过配方即可得到结论.5.【答案】C；【解析】可画草图进行判断.6.【答案】C；【解析】A中的符号不吻合，B中抛物线开口不正确．D中直线与y 轴交点不正确.二、填空题7.【答案】下；直线x=-3 ；（-3，-5）；【解析】由二次函数的图象性质可得结论.8.【答案】x≥－1；【解析】由解析式可得抛物线的开口向下，对称轴是x=-1，对称轴的右边是y随x的增大而减小，故x≥－1.9.【答案】向下，y轴；10.【答案】；【解析】设过点（1，－14）得，所以.11.【答案】；【解析】先化一般式为顶点式，再根据平移规律求解.12.【答案】1；【解析】C(2，-6)，可求与x轴交于，与y轴交于(0，3)，∴.三、解答题13.【答案与解析】∵抛物线的顶点为（-1，-2）∴设其解析式为，又图象经过点（1，10），∴，∴，∴解析式为．14.【答案与解析】（1）由向上平移2个单位，再向右平移1个单位所得到的抛物线是．∴，，．（2）函数与的图象如图所示．（3）观察的图象，当时，随x的增大而增大；当时，函数有最大值，最大值是．（4）由图象知，对于一切的值，总有函数值．15.【答案与解析】（1）由题意知A(2，1)，令，则，所以．由得，所以，因此抛物线的解析式为．（2）当时，y随x增大而减小．类型三：二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质类型一、二次函数的图象与性质1．求抛物线的对称轴和顶点坐标．【变式】把一般式化为顶点式．（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；（2）分别求出它与y轴的交点C，与x轴的交点A、B的坐标.2．如图所示，抛物线的对称轴是x＝1，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(，0)，则点A的坐标是_______．类型二、二次函数的最值3．求二次函数的最小值.类型三、二次函数性质的综合应用4．已知二次函数的图象过点P(2，1)．（1）求证：；（2）求bc的最大值．【答案与解析】（1）∵的图象过点P(2，1)，∴1=4+2b+c+1，∴c=-2b-4．（2）．∴当时，bc有最大值．最大值为2．课堂巩固一、选择题1. 将二次函数化为的形式，结果为（）．A．B．C．D．2．已知二次函数的图象，如图所示，则下列结论正确的是（）．A．B．C．D．3．若二次函数配方后为，则b、k的值分别为（）．A．0，5B．0，1 C．-4，5D．-4，14．抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为，则b、c的值为（）．A．b=2，c=2B．b=2，c=0C．b= -2，c= -1 D．b= -3，c=25．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+c的值()A. 等于0B.等于1C. 等于-1D. 不能确定6．二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是( )二、填空题7．二次函数的最小值是________．8．已知二次函数，当x＝-1时，函数y的值为4，那么当x＝3时，函数y的值为________．9．二次函数的图象经过A(-1，0)、B(3，0)两点，其顶点坐标是________．10．二次函数的图象与x轴的交点如图所示．根据图中信息可得到m 的值是________．第10题第11题11．如图二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是___；第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正确的结论的序号是___ __.12．已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC的面积等于10，则C点的坐标为__ __.三、解答题13．（1）用配方法把二次函数变成的形式；（2）在直角坐标系中画出的图象；（3）若，是函数图象上的两点，且，请比较、的大小关系．14．如图所示，抛物线与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）．（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．15．已知抛物线：(1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)画函数图象，并根据图象说出x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x 的增大而减小？函数y有最大值还是最小值？最值为多少？一、选择题1.【答案】D；【解析】根据配方法的方法及步骤，将化成含的完全平方式为，所以．【解析】由图象的开口方向向下知；图象与y轴交于正半轴，所以；2.【答案】D；又抛物线与x轴有两个交点，所以；当时，所对应的值大于零，所以．3.【答案】D；【解析】因为，所以，，．4.【答案】B；【解析】，把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得抛物线，∴，∴，．5.【答案】A；【解析】因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，所以过点（1,0）代入解析式得a+b+c=0.6.【答案】A；【解析】分类讨论，当a＞0，a＜0时分别进行分析.二、填空题7.【答案】-3；【解析】∵，∴函数有最小值．当时，．8.【答案】4【解析】由对称轴，∴x＝3与x＝-1关于x＝1对称，∴x＝3时，y＝4.9.【答案】(1，-4) ；【解析】求出解析式.10.【答案】4；【解析】由图象发现抛物线经过点（1，0），把，代入，得，解得．11.【答案】①④，②③④；12.【答案】(-2，5)或(4，5)；【解析】先通过且△ABC的面积等于10，求出C点的纵坐标为5，点C在抛物线y=x2-2x-3上，所以x2-2x-3=5，解得x=-2或x=5，则C点的坐标为(-2，5)或(4，5).三、解答题13.【答案与解析】（1）．（2）略．（3）∵，∴当时，y随x增大而减小，又，∴．14.【答案与解析】（1）把点C(5，4)代入抛物线得，，解得．∴该二次函数的解析式为．∵，∴顶点坐标为．（2）（答案不唯一，合理即正确）如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数解析式为，即．15.【答案与解析】(1)∵，b＝-3，∴，把x＝-3代入解析式得，．∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝-3，顶点坐标是(-3，2)．(2)由于抛物线的顶点坐标为A(-3，2)，对称轴为x＝-3．抛物线与x轴两交点为B(-5，0)和C(-1，0)，与y轴的交点为，取D关于对称轴的对称点，用平滑曲线顺次连结，便得到二次函数的图象，如图所示．从图象可以看出：在对称轴左侧，即当x＜-3时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即当x＞-3时，y随x的增大而减小．因为抛物线的开口向下，顶点A是抛物线的最高点，所以函数有最大值，当x＝-3时，．要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解类型一、函数与方程4．已知抛物线与x轴没有交点．①求c的取值范围；②试确定直线经过的象限，并说明理由．【变式1】无论x为何实数，二次函数的图象永远在x轴的下方的条件是( )A．B．C．D．【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数(m为实数)的零点的个数是( )A．1 B．2 C．0 D．不能确定要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数：m＝162-3x．(1)写出商场卖出这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系；。
初三数学-二次函数讲义-详细
二次函数一、二次函数的解析式1. 二次函数解析式有三种：(1)一般式：y ax bx c a =++≠20()(2)顶点式：()y a x h k =-+2顶点为()h k ，(3)交点式：()()y a x x x x =--12 ()()x x 120，，是图象与x 轴交点坐标。
2.根据不同的条件，运用不同的解析式形式求二次函数的解析式. 二、二次函数与一元二次方程1. 二次函数()20y ax bx c a =++≠与一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的关系。
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况。
2.图像与x 轴的交点个数：①当240b ac ∆=->时，图像与x 轴交于两点()()()1212,0,,0A x B x x x ≠，其中12,x x 是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根；②当0∆=时，图像与x 轴只有一个交点； ③当0∆<时，图像与x 轴没有交点。
1’ 当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y > 2’ 当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <。
板块一 二次函数解析式 1.(1)把函数23212++=x x y 化成它的顶点式的形式为_______________________； (2)把函数6422++-=x x y 化成它的交点式形式为____________________________； (3)把函数()2324y x =-+化为它的一般式的形式为__________________________； (4)把函数12)1(32--=x y 化成它的交点式为__________________________;(5)把函数的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到的二次函数解析式是 ；(6)把抛物线322-+=x x y 向左平移3个单位,然后向下平移2个单位,则所得的抛物线的解析式为 .2.(1) 抛物线了y=a(x+1)(x-3)(a ≠0)的对称轴是直线 ( )22x y =A ．x=1B ．x=－1C ．x=－3D ．x=3(2)二次函数y=(x+1)2+2的最小值是 ( )A ．2B ．1C ．－3D ．233.(1)已知一个二次函数过(0 ，0)，(-1 ，11)，(1， 9)三点，求二次函数的解析式。
二次函数讲义
第1页共12页二次函数【知识点1】二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义：形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f (x )＝___ax 2＋bx ＋c (a ≠0)___.已知三个点的坐标时，宜用一般式.②顶点式：f (x )＝__a (x －m )2＋n (a ≠0)____.已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.③零点式：f (x )＝___a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)__.已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便.点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.2.二次函数的图象和性质图象函数性质a >0定义域x ∈R (个别题目有限制的，由解析式确定)值域a >0a <0y ∈[4ac －b 24a，＋∞)y ∈(－∞，4ac －b 24a]a <0奇偶性b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数单调性x ∈(－∞，－b2a]时递减，x ∈[－b2a ，＋∞)时递增x ∈(－∞，－b 2a]时递增，x ∈[－b2a，＋∞)时递减图象特点①对称轴：x ＝－b 2a；②顶点：(－b 2a ，4ac －b 24a)3.二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2－4ac >0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、第2页共12页M 2(x 2,0)，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝Δ|a |.【知识点2】二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系当0∆<⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴无交点⇔20ax bx c ++=无实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆=⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴相切⇔20ax bx c ++=有两个相等的实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆>⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴有两个不同的交点⇔20ax bx c ++=有两个不等的实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞ 。
第22章《二次函数》讲义 第8讲 二次函数与方程(有答案)
第3讲 二次函数与方程、不等式1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3.两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．（1）、a+b+c 的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定:点在x 轴上方，则a+b+c 。
点在x 轴下方，则a+b+c 。
点在x 轴上，则a+b+c 。
（2）、a-b+c 的符号：由x=－1时抛物线上的点的位置确定:点在x 轴上方，则a －b+c 。
点在x 轴下方，则a －b+c 。
点在x 轴上，则a －b+c 。
（3）、2a±b 的符号： 由对称轴与X=1或X=-1的位置相比较的情况决定. （4）、b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0； 1个交点，b 2-4ac=0； 没有交点，b 2-4ac ＜0．1、二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：①、当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-. ②、当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③、当0∆<时，图象与x 轴没有交点.（1）当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；（2）当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2、抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3、二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母考点1、待定系数法求二次函数解析式例1、已知点A（2，3）在函数y=ax2-x+1的图象上，则a等于（）A．－1 B．1 C．2 D．－2例2、若一次函数y=x+m2与y=2x+4的图象交于x轴上同一点，则m的值为（）A．m=2 B．m=±2 C．m=D．m=±例3、已知抛物线顶点为（1，3），且与y轴交点的纵坐标为-1，则此抛物线解析式是．例4、已抛物线过点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，且BC=，则这条抛物线的解析式为．例5、二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点（2，3），且顶点在直线y=3x-2上，则二次函数的关系式为：．例6、已知二次函数的图象经过点（0，－1）、（1，－3）、（－1，3），求这个二次函数的解析式．并用配方法求出图象的顶点坐标．例7、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x上，且这个顶点到原点的距离为又知抛物线与x轴两交点横坐标之积等于－1，求此抛物线的解析式．1、已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且抛物线的图象经过（3，0）点，则这条抛物线的解析式是（）A．y=-x2-4x-3 B．y=-x2-4x+3 C．y=x2-4x-3 D．y=-x2+4x-32、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标的和为-4，积是-5，且抛物线经过点（0，-5），则此抛物线的解析式为（ C ）A．y=x2-4x-5 B．y=-x2+4x-5 C．y=x2+4x-5 D．y=-x2-4x-53、已知二次函数y=x2+bx+c的图象过A（c，0），对称轴为直线x=3，则此二次函数解析式为．4、抛物线y=ax2+bx+c中，已知a：b：c=l：2：3，最小值为6，则此抛物线的解析式为．5、已知y与x2+2成正比例，且当x=1时，y=6．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若点（a，12）在函数图象上，求a的值．6、如图，抛物线y=2+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，请直接写出平移后的抛物线的解析式．考点2、函数与方程例1、如果抛物线y=x2+（k-1）x+4与x轴有且只有一个交点，那么正数k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6例2、二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则以下关于m的结论正确的是（）A．m的最大值为2 B．m的最小值为－2C．m是负数D．m是非负数例3、设抛物线y=x2+kx+4与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），则下列结论中，一定成立的是（）A．x12+x22=17 B．x12+x22=8 C．x12+x22＜17 D．x12+x22＞8例4、已知抛物线y=x2-2ax+a+2的顶点在x轴上，则方程的实数根的积为．☆例5、已知关于x的方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0．