近年高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第3讲函数的奇偶性与周期性演练文(2021年整理)

2019高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第3讲函数的奇偶性与周期性分层演练文
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第3讲函数的奇偶性与周期性
一、选择题
1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是（）A．y＝错误!B．y＝｜x|－1
C．y＝lg x D．y＝错误!错误!
解析：选B。

y＝错误!为奇函数；y＝lg x的定义域为（0，＋∞），不具备奇偶性；y＝错误!错误!在(0，＋∞）上为减函数；y＝|x｜－1在(0，＋∞）上为增函数，且在定义域上为偶函数．
2．（2017·高考北京卷)已知函数f(x)＝3x－错误!错误!，则f（x）( ) A．是偶函数，且在R上是增函数
B．是奇函数,且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数
D．是奇函数,且在R上是减函数
解析：选B。

由f(－x）＝（错误!)x－3x＝－f（x），知f(x）为奇函数，因为y＝(错误!)x在R上是减函数,所以y＝－(错误!）x在R上是增函数,又y ＝3x在R上是增函数，所以函数f（x）＝3x－（错误!)x在R上是增函数，故选B.
3．若函数f(x)＝ln(ax＋错误!)是奇函数,则a的值为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0
解析：选C.因为f（x)＝ln（ax＋错误!）是奇函数，
所以f（－x)＋f（x)＝0。

即ln(－ax＋错误!）＋ln（ax＋错误!）＝0恒成立，
所以ln[(1－a2)x2＋1]＝0,即(1－a2）x2＝0恒成立，
所以1－a2＝0,即a＝±1。

4．（2018·成都第一次诊断)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f（x＋3）＝f（x)，且当x∈错误!时，f（x)＝－x3,则f错误!＝（)
A．－错误! B.错误!
C．－125
8
D。

错误!
解析:选B。

由f(x＋3)＝f(x)知函数f（x)的周期为3,又函数f（x)为奇函数，所以f错误!＝f错误!＝－f错误!＝错误!错误!＝错误!.
5．设f（x)是定义在实数集上的函数，且f（2－x)＝f(x），若当x≥1时，f(x）＝ln x，则有( )
A．f错误!〈f（2)<f错误!B．f错误!<f（2）〈f错误!
C．f错误!<f错误!〈f（2) D．f（2）<f错误!<f错误!
解析：选C.由f（2－x）＝f（x）可知函数f（x）的图象关于x＝1对称,所以f错误!＝f错误!，f错误!＝f错误!，又当x≥1时，f（x）＝ln x单调递增,所以f错误!〈f错误!〈f(2），即f错误!〈f错误!<f（2），故选C。

6．(2018·成都第二次诊断检测)已知函数f(x）的定义域为R,当x∈[－
2，2]时，f（x）单调递减，且函数f（x＋2)为偶函数．则下列结论正确的是( )
A．f（π)<f(3)<f(错误!) B．f（π）<f(错误!）<f（3）C．f(错误!)〈f（3)<f（π）D．f(错误!)〈f(π）〈f（3）解析:选C。

因为函数f(x＋2）为偶函数，所以函数f(x）的图象关于直线x＝2对称,又当x∈［－2,2］时,f(x）单调递减,所以当x∈［2,6]时，f(x）单调递增，f（2）＝f(4－错误!），因为2<4－错误!<3〈π，所以f(错误!）〈f(3）〈f(π）．
二、填空题
7．定义在R上的奇函数y＝f（x)在(0,＋∞）上递增,且f错误!＝0，则满足f(x）>0的x的集合为________．
解析：由奇函数y＝f（x）在（0,＋∞）上递增，且f错误!＝0，得函数y＝f(x)在（－∞，0）上递增,且f错误!＝0，
所以f（x)>0时，x〉错误!或－错误!<x〈0。

即满足f（x）>0的x的集合为
错误!。

答案：错误!
8．已知f（x)，g（x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x）－g（x)＝错误!错误!，则f(1)，g(0),g(－1）之间的大小关系是________．解析:在f(x)－g(x）＝错误!错误!中，用－x替换x,得f(－x)－g(－x)＝2x,由于f(x），g(x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数,
所以f(－x)＝－f（x），g(－x)＝g（x)，
因此得－f（x)－g（x）＝2x.
联立方程组解得f（x)＝错误!，g(x)＝－错误!，
于是f(1)＝－错误!,g(0)＝－1，g(－1）＝－错误!，
故f（1)〉g(0)〉g(－1）．
答案：f(1）>g(0)>g(－1）
9．已知函数f（x)的定义域为R。

当x<0时，f（x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x）；当x〉错误!时,f错误!＝f错误!。

则f（6）＝________.
解析：当x〉0时，x＋错误!>错误!，所以f错误!＝f错误!，即f(x＋1）＝f(x),所以f(6）＝f（5)＝f(4)＝…＝f(1)＝－f(－1)＝2。

答案:2
10．已知函数f（x)＝a sin x＋b 3
x＋4,若f(lg 3）＝3,则f错误!＝
________.
解析:由f(lg 3）＝a sin(lg 3)＋b3，lg 3＋4＝3得a sin(lg 3）＋b3，lg 3＝－1,而f错误!＝f（－lg 3）＝－a sin（lg 3)－b错误!＋4＝－[a sin（lg 3)＋b错误!］＋4＝1＋4＝5。

答案：5
三、解答题
11．设f（x）的定义域为(－∞,0)∪（0,＋∞），且f(x）是奇函数，当x〉0时，f(x）＝错误!.
(1）求当x <0时，f （x )的解析式；
（2）解不等式f (x )<－错误!。

解：（1)因为f (x ）是奇函数，所以当x <0时，f （x ）＝－f (－x )，－x 〉0，
又因为当x >0时，f （x )＝错误!，
所以当x <0时，f (x )＝－f （－x )
＝－错误!＝错误!.
(2)f (x )<－错误!，当x 〉0时，
即错误!〈－错误!，
所以错误!〈－错误!，所以错误!>错误!，
所以3x －1〈8，
解得x <2，所以x ∈（0，2)．
当x 〈0时，即错误!〈－错误!，
所以错误!〉－错误!，
所以3－x >32，所以x <－2，
所以解集是(－∞,－2）∪(0，2)．
12．已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞00，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．
(1）求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增,求实数a 的取值范围． 解：(1）设x ＜0,则－x ＞0，
所以f (－x )＝－(－x ）2＋2(－x )＝－x 2－2x 。

又f （x ）为奇函数，所以f （－x ）＝－f （x ），
于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2。

（2）由（1)知f (x )在[－1，1]上是增函数,要使f (x ）在［－1，a －2］上单调递增．
结合f (x ）的图象知错误!
所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是（1,3]．。