（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若m为整数，且抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴两交点间的距离为2，求抛物线的解析式；（3）若直线y=x+b与（2）中的抛物线没有交点，求b的取值范围．1、抛物线y=x2-2x-3与坐标轴的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个2、如图所示，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，AE=BE，则下列关系式中不能成立的是（）A．b=0 B．S△ABE=c2 C．ac=-1 D．a+c=03、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（-1，0）和（5，0）两点，则该抛物线的对称轴是．4、已知抛物线y=x2+kx+4-k交x轴于整点A、B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为．5、已知关于x的函数y=ax2+x+1（a为常数）（1）若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．考点3、二次函数与不等式（组）例1、如图，是二次函数和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象，写出y1＞y2时x的取值范围是（）A．－2＜x＜1 B．x＜－2或x＞1 C．x＞－2 D．x＜1例2、若函数y=mx2+mx+m-2的值恒为负数，则m取值范围是（）例3、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（1，3）及部分图象（如图所示），其中图象与横轴的正半轴交点为（3，0），由图象可知：①当x 时，函数值随着x的增大而减小；②关于x的一元二次不等式ax2=bx+c＞0的解是．例4、如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于 A（-2，4）、B（8，2）两点，则能使关于x的不等式ax2+（b-k）x+c-m＞0成立的x的取值范围是．例5、如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（2，0），B（5，3）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式ax2+bx+c≤x+m的解集（直接写出答案）；（3）若抛物线与y轴交于C，求△ABC的面积．1、抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）和直线y=mx+n（m≠0）相交于两点P（-1，2），Q（3，5），则不等式-ax2+mx+n＞bx+c的解集是（）A．x＜－1 B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞32、已知：二次函数y=x2-4x+a，下列说法中错误的个数是（）①当x＜1时，y随x的增大而减小②若图象与x轴有交点，则a≤4③当a=3时，不等式x2-4x+a＞0的解集是1＜x＜3④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，－2），则a=－3．A．1 B．2 C．3 D．43、直线y=-3x+2与抛物线y=x24、已知函数y=x2-2x-3的图象，根据图象回答下列问题．（1）当x取何值时y=0．（2）方程x2-2x-3=0的解是什么？（3）当x取何值时，y＜0？当x取何值时，y＞0？（4）不等式x2-2x-3＜0的解集是什么？5、如图，二次函数的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，-3），一次函数y2=mx+n的图象过点A、C．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；（3）根据图象写出y2＜y1时，x的取值范围．1、一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（－1，3），则该抛物线的解析式为（）A．y＝－2（x－1）2＋3 B．y＝－（2x＋1）2＋3C．y＝－2（x＋1）2＋3 D．y＝－（2x－1）2＋32、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是1，-1，给出下列结论：①a+b+c=0；②b=0；③a=1．c=-1．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③3、已知：二次函数y=x2-4x-a，下列说法中错误的个数是（）①若图象与x轴有交点，则a≤4②若该抛物线的顶点在直线y=2x上，则a的值为-8③当a=3时，不等式x2-4x+a＞0的解集是1＜x＜3④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，-2），则a=-1⑤若抛物线与x轴有两个交点，横坐标分别为x1、x2，则当x取x1+x2时的函数值与x取0时的函数值相等．A．1 B．2 C．3 D．44、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则这个二次函数的关系式为，5、如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1．若抛物线与x轴一个交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c≥0的解集是：．6、若关于x的方程3x2+5x+11m=0的一个根大于2，另一根小于2，则m的取值范围是．7、如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于点A（-2，4），B（8，2），则能使y1＜y2成立的x的取值范围是．8、已知点（2，5），（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，则这条抛物线的对称轴是．9、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（－4，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，直线y=mx+n经过A（－4，0）、C（0，3）两点．（1）写出方程ax2+bx+c=0的解；（2）若ax2+bx+c＞mx+n，写出x的取值范围．10、已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），且经过直线y=x-3与x轴的交点B及与y轴的交点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．11、如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；（3）结合（1）（2）及图象，直接写出使一次函数的值大于二次函数的值的x的取值范围．1、若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜bC．x1＜a＜b＜x2 D．a＜x1＜b＜x22、已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一点，如果∠ABC=∠ACB，求：（1）点C的坐标；（2）图象经过A、B、C三点的二次函数的解析式．3、在直角坐标平面内，二次函数图象的经过A（-1，0）、B（3，0），且过点C（0，3）．（1）求该二次函数的解析式；（2）若P是该抛物线上一点，且△ABC与△ABP面积相同，求P的坐标．1、抛物线y=x2-mx+m-2与x轴交点的情况是（）A．无交点B．一个交点C．两个交点D．无法确定2、已知函数y=ax2+bx+z的图象如图所示，那么函数解析式为（）A．y=-x2+2x+3 B．y=x2-2x-3 C．y=-x2-2x+3 D．y=-x2-2x-33、如图，已知直线y=kx+b（k＞0）与抛物线y=x2交于A、B两点（A、B两点分别位于第二和第一象限），且A、B两点的纵坐标分别是1和9，则不等式x2-kx-b＞0的解集为（）A．－1＜x＜3 B．x＜－1或x＞3C．1＜x＜9 D．x＜1或x＞9（2）（3）4、已知二次函数y=2x2-（4k+1）x+2k2-1的图象与x轴交于两个不同的点，则关于x的一元二次方程2x2-（4k+1）x+2k2-1=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5、已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（）A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G6、已知抛物线y=（m-1）x2+x+1与x轴有交点，则m范围是．7、已知二次函数的图象关于直线x=3对称，最大值是0，在y轴上的截距是-1，这个二次函数解析式为．8、如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①abc＜0；②b＞2a；③a+b+c=0④ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；⑤8a+c＞0．其中正确的命题是．9、如图二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；（2）观察图象，当x取何值时，y＜0？y=0？y＞0？10、已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：（1）求出函数的解析式；（2）写出抛物线的对称轴方程和顶点坐标？（3）当x取何值时y随x的增大而减小？（4）方程ax2+bx+c=0的解是什么？（5）不等式ax2+bx+c＞0的解集是什么？11、如图，抛物线y=-x2+3x-n经过点C（0，4），与x轴交于两点A、B．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值．12、如图，△AOB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y=点E．（1）求点E的坐标；（2）求过A、O、E三点的抛物线的解析式．参考答案第8讲二次函数与方程、不等式考点1、待定系数法求二次函数解析式例1、B例2、D例3、例4、例5、例6、例7、1、D2、C3、4、5、6、考点2、函数与方程例1、C例2、A例3、D例4、例5、解：（1）证明：分两种情况讨论．①当m=0时，方程为x-2=0，∴x=2，方程有实数根；②当m≠0，则一元二次方程的根的判别式△=[-（3m-1）]2-4m（2m-2）=9m2-6m+1-8m2+8m=m2+2m+1=（m+1）2∴不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根；综合①、②，可知m取任何实数，方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0恒有实数根．（2）设x1，x2为抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标．令y=0，则mx2-（3m-1）x+2m-2=0∴抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2不论m为任何不为0的实数时恒过定点（2，0）．∵|x1-x2|=2，∴|2-x2|=2，当m=1时，y=x2-2x，把（2，0）代入，左边=右边，m=1符合题意，∴抛物线解析式为y=x2-2x答：抛物线解析式为y=x2-2x；1、D2、D3、4、5、考点3、二次函数与不等式（组）例1、B例2、C例3、例4、例5、1、C2、A3、4、5、1、C2、A3、B4、5、6、7、8、9、10、11、1、C2、3、1、C2、A3、B4、B5、C6、7、8、9、10、11、12、31。
二次函数讲义
一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx ca≠）的函数，叫做二次，，是常数，0函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c=++的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
Array2.2y ax c=+的性质：上加下减。
3.()2y a x h =-的性质：左加右减。
4.()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成mc bx axy +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成cm x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k aa-=-=，．五、二次函数2y ax bx c=++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a<-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a=-时，y有最小值244ac b a-．2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a<-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab的符号的判定：对称轴ab x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a b c，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2=---；y ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2y a x b x c()2=---；y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k2. 关于y轴对称2=-+；y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2y a x b x c()2=++；y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k3. 关于原点对称2=-+-；y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y a x b x c()2y a x hk =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx c a=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k=-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2=++中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，y ax bx cc的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)++≠本身就是所含字母x的ax bx c a二Array次函数；下面以0a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x 22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)22-32十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）0 x o-1 x 0 x A B C D 3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
二次函数的性质讲义.doc
复习集合的概念，集合的特点，区间的表示定义域，值域，映射初中知识回顾〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向〖大纲要求〗1． 理解二次函数的概念；2． 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3． 会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4． 会用待定系数法求二次函数的解析式；5． 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。
增加内容：一定区间上的最值问题，根的分布主要思想：分类讨论二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a-，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．【例1】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．由上述例题可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【例2】当1t x t≤≤+时，求函数21522y x x=--的最小值(其中t为常数)．分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522y x x=--的对称轴为1x=．画出其草图．(1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t>时：当x t=时，2min1522y t t=--；(2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t≤≤+⇒≤≤时：当1x=时，2min1511322y=⨯--=-；(3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t+<⇒<时：当1x t=+时，22min151(1)(1)3222y t t t=+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t ty tt t t⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩二次函数根的分布1.求二次函数的根，就是解)(xf=0，常用的方法有因式分解，或者直接利用求根公式。
高中数学-二次函数-精华讲义
二次函数专题专题必要性：高考中的很多题，往往最后都能转化为二次函数、一元二次方程和一元二次不等式问题，因此二次函数贯穿整个高考中，需深度掌握。
基础知识回顾1.给出函数表达式f(x) = ax2+bx + c f首先需要考虑d是否等于0,若∏ = 0,则函数不是二次函数.2.二次函数的三种表现形式1 ) 一般式：y = Cix2+bx+c(a≠O)2)顶点式：y = a(x-h)2+k(a ≠0)此时二次函数的顶点坐标为(h,k);3)分解式：y = ^(%-Λ-1)(Λ-x2)其中为、勺是二次函数的与兀轴的两个交点的横坐标，此时二次函数的对称轴为直线X =送卫.3.二次函数的图像与性质①开口方向：当d>0,函数开口方向向上；当d<0,函数开口方向向下；②对称轴：Ici③顶点坐标：(-2，也二)；若图象与X轴有两个交点，分别为M I U I,0), M2(X2,O),2a 4a则∣Λ∕1Λf2∣=∣x1-X2∣ = -φ.④增减性⑤最值("R):当α>0时，函数有最小值，并且当A =-^- , y n∙n = ^Ic~h-；当d<0时,2a 4a函数有最大值，并且当X=斗时，),πm=色工•；3 4a⑥与尤轴的交点个数：当厶=b' -4心>0时，函数与X轴有两个不同的交点；△〈()时，函数尤轴没有交点；△二0时，函数与兀轴有一个交点.4.二次函数根的由来 ---- 配方法b z∙对cιx2+bx+c = (Xa≠O)进行配方，变换为√+-Λ+-=0,由于完全平方是：a aa2 +2ab + b2 =(a+bY艮卩x2 +2ax+a1 =(x+a)29所以要变扌奂为x2 +-x + -^+ - = 0 ,变a4cΓ 4cΓ a换的关键点：一次项系数除以2再整体平方.Λ(X+⅛=X-S=≤Ξ±^∙从而得到，2a 4tr a 4a在b2-4ac≥0时有解，Y=^±√^-4∑c;若F-4M≤0,此时无解.2a5.有关一元二次方程判别式T2-4ac ,联系韦达定理D Δ>0有两个不等实根；△二O表示有两个相等实根，△<()表示没有实数根，实际就是(x + d), = /?, P < O 的情况.2)。
寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第八讲 二次函数与存在性问题(学生版)
COA B xy第八讲 二次函数与存在性问题明确目标﹒定位考点存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来包括深圳在内各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
热点聚焦﹒考点突破二次函数1、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.2、二次函数的顶点坐标是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.3、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=，（由图象可知，“左同右异”） 故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； ③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.4、一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.5、抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=4442221221221216、特殊值记忆：二次函数 c bx ax y ++=2，当x =1时，y = 当x =-1时，y = 当x =0时，y =7、存在性问题的处理思路： ① 研究背景图形．② 分析不变特征（点、线、角），结合形成因素（判定），考虑需要满足的条件．③ 画图求解：往往先从一种情形入手．先画出大致图形，再结合特征不断精确．在图形上求解一种情况后，结合运动范围，考虑其他情形． ④ 结果验证：画图或推理，验证已求结果．考点1： 四边形之存在性问题例1.如图，抛物线41=y x 2c bx ++与x 轴交于A （5,0）、B （-1,0）两点，过点A 作直线AC ⊥x 轴，交直线x 2y =于点C ； （1）求该抛物线的解析式；（2）求点A 关于直线x 2y =的对称点A `的坐标，判定点A `是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P 是抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段C A `于点M ，是否存在这样的点P ，使四边形PACM 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【规律方法】1. 存在性问题的处理思路① 分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判 定等）考虑分类．②画图求解：分析各种状态的可能性，画出符合题意的图形． 通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．2. 菱形、矩形、正方形的存在性问题，通常借助转化探究思想来分析，将复杂、陌生问题转化为简单、熟悉问题解决．如：①菱形存在性问题通常转化为等腰三角形存在性处理，亦可借助菱形性质解决． ③ 矩形存在性问题通常转化为直角三角形存在性处理． ③正方形存在性问题通常转化为等腰直角三角形存在性处理．考点2： 相似三角形的存在性例2.如图，已知抛物线与坐标轴交于A ，B ，C 三点，点A 的坐标为(-1，0)，过点C 的直线与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB =5t ，且．（1）点C 的坐标是____________，b _______，c ______． （2）求线段QH 的长（用含t 的代数式表示）．（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P ，H ，Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有符合条件的t 值；若不存在，说明理由．【规律方法】相似三角形存在性的处理思路1. 分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定等）考虑分类．注：相似三角形存在性问题主要结合对应关系及不变特征考虑分类．2. 画图求解：往往先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑对应关系和不变特征后列方程求解．注：相似三角形列方程往往借助对应边成比例；234y x bx c =++334y x t=-01t <<A BCOHPQxy3. 结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果． 考点3： 全等三角形的存在性例3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴的一个交点为A (-2，0)，与y 轴的交点为C ，对称轴是直线x =3，对称轴与x 轴交于点B ． （1）求抛物线的函数表达式．（2）若点D 在x 轴上，在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD ≌△PBC ？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【规律方法】全等三角形存在性的处理思路1. 分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定等）考虑分类．注：全等三角形存在性问题主要结合对应关系及不变特征考虑分类．2. 画图求解：往往先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑边、角的对应相等和24y ax bx =++不变特征后列方程求解．3. 结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果． 考点4：角度的存在性例4.如图，抛物线2y x bx c =-++与直线122y x =+交于C ，D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为(3，72)．点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交CD 于点F ．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O ，C ，P ，F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．（3）若存在点P ，使∠PCF =45°，请直接写出．．．．相应的点P 的坐标．【规律方法】角度存在性的处理思路1.和角度相关的存在性问题通常要放在直角三角形中处理，通过三角函数将角的特征转化为边的比例特征来列方程求解．2.一般过定点构造直角三角形．3.当两个角相等时，常转化为两个直角三角形相似的问题来处理．【变式训练1】【难度分级】 A题（1）抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C(0，-2)，与直线y=x交于点A(-2，-2)，B(2，2)．（1）求抛物线的解析式．（2）线段MN在线段AB上移动（点M不与点A重合，点N不与点B重合），且MN 若点M的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q，则以P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．【难度分级】 B题（2）已知：抛物线C1：y＝x2。
《二次函数》 章节讲义
二次函数专题讲义6.1二次函数知识点1：二次函数的概念 1.概念：二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数 2.二次函数的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2； （2）a,b,c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项；考点1：二次函数的判别例1给出下列函数：① 21y x =+；② 211y x =+；③ 21y x =+；④21y x =+； ⑤()221y x x =+-，其中二次函数有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 习题1．对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是 ( ) A ．y=mx 2+3x －1 B ．y=(m －1)x 2 C ．y=(m －1)2x 2 D ．y=(－m 2－1)x 22．给出下列函数：①y=232x -；②y=x 2一x(1+x)；③y= x 2 (x 2+ x)一4；④ 221y x x=+；⑤y= x(1一x)，其中是二次函数的是_________。
(填序号)考点2：利用二次函数的概念求待定字母的值 例1 若y ＝(m －4)232m m x --＋4x －5是二次函数，求m 的值．习题1．函数y ＝(m ＋n)x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是 ( ) A ．m 、n 是常数，且m ≠0 B ．m 、n 是常数，且m ≠n C ．m 、n 是常数，且n ≠0 D ．m 、n 可以为任何常数 2．若y ＝(a 2＋a)221aa x --是二次函数，则 ( )A ．a ＝－1或a ＝3B ．a ≠－1，a ≠0C ．a ＝－1D ．a ＝33．已知函数y ＝(m ＋2)x 2＋3x －5是关于x 的二次函数，则m 的值不可能为 ( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 4．若函数y ＝(m ＋2)x 2mm+是关于x 的二次函数，则满足条件的m 的值为 ( )A ．1B ．－2C ．1或一2D ．－1或26.2 二次函数图像与性质知识点1：二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象与性质 1．2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
二次函数讲义
二次函数的定义及求解析式，函数建立：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=例1、 函数y=（m ＋2）x ＋2x －1是二次函数，则m= ．例2、 下列函数中是二次函数的有（ ）①y=x ＋；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个例3 、如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ．二．二次函数的图像及性质：1、作图“三步取”：一般地，二次函数图像的作法和一次函数及反比例函数图像的作法过程相同，都是三步：列表、描点、连线。
规律技巧：列表时注意以0为中心，对称取值（一般取3-4组值）。
观察图像，可得抛物线的开口方向、对称轴。
3、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：c bx ax y ++=2，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. 22-m x 121x（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.2.（1）二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．（2）二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条对称轴平行y 轴或者与y 轴重合的抛物线．顶点为（－2b a ，244ac b a -），对称轴x=－2b a；当a ＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而增大，x ＜－2b a，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而减小，x ＜－2b a ，y 随x 的增大而增大．（3）当a ＞0时，当x=－2b a 时，函数有最小值244ac b a -；当a ＜0时，当x x=－2b a时，函数有最大值244ac b a- 3、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.4、图象的平移：将二次函y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ）形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．记住规律：左加右减，上加下减（与X 、y 在一起时，即没移项前都是减）训练题：1．函数y=x 2的顶点坐标为 ．若点（a ，4）在其图象上，则a 的值是 ．2．若点A （3，m ）是抛物线y=－x 2上一点，则m= ．3．函数y=x 2与y=－x 2的图象关于 对称，也可以认为y=－x 2，是函数y=x 2的图象绕 旋转得到．4．若a ＞1，点（－a －1，y 1）、（a ，y 2）、（a ＋1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，判断y 1、y 2、y 3的大小关系？训练题：1．抛物线y=－2x 2＋6x －1的顶点坐标为 ，对称轴为 ．2．如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（ ）3．已知二次函数y=x 2－x ＋6，当x= 时，y 最小= ；当x 时，y 随x 的增大而减小．4．抛物线y=2x 2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为． 5．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则ac 0．（填“＞”、“＜”或“=”＝）。
二次函数辅导讲义（学生版）
⼆次函数辅导讲义（学⽣版）⼆次函数辅导讲义⼀、基础知识讲解+中考考点、例题分析考点1：⼆次函数的图象和性质⼀、考点讲解：1．⼆次函数的定义：形如（a≠0，a，b，c为常数）的函数为⼆次函数．2．⼆次函数的图象及性质：⑴⼆次函数y=ax2 (a≠0）；当a＞0时，抛物线开⼝向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开⼝向下，顶点是最⾼点；a越⼩，抛物线开⼝越⼤．y=a(x－h)2＋k的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）。
⑵⼆次函数，顶点为（－，），对称轴x=－；当a＞0时，抛物线开⼝向上，图象有最低点，且x＞－，y随x的增⼤⽽增⼤，x＜－，y随x的增⼤⽽减⼩；当a＜0时，抛物线开⼝向下，图象有最⾼点，且x＞－，y随x的增⼤⽽减⼩，x＜－，y随x的增⼤⽽增⼤．解题⼩诀窍：⼆次函数上两点坐标为（），（），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线。
3．图象的平移：⼆次函数y=ax2 与y=－ax2 的图像关于x轴对称。
平移的简记⼝诀是“上加下减，左加右减”。
⼀、经典考题剖析：【考题1】在平⾯直⾓坐标系内，如果将抛物线向右平移2个单位，向下平移3个单位，平移后⼆次函数的关系式是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．⼆次函数的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）A． B. C. D.4．已知⼆次函数(a≠0）与⼀次函数y=kx+m(k≠0）的图象相交于点A（－2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所⽰，能使y1＞y2成⽴的x取值范围是_______5．已知直线y=x 与⼆次函数y=ax 2 －2x －1的图象的⼀个交点 M 的横标为1，则a 的值为（）A 、2B 、1C 、3D 、 46．已知反⽐例函数y= x k 的图象在每个象限内y 随x 的增⼤⽽增⼤，则⼆次函数y=2kx 2 －x+k 2的图象⼤致为图1－2－3中的（）7、读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发⽣变化．例如：由抛物线①，有y=②，所以抛物线的顶点坐标为（m ，2m －1），即③④。
二次函数复习专题讲义全
二次函数复习专题讲义全1.二次函数概念：指形如y=ax^2(a≠0)的函数。
2.简单二次函数：其图像为过原点的一条抛物线，对称轴为y轴，最值依赖于a的正负性。
3.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x0)，y随x的增大而增大；当a0)，y随x的增大而减小。
4.一般二次函数概念：指形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。
5.二次函数图像：是一条抛物线，开口方向依赖于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a。
c-b^2/4a)。
6.对称轴：为x=-b/2a。
7.最值：当a>0时，y的最小值为c-b^2/4a；当a<0时，y 的最大值为c-b^2/4a。
8.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x-b/2a)，y随x的增大而增大；当a-b/2a)，y随x的增大而减小。
9.待定系数法可以用来求解析式，二次函数可以应用于建立函数模型解决实际问题。
10.二次函数的三种解析式：一般式、顶点式和交点式。
其中，顶点式和交点式可以相互转换。
注意，a≠0，而b和c可以为零。
1.系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
绝对值|a|决定开口大小，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。
2.系数c决定抛物线与y轴的交点位置。
当c>0时，交点在y轴正半轴；当c=0时，交点在抛物线顶点上方；当c<0时，交点在y轴负半轴。
3.系数a和b共同决定抛物线对称轴的位置。
当- b/2a>0时，对称轴在y轴右侧；当- b/2a<0时，对称轴在y轴左侧；当- b/2a=0时，对称轴为y轴。
4.特别地，当a=1时，顶点坐标为(-b/2.a+b+c)，当x=-1时，有y=a-b+c。
5.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的关系：若抛物线与x轴有两个交点，则方程有两个不相等的实根；若抛物线与x轴有一个交点，则方程有两个相等的实根；若抛物线与x轴无交点，则方程无实根。
(完整版)非常好的讲义二次函数图像与性质
二次函数图像及性质一、二次函数的定义一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，为常数，0a ≠）的函数称为x 的二次函数，其中x 为自变量，y 为因变量，a 、b 、c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数． 注意：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b 、c 可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．二、二次函数的图象 1．二次函数图象与系数的关系 （1）a 决定抛物线的开口方向 当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下．反之亦然．a 决定抛物线的开口大小：a 越大，抛物线开口越小；a 越小，抛物线开口越大． 温馨提示：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其形状相同，即若a 相等，则开口及形状相同，若a 互为相反数，则形状相同、开口相反．（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：2bx a=-）当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴； 当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧； 当a 、b 异号时，对称轴在y 轴的右侧．（3）c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置（抛物线与y 轴的交点坐标为()0c ，） 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为原点； 当0c >时，交点在y 轴的正半轴；当0c <时，交点在y 轴的负半轴．2.二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点． 3.点的坐标设法⑴ 一次函数y ax b =+（0a ≠）图像上的任意点可设为()11x ax b +，.其中10x =时，该点为直线与y 轴交点.⑵ 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）图像上的任意一点可设为()2111x ax bx c ++，.10x =时，该点为抛物线与y 轴交点，当12bx a=-时，该点为抛物线顶点． ⑶ 点()11x y ，关于()22x x ，的对称点为()212122x x y y --，． 4.二次函数的图象信息⑴ 根据抛物线的开口方向判断a 的正负性．⑵ 根据抛物线的对称轴判断2ba-的大小．⑶ 根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的大小．⑷ 根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性． ⑸ 根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a b c ，，的等式．⑹ 根据抛物线的顶点，判断244ac b a-的大小．三、二次函数的图象及性质1． 二次函数2y ax =0a ≠（）的性质：⑴抛物线2y ax =的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是0x =（y 轴）． ⑵函数2y ax =的图像与a 的符号关系．①当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ②当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点；2．二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质3． 二次函数2y ax bx c =++0a ≠（）或2()y a x h k =-+（0a ≠）的性质⑴开口方向：00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下⑵对称轴：2bx a=-（或x h =）⑶顶点坐标：24(,)24b ac b a a--（或(,)h k ）⑷最值：0a >时有最小值244ac b a -（或k ）（如图1）； 0a <时有最大值244ac b a-（或k ）（如图2）； ⑸单调性(单调性的概念无需掌握)：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的变化情况（增减性）①如图1所示，当0a >时，对称轴左侧2b x a <-，y 随着x 的增大而减小，在对称轴的右侧2bx a<- ，y 随x 的增大而增大；②如图2所示，当0a >时，对称轴左侧2b x a <-， y 随着x 的增大而增大，在对称轴的右侧2bx a<-，y 随x 的增大而减小；⑹与坐标轴的交点：①与y 轴的交点：（0，C ）；②与x 轴的交点：使方程20ax bx c ++=（或2()0a x h k -+=） 成立的x 值．一、二次函数的概念【例1】 已知函数2y ax bx c =++⑴当a ，b ，c 是怎样的数时，它是一次函数？ ⑵当a ，b ，c 是怎样的数时，它是正比例函数？ ⑶当a ，b ，c 是怎样的数时，它是二次函数？二、二次函数的图象及性质1、画出函数2288y x x =-+-的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值．2、画出函数23(2)1y x =+-的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值．【例2】 已知2y ax bx =+的图象如下左图所示，则y ax b =-的图象一定过（ ）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限【例3】 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下右图所示，则点()P a bc ，在第 象限.【例4】 函数1y ax =+与()210y ax bx a =++≠的图象可能是( )1xyO 1BxyO1C xy O1xy O【例5】 在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可．能．是（ ）例题精讲yxOyxODC B A xyO xyO xyO O yx【例6】 在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ ）BCD【例7】 下左图所示为二次函数2y ax bx c =++的图象，则一次函数by ax c=-的图象不经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例8】 已知，如图所示为二次函数2y ax bx c =++的图象，则一次函数y ax bc =+的图象不经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例9】 已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：A.抛物线开口向上 B. 抛物线与y 轴交于负半轴 C. 当4x =时，0y > D. 方程20ax bx c ++=的正根在3与4之间【例10】 若二次函数222y ax bx a =++-（a ，b 为常数）的图象如右图，则a 的值为（ ）A. 2-B.C. 1D.【例11】 设二次函数()20y ax bx c a =++≠图像如图所示，试判断24a b c a b c a b c b ac ++-+-、、、、、的符号．【例12】 二次函数2y ax bx c =++的图象如下左图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+的符号【例13】 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<③0abc >；④420a b c-+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ A ．①② B ．①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤【例14】 已知二次函数2()0y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论0ac >①； ②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大； ④0a b c -+<， 其中正确的个数（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【例15】 已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论：①0abc >；②20a b +>；③0a b c -+<；④0a c +>，其中正确结论的个数为（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【例16】 如下右图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点()12-，，且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③1b <-；④284b a ac +>．其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个【例17】 二次函数23(2)my m x -=-在其图象对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小，则m 的值为_____．【例18】 二次函数252(1)m m y m x --=-在其图象对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小，则m 的值为_____． 【例19】 已知点()15A x ，，()25B x ，是函数223y x x =-+上两点，则当12x x x =+时，函数值y = .【例20】 已知22934y x x =++，当x 取不同的值1x ，2x 时函数值相等，则当12x x x =+时的值（ ）A.与1x =的函数相等．B.与0x =的函数相等．C.与14x =的函数相等．D.与94x =-的函数相等．【例21】 若二次函数22m y mx -=有最大值，则m =________． 【例22】 若二次函数21my mx +=有最小值，则m =________．【例23】 二次函数2(1)2y x =--的图象上最低点的坐标是 （ ）A ．（-1，-2）B ．（1，-2）C ．（-1，2）D ．（1，2）【例24】 抛物线()()213y x x =+-的顶点坐标是（ ）．A ．()1,3--B ．()1,3C ．()1,8-D ．()1,8-【例25】 已知1a <-，点(1a -，1)y ，(a ，2)y ，(1a +，3)y 都在函数2y x =的图象上，则（ ）A. 123y y y <<B. 132y y y <<C. 321y y y <<D. 213y y y <<【例26】 已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点()()()123257A B C ，，，，，．若点()12M y -，，()21N y -，，()38K y ，也在二次函数2y ax bx c =++的图象上，则下列结论正确的是（ ）．A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<【例27】 若1134A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，254B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，314C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<【例28】 已知二次函数()2110y a x b =-++和()2250y b x a =--+分别有最大值、最小值，则这两个二次函数的图像有 个交点． 【例29】 已知抛物线()20y ax bx c a =++>的对称轴为直线1x =，且经过点()()1212y y -，，，，试比较1y 和2y 的大小：1y ____2y （填“>”，“<”或“=”）【例30】 已知二次函数()()2223y m x mx m =-+--的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y 轴的负半轴，则m 的取值范围是_________________． 【例31】 设抛物线为21y x kx k =-+-，根据下列各条件，求k 的值．⑴ 抛物线的顶点在x 轴上； ⑵ 抛物线的顶点在y 轴上； ⑶ 抛物线经过点(1,2)--； ⑷ 抛物线经过原点；⑸ 当1x =-时，y 有最小值； ⑹ y 的最小值为1-．【例32】 已知点()5A a b +-，与点()13B a b -，关于原点对称，求函数2y x ax b =++的顶点坐标．【例33】 设23y x ax a =++-， 当x 取任意实数时，y 恒为非负数，求a 的取值范围；【例34】 设直线y kx b =+与抛物线2y ax =的两个交点的横坐标分别是12,x x ，且直线与x 轴的交点的横坐标为3x ，求证：123111x x x +=．。
(完整版)非常好的讲义二次函数图像与性质
二次函数图像及性质一、二次函数的定义一般地,形如2y ax bx c =++（a b c ，，为常数，0a ≠）的函数称为x 的二次函数,其中x 为自变量，y 为因变量,a 、b 、c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．注意：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠,而b 、c 可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．二、二次函数的图象 1．二次函数图象与系数的关系 （1)a 决定抛物线的开口方向 当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下．反之亦然．a 决定抛物线的开口大小：a 越大，抛物线开口越小;a 越小，抛物线开口越大． 温馨提示：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其形状相同，即若a 相等，则开口及形状相同，若a 互为相反数,则形状相同、开口相反． (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：2b x a=-) 当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴； 当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧； 当a 、b 异号时,对称轴在y 轴的右侧．（3）c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置（抛物线与y 轴的交点坐标为()0c ，） 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为原点； 当0c >时，交点在y 轴的正半轴；当0c <时，交点在y 轴的负半轴．2.二次函数图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，,()20x ，(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点）．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点． 3。
二次函数讲义
二次函数1．二次函数：当≠a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-ab 2，下同。
2．二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。
当a <0时，情况相反3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1<x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2}，二次函数f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2).2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=ab2-,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x ab2-≠}和空集∅，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。
3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和∅.f (x )图象与x 轴无公共点。
当a <0时，请读者自己分析。
4．二次函数的最值：若a >0，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=ab ac 442-,若a <0，则当x =x 0=a b 2-时，f (x )取最大值f (x 0)=ab ac 442-.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当x 0∈[m, n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0<m 时。
第8讲：二次函数(专题讲座1)
（聚焦2008）第8讲：二次函数专题讲座（一）二次函数的解析式的三种形式（1）标准式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；（2）顶点式：y=a （x+m ）2+n （a ≠0）；（3）两根式：y=a （x －x 1）（x －x 2）（a ≠0）【例1】已知二次函数y=f （x ）同时满足条件：（1）f （1+x ）= f （1－x ）；（2）y=f （x ）的最大值是１５；（3）f （x ）＝０的两根立方和等于１７。
求y ＝f （x ）的解析式。
（二）二次函数的基本性质（1）二次函数f （x ）=a x 2+bx+c （a ≠０）的图像是一条以（－ab 2，acb ac 442-）为顶点，直线x ＝－a b 2为对称轴的抛物线。
（2）二次函数的奇偶性：二次函数为偶函数⇔b=0；若b ≠0，则二次函数为非奇非偶函数。
（3）二次函数的单调性①当a>0时，抛物线的开口向上，函数y=f （x ）在区间(－∞，－a b 2]上单调递减；在（－a b 2，+∞）上单调递增；此时函数在x=－ab 2处取得最小值ab ac 442-； ②当a ＜0时，抛物线的开口向下，函数y=f （x ）在区间（－∞，－a b 2]上单调递增；在（－a b 2，+∞）上单调递减；此时函数在x=－ab 2处取得最大值ab ac 442-。
注意：二次函数单调区间实质是利用对称轴来划分的。
【例2】设函数y=x 2+x+21的定义域为[n ，n+1]（n ∈N ），则f （x ）的值域内有（ ）个整数。
答案：【例3】（1）若函数y=lg （x 2+2x+a 2）的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
（2）若函数y=lg （x 2+2x+a 2）的值域为R ，求实数a 的取值范围。
注意：总结上面两题的结论。
【例4】作下列函数的图像，并指出函数的单调区间：（1）y=|x 2+3x －4|；（2）y=－x 2+2|x|+3；（3）y=212--x x 。
二次函数讲义-详细汇总
第一讲二次函数的定义知识点归纳 :二次函数的定义：一般地，如果y = ax?+bx+c（a,b,c是常数，a式0），那么y叫做x的二次函数.二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0考点：二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式例1、函数y= （m + . 2 ）x m鼻+ 2x —1是二次函数，则m= _________例2、下列函数中是二次函数的有（)1 2 2 2 1① y=x + :② y=3 (x —1) 2+ 2; ③ y= (x + 3) —2x ;④ y= 2+ xx xA . 1个B . 2个C . 3个D. 4个例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套.据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x,请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式.例4、如图，正方形ABCD的边长为4, P是BC边上一点，QP丄AP交DC于Q,如果BP=x, △ ADQ的面积为y,用含x 的代数式表示y.A DB t3 C训练题：1、已知函数y=ax2+ bx+ c (其中a, b, c是常数)，当a ______ 时，是二次函数；当a_, b ______ 时，是一次函数; 当a ___ , b ___ , c ___ 时，是正比例函数.2、若函数y=(m2+2m- 7)x 2+4x+5是关于x的二次函数，贝U m的取值范围为_____________ 。
2m +13、已知函数y=(m—1) x +5x- 3是二次函数，求m的值。
4、已知菱形的一条对角线长为a,另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S与对角线a的关系.5、请你分别给a, b, c一个值，让y = ax2 - bx c为二次函数，且让一次函数y=ax+b的图像经过一、象限6. 下列不是二次函数的是( )8 .如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为栅栏.(1)求梯形的面积y与高x的表达式；(2)求x的取值范围.9.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm , BC=12cm .点P从点A开始沿AB方向向点B以1cm/s的速度移动，同时，点Q 从点B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动.如果P、Q两点分别到达B、C两点停止移动，设运动开始后第t秒钟时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围.A . y=3x2+ 4B . y= - 3x2C y= .X2-57 .函数y= ( m-n) x2+ mx + n是二次函数的条件是(A . m、n为常数，且m^0C. m、n为常数，且n丰0D. y= (x + 1) (x - 2))B. m、n为常数，且m丰nD. m、n可以为任何常数10 .已知：如图，在Rt△ ABC中，/ C=90 ° , BC=4, AC=8 .点D在斜边AB上，分别作DE丄AC , DF丄BC,垂足分别为E、F，得四边形DECF .设DE=x , DF=y .(1)AE用含y的代数式表示为：AE= __________ ;(2)求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；(3)设四边形DECF的面积为S,求S与x之间的函数表达式.135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁知识点归纳:1、求抛物线的顶点、对称轴的方法(1 )公式法：严、2 2 22 , b '4ac-b 十云「冃/ b 4ac-b、丄冃+八、y_ax +bx+c_a x+——i + -------------------- ,•••顶点是 (一，)，对称轴是直线2a 丿4a 2a 4abx2a(2 )运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点2、二次函数的图象及性质：(1)二次函数y=ax2(a^ 0)的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a>0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a v 0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大.(2)二次函数y r ax2Ex c的图象是一条对称轴平行y轴或者与y轴重合的抛物线.要会根据对称轴和图像判断二次函数的增减情况。
第八讲二次函数讲义
第八讲二次函数讲义第八讲二次函数一、课标下复习指南 1．二次函数如果y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．几种特殊的二次函数：y ＝ax 2(a ≠0)；y ＝ax 2＋c (ac ≠0)；y ＝ax 2＋bx (ab ≠0)；y ＝a (x －h )2(a ≠0)．2．二次函数的图象二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是对称轴平行于y 轴的一条抛物线．由y ＝ax 2(a ≠0)的图象，通过平移可得到y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)的图象． 3．二次函数的性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质对应在它的图象上，有如下性质： (1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线abx 2-=，顶点必在对称轴上；(2)若a ＞0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点(x ，y )，当x ＜a b 2-时，y 随x 的增大而减小；当x ＞a b 2-时，y 随x 的增大而增大；当x ＝ab 2-，y 有最小值ab ac 442-；若a ＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点(x ，y )，当x ＜ab 2-，y 随x 的增大而增大；当a b x 2->时，y 随x 的增大而减小；当x ＝a b 2-时，y有最大值ab ac 442-；(3)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴的交点为(0，c )；(4)在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，令y ＝0可得到抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的情况：当?＝b 2－4ac ＞0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是)0,24(2a ac b b ---和)0,24(2a acb b -+-，这两点的距离为||42a ac b -；当?＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点)0,2(ab-；当?＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴没有公共点． 4．抛物线的平移抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2形状相同，位置不同．把抛物线y ＝ax 2向上(下)、向左(右)平移，可以得到抛物线y ＝a (x －h )2＋k ．平移的方向、距离要根据h 、k 的值来决定．二、例题分析例1 用一根6米长的铁丝弯成一个矩形，设矩形一边长为x (米)，矩形面积为y (米2)，写出y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围，并画出函数图象．解∵矩形一边长x 米，周长6米，∴矩形另一边长为(3－x )米．∴矩形面积y 关于x 的函数解析式为y ＝x (3－x )即y ＝－x 2＋3x (0＜x ＜3)．(函数图象如图8－1)图8－1注意列表时，应在自变量取值范围内取点，并且尽量取关键点，如图象的端点、与坐标轴的交点、顶点等，以使图象尽量准确．例2 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 符合下列条件，求它的解析式： (1)图象经过三点(1，4)，(－1，－1)，(2，－1)；(2)顶点是(2，1)，并且经过点(3，23)； (3)顶点在y 轴上，最大值是4，并且经过点(1，3)； (4)顶点在x 轴上，对称轴x ＝1，并且经过点(2，2)； (5)对称轴是x ＝2，并且经过点(0，－3)，(3，0)；(6)与x 轴的交点坐标为(1，0)，(2，0)，且经过点(3，6)；(7)图象经过点(－1，8)，对称轴是直线x ＋2＝0，并且在x 轴截得的线段长为6．解 (1)-=++-=+-=++.124,1,4c b a c b a c b a 解得==-=.4,25,25c b a.425252++-=∴x x y说明还可以由点的坐标之间的关系发现(－1，－1)与(2，－1)两点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴方程是直线21=x ．抛物线的对称性有时非常有用．(2)设y ＝a (x －2)2＋1(a ≠0)．∵抛物线经过点?=∴21),23,3(a.32212+-=∴x x y (3)由题意知顶点坐标为(0，4)．设y ＝ax 2＋4(a ≠0)．∵抛物线经过点(1，3)，∴a ＝－1．∴y ＝－x 2＋4．(4)由题意知顶点坐标为(1，0)．设y ＝a (x －1)2(a ≠0)．∵抛物线经过点(2，2)，∴a ＝2．∴y ＝2x 2－4x ＋2．(5)由抛物线的对称性可知它经过(1，0)点．∵可设y ＝a (x －1)(x －3)，由抛物线过(0，－3)点得a ＝－1．∴y ＝－x 2＋4x －3．(6)∵抛物线与x 轴交于(1，0)，(2，0)两点，∴设y ＝a (x －1)(x －2)(a ≠0)．由抛物线经过(3，6)点得到a ＝3．∴y ＝3x 2－9x ＋6．(7)∵抛物线与x 轴的两交点关于对称轴x ＝－2对称，∴两交点分别为(－5，0)，(1，0)．设y ＝a (x ＋5)(x －1)．由抛物线过点(－1，8)可得a ＝－1．∴y ＝－x 2－4x ＋5．说明根据条件灵活选择抛物线的三种表达形式：一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，顶点式y ＝a (x ＋m )2＋n (a ≠0)，或双根式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)有助于简化计算过程．例3 (1)已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图8－2所示，且P ＝|a －b ＋c |＋|2a ＋b |，Q ＝|a ＋b ＋c |＋|2a －b |，则P ，Q 的大小关系为______；图8－2(2)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图8－3所示，有下列5个结论：图8－3①abc ＞0；②b ＜a ＋c ；③4a ＋2b ＋c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a ＋b ＞m (am ＋b )(m ≠1)，其中正确的结论有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解 (1)p ＜Q 由图8－2知a ＜0，b ＞0，c ＝0，12>-ab．当x ＝1时，y ＝a ＋b ＞0．∴P ＝a ＋2b ，Q ＝2b －a ．∴P ＜Q ．(2)应选B ．由图8－3知a ＜0，b ＞0，c ＞0，12=-ab，当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＜0，当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c ＞0．∴①②错误，③正确．∵a －b ＋c ＜0，又∵b ＝－2a ∴2b a -=． b c 23<∴，∴2c ＜3b ．∴④正确．∵b ＝－2a ，∴a ＋b ＝－a ， m (am ＋b )＝a (m 2－2m )．a ＋b －m (am ＋b )＝－a (m －1)2．∵m ≠1，∴－a (m －1)＞0．∴⑤正确．说明注意观察二次函数的图象可以得到隐含信息，如开口方向、对称轴顶点、与坐标轴的公共点以及所给出的特殊点与图象的关系等．例4 若|x －1|≤3，则关于y ＝－x 2＋2x －1的最值说法正确的是( )．A ．最大值是0，无最小值B ．最小值是－9，最大值是0 C ．无最大值，最小值是－9 D ．无最大值，也无最小值解∵|x －1|≤3，∴－3≤x －1≤3．∴－2≤x ≤4．∵y ＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2，当x ＝－2时，y ＝－9，当x ＝4时，y ＝－9．由图8－4可知－9≤y ≤0．图8－4∴应选B ．例5 若二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有公共点，则k 的取值范围是( )A ．47->kB ．47->k 且k ≠0C ．47-≥kD ．47-≥k 且k ≠0解令y ＝0，则kx 2－7x －7＝0．由题意知一元二次方程kx 2－7x －7＝0有实根．?≥?=/∴.0,0k47-≥∴k 且k ≠0．∴应选择D ．说明抛物线与坐标轴的交点问题要注意：①方程类型．②一元二次方程两根相等?抛物线与x 轴有一个公共点；一元二次方程两根不等?抛物线与x 轴有两个公共点；一元二次方程无实根?抛物线与x 轴无公共点．例6 两个不同的二次函数y ＝x 2＋kx ＋1与y ＝x 2－x －k 的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 的值为( )．A ．0B ．－1C ．2D ．41 解由题意知x 2＋kx ＋1＝0与x 2－x －k ＝0有一个公共解，不妨设为α，则有=--=++.0,0122k k αααα 整理得(k ＋1)(a ＋1)＝0．∵k ≠－1，∴α＝－1，∴k ＝2．∴应选择C ．例7 (1)已知抛物线y ＝－2x 2＋8x －8，其顶点坐标为______，以其顶点为中心，旋转180°所得抛物线的解析式是______，若继续上下平移，使它与直线y ＝2x －4相交于(0，a )，则a ＝______，平移后，所得抛物线的解析式是______；(2)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 如图8－5所示．图8－5①它关于y 轴对称的抛物线的解析式为____________；②它关于x 轴对称的抛物线的解析式为____________；③它关于直线x ＝4对称的抛物线的解析式为____________；④它关于直线y ＝－2对称的抛物线的解析式为____________． (1)(2，0)，y ＝2x 2－8x ＋8，a ＝－4，y ＝2x 2－8x －4；(2)可先求出图8－5中抛物线为y ＝x 2－4x ＋3．①y ＝x 2＋4x ＋3；②y ＝－x 2＋4x －3；③y ＝x 2－12x ＋35；④y ＝－x 2＋4x －7．说明方法一：对于抛物线的图形变换基本方法是转化为关键点的变换，尤其是顶点、与坐标轴的交点；另外也可利用图形变换前后图形全等，因而|a |是不变的，来寻求解决方法．方法二：若设所求抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则它关于y 轴的对称点为P 1(－x ，y )，关于x 轴的对称点为P 2(x ，－y )，关于直线x ＝4的对称点为P 3(8－x ，y )，关于直线y ＝2的对称点为P 4(x ，－4－y )，P 1，P 2，P 3，P 4分别在原抛物线上，将它们的坐标分别代入原抛物线的解析式，整理后得到所求抛物线的解析式．例8 如图8－6，二次函数y ＝x mx )14(412++＋m (m ＜4)的图象与x 轴相交于点A ，B 两点．图8－6(1)求A ，B 两点的坐标(可用含字母m 的代数式表示)；(2)如果这个二次函数的图象与反比例函数y x9=的图象相交于点C ，且∠BAC 的正弦值为53，求这个二次函数的解析式．解 (1)令y ＝0，则 .0)14(412=+++m x mx ∴x 2＋(m ＋4)x ＋4m ＝0．整理，得(x ＋m )(x ＋4)＝0．解得x ＝－m 或－4．∵m ＜4，∴－m ＞－4．∵点A 在点B 左侧，∴A (－4，0)，B (－m ，0)．(2)过C 作CD ⊥x 轴于D ，则∠CDA ＝90°．∵53sin ==∠AC CD BAC ，设AC ＝5k ，则 CD ＝3k ．∵AC 2＝CD 2＋AD 2，∴AD ＝4k ．∵A (－4，0)，∴OA ＝4，OD ＝4k －4．∵C 点在第一象限，∴C (4k －4，3k )．∵C 点在双曲线xy 9=上，∴3k (4k －4)＝9．23=∴k 或21-(∵k ＞0，21-=k 舍去) )29,2(23C k ∴?=∴． .14541,12++==∴x x y m例9 已知二次函数y ＝－x 2＋(2m ＋2)x －(m 2＋4m －3)，m 为不小于0的整数，它的图象与x 轴交于A 点和B 点，点A 在原点的左边，点B 在原点的右边．(1)求二次函数的解析式；(2)若一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A ，并与这个二次函数的图象交于点C ，S △ABC ＝10，求一次函数的解析式．解(1)∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，令y ＝0，则－x 2＋(2m ＋2)x －(m 2＋4m －3)＝0．∵此方程有两个不等实根，?＝－8(m －2)＞0，∴?＞0，m ＜2．又∵m 是不小于0的整数，∴m ＝0，1．当m ＝0时，y ＝－x 2＋2x ＋3．令y ＝0，则x 1＝－1，x 2＝3．∵A 在原点左侧，B 在原点右侧，∴A (－1，0)，B (3，0)．当m ＝1时，y ＝－x 2＋4x －2．令y ＝0，则.22,2221-=+=x x ∴不符合题意，舍去．∴y ＝－x 2＋2x ＋3．(2)过C 作CD ⊥AB 于D ．(见图8－7)图8－7∵A (－1，0)，B (3，0)，∴A B ＝4．∵S △ABC ＝10，∴CD ＝5．∴C 点的纵坐标为±5．∵顶点(1，4)，∴C 点的纵坐标为－5．当y ＝－5时，－x 2＋2x ＋3＝－5．∴x 1＝－2，x 2＝4．∴C (－2，－5)，C (4，－5)．可得直线AC 的解析式为y ＝5x ＋5或y ＝－x －1．思考若过点A 的直线与抛物线有且只有一个公共点，如何求直线解析式? 解见图8－8，情况①当直线与x 轴垂直时，为x ＝－1；图8－8情况②当直线不与x 轴垂直时，设直线的解析式为y ＝kx ＋b ．∵A (－1，0)，∴－k ＋b ＝0，∴k ＝b ，y ＝kx ＋k ．++-=+=∴.32,2x x y k kx y ∴x 2＋(k －2)x ＋k －3＝0．当?＝0时，有一个公共点．∴k ＝4，∴y ＝4x ＋4．综上所述，直线的解析式为x ＝－1或y ＝4x ＋4．例10 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)，与x 轴分别交于B (1，0)，C (5，0)两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；(3)若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点(设为点E )，再到达抛物线的对称轴上的某点(设点为F )，最后沿直线运动到点A 求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．解(1)∵抛物线与x 轴分别交于(1，0)，(5，0)两点，∴可设抛物线解析式为y ＝a (x －1)(x －5)(a ≠0)．又∵抛物线与y 轴交于(0，3)点，=∴=∴53.35a a .351853)5)(1(532+-=--=∴x x x x y(2)∵A (0，3)，∴OA ＝3．∵D 是OA 的一个三等分点，∴DO ＝1或2．∵D 在y 轴的正半轴上，∴D (0，1)或(0，2)．当D (0，1)时，设CD 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)=+=∴.03,1111b k b 解得=-=.1,3111b k .131+-=∴x y当D (0，2)时，同理可得.232+-=x y 综上所述，直线CD 的解析式为131+-=x y 或.232+-=x y(3)如图8－9所示，图8－9作点M 关于x 轴的对称点M ′．作A 关于对称轴直线x ＝3的对称点A ′．连接A ′M ′交x 轴于E ，交直线x ＝3于F ，则E ，F 即为所求．∵M ，M ＇关于x 轴对称，∴ME ＝M ＇E ．同理AF ＝A ′F ．∴ME ＋EF ＋AF ＝M ′E ＋EF ＋A ′F ＝A ′M ′．∵M 是OA 的中点，OA ＝3，).23,0(,23M OM =∴).23∵A (0，3)，∴A ′(6，3)．由勾股定理得?=+=''21548136M A 设直线 A ′M ′的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)． =+-=∴.36,23.b k b 解得-==23,43b k ?-=∴2343x y 令y ＝0，则.02343=-x ∴x ＝2，E (2，0)．令x ＝3，则?=43y ).43,3(F ∴综上所述，总路径最短为215，此时E (2，0)，F ).43,3( 三、课标下新题展示例11 (2009长沙)如图8－10，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．连接AC ，BC ，A ，C 两点的坐标分别为A (－3，0)，)3,0(C ，且当x ＝－4和x ＝2时二次函数的值y 相等．(1)求实数a ，b ，c 的值；(2)若点M ，N 同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA ，BC 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连接MN ，将△BMN 沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B ，N ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似?如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．解 (1)由题意，得?=++=+-=+-.3,24416,039c c b a c b a c b a解得=-=-=.3,332,33c b a(2)由(1)得3332332+--=x x y ．当y ＝0时，x ＝－3或1．∴B (1，0)，A (－3，0)，)3,0(C ．∴OA ＝3，OB ＝1，3=OC ．可得.4,2,32===AB BC AC∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，∠B ＝60°．又由BM ＝BN ＝PN ＝PM 知四边形PMBN 为菱形．∴PN ∥AB ．CBCN AB PN =∴即?-=224tt ?=∴34t 过点P 作PE ⊥AB 于E ．在Rt △PEM 中，∠PME ＝∠B ＝60°，PM ＝34．,332233460sin =?=?=∴ PM PF ?==3260tanPF ME又31=-=OB BM OM ，故OE ＝1． ).332,1(-∴P (3)由(1)、(2)知抛物线+--=x x y 3323323的对称轴为直线x ＝－1，且∠ACB ＝90°．①若∠BQN ＝90°，∵BN 的中点到对称轴的距离大于1，而,13221<=BM ∴以BN 为直径的圆不与对称轴相交，∴∠BQN ≠90°，即此时不存在符合条件的Q 点．②若∠BNQ ＝90°，当∠NBQ ＝60°时，Q ，E 重合，此时∠BNQ ≠90°；当∠NBQ ＝30°时，Q ，P 重合，此时∠BNQ ≠90°．即此时不存在符合条件的Q 点．③若∠QBN ＝90°时，延长NM 交对称轴于点Q ，此时，Q 为P 关于x 轴的对称点． )332,1(--∴Q 为所求．例12 (2009广州)如图8－11，二次函数y ＝x 2＋px ＋q (p ＜0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C (0，－1)，△ABC 的面积为?45图8－11(1)求该二次函数的解析式；(2)过y 轴上的一点M (0，m )作y 轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；(3)在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ACBD 为直角梯形?若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设点A (x 1，0)，B (x 2，0)，其中x 1＜x 2．∵抛物线y ＝x 2＋px ＋q 过点C (0，－1)，∴q ＝－1，y ＝x 2＋px －1．∵抛物线y ＝x 2＋px －1与x 轴交于A ，B 两点，令y ＝0，设x 1，x 2是方程x 2＋px －1＝0的两根，则.42+=P AB 又∵S △ABC ,1,4521==?=OC OC AB ?=∴25AB ?=+∴42542p 解得23±=P (∵p ＜0，∴舍去正值)．.123,232--=-=∴x x y p(2)令01232=--x x ，解得.2,2121=-=x x ),0,2(),0,21(B A -∴.5,25,25===BC AC AB =+=+∴54522BC AC .4252AB =∴∠ACB ＝90°，△ABC 是直角三角形．∴Rt △ABC 的外接圆的圆心是斜边AB 的中点，且Rt △ABC 的外接圆的半径?==452AB r∵垂线与△ABC 的外接圆有公共点，?≤≤-∴4545m (3)假设在二次函数y 1232--=x x 的图象上存在点D ，使得四边形ACBD 是直角梯形．①若AD ∥BC ，设点D 的坐标为（--020023,x x x 1)，x 0＞0，过D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，如图8－12所示．图8－12在Rt △AED 中，)21(123tan 0020----==∠x x x AE DE DAE ，在Rt △BOC 中，?==∠2 1tan OB OC CBO ∴∠DAE ＝∠CBO ，∴tan ∠DAE ＝tan ∠CBO ．=----∴21)21(1230020x x x 整理，得204x －8x 0－5＝0．解得?=250x 或?-=210x ∵x 0＞0，250=∴x ，此时点D 的坐标为)23,25(．而AD 2＝AE 2＋ED 2＝445≠BC 2，因此当AD ∥BC 时，在抛物线1232--=x x y 上存在点D )23,25(，使得四边形DACB 是直角梯形．②若AC ∥BD ，设点D 的坐标为(x 0，20x －)1230-x ，x 0＜0．过D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，如图8－13所示．图8－13在Rt △DFB 中，FBDF DBF =∠tan 0x x x ---=，在Rt △COA 中，.2211tan ===∠OA OC CAO ∵∠DBF ＝∠CAO ，∴tan ∠DBF ＝tan ∠CAO ．.221230020=---∴x x x 整理，得220x ＋x 0－10＝0．解得250-=x 或x 0＝2．∵x 0＜0，∴250-=x ，此时点D 的坐标为)9,25(-．此时BD ≠AC ，因此当AC ∥BD 时，在抛物线1232--=x x y 上存在点D )9,25(-使得四边形DACB 是直角梯形．综上所述，在抛物线1232--=x x y 上存在点D ，使得四边形DACB 是直角梯形，并且点D 的坐标为)23,25(或)9,25(-．四、课标考试达标题1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值如果总是负数，那么a ，b ，c 满足( )． A ．a ＞0，b 2－4ac ＜0 B ．a ＞0，b 2－4ac ＞0 C ．a ＜0，b 2－4ac ＞0 D ．a ＜0，b 2－4ac ＜02．(2007济南)已知y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图8－14所示，则y ＝ax －b 的图象一定经过( )．图8－14A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限3．(2007潜江)抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图8－15所示，则当y＞0时，x的取值范围是( )．图8－15A．－4＜x＜1B．－3＜x＜1C．x＜－4或x＞1D．x＜－3或x＞14．如图8－16是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象经过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④5a＜b．其中正确结论是( )．图8－16A．②④B．①④C．②③D．①③5．如果函数y＝ax＋b(ab≠0)的图象不经过第一象限，则抛物线y＝ax2＋bx的顶点一定在( )．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．根据下表中的二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴( )．x … －112…y… －1 47-－2 47- … A ．只有一个交点B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧D ．无交点7．在平面直角坐标系中，先将抛物线y ＝x 2＋x －2关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )． A ．y ＝－x 2－x ＋2 B ．y ＝－x 2＋x －2 C ．y ＝－x 2＋x ＋2 D ．y ＝x 2＋x ＋28．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过(－1，3)，(1，1)两点，且它与y 轴交点的纵坐标大于0且小于1，则a 的取值范围是( )． A ．1＜a ＜3 B ．1≤a ≤3 C ．2≤a ＜3 D ．1＜a ＜2 9．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则会少租出10张床位；若每床每晚收费再提高2元，则会再少租出10张床位．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( )．A ．4元或6元 B ．4元 C ．6元 D ．8元 (二)填空题10．抛物线y ＝x 2－2x －8的对称轴方程为______，顶点为______，与x 轴的交点为______，与y 轴的交点为______．11．已知抛物线y ＝x 2＋px ＋q 与x 轴的交点为(3，0)和(－5，0)，则该抛物线的对称轴是______．12．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的顶点为(1，2)，与y 轴的交点为(0，3)，则a ＋b ＋c＝______． 13．将抛物线y ＝2x 2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到图象的解析式为______． 14．若抛物线y ＝x 2＋px ＋q 与x 轴的交点为(p ，0)，(q ，0)，则该抛物线的解析式为______． 15．若抛物线y ＝x 2＋bx ＋5的顶点在x 轴上，则b 的值为______． (三)解答题16．(2008茂名)我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：销售单价 x (元/件)… 30 40 50 60 …每天销售量y (件)… 500 400 300 200 …(1)把上表中x ，y 的各组对应值作为点的坐标，在图8－17中的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；图8－17(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少?(利润＝销售总价－成本总价)(3)当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能．．超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?17．阅读以下材料：对于三个数a ，b ，c ，用M {a ，b ，c }表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c }表示这三个数中最小的数．例如：,343321}3,2,1{=++-=-M min{－1，2，3}＝－1，min{－1，2，a }?->--≤=).1(1)1(a a a解决下列问题：(1)填空：min{sin30°，cos45°，tan30°}＝______；如果min ＝{2，2x ＋2，4－2x }＝2，则x 的取值范围为______≤x ≤______．(2)①如果M {2，x ＋1，2x }＝min{2，x ＋1，2x }，那么x ＝______；②根据①，你发现了结论“如果M {a ，b ，c }＝min{a ，b ，c }，那么______”(填a ，b ，c 的大小关系)③运用②的结论，填空：若M {2x ＋y ＋2，x ＋2y ，2x －y }＝min{2x ＋y ＋2，x ＋2y ，2x －y }，则x ＋y ＝______； (3)如图8－18，在同一直线坐标系中作出函数y ＝x ＋1，y ＝(x －1)2，y ＝2－x 的图象．通过观察图象，得出min{x ＋1，(x －1)2，2－x }的最大值为______．图8－1818．如图8－19，抛物线y＝x2＋4x与x轴分别相交于点B，O，它的顶点为A，连接AB，把AB所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，设P是直线l上的一个动点．图8－19(1)求点A的坐标；(2)以点A，B，O，P为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标；(3)设以点A，B，O，P为顶点的四边形的面积为S，点P的横坐标为x，当6≤+S624≤＋82时，求x的取值范围．19．如图8－20，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－5)和(－2，4)．图8－20(1)求这条抛物线的解析式；(2)设此抛物线与直线y＝x相交于点A，B(点B在点A的右侧)，平行于y轴的直线x＝<m< bdsfid="616" p=""></m<>m与抛物线交于点M，与直线y＝x交于点N，与x轴交于点P，求线<5)10(+段MN的长(用含m的代数式表示)；(3)在条件(2)的情况下，连接OM，BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大?若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．参考答案第八讲二次函数1．D ． 2．C ． 3．B ． 4．B ． 5．B ． 6．B ． 7．C ． 8．D ． 9．C ．10．x ＝1，(1，－9)，(－2，0)和(4，0)，(0，－8)．11．直线x ＝－1， 12．2． 13．y ＝2x 2－4x ＋5． 14．y ＝x 2或y ＝x 2＋x －2． 15．.52 16．解：(1)画图如答图8－1：答图8－1由图可猜想y 与x 是一次函数关系，函数关系式是y ＝－10x ＋800．(2)设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W 元，依题意得W ＝(x －20)(－10x ＋800) ＝－10x 2＋1000x －16000 ＝－10(x －50)2＋9000．∴当x ＝50时，W 有最大值9000．所以，当销售单价定为50元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元．(3)对于函数W ＝－10(x －50)2＋9000，当x ≤45时，W 的值随着x 值的增大而增大，∴销售单价定为45元/件时，工艺厂试销该式艺品每天获得的利润最大．17．(1)sin30°，0≤x ≤1；(2)①1，②a ＝b ＝c ，③－4； (3)见答图8－2．答图8－2最大值为1． 18．(1)(－2，－4)；。
二次函数(基础思想)讲义
二 次 函 数1、二次函数的常见解析式与其三要素方向、开口大小完全相同。
②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=， ④当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点⇔a b ac y 最小442-=；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点⇔ab ac y 最大442-=。
2、二次函数的性质：⑴增减性：以对称轴h x =为界，具有双向性。
⑵对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线的对称轴垂直平分对称点的连线. 即：若A 、B 两点是抛物线上关于对称轴h x =对称的两点，则有：①B A y y =；②h x x B A =+2(即abx x -=+21)。
基础练习题：1、抛物线y = - 2 ( x – 3 )2 – 7 对称轴 x = , 顶点坐标为；2、抛物线 y = 2x 2 + 12x – 25的对称轴为x = , 顶点坐标为.3、若将二次函数y =x 2－2x +3配方为y =（x －h ）2 +k 的形式，则y =4、抛物线y = - 4（x +2）2+5的对称轴是。
5、抛物线 y = - 3x 2 + 5x - 4开口 , y = 4x 2 – 6x + 5 开口.6、已知P 1（11y ,x ）、P 2（22y ,x ）、P 3（33y ,x ）是抛物线3x 2x y 2--=上的三个点，若321x x x 1<<<，则321y y y 、、的大小关系是____________。
7、已知函数y =x 2-2x -2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值X 围是( )A ．-1≤x ≤3B ．-3≤x ≤1C ．x ≥-3D ．x ≤-1或x ≥38、如图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( ) A h=m B k=n C k ＞n D h ＞0,k ＞0 9、抛物线4)2(22-+-+=m x m x y 的顶点在原点，则m=10、如图抛物线对称轴是x=1,与x 轴交于A 、B 两点,若B 点的坐标是(3,0),则A 点的坐标是11、请选择一组你喜欢的a b c 、、的值，使二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象同时满足下列条件：（1）开口向下，（2）当x <2时，y 随x 的增大而增大；当x >2时，y 随x 的增大而减小。
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第八讲 二次函数一、课标下复习指南 1．二次函数如果y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．几种特殊的二次函数：y ＝ax 2(a ≠0)；y ＝ax 2＋c (ac ≠0)；y ＝ax 2＋bx (ab ≠0)；y ＝a (x －h )2(a ≠0)．2．二次函数的图象二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是对称轴平行于y 轴的一条抛物线． 由y ＝ax 2(a ≠0)的图象，通过平移可得到y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)的图象． 3．二次函数的性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质对应在它的图象上，有如下性质： (1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线abx 2-=，顶点必在对称轴上；(2)若a ＞0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点(x ，y )，当x ＜a b 2-时，y 随x 的增大而减小；当x ＞a b 2-时，y 随x 的增大而增大；当x ＝ab 2-，y 有最小值ab ac 442-；若a ＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点(x ，y )，当x ＜ab 2-，y 随x 的增大而增大；当a b x 2->时，y 随x 的增大而减小；当x ＝a b 2-时，y有最大值ab ac 442-；(3)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴的交点为(0，c )；(4)在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，令y ＝0可得到抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的情况：当∆＝b 2－4ac ＞0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是)0,24(2a ac b b ---和)0,24(2aacb b -+-，这两点的距离为||42a ac b -；当∆＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点)0,2(ab-；当∆＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴没有公共点． 4．抛物线的平移抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2形状相同，位置不同．把抛物线y ＝ax 2向上(下)、向左(右)平移，可以得到抛物线y ＝a (x －h )2＋k ．平移的方向、距离要根据h 、k 的值来决定． 二、例题分析例1 用一根6米长的铁丝弯成一个矩形，设矩形一边长为x (米)，矩形面积为y (米2)，写出y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围，并画出函数图象．解 ∵矩形一边长x 米，周长6米， ∴矩形另一边长为(3－x )米．∴矩形面积y 关于x 的函数解析式为y ＝x (3－x )即y ＝－x 2＋3x (0＜x ＜3)．(函数图象如图8－1)图8－1注意 列表时，应在自变量取值范围内取点，并且尽量取关键点，如图象的端点、与坐标轴的交点、顶点等，以使图象尽量准确．例2 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 符合下列条件，求它的解析式： (1)图象经过三点(1，4)，(－1，－1)，(2，－1)；(2)顶点是(2，1)，并且经过点(3，23)； (3)顶点在y 轴上，最大值是4，并且经过点(1，3)； (4)顶点在x 轴上，对称轴x ＝1，并且经过点(2，2)； (5)对称轴是x ＝2，并且经过点(0，－3)，(3，0)；(6)与x 轴的交点坐标为(1，0)，(2，0)，且经过点(3，6)；(7)图象经过点(－1，8)，对称轴是直线x ＋2＝0，并且在x 轴截得的线段长为6． 解 (1)⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=+-=++.124,1,4c b a c b a c b a 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=.4,25,25c b a.425252++-=∴x x y说明 还可以由点的坐标之间的关系发现(－1，－1)与(2，－1)两点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴方程是直线21=x ．抛物线的对称性有时非常有用． (2)设y ＝a (x －2)2＋1(a ≠0)．∵抛物线经过点⋅=∴21),23,3(a.32212+-=∴x x y (3)由题意知顶点坐标为(0，4)． 设y ＝ax 2＋4(a ≠0)．∵抛物线经过点(1，3)，∴a ＝－1．∴y ＝－x 2＋4．(4)由题意知顶点坐标为(1，0)． 设y ＝a (x －1)2(a ≠0)．∵抛物线经过点(2，2)，∴a ＝2． ∴y ＝2x 2－4x ＋2．(5)由抛物线的对称性可知它经过(1，0)点． ∵可设y ＝a (x －1)(x －3)，由抛物线过(0，－3)点得a ＝－1． ∴y ＝－x 2＋4x －3．(6)∵抛物线与x 轴交于(1，0)，(2，0)两点， ∴设y ＝a (x －1)(x －2)(a ≠0)． 由抛物线经过(3，6)点得到a ＝3． ∴y ＝3x 2－9x ＋6．(7)∵抛物线与x 轴的两交点关于对称轴x ＝－2对称， ∴两交点分别为(－5，0)，(1，0)． 设y ＝a (x ＋5)(x －1)．由抛物线过点(－1，8)可得a ＝－1． ∴y ＝－x 2－4x ＋5．说明 根据条件灵活选择抛物线的三种表达形式：一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，顶点式y ＝a (x ＋m )2＋n (a ≠0)，或双根式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)有助于简化计算过程．例3 (1)已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图8－2所示，且P ＝|a －b ＋c |＋|2a ＋b |，Q ＝|a ＋b ＋c |＋|2a －b |，则P ，Q 的大小关系为______；图8－2(2)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图8－3所示，有下列5个结论：图8－3①abc ＞0；②b ＜a ＋c ；③4a ＋2b ＋c ＞0； ④2c ＜3b ；⑤a ＋b ＞m (am ＋b )(m ≠1)， 其中正确的结论有( )． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个解 (1)p ＜Q 由图8－2知a ＜0，b ＞0，c ＝0，12>-ab．当x ＝1时，y ＝a ＋b ＞0． ∴P ＝a ＋2b ，Q ＝2b －a ．∴P ＜Q ．(2)应选B ．由图8－3知a ＜0，b ＞0，c ＞0，12=-ab，当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＜0，当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c ＞0．∴①②错误，③正确．∵a －b ＋c ＜0，又∵b ＝－2a ∴2b a -=． b c 23<∴，∴2c ＜3b ．∴④正确．∵b ＝－2a ，∴a ＋b ＝－a ， m (am ＋b )＝a (m 2－2m )．a ＋b －m (am ＋b )＝－a (m －1)2． ∵m ≠1，∴－a (m －1)＞0． ∴⑤正确．说明 注意观察二次函数的图象可以得到隐含信息，如开口方向、对称轴顶点、与坐标轴的公共点以及所给出的特殊点与图象的关系等．例4 若|x －1|≤3，则关于y ＝－x 2＋2x －1的最值说法正确的是( )． A ．最大值是0，无最小值 B ．最小值是－9，最大值是0 C ．无最大值，最小值是－9 D ．无最大值，也无最小值解 ∵|x －1|≤3，∴－3≤x －1≤3． ∴－2≤x ≤4．∵y ＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2，当x ＝－2时，y ＝－9，当x ＝4时，y ＝－9．由图8－4可知－9≤y ≤0．图8－4∴应选B ．例5 若二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有公共点，则k 的取值范围是( )A ．47->kB ．47->k 且k ≠0C ．47-≥kD ．47-≥k 且k ≠0解 令y ＝0，则kx 2－7x －7＝0．由题意知一元二次方程kx 2－7x －7＝0有实根．⎩⎨⎧≥∆=/∴.0,0k47-≥∴k 且k ≠0． ∴应选择D ．说明 抛物线与坐标轴的交点问题要注意： ①方程类型．②一元二次方程两根相等⇔抛物线与x 轴有一个公共点； 一元二次方程两根不等⇔抛物线与x 轴有两个公共点； 一元二次方程无实根⇔抛物线与x 轴无公共点．例6 两个不同的二次函数y ＝x 2＋kx ＋1与y ＝x 2－x －k 的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 的值为( )．A ．0B ．－1C ．2D ．⋅41 解 由题意知x 2＋kx ＋1＝0与x 2－x －k ＝0有一个公共解，不妨设为α，则有⎪⎩⎪⎨⎧=--=++.0,0122k k αααα 整理得(k ＋1)(a ＋1)＝0．∵k ≠－1，∴α＝－1，∴k ＝2． ∴应选择C ．例7 (1)已知抛物线y ＝－2x 2＋8x －8，其顶点坐标为______，以其顶点为中心，旋转180°所得抛物线的解析式是______，若继续上下平移，使它与直线y ＝2x －4相交于(0，a )，则a ＝______，平移后，所得抛物线的解析式是______；(2)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 如图8－5所示．图8－5①它关于y 轴对称的抛物线的解析式为____________； ②它关于x 轴对称的抛物线的解析式为____________；③它关于直线x ＝4对称的抛物线的解析式为____________； ④它关于直线y ＝－2对称的抛物线的解析式为____________． (1)(2，0)，y ＝2x 2－8x ＋8，a ＝－4，y ＝2x 2－8x －4；(2)可先求出图8－5中抛物线为y ＝x 2－4x ＋3． ①y ＝x 2＋4x ＋3；②y ＝－x 2＋4x －3； ③y ＝x 2－12x ＋35； ④y ＝－x 2＋4x －7．说明 方法一：对于抛物线的图形变换基本方法是转化为关键点的变换，尤其是顶点、与坐标轴的交点；另外也可利用图形变换前后图形全等，因而|a |是不变的，来寻求解决方法．方法二：若设所求抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则它关于y 轴的对称点为P 1(－x ，y )，关于x 轴的对称点为P 2(x ，－y )，关于直线x ＝4的对称点为P 3(8－x ，y )，关于直线y ＝2的对称点为P 4(x ，－4－y )，P 1，P 2，P 3，P 4分别在原抛物线上，将它们的坐标分别代入原抛物线的解析式，整理后得到所求抛物线的解析式．例8 如图8－6，二次函数y ＝x mx )14(412++＋m (m ＜4)的图象与x 轴相交于点A ，B 两点．图8－6(1)求A ，B 两点的坐标(可用含字母m 的代数式表示)； (2)如果这个二次函数的图象与反比例函数y x9=的图象相交于点C ，且∠BAC 的正弦值为53，求这个二次函数的解析式． 解 (1)令y ＝0，则 .0)14(412=+++m x mx ∴x 2＋(m ＋4)x ＋4m ＝0． 整理，得(x ＋m )(x ＋4)＝0． 解 得x ＝－m 或－4． ∵m ＜4，∴－m ＞－4． ∵点A 在点B 左侧，∴A (－4，0)，B (－m ，0)．(2)过C 作CD ⊥x 轴于D ，则∠CDA ＝90°． ∵53sin ==∠AC CD BAC ，设AC ＝5k ，则 CD ＝3k ． ∵AC 2＝CD 2＋AD 2，∴AD ＝4k ．∵A (－4，0)，∴OA ＝4，OD ＝4k －4． ∵C 点在第一象限，∴C (4k －4，3k )． ∵C 点在双曲线xy 9=上， ∴3k (4k －4)＝9．23=∴k 或21-(∵k ＞0，21-=k 舍去) )29,2(23C k ∴⋅=∴． .14541,12++==∴x x y m例9 已知二次函数y ＝－x 2＋(2m ＋2)x －(m 2＋4m －3)，m 为不小于0的整数，它的图象与x 轴交于A 点和B 点，点A 在原点的左边，点B 在原点的右边．(1)求二次函数的解析式；(2)若一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A ，并与这个二次函数的图象交于点C ，S △ABC ＝10，求一次函数的解析式．解 (1)∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，令y ＝0，则－x 2＋(2m ＋2)x －(m 2＋4m －3)＝0． ∵此方程有两个不等实根，∆＝－8(m －2)＞0， ∴∆＞0，m ＜2．又∵m 是不小于0的整数，∴m ＝0，1． 当m ＝0时，y ＝－x 2＋2x ＋3． 令y ＝0，则x 1＝－1，x 2＝3． ∵A 在原点左侧，B 在原点右侧， ∴A (－1，0)，B (3，0)．当m ＝1时，y ＝－x 2＋4x －2．令y ＝0，则.22,2221-=+=x x ∴不符合题意，舍去． ∴y ＝－x 2＋2x ＋3．(2)过C 作CD ⊥AB 于D ．(见图8－7)图8－7∵A (－1，0)，B (3，0)，∴AB ＝4． ∵S △ABC ＝10，∴CD ＝5． ∴C 点的纵坐标为±5．∵顶点(1，4)，∴C 点的纵坐标为－5． 当y ＝－5时，－x 2＋2x ＋3＝－5． ∴x 1＝－2，x 2＝4．∴C (－2，－5)，C (4，－5)．可得直线AC 的解析式为y ＝5x ＋5或y ＝－x －1．思考 若过点A 的直线与抛物线有且只有一个公共点，如何求直线解析式? 解 见图8－8，情况①当直线与x 轴垂直时，为x ＝－1；图8－8情况②当直线不与x 轴垂直时，设直线的解析式为y ＝kx ＋b ． ∵A (－1，0)， ∴－k ＋b ＝0，∴k ＝b ，y ＝kx ＋k ．⎩⎨⎧++-=+=∴.32,2x x y k kx y ∴x 2＋(k －2)x ＋k －3＝0． 当∆＝0时，有一个公共点． ∴k ＝4，∴y ＝4x ＋4．综上所述，直线的解析式为x ＝－1或y ＝4x ＋4． 例10 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)，与x 轴分别交于B (1，0)，C (5，0)两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；(3)若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点(设为点E )，再到达抛物线的对称轴上的某点(设点为F )，最后沿直线运动到点A 求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．解 (1)∵抛物线与x 轴分别交于(1，0)，(5，0)两点， ∴可设抛物线解析式为y ＝a (x －1)(x －5)(a ≠0)． 又∵抛物线与y 轴交于(0，3)点，⋅=∴=∴53.35a a .351853)5)(1(532+-=--=∴x x x x y(2)∵A (0，3)，∴OA ＝3．∵D 是OA 的一个三等分点，∴DO ＝1或2． ∵D 在y 轴的正半轴上，∴D (0，1)或(0，2)．当D (0，1)时，设CD 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)⎩⎨⎧=+=∴.03,1111b k b 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.1,3111b k .131+-=∴x y当D (0，2)时，同理可得.232+-=x y 综上所述，直线CD 的解析式为131+-=x y 或.232+-=x y(3)如图8－9所示，图8－9作点M 关于x 轴的对称点M ′．作A 关于对称轴直线x ＝3的对称点A ′． 连接A ′M ′交x 轴于E ，交直线x ＝3于F ， 则E ，F 即为所求．∵M ，M ＇关于x 轴对称，∴ME ＝M ＇E ． 同理AF ＝A ′F ．∴ME ＋EF ＋AF ＝M ′E ＋EF ＋A ′F ＝A ′M ′． ∵M 是OA 的中点，OA ＝3，).23,0(,23M OM =∴).23,0('-∴M∵A (0，3)，∴A ′(6，3)． 由勾股定理得⋅=+=''21548136M A 设直线A ′M ′的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)． ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=∴.36,23.b k b 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-==23,43b k ⋅-=∴2343x y 令y ＝0，则.02343=-x ∴x ＝2，E (2，0)． 令x ＝3，则⋅=43y ).43,3(F ∴综上所述，总路径最短为215，此时E (2，0)，F ).43,3( 三、课标下新题展示例11 (2009长沙)如图8－10，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．连接AC ，BC ，A ，C 两点的坐标分别为A (－3，0)，)3,0(C ，且当x ＝－4和x ＝2时二次函数的值y 相等．图8－10(1)求实数a ，b ，c 的值；(2)若点M ，N 同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA ，BC 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连接MN ，将△BMN 沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B ，N ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似?如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．解 (1)由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=+-.3,24416,039c c b a c b a c b a解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=.3,332,33c b a(2)由(1)得3332332+--=x x y ． 当y ＝0时，x ＝－3或1． ∴B (1，0)，A (－3，0)，)3,0(C ． ∴OA ＝3，OB ＝1，3=OC ． 可得.4,2,32===AB BC AC∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，∠B ＝60°． 又由BM ＝BN ＝PN ＝PM 知四边形PMBN 为菱形． ∴PN ∥AB ．CBCN AB PN =∴即⋅-=224tt ⋅=∴34t 过点P 作PE ⊥AB 于E ．在Rt △PEM 中，∠PME ＝∠B ＝60°，PM ＝34．,332233460sin =⨯=⋅=∴ PM PF ⋅==3260tanPF ME又31=-=OB BM OM ，故OE ＝1． ).332,1(-∴P (3)由(1)、(2)知抛物线+--=x x y 3323323的对称轴为直线x ＝－1，且∠ACB ＝90°．①若∠BQN ＝90°，∵BN 的中点到对称轴的距离大于1，而,13221<=BM ∴以BN 为直径的圆不与对称轴相交， ∴∠BQN ≠90°，即此时不存在符合条件的Q 点． ②若∠BNQ ＝90°，当∠NBQ ＝60°时，Q ，E 重合，此时∠BNQ ≠90°； 当∠NBQ ＝30°时，Q ，P 重合，此时∠BNQ ≠90°． 即此时不存在符合条件的Q 点．③若∠QBN ＝90°时，延长NM 交对称轴于点Q ，此时，Q 为P 关于x 轴的对称点． )332,1(--∴Q 为所求． 例12 (2009广州)如图8－11，二次函数y ＝x 2＋px ＋q (p ＜0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C (0，－1)，△ABC 的面积为⋅45图8－11(1)求该二次函数的解析式；(2)过y 轴上的一点M (0，m )作y 轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；(3)在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ACBD 为直角梯形?若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设点A (x 1，0)，B (x 2，0)，其中x 1＜x 2． ∵抛物线y ＝x 2＋px ＋q 过点C (0，－1)，∴q ＝－1，y ＝x 2＋px －1．∵抛物线y ＝x 2＋px －1与x 轴交于A ，B 两点，令y ＝0， 设x 1，x 2是方程x 2＋px －1＝0的两根， 则.42+=P AB 又∵S △ABC ,1,4521==⋅=OC OC AB ⋅=∴25AB ⋅=+∴42542p 解 得23±=P (∵p ＜0，∴舍去正值)．.123,232--=-=∴x x y p(2)令01232=--x x ，解得.2,2121=-=x x ),0,2(),0,21(B A -∴.5,25,25===BC AC AB =+=+∴54522BC AC .4252AB =∴∠ACB ＝90°，△ABC 是直角三角形．∴Rt △ABC 的外接圆的圆心是斜边AB 的中点，且Rt △ABC 的外接圆的半径⋅==452AB r∵垂线与△ABC 的外接圆有公共点，⋅≤≤-∴4545m (3)假设在二次函数y 1232--=x x 的图象上存在点D ，使得四边形ACBD 是直角梯形． ①若AD ∥BC ，设点D 的坐标为（--020023,x x x 1)，x 0＞0，过D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，如图8－12所示．图8－12在Rt △AED 中，)21(123tan 0020----==∠x x x AE DE DAE ， 在Rt △BOC 中，⋅==∠21tan OB OC CBO ∴∠DAE ＝∠CBO ，∴tan ∠DAE ＝tan ∠CBO ．⋅=----∴21)21(1230020x x x 整理，得204x －8x 0－5＝0．解 得⋅=250x 或⋅-=210x ∵x 0＞0，250=∴x ，此时点D 的坐标为)23,25(． 而AD 2＝AE 2＋ED 2＝445≠BC 2，因此当AD ∥BC 时，在抛物线1232--=x x y 上存在点D )23,25(，使得四边形DACB 是直角梯形． ②若AC ∥BD ，设点D 的坐标为(x 0，20x －)1230-x ，x 0＜0．过D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，如图8－13所示．图8－13在Rt △DFB 中，FBDF DBF =∠tan 00202123x x x ---=， 在Rt △COA 中，.2211tan ===∠OA OC CAO ∵∠DBF ＝∠CAO ，∴tan ∠DBF ＝tan ∠CAO ．.221230020=---∴x x x 整理，得220x ＋x 0－10＝0．解 得250-=x 或x 0＝2． ∵x 0＜0， ∴250-=x ，此时点D 的坐标为)9,25(-． 此时BD ≠AC ，因此当AC ∥BD 时，在抛物线1232--=x x y 上存在点D )9,25(-使得四边形DACB 是直角梯形．综上所述，在抛物线1232--=x x y 上存在点D ，使得四边形DACB 是直角梯形，并且点D 的坐标为)23,25(或)9,25(-．四、课标考试达标题(一)选择题1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值如果总是负数，那么a ，b ，c 满足( )． A ．a ＞0，b 2－4ac ＜0 B ．a ＞0，b 2－4ac ＞0 C ．a ＜0，b 2－4ac ＞0 D ．a ＜0，b 2－4ac ＜02．(2007济南)已知y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图8－14所示，则y ＝ax －b 的图象一定经过( )．图8－14A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限3．(2007潜江)抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图8－15所示，则当y＞0时，x的取值范围是( )．图8－15A．－4＜x＜1B．－3＜x＜1C．x＜－4或x＞1D．x＜－3或x＞14．如图8－16是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象经过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④5a＜b．其中正确结论是( )．图8－16A．②④B．①④C．②③D．①③5．如果函数y＝ax＋b(ab≠0)的图象不经过第一象限，则抛物线y＝ax2＋bx的顶点一定在( )．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．根据下表中的二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴( )．x … －112…y… －1 47-－2 47- … A ．只有一个交点B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧D ．无交点7．在平面直角坐标系中，先将抛物线y ＝x 2＋x －2关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )． A ．y ＝－x 2－x ＋2 B ．y ＝－x 2＋x －2 C ．y ＝－x 2＋x ＋2 D ．y ＝x 2＋x ＋28．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过(－1，3)，(1，1)两点，且它与y 轴交点的纵坐标大于0且小于1，则a 的取值范围是( )． A ．1＜a ＜3 B ．1≤a ≤3 C ．2≤a ＜3 D ．1＜a ＜29．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则会少租出10张床位；若每床每晚收费再提高2元，则会再少租出10张床位．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( )． A ．4元或6元 B ．4元 C ．6元 D ．8元 (二)填空题10．抛物线y ＝x 2－2x －8的对称轴方程为______，顶点为______，与x 轴的交点为______，与y 轴的交点为______．11．已知抛物线y ＝x 2＋px ＋q 与x 轴的交点为(3，0)和(－5，0)，则该抛物线的对称轴是______．12．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的顶点为(1，2)，与y 轴的交点为(0，3)，则a ＋b ＋c＝______． 13．将抛物线y ＝2x 2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到图象的解析式为______． 14．若抛物线y ＝x 2＋px ＋q 与x 轴的交点为(p ，0)，(q ，0)，则该抛物线的解析式为______． 15．若抛物线y ＝x 2＋bx ＋5的顶点在x 轴上，则b 的值为______． (三)解答题16．(2008茂名)我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：销售单价 x (元/件)… 30 40 50 60 …每天销售量y (件)… 500 400 300 200 …(1)把上表中x ，y 的各组对应值作为点的坐标，在图8－17中的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；图8－17(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少?(利润＝销售总价－成本总价)(3)当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能．．超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?17．阅读以下材料：对于三个数a ，b ，c ，用M {a ，b ，c }表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c }表示这三个数中最小的数．例如：,343321}3,2,1{=++-=-M min{－1，2，3}＝－1，min{－1，2，a }⎩⎨⎧->--≤=).1(1)1(a a a解 决下列问题：(1)填空：min{sin30°，cos45°，tan30°}＝______；如果min ＝{2，2x ＋2，4－2x }＝2，则x 的取值范围为______≤x ≤______．(2)①如果M {2，x ＋1，2x }＝min{2，x ＋1，2x }，那么x ＝______；②根据①，你发现了结论“如果M {a ，b ，c }＝min{a ，b ，c }，那么______”(填a ，b ，c 的大小关系)③运用②的结论，填空：若M {2x ＋y ＋2，x ＋2y ，2x －y }＝min{2x ＋y ＋2，x ＋2y ，2x －y }，则x ＋y ＝______； (3)如图8－18，在同一直线坐标系中作出函数y ＝x ＋1，y ＝(x －1)2，y ＝2－x 的图象．通过观察图象，得出min{x ＋1，(x －1)2，2－x }的最大值为______．图8－1818．如图8－19，抛物线y＝x2＋4x与x轴分别相交于点B，O，它的顶点为A，连接AB，把AB所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，设P是直线l上的一个动点．图8－19(1)求点A的坐标；(2)以点A，B，O，P为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标；(3)设以点A，B，O，P为顶点的四边形的面积为S，点P的横坐标为x，当6≤+S624≤＋82时，求x的取值范围．19．如图8－20，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－5)和(－2，4)．图8－20(1)求这条抛物线的解析式；(2)设此抛物线与直线y＝x相交于点A，B(点B在点A的右侧)，平行于y轴的直线x＝<mm与抛物线交于点M，与直线y＝x交于点N，与x轴交于点P，求线<5)10(+段MN的长(用含m的代数式表示)；(3)在条件(2)的情况下，连接OM，BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大?若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．参考答案第八讲 二次函数1．D ． 2．C ． 3．B ． 4．B ． 5．B ． 6．B ． 7．C ． 8．D ． 9．C ．10．x ＝1，(1，－9)，(－2，0)和(4，0)，(0，－8)． 11．直线x ＝－1， 12．2． 13．y ＝2x 2－4x ＋5． 14．y ＝x 2或y ＝x 2＋x －2． 15．.52 16．解：(1)画图如答图8－1：答图8－1由图可猜想y 与x 是一次函数关系， 函数关系式是y ＝－10x ＋800．(2)设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W 元，依题意得 W ＝(x －20)(－10x ＋800) ＝－10x 2＋1000x －16000 ＝－10(x －50)2＋9000．∴当x ＝50时，W 有最大值9000．所以，当销售单价定为50元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元．(3)对于函数W ＝－10(x －50)2＋9000，当x ≤45时，W 的值随着x 值的增大而增大，∴销售单价定为45元/件时，工艺厂试销该式艺品每天获得的利润最大． 17．(1)sin30°，0≤x ≤1；(2)①1，②a ＝b ＝c ，③－4； (3)见答图8－2．答图8－2最大值为1． 18．(1)(－2，－4)；(2));512,56(),58,54(),54,52(),4,2(----(3),21221223.8||4-≤≤-+=x x S 或.22312221-≤≤-x 19．(1)y ＝x 2－2x －4；(2)MN ＝－m 2＋3m ＋4：(3)⋅=23m。